INSTYTUT

KONSTRUKCJ

MASZYN

LABORATORIUM

Z TEORII

MECHANIZMÓW I MASZYN

ZAKŁAD TEORII

MECHANIZMÓW I

MANIPULATORÓW

NR ĆW.:

TEMAT: Analiza kinematyczna mechanizmów metodami

numerycznymi

1. WPROWADZENIE

Do wyznaczania parametrów kinematycznych mechanizmów (prędkości, przyspieszenia)

oraz innych wielkości jak np. krzywizna toru, można wykorzystać metodę różnic
skończonych. Jej idea sprowadza się do zastąpienia nieskończenie małych przyrostów
występujących w rachunku różniczkowym, wielkościami małymi ale skończonymi (czyli
zastosowaniem rachunku różnicowego).

Pojęcie analogu prędkości oraz analogu przyspieszenia zostanie przedstawione na przykładzie
mechanizmu krzywkowego.

Analog prędkości (prędkość geometryczna)

α

d

s

d

'

s =

Wiedząc, że przemieszczenie popychacza s zależy od kąta
obrotu krzywki α, a ten jest zależny od czasu t co zapisać
w postaci

[

]

)

t

(

s

s

α

=

.

Różniczkując powyższą zależność po czasie otrzymujemy

ω

α

α

'

s

dt

d

d

s

d

dt

s

d

=

=

gdzie:
ω – prędkość kątowa krzywki.

Analog przyspieszenia (przyspieszenie geometryczne) –
zwane

również

charakterystyką

mechanizmu

krzywkowego

2

2

d

s

d

s

α

=

′′

Różniczkując po czasie zależność na prędkość popychacza otrzymujemy

gdzie:
ε

– przyspieszenie kątowe krzywki.

Jeśli

ω

= const

to:

2

"

2

2

s

dt

s

d

ω

=

.

y

x

α

ω

s

O

A

B

Rys. 1 Mechanizm
krzywkowy

ε

ω

α

α

α

α

α

α

'

2

"

2

2

2

2

2

2

2

s

s

dt

d

d

ds

dt

d

d

s

d

dt

d

d

s

d

dt

d

dt

s

d

+

=

=

+













=













=

2. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest przedstawienie praktycznego zastosowania metody różnic

skończonych do analizy kinematycznej mechanizmów. Ćwiczenie będzie obejmowało
wyznaczanie analogów prędkości i przspieszenia na podstawie pomiarów położeń ogniw.

3. PRZEBIEG ĆWICZENIA

• Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia popychacza w mechanizmach

krzywkowych

1. Zmierz mimośród ustawienia popychacza w stosunku do osi obrotu krzywki (e), zanotuj
jaki jest zastosowany popychacz (ewentualnie dokonaj pomiaru średnicy rolki), zmierz
również wymiary gabarytowe krzywki (rmin , rmax), wykonaj szkic stanowiska pomiarowego
z zaznaczeniem głównych wymiarów.
2. Dokonaj pomiaru wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki (co 10o).
3. Wylicz

'

i

s

oraz

"

i

s

wyniki zapisz w tabeli 1.

Tabela 1.

i

α

ι

α

ι

s

i

'

i

s

"

i

s

[-]

[deg]

[rad]

[m]

[m/rad]

[m/rad

2

]

0

0=360

1

10

2

20

...

...

...

...

35

350

36

360=0

Rys. 2. Schemat stanowiska pomiarowego

e

y

x

ω

1

2

3

4

1 - krzywka

2 - popychacz

3 - kątomierz

4 - czujnik zegarowy

4. Sporządź wykresy s

i

(

α

ι

),

'

i

s (

α

ι

),

"

i

s (

α

ι

)

(gdzie:

α

ι

- jest kątem obrotu krzywki).

5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia

Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności:

α

∆

⋅

−

=

−

+

2

s

s

s

1

i

1

i

'
i

,

2

1

i

i

1

i

"
i

s

s

2

s

s

α

∆

−

+

+

⋅

−

=

.

• Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia dowolnego punktu mechanizmu

płaskiego

1. Zmierz wymiary podstawowe mechanizmu, wykonaj szkic stanowiska pomiarowego z
zaznaczeniem głównych wymiarów oraz przyjętego układu współrzędnych.
2. W przyjętym stałym układzie współrzędnych wyznacz położenia zadanego punktu
mechanizmu dla określonych położeń ogniwa napędowego. Przykładowy mechanizm
przedstawiono na rys. 3, zaś powiększony wykres toru punktu P na rys. 4.

Rys. 3. Schemat badanego mechanizmu

Rys. 4. Tor punktu P

3. Wylicz składowe analogu prędkości i analogu przyspieszenia

"
i

"
i

'
i

'
i

y

,

x

,

y

,

x

wyniki zapisz

w tabeli 2.

Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności:

P

B

3

2

D

C

tor punktu P

1

α

x

y

x

y

P

i

y

i

x

i

P

i+1

P

i-1

α

∆

⋅

−

=

−

+

2

x

x

x

1

i

1

i

'
i

,

α

∆

⋅

−

=

−

+

2

y

y

y

1

i

1

i

'
i

,

2

1

i

i

1

i

"
i

)

(

x

x

2

x

x

α

∆

−

+

+

⋅

−

=

,

2

1

i

i

1

i

"
i

)

(

y

y

2

y

y

α

∆

−

+

+

⋅

−

=

.

4. Sporządź wykresy

)

(

y

,

)

(

x

,

)

(

y

,

)

(

x

,

)

x

(

y

i

"
i

i

"
i

i

'
i

i

'
i

i

i

α

α

α

α

(gdzie:

α

ι

- jest kątem obrotu

ogniwa napędowego.

Tabela 2.

i

α

ι

α

ι

x

i

y

i

'
i

x

'
i

y

"
i

x

"
i

y

[-]

[deg]

[rad]

[m]

[m]

[m/rad] [m/rad] [m/rad

2

] [m/rad

2

]

0

0=360

1

10

2

20

...

...

...

...

35

350

36

360=0

5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia

4. PYTANIA KONTROLNE

1. Sposoby oceny poprawności otrzymanych wyników (pochodzących z metody różnic
skończonych)
2. Metody „wygładzania” wykresów prędkości i przyspieszenia otrzymanych z metody różnic
skończonych
3. Przykłady zastosowania metody różnic skończonych do analizy kinematycznej
mechanizmów, wyznaczanie podstawowych parametrów kinematycznych
4. Założenia metody aproksymacji, warunki brzegowe dla badanego mechanizmu
krzywkowego
5. Funkcje typu „spline” - warunki sklejania
6. Analog prędkości i przyspieszenia
7. Podstawowe wiadomości o metodzie różnic skończonych

5. LITERATURA

[1] - Młynarski T., Listwan A., Pazderski E.: Teoria maszyn i mechanizmów, cz. III Analiza
kinematyczna mechanizmów, Politechnika Krakowska, Kraków 1992, (str. 269-288).
[2] - Olędzki A.: Teoria maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa 1987, str. 54-58

WZÓR ARKUSZA SPRAWOZDAWCZEGO

INSTYTUT

KONSTRUKCJI

MASZYN

LABORATORIUM

z TEORII

MECHANIZMÓW I MASZYN

ZAKŁAD TEORII

MECHANIZMÓW I

MANIPULATORÓW

NR ĆW.:

TEMAT:

Rok akad. ................
Grupa: .....................
Zespół: ....................

Data: .......................

Członkowie zespołu:
1. ...............................................
2. ...............................................
3. ...............................................

1. Schemat i opis stanowiska pomiarowego
2. Zestawienie wyników pomiarów
3. Opracowanie wyników pomiarów (zgodnie z instrukcją do ćwiczenia)
4. Wnioski