EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (24.03.06)

IMiR, rok 1C

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów. Czy wie-
lomian W (x) = x

6

− 3x + 1 ma pierwiastki wymierne?

Narysuj wykres wielomianu V (x) = 27x

5

− 27x

4

+ 18x

3

+ 11x

2

− 11x + 2.

Zadanie 2. Podaj i udowodnij twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
Wyprowadź wzór na pochodną funkcji arc tg.

Zadanie 3. Podaj wzory Taylora i Maclaurina z resztą Lagrange’a.
Oblicz sin 1 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Zadanie 4. Podaj definicje całek niewłaściwych I i II rodzaju.

Oblicz całkę

Z

1

1
2

dx

√

1 − x

2

arc sin x

.

Zadanie 5. Podaj wzory Eulera na sinus i kosinus liczby rzeczywistej.
Rozwiąż równanie z

6

+ i = 0 i narysuj jego pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (24.03.06)

IMiR, rok 1C

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów. Czy wie-
lomian W (x) = x

6

− 3x + 1 ma pierwiastki wymierne?

Narysuj wykres wielomianu V (x) = 27x

5

− 27x

4

+ 18x

3

+ 11x

2

− 11x + 2.

Zadanie 2. Podaj i udowodnij twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
Wyprowadź wzór na pochodną funkcji arc tg.

Zadanie 3. Podaj wzory Taylora i Maclaurina z resztą Lagrange’a.
Oblicz sin 1 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Zadanie 4. Podaj definicje całek niewłaściwych I i II rodzaju.

Oblicz całkę

Z

1

1
2

dx

√

1 − x

2

arc sin x

.

Zadanie 5. Podaj wzory Eulera na sinus i kosinus liczby rzeczywistej.
Rozwiąż równanie z

6

+ i = 0 i narysuj jego pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (24.03.06)

IMiR, rok 1C

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów. Czy wie-
lomian W (x) = x

6

− 3x + 1 ma pierwiastki wymierne?

Narysuj wykres wielomianu V (x) = 27x

5

− 27x

4

+ 18x

3

+ 11x

2

− 11x + 2.

Zadanie 2. Podaj i udowodnij twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
Wyprowadź wzór na pochodną funkcji arc tg.

Zadanie 3. Podaj wzory Taylora i Maclaurina z resztą Lagrange’a.
Oblicz sin 1 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Zadanie 4. Podaj definicje całek niewłaściwych I i II rodzaju.

Oblicz całkę

Z

1

1
2

dx

√

1 − x

2

arc sin x

.

Zadanie 5. Podaj wzory Eulera na sinus i kosinus liczby rzeczywistej.
Rozwiąż równanie z

6

+ i = 0 i narysuj jego pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej.