EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (17.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Co nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy? Podaj
przykład osobliwej macierzy diagonalnej.

Rozwiąż układ równań















3x − 2y + z = 0
x

+ 2y − 3z = 0

4x − 4y + 3z = 0
8x + 12y − 19z = 0.

Zadanie 2. Podaj równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspól-
liniowe punkty o zadanych współrzędnych. Jakimi jeszcze równaniami można opisać
płaszczyznę w przestrzeni?
Opisz na dwa sposoby płaszczyznę przechodzącą przez punkty A = (2, −1, 3) oraz
B

= (1, 4, 2) i równoległą do wektora

→

u = (3, 1, 5).

Zadanie 3. Co nazywamy zbiorem zwartym? Podaj przykład zbioru domkniętego
w R

2

, który nie jest zwarty.

Oblicz drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) =

√

cos

x

z

y

.

Zadanie 4. Co nazywamy krzywą zamkniętą na płaszczyźnie? Podaj przykład
parametryzacji okręgu jednostkowego.
Wyznacz pole powierzchni płata z = 10 − x − y nad trójkątem o wierzchołkach
A

= (1, 0), B = (3, 3), C = (2, 6).

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 3 (17.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Co nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy? Podaj
przykład osobliwej macierzy diagonalnej.

Rozwiąż układ równań















3x − 2y + z = 0
x

+ 2y − 3z = 0

4x − 4y + 3z = 0
8x + 12y − 19z = 0.

Zadanie 2. Podaj równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspól-
liniowe punkty o zadanych współrzędnych. Jakimi jeszcze równaniami można opisać
płaszczyznę w przestrzeni?
Opisz na dwa sposoby płaszczyznę przechodzącą przez punkty A = (2, −1, 3) oraz
B

= (1, 4, 2) i równoległą do wektora

→

u = (3, 1, 5).

Zadanie 3. Co nazywamy zbiorem zwartym? Podaj przykład zbioru domkniętego
w R

2

, który nie jest zwarty.

Oblicz drugie pochodne cząstkowe funkcji f (x, y, z) =

√

cos

x

z

y

.

Zadanie 4. Co nazywamy krzywą zamkniętą na płaszczyźnie? Podaj przykład
parametryzacji okręgu jednostkowego.
Wyznacz pole powierzchni płata z = 10 − x − y nad trójkątem o wierzchołkach
A

= (1, 0), B = (3, 3), C = (2, 6).