1)

 

Ocena standardowego dopasowania modelu do danych empirycznych  

Po  oszacowaniu  parametrów  modelu  należy  następnie  zweryfikować  model  m.in  ocenić 
stopień  dopasowania  modelu  do  danych  empirycznych.  Wykorzystujemy  na  tym  etapie 
wyznaczone  wartości  reszt.  Składnik  losowy  epsilon  jest  zmienną  losową,  a  zatem 
charakteryzuje  się  pewnym  rozrzutem  wartości.  Rozrzut  ten  możemy  mierzyć  za  pomocą 
wariancji i odchylenia standardowego. Oczywiste jest, że model jest tym  lepiej dopasowany 
do danych empirycznych im reszty są mniejsze.  

a)

 

Średni  błąd  szacunku  modelu  (Se)    (inne  nazwy:  Błąd  standardowy  estymacji, 
odchylenie standardowe reszt)  

Średni błąd szacunku modelu (Se) jest miarą  dopasowania modelu. Miara ta opiera się na 
resztach modelu, czyli rozbieżności pomiędzy rzeczywistymi wartościami zmiennej zależnej 
w próbie (y

i

) a wartościami zmiennej zależnej wyliczonej na podstawie zbudowanego modelu 

( ).  Najlepiej  byłoby,  gdyby  różnica  ta  była  jak  najbliższa  zeru  dla  wszystkich  badanych 
obiektów próby.  

Zatem,  aby  model  był  dobrze  dopasowany,  błąd  standardowy  estymacji  (wyrażony  jako 
wariancja reszt modelu Se) powinien być jak najmniejszy. Inaczej im odchylenie standardowe 
składnika losowego (Se)  będzie mniejsze, tym model będzie lepiej pasował do danych. 

Se=Odchylenie standardowe składnika losowego = odchylenie standardowe reszt = błąd standardowy estymacji 

Interpretacja Se: wartości empiryczne odchylają się od wartości teoretycznych przeciętnie o 
Se. 

yi odchylają się od   przeciętnie o Se. 

Gdzie: 
y

i 

– wartości empiryczne zmiennej Y (wartości obserwowane w próbie) 

= wartości teoretyczne zmiennej Y (wartości wyliczone z modelu) 

 

b)

 

Współczynnik determinacji R

2

 

Jest  to  inne  podejście  do  oceny  standardowego  dopasowania  modelu  do  danych 
empirycznych.  W  podejściu  tym  wychodzi  się  od  analizy  zmienności  wartości  zmiennej  Y. 
Zmienna  przyjmuje  wartość  Y  :  y

1

,  y

2

,…y

n

  –(

nie  wszystkie  są  jednakowe  czyli  występuje 

zmienność). 

 

 

 

 

 

Współczynnik  determinacji  (R

2

) -  jest  miarą  dopasowania  modelu.  Wyraża  on  procent 

zmienności  zmiennej  zależnej    tłumaczony  przez  przyjęty  model  (procent  zmienności 
wyjaśnionej  przez  model).  Wartość  tego  współczynnika  mieści  się  w  przedziale  <  0;  1  >, 
gdzie 1 oznacza doskonałe dopasowanie modelu, 0 – zupełny bark dopasowania. Dążymy do 

tego  żeby  R

2

  modelu  było  jak  największe,  bo  oczywiste  jest  że  model  jest  tym  lepszy  im 

wyjaśnia więcej zmienności Y. (Im R

2

 jest większy tym model jest lepszy, bo wyjaśnia więcej 

zmienności zmiennej zależnej).  

0  ≪

≪ 1 ,  [0 % ≪

≪ 100% ] 

Współczynnik indeterminacji (

)- miara ta mówi o procencie zmienności nie wyjaśnionej 

przez model.

 

Np. Gdy R

2

=0,72 oznacza że ok 72% zmienności Y można wyjaśnić przez przyjęty model 

zależności liniowej. 28% zmienności Y nie jest wyjaśniona przez model. Dobry model jest 
wtedy gdy współczynnik R

2

 >65, to znaczy że ponad 65% zmienności jest wyjaśniona przez 

model (ona tak nam powiedziała apropo projektu) 

Ponieważ  wartość  współczynnika R

2

 zależy  od  dopasowania  modelu,  ale  jest  również 

wrażliwa  na  ilość  zmiennych  w  modelu  i  liczność  próby,  bywają  sytuacje,  w  których  może 
być  obarczona  pewnym  błędem.  Przykład  błędu  np.  gdy  danych  jest  mało  to  R

2

  może  być 

duże, chociaż sam model jest kiepski: np. gdy n=2 to R

2

=1 

Dalego też wyznacza się poprawianą wartość tego parametru: R

2

adj.

  

Dodanie jakiejkolwiek zmiennej do modelu zawsze powoduje wzrost R

2

,niezależnie od tego, 

czy dana zmienna jest istotnie powiązana z Y czy nie. W związku z tym nie można opierać 
porównań modeli z różną liczbą zmiennych objaśniających, na porównaniu R

2

 dla tych 

modeli. 

c)

 

Adjusted  R

2 

(poprawiony,dopasowany  R

2

)  –  Mówi  o  tym  jak  dobrze  byłoby 

dopasowane  nasze  równanie  regresji  do  innej  próby  pobranej  z  tej  samej  populacji. 
Poprawiony R

2

 jest zawsze mniejszy niż R

2

. 

 

R

2

adj.

jest zawsze <1 i może także przyjmować wartości ujemne. Uzyskanie ujemnej wartości 

zdarza  się  najczęściej,  gdy  mamy  mało  danych  i  model  jest  w  istocie  źle  dopasowany  do 
danych. Duże rozbieżności między R

2

 i R

2

adj.

dają sygnał, że model jest niepoprawny. 

Nie wolno posługiwać się R

2

 gdy: 

1. Model nie ma wyrazu wolnego 

czyli powiazanie jest postaci: Y=β

1

* X + epsilon 

2. Do oceny modeli które nie sa liniowe:

 Y= e 

BX 

+ epsilon

 

3.Jeśli do estymacji parametrów modelu stosujemy metodę inną niż MNK. 

Powiedziała że bez wzorów ale zostawiłam żeby wiedzieć o co chodzi☺ 

 

 

 

 

2)

 

Standardowe błędy szacunku parametrów modelu 

Standardowy błąd szacunku parametru, pozwala na oszacowanie o ile przeciętnie mylimy się 
w  ocenie  prawdziwej  wartości  βo  podając  punktowe  oszacowanie  βo  (analogicznie  dla  β

1 

prawdziwej i β

1

 oszacowanej). 

Standardowy błąd szacunku parametru βo = Sb

0

   

 np. Sb

0

=12,0  (gdy punktowe oszacowanie dla βo=88)  

Standardowy błąd szacunku parametru β

1

= Sb

1   

  

np Sb

1

.=0,9 (gdy punktowe oszacowanie dla β

1

=4) 

 

Interpretacja:    (Sb

1

)  Standardowy  błąd  szacunku  parametru  β

1

  równego  0,9  mówi  się,  że 

mylimy się przeciętnie o 0,9 jednostki, twierdząc że oszacowanie β

1

 jest równe 4 

Model jest precyzyjny jeżeli Sb

0

 i Sb

1

 są małe w porównaniu z b

0

 i b

1

. Oceniamy to dzieląc 

   

i 

 

 

.  Im  ten  iloraz  jest  większy  tym  model  jest  bardziej  precyzyjny.  W  dobrych 

modelach ten iloraz powinien być większy od  2 . Zły model gdy Sb

0

 i Sb

1

 są większe od b

0

 i 

b

1

. 

Na  ogół  po  oszacowaniu  parametrów  modelu  oraz    średnich  błędów  szacunku  modelu  i 
standardowych błędów parametrów modelu zapisujemy oszacowany model w postaci: 

= 

 + 

 ∙   

 

   (Sb

0

)     (Sb

1

)