1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 10

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania zadania

1.

A.

32

8

40

,

40

8

2

,

0

=

−

=

⇒

=

x

x

2.

D.

4

2

4

06

,

0

1

1000

⋅













+

⋅

3.

B.

10

30

40

7

2

7

2

7

2













=

























=

−

W

4.

D.

16

3

3

16

log

4

log

2

3

3

=

=

=

a

5.

B.

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)(

)

y

x

y

x

W

y

x

y

x

W

y

x

W

3

2

5

3

2

5

3

2

5

3

2

5

3

2

25

2

−

+

+

−

=

⇒

⇒

−

+

−

−

=

⇒

−

−

=

6.

D.

3

4

0

9

6

0

4

2

−

≠

∧

−

≠

⇒

≠

+

+

∧

≠

+

x

x

x

x

x

7.

C.

(

)

0

5

0

5

2

<

−

−

⇒

<

−

−

x

x

x

x

, zatem

5

,

0

2

1

−

=

=

x

x

, zaś ramiona

paraboli skierowane są do dołu.

8.

D.

3

0

3

−

>

⇒

<

−

−

m

m

9.

A.

Skorzystaj z zasady przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi układu

współrzędnych.

10.

B.

Funkcja, której wykres przechodzi przez dane punkty, ma wzór

1

3

−

=

x

y

(rozwiąż odpowiedni układ równań).

11.

D.

R

x

x

∈

⇒

>

+

0

4

2

12.

B.

Każda funkcja wykładnicza ma zbiór wartości

(

)

∞

+

,

0

, a wykres

danej funkcji został przesunięty wzdłuż osi OX .

13.

C.

+

∈

∧

<

⇒

>

−

N

n

n

n

14

0

7

2

14.

A.

(

)

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

1

−

=

⇒

−

−

−

=

+

−

+

=

r

r

, zatem

2

3

3

3

−

=

a

.

2

15.

D.

4

2

1

256

7

6

7

=

⇒













−

⋅

=

a

a

16.

B.

n

n

S

n

n

S

n

a

a

n

n

n

+

=

⇒

+

=

⇒

=

=

2

1

2

2

2

2

,

2

17.

C.

Funkcja

x

y

cos

=

jest dla

(

)

90

,

0

∈

x

malejąca.

18.

B.

x

x

x

x

W

sin

sin

sin

cos

1

2

2

=

−

=

x

W

sin

=

⇒

19.

C.

Mniejszy kąt leży naprzeciwko mniejszego boku trójkąta.

20.

D.

Dwa koła są podobne, więc skala podobieństwa

2

4

2

=

⇒

=

k

k

, stąd

promień większego koła jest dwa razy większy od promienia

mniejszego koła.

21.

D.

2

3

1

−

=

⇒

−

=

k

l

k

a

a

a

, zaś punkt P spełnia równanie prostej z

przykładu D.

22.

A.

9

2

3

5

3

1

=

⇔

−

=

−

−

⇔

=

a

a

a

a

l

k

23.

D.

4

9

7

=

+

=

AO

24.

B.

π

72

6

,

12

=

⇒

=

=

b

P

r

l

25.

B.

Suma oczek co najwyżej 8 , to znaczy suma jest mniejsza lub równa

8 ,

36

26

)

(

26

,

36

=

⇒

=

=

Ω

=

=

A

P

A

.

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie większej potęgi za pomocą mniejszej:

2

27

27

3

3

3

⋅

+

=

a

.

1

26.

Wykazanie tezy zadania:

(

)

10

3

9

1

3

27

27

⋅

=

⇒

+

=

a

a

, zatem

liczba jest podzielna przez 3 i przez 10 , czyli jest podzielna

przez 30 .

1

3

Pogrupowanie wyrazów:

(

)

(

)

5

16

5

)

(

2

+

−

+

=

x

x

x

x

W

.

1

27.

Rozłożenie wielomianu na czynniki:

(

)

(

)

(

)(

)(

)

5

4

4

)

(

5

16

)

(

2

+

+

−

=

⇒

+

−

=

x

x

x

x

W

x

x

x

W

.

1

Przekształcenie pierwszego wielomianu do postaci ogólnej:

=

)

(

1

x

W

⇒

+

−

+

+

+

=

9

4

8

12

6

2

2

3

x

x

x

x

17

12

2

)

(

2

3

1

+

+

+

=

x

x

x

x

W

.

1

28.

Przekształcenie drugiego wielomianu do postaci ogólnej:

⇒

+

+

+

−

+

−

=

22

11

7

5

5

)

(

2

2

3

2

x

x

x

x

x

x

W

17

12

2

)

(

2

3

2

+

+

+

=

⇒

x

x

x

x

W

, zatem wielomiany są równe.

1

Zapisanie warunków koniecznych do wyznaczenia dziedziny

funkcji:

0

0

2

2

≤

∧

≥

x

x

.

1

29.

Wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości funkcji:

{ }

{ }

0

,

0

1

=

=

−

D

D

.

1

5

4

sin

25

9

1

sin

5

3

cos

=

⇒

−

=

⇒

=

α

α

α

1

30.

15

16

cos

5

4

sin

4

3

tg

=

⇒

=

∧

=

α

α

α

– sprzeczność z treścią

zadania.

1

Wprowadzenie oznaczeń:

z

y

x

,

,

– szukane liczby,

(

)

z

y

x

,

,

– ciąg arytmetyczny,

(

)

9

,

3

,

+

+

z

y

x

– ciąg geometryczny,

45

=

+

+

z

y

x

.

1

Zapisanie układu równań:

(

)

(

)













+

=

+

+

=

=

+

+

9

3

2

45

2

z

x

y

z

x

y

z

y

x

.

1

Wyznaczenie liczby

15

:

=

y

y

.

1

Doprowadzenie układu do równania:

0

324

39

2

=

+

−

x

x

i

rozwiązanie równania:

27

,

12

2

1

=

=

x

x

.

1

31.

Wyznaczenie trzeciej liczby i podanie odpowiedzi.:

1

4











=

=

=

∨











=

=

=

3

15

27

18

15

12

z

y

x

z

y

x

.

Wyznaczenie długości odcinka

O

S

2

w zależności od promienia

mniejszego okręgu :

2

2

2r

O

S

=

, O – punkt przecięcia prostej l i

2

1

S

S

).

1

Zapisanie układu równań:











=

+

=

+

+

24

30

sin

2

2

1

2

2

1

1

r

r

r

r

r

r

.

2

(po 1 punkcie

za każde

równanie)

32.

Rozwiązanie układu i podanie odpowiedzi:

6

,

18

2

1

=

=

r

r

.

2 (1 punkt za

metodę i 1 za

obliczenia)

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie

oznaczeń:

b

a,

– przyprostokątna i przeciwprostokątna podstawy

graniastosłupa,

h – wysokość graniastosłupa.

1

Wyznaczenie przeciwprostokątnej podstawy:

2

9

=

b

.

1

Wyznaczenie wysokości graniastosłupa:

6

3

=

h

.

1

Wyznaczenie pola powierzchni bocznej graniastosłupa:

(

)

3

6

54

+

=

b

P

.

1

33.

Wyznaczenie objętości graniastosłupa:

2

6

243

=

V

.

1