kolko matematyczne calka oznaczona

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

Notatki z kółka matematycznego


Notatki z lekcji kółka matematycznego z panią mgr Alicją Jankowską z klasy 2G (LO7 we Wrocławiu).

Autorem notatek jest Mateusz Jędrzejewski. Niniejsza praca jest rozpowszechniana za darmo.

Rysunki wykresów są poglądowe i nie muszą dokładnie odzwierciedlać rzeczywistości.
Należy pamiętać, że praca możne zawierać błędy, mijać się z prawdą lub być niekompletna,

ale za to autor nie ponosi żadnej odpowiedzialności.


Temat:

Data: 2-02-2004

Całka oznaczona.

1. Co to jest całka oznaczona.

Niech

będzie funkcją ciągłą w przedziale

f

>

< b

a,

.

Całką oznaczoną funkcji

w przedziale

f

>

< b

a,

nazywamy liczbę

,

gdzie

)

(

)

(

a

F

b

F

F

jest funkcją pierwotną funkcji

w przedziale

f

>

< b

a,

.

=

b

a

a

F

b

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

>

< b

a,

– przedział całkowania,

a

– dolna granica całkowania

b

– górna granica całkowania

założenie

a

b

>

2. Podstawowe

własności całki oznaczonej.

=

a

a

dx

x

f

0

)

(

=

b

a

a

b

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

,

(

gdzie

)

(

)

(

)

(

b

a

c

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

b

c

c

a

b

a

+

=

3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

Niech

będzie funkcją ciągłą i większą od zera w przedziale

f

>

< b

a,

0

)

(

,

>

∈<

x

f

b

a

x

wtedy całka

b

a

dx

x

f

)

(

jest równa polu obszaru będącego zbiorem punktów XY płaszczyzny o współrzędnych

)

(

0

x

f

y

b

x

a

to znaczy obszaru wyznaczonego przez wykres funkcji i proste

a

x

=

i

oraz osi OX.

b

x

=

x

y

0






a

b

strona 1 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II


dla

0

)

(

,

<

>

∈<

x

f

b

a

x







=

b

a

dx

x

f

P

)

(

x

y

0

a

b

4. Twierdzenie o polu figury ograniczonej wykresami dwóch funkcji.
5. Dla

funkcji

f

i , które są ciągłe w przedziale

g

>

< b

a,

i

dla

)

(

)

(

x

f

x

g

>

∈< b

a

x

,

pole figury ograniczonej wykresami funkcji

i oraz prostymi

f

g

a

x

=

i

jest równe:

b

x

=

(

)

=

b

a

dx

x

f

x

g

P

)

(

)

(





x

y

0

a

b

f

g





Zadania

I. Oblicza

wartość całki oznaczonej.

a)

[ ]

16

1

2

9

2

2

2

4

3

1

2

3

1

3

1

2

=

=

=

=

x

x

xdx

b)

(

)

[

]

3

4

3

4

4

4

3

5

2

3

5

2

3

3

5

2

1

1

0

2

2

3

3

3

5

4

2

1

1

0

2

3

=

=

+

=

+

=

+

x

x

x

x

dx

x

x

x

c)

[

]

4

4

4

0

0

2

1

0

0

4

4

Π

Π

Π

=

+

=

=

Π

Π

tg

tg

x

tgx

xdx

tg

bo

c

x

tgx

dx

x

dx

x

x

dx

x

x

xdx

tg

+

=

=

=

=

1

cos

1

cos

cos

1

cos

sin

2

2

2

2

2

2

gdzie

c

to stała całkowania, czyli dowolna liczba rzeczywista

II. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami

i

oraz prostymi

i

.

2

x

y

=

2

2

+

= x

y

1

=

x

3

=

x


(

)

[ ]

4

2

2

2

3

1

3

1

3

1

2

2

=

=

=

+

=

x

dx

dx

x

x

P

Odp. Pole tej figury wynosi

.

2

4 j

x

y

0 1

3

strona 2 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

III. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą

i prostą

x

y

8

2

=

2

=

x

.


Równanie wierzchołkowe paraboli (potocznie „parabola leżąca”) ma postać

.

ax

y

=

2

Nie jest to funkcja.

x

y

8

2

=

x

y

8

=

x

y

2

2

=

}

0

{

+

R

x

[

]

3

32

3

2

2

8

2

4

2

4

2

2

2

2

0

3

2

2

0

2

0

=

=

=

=

=

x

x

dx

x

dx

x

P

Odp. Pole tej figury wynosi

2

3

32

j

.

x

y

0

2


IV. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją

i krzywą

.

2

x

y

=

x

y

=

2

„dwie parabole jedna normalna, a druga leżąca”

Punkt wspólne to

i

.

)

0

,

0

(

)

1

,

1

(

(

)

[

]

3

1

3

1

3

2

1

0

3

3

1

3

2

1

0

2

=

=

=

=

x

x

x

dx

x

x

P

Odp. Pole tej figury wynosi

2

3

1

j

.

x

y

0

1

1

V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją

i prostą

x

x

y

2

sin

+

=

x

y

=

w przedziale

>

Π

∈< 2

,

0

x

.

VI.

{

}

2

x

2

:

)

,

(

R

x

y

y

x

F

=

VII.

{

}

2

x

8

:

)

,

(

3

=

y

x

y

x

F

VIII.

{

}

2

,

2

2

2

2

2

:

)

,

(

2

2

1

2

2

1

>

∈<

+

+

=

x

x

x

y

x

x

y

x

F

IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej

,

styczną do tej krzywej w punkcie

i osią OX.

2

x

y

=

)

9

,

3

(

A

X. Dana jest krzywa

2

1

x

y

=

oraz proste

1

=

x

i

m

x

=

gdzie

.

1

>

m

a) Wyznacz pole figury ograniczonej daną krzywą i danymi prostymi,
b) Oblicz

granicę dla

zmierzającego do

m

.

strona 3 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

Temat:

Data: 3-02-2004

Całka oznaczona – zadania.


Rozwiązania do zadań z poprzedniej lekcji.

V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją

i prostą

x

x

y

2

sin

+

=

x

y

=

w przedziale

>

Π

∈< 2

,

0

x

.

(

)

(

)

[

]

Π

=

Π

Π

=

=

=

=

=

+

=

Π

Π

Π

Π

2

sin

2

sin

2

cos

1

sin

2

sin

2

2

1

0

2

1

0

0

2

0

2

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

x

x

P

bo

x

x

x

x

2

cos

1

sin

2

sin

1

2

cos

2

2

=

=

Odp. Pole tej figury wynosi

.

2

j

Π

x

y

0

Π

2

Π

VI. Oblicz pole figury

F

.

{

}

2

x

2

:

)

,

(

R

x

y

y

x

F

=

2

2

2

2

1

=

=

P

Odp. Pole tej figury wynosi

.

2

2 j



x

y

0

-1

1

2

VII. Oblicz pole figury

F

.

{

}

2

x

8

:

)

,

(

3

=

y

x

y

x

F

Po odcięciu figury pod osią OX i połączeniu jej z figurą
nad osią OX otrzymuje się prostokąt od bokach 4 na 8.

32

8

4

=

=

P

Odp. Pole tej figury wynosi

.

2

32 j



VIII. Oblicz pole figury

.

F

{

}

2

,

2

2

2

2

2

:

)

,

(

2

2

1

2

2

1

>

∈<

+

+

=

x

x

x

y

x

x

y

x

F


Po narysowaniu wykresów funkcji i zaznaczeniu
półpłaszczyzny widać, że otrzymana figur
składa się z czterech jednakowych części.
Więc można policzyć pole figury w I ćw. układu XY.

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) (

) (

)

3

80

3

2

64

2

2

8

2

8

2

8

4

2

4

2

2

4

0

dla

2

8

2

2

0

0

dla

2

2

2

6

1

2

8

0

2

3

6

1

2

8

0

2

2

1

2

2

1

2

2

1

=

⎥⎦

⎢⎣

+

=

+

=

=

+

=

=

+

=

+

=

x

x

x

dx

x

x

P

x

x

x

x

x

x

x

y

y

0

-2

2

8

-8

x

strona 4 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej

,

styczną do tej krzywej w punkcie

i osią OX.

2

x

y

=

)

9

,

3

(

A

)

(

)

(

'

0

0

0

x

x

x

f

y

y

=

– ogólne równanie prostej stycznej

(

)

[

]

x

y

0

3

3

9

3

9

6

9

6

)

3

(

6

9

6

)

3

(

'

2

)

(

'

3

3

3

1

3

0

2

3

3

1

3

0

2

=

+

=

+

=

=

=

=

=

x

x

x

dx

x

x

P

x

y

x

y

f

x

x

f

j

9

3

9

=

+

Odp. Pole tej figury wynosi

9

.

2

X. Dana jest krzywa

2

1

x

y

=

oraz proste

1

=

x

i

m

x

=

gdzie

.

1

>

m

x

y

2

Π

0

4

Π

1

a. Wyznacz pole figury ograniczonej

daną krzywą i danymi prostymi,

m

m

m

f

m

x

dx

x

P

m

m

1

)

(

1

1

1

1

1

1

2

=

+

=

⎥⎦

⎢⎣

⎡−

=

=

x

y

m

0

1

b. Oblicz

granicę dla

m

zmierzającego do

.

1

)

1

(

lim

1

=

m

m

m

m


Nowa zadanie.

I. Oblicz pole figury

.

F

{

}

(

)

[

]

1

2

1

2

2

2

cos

sin

sin

cos

,

0

cosx

y

sinx

:

)

,

(

4

4

0

0

2

=

=

+

=

=

>

∈<

=

Π

Π

Π

x

x

dx

x

x

P

x

y

x

F

Odp. Pole tej figury wynosi

2

1

2

j

.





strona 5 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

Temat:

Data: 9-02-2004

Obliczanie objętości brył za pomocą całki oznaczona.

I. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami

x

y

1

=

i

x

y

4

=

oraz prostymi

1

=

y

i

.

4

=

y

(

)

(

)

[

] [

]

4

ln

3

4

ln

4

4

ln

4

ln

4

4

ln

1

1

ln

4

4

4

ln

4

ln

1

1

ln

4

ln

4

ln

4

1

4

1

4

1

4

1

1

4

1

4

1

1

4

1

4

1

=

+

=

+

=

=

+

+

+

=

=

+

=

+

=

x

x

x

x

dx

dx

P

x

x

bo wiadomo, że

0

1

ln

=

x

y

x

y

2

Π

0

2

Π

1

-1

Przydatne wzory:
a) na

obliczanie

objętości bryły obrotowej

[

]

Π

=

b

a

dx

x

f

V

2

)

(

b) na obliczanie pola powierzchni bryły obrotowej

[

]

+

Π

=

b

a

dx

x

f

x

f

S

2

)

(

'

1

)

(

2

c) na

obliczanie

długości łuku

[

]

+

=

b

a

dx

x

f

L

2

)

(

'

1

zakłada się że funkcja

jest ciągła i nieujemna w przedziale

f

>

< b

a,

.

II. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX.

2

2x

y

=

0

3

=

+ x

y

3

+

= x

y

3

2

2

+

= x

x

(

)

(

)

1

0

1

25

24

1

0

3

2

2

3

2

1

2

=

=

=

=

+

=

Δ

=

+

x

x

x

x

x

x

(

)

[

]

(

)

[

]

[

]

Π

=

Π

=

+

Π

=

+

Π

=

=

+

Π

=

+

Π

=

15

166

15

7

15

90

5

4

3

1

1

0

5

5

4

2

3

3

1

1

0

4

2

1

0

4

2

)

(

2

9

3

2

9

3

2

4

9

6

2

4

3

2

x

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

V

III. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu funkcji

x

y

cos

=

wokół osi OX dla

>

∈<

Π

Π

2

2

,

x

.

(

)

(

)

(

)

[

]

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

2

2

2

3

ln

2

2

2

1

ln

2

1

ln

2

1

ln

2

1

ln

2

1

sin

sin

1

sin

sin

ln

2

sin

1

cos

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

+

+

Π

=

+

+

Π

=

=

+

+

+

Π

=

⎥⎦

⎢⎣

+

+

+

+

Π

=

=

+

Π

=

Π

Π

Π

Π

x

x

x

x

dx

x

x

S

Całka elementarna (czyli jest w tablicach matematycznych):

+

+

+

+

+

=

+

c

k

x

k

x

x

dx

k

x

x

k

2

2

2

2

2

ln

Różnica logarytmów to logarytm różnic.

x

y

0

3

-3

3

4

1

4

0

4

1

1

strona 6 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

Temat:

Data: 10-02-2004

Obliczaniu pól figur – zadania.

I. Oblicz pole figury ograniczonej

funkcją kwadratową

oraz

c

bx

x

y

+

+

=

2

stycznymi

3

4

13

4

+

=

=

x

y

x

y

.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5

5

)

1

3

(

5

,

2

2

4

5

3

4

3

5

10

2

3

4

13

4

3

4

0

13

4

0

)

3

,

0

(

)

3

,

4

(

)

1

,

2

(

3

2

2

4

1

2

2

4

4

3

4

3

16

64

5

8

4

0

64

16

4

2

8

8

16

20

8

4

2

8

8

16

44

8

4

/

)

4

(

4

5

2

4

/

4

4

11

2

2

2

5

2

2

2

11

2

11

2

,

2

13

2

8

,

2

11

2

13

2

8

2

2

4

2

4

2

2

)

(

'

2

)

(

'

2

)

(

'

)

(

2

1

4

3

4

13

2

1

2

1

2

4

1

2

2

2

2

2

1

2

4

1

2

1

2

4

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

=

=

⎪⎭

=

+

=

=

=

=

+

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

=

Δ

+

=

=

+

=

=

=

+

⎪⎩

+

+

=

+

+

+

+

=

+

⎪⎩

+

+

=

+

+

+

=

+

⎪⎩

+

+

=

+

+

=

+

+

+

=

=

=

=

=

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

+

=

Δ

P

B

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

x

x

A

A

W

x

x

x

y

c

c

b

b

c

b

b

b

b

b

c

b

b

b

b

b

c

b

b

b

b

c

b

b

b

b

c

b

b

b

b

c

b

b

b

b

b

b

A

b

b

A

b

y

b

y

b

x

b

x

b

x

b

x

b

x

x

f

b

x

x

f

b

x

x

f

c

bx

x

x

f

x

y

1

A

B

2

A

strona 7 z 8

background image

notatki z kółka matematycznego

rok szkolny 2004/2005 semestr II

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

[ ]

052

,

4

4

96

389

5

5

2

3

4

3

4

16

4

16

8

13

4

3

4

3

2

9

18

9

3

2

3

4

96

5

3

4

96

37

3

4

192

37

0

1

2

192

37

1

3

3

1

1

2

1

2

2

192

37

3

2

3

3

1

3

2

3

2

1

3

4

3

1

3

1

2

3

3

1

3

1

2

0

4

3

4

3

4

3

4

13

4

13

4

13

=

=

+

=

+

=

+

+

=

=

=

=

+

+

=

=

+

=

+

=

+

+

=

=

+

+

+

=

+

=

+

=

Δ

P

P

P

P

P

P

x

dx

x

dx

x

x

x

P

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

P

x

x

x

dx

x

x

P

Odp. Pole tej figury wynosi

2

96

389

j

.

strona 8 z 8


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
RACHUNEK CAŁKOWY. CAŁKA OZNACZONA I JEJ ZASTOSOWANIA, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Matematyka Teoria Całka oznaczona
Matematyka II (Ćw), Lista 07. Całka oznaczona
całka oznaczona i nieoznaczona, matematyka
matematyka 31 03 2008 calka oznaczona Riemanna id 283
Calka oznaczoxna, Biotechnologia PWR, Semestr 2, Analiza Matematyczna 2, Notatki
Calka oznaczoxna, analiza matematyczna 2
RACHUNEK CAŁKOWY. CAŁKA OZNACZONA I JEJ ZASTOSOWANIA, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Calka oznaczona
calka oznaczona Wronicz id 1079 Nieznany
Calka oznaczona zadania
Zestaw 9 Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa
całka oznaczona
Rodzinne rozmowy- konkurs matematyczny, Kółko matematyczne

więcej podobnych podstron