Całka oznaczona. Część pierwsza.

Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domknię-
tym [a, b].

Definicja. Podziałem odcinka [a, b] na n części nazywamy zbiór punk-
tów P = {x

0

, x

1

, . . . , x

n

}, gdzie

a = x

0

< x

1

< · · · < x

n

= b.

Długość odcinka [x

k−1

, x

k

] oznaczamy przez ∆x

k

:

∆x

k

= x

k

− x

k−1

.

Największą z liczb ∆x

1

, ∆x

2

, . . . , ∆x

n

nazywamy średnicą podziału i

oznaczamy przez δ(P).
Z każdego odcinka [x

k−1

, x

k

] wybieramy jeden punkt pośredni

ξ

k

∈ [x

k−1

, x

k

].

Liczbę

σ(f, P) = f (ξ

1

)∆x

1

+ f (ξ

2

)∆x

2

+ · · · + f (ξ

n

)∆x

n

nazywamy sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz
punktom pośrednim ξ

k

.

Uwaga. Jeżeli funkcja f jest nieujemna w przedziale [a, b], to suma
całkowa σ(f, P) jest równa sumie pól n prostokątów o podstawach ∆x

k

i wysokościach f (ξ

k

).

Definicja. Dla każdego n = 1, 2, . . . niech P

n

będzie pewnym podzia-

łem odcinka [a, b]. Ciąg {P

n

} nazywamy normalnym ciągiem podzia-

łów, jeżeli

lim

n→∞

δ(P

n

) = 0.

Każdemu ciągowi podziałów odpowiada ciąg sum całkowych {σ(f, P

n

)}.

Definicja. Jeżeli ciąg sum całkowych {σ(f, P

n

)} odpowiadający do-

wolnemu normalnemu ciągowi podziałów jest zbieżny, i to zawsze do
tej samej granicy, niezależnie od wyboru punktów podziału x

k

i punk-

tów pośrednich ξ

k

, to granicę tą nazywamy całką oznaczoną Riemanna

funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy

Z

b

a

f (x)dx.

Jeżeli powyższa całka istnieje, to funkcję f nazywamy całkowalną w
przedziale [a, b].

1

2

Ponadto przyjmujemy

Z

a

a

f (x)dx = 0 oraz

Z

a

b

f (x)dx = −

Z

b

a

f (x)dx dla a < b.

Przykład. Niech f będzie funkcją stale równą c w przedziale [a, b].
Wtedy dla dowolnego podziału P = {x

0

, x

1

, . . . , x

n

} odcinka [a, b]

mamy

σ(f, P) = c∆x

1

+c∆x

2

+· · ·+c∆x

n

= c(∆x

1

+∆x

2

+· · ·+∆x

n

) = c(b−a).

Zatem f jest całkowalna w przedziale [a, b] i

Z

b

a

f (x)dx = c(b − a).

Uwaga. W definicji całki oznaczonej zakładaliśmy, że funkcja f jest
ograniczona w przedziale w [a, b]. Sumy całkowe σ(f, P

n

) możemy zde-

finiować również wtedy, gdy funkcja f jest nieograniczona, lecz wtedy
można zawsze wybrać punkty pośrednie ξ

k

, tak, żeby suma |σ(f, P

n

)|

była dowolnie duża. Ciąg sum całkowych σ(f, P

n

) jest wtedy rozbieżny,

zatem funkcja nieograniczona w przedziale [a, b] nie jest w tym prze-
dziale całkowalna.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b], to
jest również całkowalna w każdym przedziale [c, d], gdzie a ≤ c < d ≤ b.

Twierdzenie. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w
tym przedziale całkowalna.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Załóżmy, że funk-
cja f (x) jest nieujemna i ciągła w przedziale [a, b]. Oznaczmy przez
D zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, y) spełniających
nierówności

a ≤ x ≤ b,

0 ≤ y ≤ f (x).

(D jest obszarem ograniczonym prostymi x = a, x = b, y = 0 i krzywą

y = f (x).) Wtedy pole obszaru D równa się całce

Z

b

a

f (x)dx.

3

Twierdzenie. Załóżmy, że funkcje f i g są całkowalne w przedziale
[a, b], a α ∈ R jest dowolną stałą. Wtedy zachodzą wzory

Z

b

a

(f (x) + g(x))dx =

Z

b

a

f (x)dx +

Z

b

a

g(x)dx,

Z

b

a

αf (x)dx = α

Z

b

a

f (x)dx.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i jeżeli
a < c < b, to

Z

b

a

f (x)dx =

Z

c

a

f (x)dx +

Z

b

c

f (x)dx.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność m ≤ f (x) ≤ M dla x ∈ [a, b], to

m(b − a) ≤

Z

b

a

f (x)dx ≤ M(b − a).

Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność f (x) ≤ g(x) dla x ∈ [a, b], to

Z

b

a

f (x)dx ≤

Z

b

a

g(x)dx.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalne w przedziale [a, b],
to funkcja |f (x)| również jest całkowalna i spełniona jest nierówność

|

Z

b

a

f (x)dx| ≤

Z

b

a

|f (x)|dx.

4

Twierdzenie. (O wartości średniej.) Jeżeli f jest funkcją ciągłą w
przedziale [a, b], to istnieje c ∈ [a, b], takie że

1

b − a

Z

b

a

f (x)dx = f (c).

Wyrażenia po lewej stronie powyższego wzoru nazywamy wartością
średnią funkcji f w przedziale [a, b].

Dowód. Ponieważ f jest funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a, b],
więc przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą m i wartość naj-
większą M (patrz wykład o funkcjach ciągłych). Skoro m ≤ f (x) ≤ M
dla x ∈ [a, b], więc

m(b − a) ≤

Z

b

a

f (x)dx ≤ M(b − a).

Oznaczmy przez y wartość

1

b − a

Z

b

a

f (x)dx. Dzieląc w powyższych

nierównościach przez b − a otrzymujemy

m ≤ y ≤ M.

Na mocy własności Darboux, funkcja ciągła f przyjmuje w przedziale
[a, b] każdą wartość pośrednią pomiędzy m i M, więc y = f (c) dla
pewnego c ∈ [a, b].

Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.) Załóżmy,
że f jest funkcją całkowalną w przedziale [a, b]. Definiujemy funkcją
F (x) wzorem

F (x) =

Z

x

a

f (t)dt

dla x ∈ [a, b].

Funkcja F (x)
1) jest ciągła w przedziale [a, b];
2) ma pochodną F

0

(x) równą f (x) w każdym punkcie, w którym funkcja

f jest ciągła.

Wniosek. Każda funkcja ciągła w przedziale [a, b] ma w tym przedziale
funkcją pierwotną.

Dowód. Niech f będzie dowolną funkcją ciągłą w przedziale [a, b] Wtedy
funkcja

F (x) =

Z

x

a

f (t)dt

jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i F

0

(x) = f (x). Zatem F (x) jest

funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b].

5

Twierdzenie. (Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną.) Jeżeli
G(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej f w przedziale [a, b],
to

Z

b

a

f (x)dx = G(b) − G(a).

Dowód. Załóżmy, że G(x) jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
[a, b]. Na mocy ostatniego twierdzenia,

F (x) =

Z

x

a

f (t)dt

również jest funkcją pierwotną funkcji f . Ponieważ dwie funkcje pier-
wotne tej samej funkcji różnią się o stałą, więc

F (x) = G(x) + C,

dla pewnego C ∈ R.

Dla x = a mamy F (a) = 0, więc C = −G(a), skąd

Z

b

a

f (x)dx = F (b) = G(b) + C = G(b) − G(a).

Uwaga. Powyższe twierdzenie pozwala obliczyć całką oznaczoną, gdy
znamy całką nieoznaczoną. Różnicę G(b) − G(a) będziemy często za-
pisywać krócej: G(x)|

b

a

. Wtedy wzór w twierdzeniu przyjmuje postać

Z

b

a

f (x)dx = G(x)|

b

a

.

Przykład. a) Ponieważ funkcją pierwotną funkcji cos x jest sin x, więc

Z

π

2

0

cos x dx = sin

π

2

− sin 0 = 1 − 0 = 1.

b) Ponieważ

Z

1

x

2

dx = −

1

x

+ C, więc

Z

2

1

1

x

2

dx = −

1

x

¯

¯

¯

¯

2

1

= −

1
2

+ 1 =

1
2

.

6

Twierdzenie. (Całkowanie przez części.) Jeżeli funkcje f i g mają w
przedziale [a, b] ciągłe pochodne, to

Z

b

a

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x)|

b

a

−

Z

b

a

f

0

(x)g(x)dx.

Dowód. Ponieważ (f (x)g(x))

0

= f

0

(x)g(x) + f (x)g

0

(x), więc

Z

b

a

(f (x)g(x))

0

dx =

Z

b

a

f

0

(x)g(x)dx +

Z

b

a

f (x)g

0

(x)dx.

Oczywiście f (x)g(x) jest funkcją pierwotną funkcji (f (x)g(x))

0

, więc

Z

b

a

(f (x)g(x))

0

dx = f (x)g(x)|

b

a

,

czyli

f (x)g(x)|

b

a

=

Z

b

a

f

0

(x)g(x)dx +

Z

b

a

f (x)g

0

(x)dx.

Przykład.

Z

π

0

x sin x dx =

Z

π

0

−x(cos x)

0

dx = −x cos x|

π

0

−

Z

π

0

(−x)

0

cos x dx =

= π +

Z

π

0

cos x = π + sin x|

π

0

= π.

Twierdzenie. (Całkowanie przez podstawienie.) Jeżeli funkcja f (x)
jest ciągła w zbiorze wartości funkcji ϕ(t), ciągłej i mającej ciągłą po-
chodną w przedziale [α, β], i jeżeli a = ϕ(α), b = ϕ(β), to

Z

b

a

f (x)dx =

Z

β

α

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt.

7

Przykład. Aby obliczyć całkę

Z

1

0

√

1 + 2x dx, przyjmujemy t = 2x+1.

Wtedy

x =

t − 1

2

,

dx =

1
2

dt.

Aby obliczyć nowe granice całkowania, wstawiamy stare granice do
wzoru na t:

2 · 0 + 1 = 1,

2 · 1 + 1 = 3,

stąd

Z

1

0

√

1 + 2x dx =

Z

3

1

√

t

1
2

dt =

1
3

√

t

3

|

3

1

=

1
3

(

√

27 − 1) =

√

3 −

1
3

.

Definicja. Załóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale [a, b) i
całkowalna (a więc w szczególności ograniczona) w każdym przedziale
[a, β], gdzie a < β < b.

Punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f , jeżeli albo b = +∞,

a więc przedział [a, b) jest nieograniczony, albo b jest liczbą rzeczywistą,
lecz funkcja f jest nieograniczona w przedziale [a, b).

Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f i istnieje granica skończona

lim

β→b

−

Z

β

a

f (x)dx,

to granice tą nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b)
i oznaczamy

Z

b

a

f (x)dx.

Analogicznie definiujemy całką niewłaściwą w przedziale (a, b], gdy a
jest punktem osobliwym funkcji f , to znaczy albo a = −∞, albo a jest
liczbą rzeczywistą, lecz funkcja jest nieograniczona w sąsiedztwie (pra-
wostronnym) punktu a . Zakładając, że f jest całkowalna w każdym
przedziale [α, b], gdzie a < α < b, przyjmujemy

Z

b

a

= lim

α→a+

Z

b

α

f (x)dx.

Przykład. a) Funkcja

1

x

2

ma w przedziale [1, +∞) całkę niewłaściwą

równą 1, bo

Z

+∞

1

1

x

2

dx = lim

β→+∞

Z

β

1

1

x

2

dx = lim

β→+∞

−

1

x

¯

¯

¯

¯

β

1

= lim

β→+∞

µ

1 −

1

β

¶

= 1.

8

b) Funkcja f (x) =

1

√

x

ma w przedziale (0, 1] punkt osobliwy 0. Istot-

nie, f jest nieograniczona w sąsiedztwie 0, bo lim

x→0

+

1

√

x

= +∞. W

dowolnym przedziale [α, 1], gdzie 0 < α < 1, f jest całkowalna, jako
funkcja ciągła i

Z

1

α

1

√

x

dx = 2

√

x|

1

α

= 2(1 −

√

α).

Ponieważ

lim

α→0

+

Z

1

α

1

√

x

dx = lim

α→0

+

2(1 −

√

α) = 2,

więc f ma w przedziale (0, 1] całką niewłaściwą równą 2.

c) Funkcja f (x) =

1

1 − x

ma w przedziale [0, 1) punkt osobliwy 1.

Istotnie, f jest nieograniczona w sąsiedztwie 1 (bo lim

x→1

−

1

1 − x

= +∞),

ale jest całkowalna w każdym przedziale [0, β], gdzie 0 < β < 1, i

Z

β

0

1

1 − x

dx = − ln(1 − x)|

β
0

= − ln(1 − β) = ln

1

1 − β

.

Ponieważ lim

β→1

−

ln

1

1 − β

= +∞, więc całka niewłaściwa

Z

1

0

1

1 − x

dx nie

istnieje.

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a, b) dwa punkty osobliwe, jeden na
początku, a drugi na końcu przedziału, to obieramy wewnątrz prze-
działu dowolny punkt c i sumę całek niewłaściwych

Z

c

a

f (x)dx +

Z

b

c

f (x)dx

(jeśli obie istnieją) nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
(a, b).

9

Przykład. a) Funkcja f (x) =

1

√

x − x

2

ma w przedziale (0, 1) dwa

punkty osobliwe 0 i 1. Dzielimy przedział na dwie części (0,

1
2

] i [

1
2

, 1)

i obliczamy całki niewłaściwe w tych przedziałach

lim

α→0

+

Z

1
2

α

1

√

x − x

2

dx = lim

α→0

+

arcsin(2x − 1)|

1
2

α

= lim

α→0

+

arcsin(2α−1) =

π

2

,

lim

β→1

−

Z

β

1
2

1

√

x − x

2

dx = lim

β→1

−

arcsin(2x − 1)|

β

1
2

= lim

β→1−

arcsin(2β−1) =

π

2

,

więc całka niewłaściwa funkcji f w przedziale (0, 1) istnieje i równa się
π:

Z

1

0

1

√

x − x

2

dx = π.

b)

Z

∞

−∞

dx

1 + x

2

=

Z

0

−∞

dx

1 + x

2

+

Z

∞

0

dx

1 + x

2

=

= lim

α→−∞

Z

0

α

dx

1 + x

2

+ lim

β→+∞

Z

β

0

dx

1 + x

2

=

= lim

α→−∞

(0 − arctg α) + lim

β→+∞

(arctg β − 0) =

π

2

+

π

2

= π.