Całka oznaczona. Część pierwsza.
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domknię-
tym [a, b].
Definicja. Podziałem odcinka [a, b] na n części nazywamy zbiór punk-
tów P = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}, gdzie
a = x
0
< x
1
< · · · < x
n
= b.
Długość odcinka [x
k−1
, x
k
] oznaczamy przez ∆x
k
:
∆x
k
= x
k
− x
k−1
.
Największą z liczb ∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
nazywamy średnicą podziału i
oznaczamy przez δ(P).
Z każdego odcinka [x
k−1
, x
k
] wybieramy jeden punkt pośredni
ξ
k
∈ [x
k−1
, x
k
].
Liczbę
σ(f, P) = f (ξ
1
)∆x
1
+ f (ξ
2
)∆x
2
+ · · · + f (ξ
n
)∆x
n
nazywamy sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz
punktom pośrednim ξ
k
.
Uwaga. Jeżeli funkcja f jest nieujemna w przedziale [a, b], to suma
całkowa σ(f, P) jest równa sumie pól n prostokątów o podstawach ∆x
k
i wysokościach f (ξ
k
).
Definicja. Dla każdego n = 1, 2, . . . niech P
n
będzie pewnym podzia-
łem odcinka [a, b]. Ciąg {P
n
} nazywamy normalnym ciągiem podzia-
łów, jeżeli
lim
n→∞
δ(P
n
) = 0.
Każdemu ciągowi podziałów odpowiada ciąg sum całkowych {σ(f, P
n
)}.
Definicja. Jeżeli ciąg sum całkowych {σ(f, P
n
)} odpowiadający do-
wolnemu normalnemu ciągowi podziałów jest zbieżny, i to zawsze do
tej samej granicy, niezależnie od wyboru punktów podziału x
k
i punk-
tów pośrednich ξ
k
, to granicę tą nazywamy całką oznaczoną Riemanna
funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy
Z
b
a
f (x)dx.
Jeżeli powyższa całka istnieje, to funkcję f nazywamy całkowalną w
przedziale [a, b].
1
2
Ponadto przyjmujemy
Z
a
a
f (x)dx = 0 oraz
Z
a
b
f (x)dx = −
Z
b
a
f (x)dx dla a < b.
Przykład. Niech f będzie funkcją stale równą c w przedziale [a, b].
Wtedy dla dowolnego podziału P = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} odcinka [a, b]
mamy
σ(f, P) = c∆x
1
+c∆x
2
+· · ·+c∆x
n
= c(∆x
1
+∆x
2
+· · ·+∆x
n
) = c(b−a).
Zatem f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
Z
b
a
f (x)dx = c(b − a).
Uwaga. W definicji całki oznaczonej zakładaliśmy, że funkcja f jest
ograniczona w przedziale w [a, b]. Sumy całkowe σ(f, P
n
) możemy zde-
finiować również wtedy, gdy funkcja f jest nieograniczona, lecz wtedy
można zawsze wybrać punkty pośrednie ξ
k
, tak, żeby suma |σ(f, P
n
)|
była dowolnie duża. Ciąg sum całkowych σ(f, P
n
) jest wtedy rozbieżny,
zatem funkcja nieograniczona w przedziale [a, b] nie jest w tym prze-
dziale całkowalna.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b], to
jest również całkowalna w każdym przedziale [c, d], gdzie a ≤ c < d ≤ b.
Twierdzenie. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w
tym przedziale całkowalna.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Załóżmy, że funk-
cja f (x) jest nieujemna i ciągła w przedziale [a, b]. Oznaczmy przez
D zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, y) spełniających
nierówności
a ≤ x ≤ b,
0 ≤ y ≤ f (x).
(D jest obszarem ograniczonym prostymi x = a, x = b, y = 0 i krzywą
y = f (x).) Wtedy pole obszaru D równa się całce
Z
b
a
f (x)dx.
3
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcje f i g są całkowalne w przedziale
[a, b], a α ∈ R jest dowolną stałą. Wtedy zachodzą wzory
Z
b
a
(f (x) + g(x))dx =
Z
b
a
f (x)dx +
Z
b
a
g(x)dx,
Z
b
a
αf (x)dx = α
Z
b
a
f (x)dx.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i jeżeli
a < c < b, to
Z
b
a
f (x)dx =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność m ≤ f (x) ≤ M dla x ∈ [a, b], to
m(b − a) ≤
Z
b
a
f (x)dx ≤ M(b − a).
Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność f (x) ≤ g(x) dla x ∈ [a, b], to
Z
b
a
f (x)dx ≤
Z
b
a
g(x)dx.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalne w przedziale [a, b],
to funkcja |f (x)| również jest całkowalna i spełniona jest nierówność
|
Z
b
a
f (x)dx| ≤
Z
b
a
|f (x)|dx.
4
Twierdzenie. (O wartości średniej.) Jeżeli f jest funkcją ciągłą w
przedziale [a, b], to istnieje c ∈ [a, b], takie że
1
b − a
Z
b
a
f (x)dx = f (c).
Wyrażenia po lewej stronie powyższego wzoru nazywamy wartością
średnią funkcji f w przedziale [a, b].
Dowód. Ponieważ f jest funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a, b],
więc przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą m i wartość naj-
większą M (patrz wykład o funkcjach ciągłych). Skoro m ≤ f (x) ≤ M
dla x ∈ [a, b], więc
m(b − a) ≤
Z
b
a
f (x)dx ≤ M(b − a).
Oznaczmy przez y wartość
1
b − a
Z
b
a
f (x)dx. Dzieląc w powyższych
nierównościach przez b − a otrzymujemy
m ≤ y ≤ M.
Na mocy własności Darboux, funkcja ciągła f przyjmuje w przedziale
[a, b] każdą wartość pośrednią pomiędzy m i M, więc y = f (c) dla
pewnego c ∈ [a, b].
Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.) Załóżmy,
że f jest funkcją całkowalną w przedziale [a, b]. Definiujemy funkcją
F (x) wzorem
F (x) =
Z
x
a
f (t)dt
dla x ∈ [a, b].
Funkcja F (x)
1) jest ciągła w przedziale [a, b];
2) ma pochodną F
0
(x) równą f (x) w każdym punkcie, w którym funkcja
f jest ciągła.
Wniosek. Każda funkcja ciągła w przedziale [a, b] ma w tym przedziale
funkcją pierwotną.
Dowód. Niech f będzie dowolną funkcją ciągłą w przedziale [a, b] Wtedy
funkcja
F (x) =
Z
x
a
f (t)dt
jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i F
0
(x) = f (x). Zatem F (x) jest
funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b].
5
Twierdzenie. (Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną.) Jeżeli
G(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej f w przedziale [a, b],
to
Z
b
a
f (x)dx = G(b) − G(a).
Dowód. Załóżmy, że G(x) jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
[a, b]. Na mocy ostatniego twierdzenia,
F (x) =
Z
x
a
f (t)dt
również jest funkcją pierwotną funkcji f . Ponieważ dwie funkcje pier-
wotne tej samej funkcji różnią się o stałą, więc
F (x) = G(x) + C,
dla pewnego C ∈ R.
Dla x = a mamy F (a) = 0, więc C = −G(a), skąd
Z
b
a
f (x)dx = F (b) = G(b) + C = G(b) − G(a).
Uwaga. Powyższe twierdzenie pozwala obliczyć całką oznaczoną, gdy
znamy całką nieoznaczoną. Różnicę G(b) − G(a) będziemy często za-
pisywać krócej: G(x)|
b
a
. Wtedy wzór w twierdzeniu przyjmuje postać
Z
b
a
f (x)dx = G(x)|
b
a
.
Przykład. a) Ponieważ funkcją pierwotną funkcji cos x jest sin x, więc
Z
π
2
0
cos x dx = sin
π
2
− sin 0 = 1 − 0 = 1.
b) Ponieważ
Z
1
x
2
dx = −
1
x
+ C, więc
Z
2
1
1
x
2
dx = −
1
x
¯
¯
¯
¯
2
1
= −
1
2
+ 1 =
1
2
.
6
Twierdzenie. (Całkowanie przez części.) Jeżeli funkcje f i g mają w
przedziale [a, b] ciągłe pochodne, to
Z
b
a
f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x)|
b
a
−
Z
b
a
f
0
(x)g(x)dx.
Dowód. Ponieważ (f (x)g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f (x)g
0
(x), więc
Z
b
a
(f (x)g(x))
0
dx =
Z
b
a
f
0
(x)g(x)dx +
Z
b
a
f (x)g
0
(x)dx.
Oczywiście f (x)g(x) jest funkcją pierwotną funkcji (f (x)g(x))
0
, więc
Z
b
a
(f (x)g(x))
0
dx = f (x)g(x)|
b
a
,
czyli
f (x)g(x)|
b
a
=
Z
b
a
f
0
(x)g(x)dx +
Z
b
a
f (x)g
0
(x)dx.
Przykład.
Z
π
0
x sin x dx =
Z
π
0
−x(cos x)
0
dx = −x cos x|
π
0
−
Z
π
0
(−x)
0
cos x dx =
= π +
Z
π
0
cos x = π + sin x|
π
0
= π.
Twierdzenie. (Całkowanie przez podstawienie.) Jeżeli funkcja f (x)
jest ciągła w zbiorze wartości funkcji ϕ(t), ciągłej i mającej ciągłą po-
chodną w przedziale [α, β], i jeżeli a = ϕ(α), b = ϕ(β), to
Z
b
a
f (x)dx =
Z
β
α
f (ϕ(t))ϕ
0
(t)dt.
7
Przykład. Aby obliczyć całkę
Z
1
0
√
1 + 2x dx, przyjmujemy t = 2x+1.
Wtedy
x =
t − 1
2
,
dx =
1
2
dt.
Aby obliczyć nowe granice całkowania, wstawiamy stare granice do
wzoru na t:
2 · 0 + 1 = 1,
2 · 1 + 1 = 3,
stąd
Z
1
0
√
1 + 2x dx =
Z
3
1
√
t
1
2
dt =
1
3
√
t
3
|
3
1
=
1
3
(
√
27 − 1) =
√
3 −
1
3
.
Definicja. Załóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale [a, b) i
całkowalna (a więc w szczególności ograniczona) w każdym przedziale
[a, β], gdzie a < β < b.
Punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f , jeżeli albo b = +∞,
a więc przedział [a, b) jest nieograniczony, albo b jest liczbą rzeczywistą,
lecz funkcja f jest nieograniczona w przedziale [a, b).
Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f i istnieje granica skończona
lim
β→b
−
Z
β
a
f (x)dx,
to granice tą nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b)
i oznaczamy
Z
b
a
f (x)dx.
Analogicznie definiujemy całką niewłaściwą w przedziale (a, b], gdy a
jest punktem osobliwym funkcji f , to znaczy albo a = −∞, albo a jest
liczbą rzeczywistą, lecz funkcja jest nieograniczona w sąsiedztwie (pra-
wostronnym) punktu a . Zakładając, że f jest całkowalna w każdym
przedziale [α, b], gdzie a < α < b, przyjmujemy
Z
b
a
= lim
α→a+
Z
b
α
f (x)dx.
Przykład. a) Funkcja
1
x
2
ma w przedziale [1, +∞) całkę niewłaściwą
równą 1, bo
Z
+∞
1
1
x
2
dx = lim
β→+∞
Z
β
1
1
x
2
dx = lim
β→+∞
−
1
x
¯
¯
¯
¯
β
1
= lim
β→+∞
µ
1 −
1
β
¶
= 1.
8
b) Funkcja f (x) =
1
√
x
ma w przedziale (0, 1] punkt osobliwy 0. Istot-
nie, f jest nieograniczona w sąsiedztwie 0, bo lim
x→0
+
1
√
x
= +∞. W
dowolnym przedziale [α, 1], gdzie 0 < α < 1, f jest całkowalna, jako
funkcja ciągła i
Z
1
α
1
√
x
dx = 2
√
x|
1
α
= 2(1 −
√
α).
Ponieważ
lim
α→0
+
Z
1
α
1
√
x
dx = lim
α→0
+
2(1 −
√
α) = 2,
więc f ma w przedziale (0, 1] całką niewłaściwą równą 2.
c) Funkcja f (x) =
1
1 − x
ma w przedziale [0, 1) punkt osobliwy 1.
Istotnie, f jest nieograniczona w sąsiedztwie 1 (bo lim
x→1
−
1
1 − x
= +∞),
ale jest całkowalna w każdym przedziale [0, β], gdzie 0 < β < 1, i
Z
β
0
1
1 − x
dx = − ln(1 − x)|
β
0
= − ln(1 − β) = ln
1
1 − β
.
Ponieważ lim
β→1
−
ln
1
1 − β
= +∞, więc całka niewłaściwa
Z
1
0
1
1 − x
dx nie
istnieje.
Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a, b) dwa punkty osobliwe, jeden na
początku, a drugi na końcu przedziału, to obieramy wewnątrz prze-
działu dowolny punkt c i sumę całek niewłaściwych
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx
(jeśli obie istnieją) nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
(a, b).
9
Przykład. a) Funkcja f (x) =
1
√
x − x
2
ma w przedziale (0, 1) dwa
punkty osobliwe 0 i 1. Dzielimy przedział na dwie części (0,
1
2
] i [
1
2
, 1)
i obliczamy całki niewłaściwe w tych przedziałach
lim
α→0
+
Z
1
2
α
1
√
x − x
2
dx = lim
α→0
+
arcsin(2x − 1)|
1
2
α
= lim
α→0
+
arcsin(2α−1) =
π
2
,
lim
β→1
−
Z
β
1
2
1
√
x − x
2
dx = lim
β→1
−
arcsin(2x − 1)|
β
1
2
= lim
β→1−
arcsin(2β−1) =
π
2
,
więc całka niewłaściwa funkcji f w przedziale (0, 1) istnieje i równa się
π:
Z
1
0
1
√
x − x
2
dx = π.
b)
Z
∞
−∞
dx
1 + x
2
=
Z
0
−∞
dx
1 + x
2
+
Z
∞
0
dx
1 + x
2
=
= lim
α→−∞
Z
0
α
dx
1 + x
2
+ lim
β→+∞
Z
β
0
dx
1 + x
2
=
= lim
α→−∞
(0 − arctg α) + lim
β→+∞
(arctg β − 0) =
π
2
+
π
2
= π.