CAŁKA OZNACZONA

1.DEFINICJA: Całkę oznaczoną funkcji
w przedziale
oznaczamy

symbolem :
.

TWIERDZENIE: Funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.

2. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli w przedziale
jest
to pole obszaru ograniczonego krzywą
, odcinkiem osi
oraz prostymi
równa się całce oznaczonej
. Jeżeli zaś w przedziale
jest
, to analogiczne pole równa się -
.

3. WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ

• 
  =
  ;

• 
  ;

• Jeżeli
  to
  .

(Addytywność względem przedziału całkowania).

• Liniowość tzn. dla
  ,
  - funkcji całkowalnych zachodzi:
  
  .

• Twierdzenie o wartości średniej: Jeżeli
  i
  to zachodzi nierówność
  oraz
  
  (gdy
  jest funkcją ciągłą to
  dla pewnego
  ).

• Całka jako funkcja górnej granicy. Jeżeli funkcja
  jest ciągła w przedziale
  , to funkcja
  jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej
  w przedziale
  i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek:
  .

• Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibnitza) Jeżeli
  jest funkcją pierwotną funkcji
  , ciągłej w przedziale
  , tzn. jeśli
  , to zachodzi wzór:
  =
  .

• Całkowanie przez części. Jeżeli
  są funkcjami zmiennej
  mającymi ciągłą pochodną to
  .

• Całkowanie przez podstawienie. Jeżeli
  jest funkcją ciągłą,
  funkcją rosnącą w przedziale
  , a
  funkcją ciągłą w przedziale
  , to zachodzi następujący wzór :
  .

PRZYKŁAD 1.

PRZYKŁAD 2.

PRZYKŁAD 3.

4. LINIA OKREŚLONA PARAMETRYCZNIE

Jeśli x i y są funkcjami ciągłymi tej samej zmiennej t:

gdzie t przybiera wartości z pewnego przedziału, to mówimy, że funkcje te określają krzywą na płaszczyźnie. Zmienna t nazywa się parametrem. Na przykład, gdy t oznacza czas, to równania (*) są równaniami ruchu punktu zakreślającego pewną krzywą. O krzywej tej mówimy, że równania (*) są równaniami parametrycznymi tej krzywej.

Różne równania parametryczne mogą przedstawiać tę samą krzywą. Parametr można rozumieć niekoniecznie jako czas, np. w niektórych zadaniach parametr ma znaczenie geometryczne (kąt, odcinek).

Krzywa (lub jej łuk) może być traktowana jako wykres pewnej funkcji
, gdy każda prosta równoległa do osi Oy ma z nią co najwyżej jeden punkt wspólny. W takim przypadku równania (*) określają również y jako funkcję zmiennej x.

5.DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci
, przy czym funkcja
ma w przedziale
ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:

.

Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań
, przy czym funkcje
mają w przedziale
ciągłe pochodne oraz łuk nie ma części wielokrotnych , to długość łuku wyraża się wzorem:

.

Jeżeli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych
, tzn. w postaci
,
, gdzie
i łuk nie ma części wielokrotnych, to jej długość wyraża się wzorem:

.

6. OBLICZANIE PÓL OGRANICZONYCH KRZYWYMI

Jeżeli dana jest krzywa określona równaniami w postaci parametrycznej
, gdzie funkcje
i
są ciągłe na przedziale
, a przy tym funkcja
jest rosnąca i ma w tym przedziale pochodną ciągłą, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej, odcinkiem osi
oraz prostymi
,
, wyraża się wzorem

Jeżeli przy tych samych założeniach funkcja
jest malejąca w przedziale
, to pole obszaru wyraża się wzorem

.

Jeżeli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych
, tzn. w postaci
,
, gdzie
, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej
oraz promieniami wodzącymi o amplitudach
i
wyraża się wzorem:

.

7. OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH

Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu
gdzie
jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi
wyraża się wzorem:

.

Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi
obliczamy według wzoru:

.

Jeżeli równanie łuku krzywej jest dane w postaci parametrycznej , tzn.
to:

oraz

.

8.CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

1. CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH

Jeżeli funkcja
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
,
oraz w każdym przedziale
i jeżeli istnieją granice:

oraz
,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji
w przedziale
i oznaczamy symbolem
. Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

2. CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.

Jeżeli funkcja
jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym
(
- ustalone,
- dowolne ) oraz istnieje granica

,

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji
w przedziale
i oznaczamy symbolem
. Analogicznie określa się znaczenie symbolu :
jako granicę
.

Patrz też W. Krysicki , L. Włodarski : „Analiza matematyczna w zada niach, część I”, str. 371-427

4

---