1 Zaj¦cia 1. Semestr zimowy 20010/2011. T›

1.1 Pochodne

Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1.

1
3

x

5

+

1
2

x

2

+

1

x

,

2.

3x

100

+4x

2

+1

x

99

,

3.

2

4

√

x+

3

√

x+4

√

x

5

√

x

2

.

Zadanie 1.2. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1.

√

x(1 + 2 sin x)

,

2. (2 +

4

√

x)(1 + e

x

ln x)

.

Zadanie 1.3. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1.

x

3

+4x

2

+1

x

5

−7

,

2.

arc sin x+2

√

x+e

x

.

Zadanie 1.4. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1. (x +

1

x

)

5

,

2. e

x

3

+x

,

3. ln sin x,

4.

7

√

x + tg x

,

5. log

x

2

+1

x

,

6. x

x

.

Zadanie 1.5. Oblicz pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

1. e

2x

arc cos 3x

,

2. ln(x

2

+ 1) sin x

,

3.

x−9

x

cos x+2

,

4.

1+e

2x

1−e

2x

.

1.2 Wªasno±ci funkcji

Zadanie 1.6. Wyznacz dziedzin¦ nast¦puj¡cych funkcji:

1. f

1

(x) = sin

1

x

,

2. f

2

(x) =

√

−x

2

,

3. f

3

(x) = log

2

| cos x|

,

4. f

4

(x) =

4

q

x

(x+1)(x−2)

.

Zadanie 1.7. Uzasadnij, »e nast¦puj¡ce funkcje s¡ monotoniczne na wskazanych zbiorach:

1. g

1

(x) =

x

5

− 3

, R,

2. g

2

(x) =

1

x

, (0, +∞).

Zadanie 1.8. Na podstawie wykresów danych funkcji oce«, czy s¡ ró»nowarto±ciowe, "na" lub bijektywne:

1. h

1

: R → R, h

1

(x) = x

2

,

2. h

2

: R → R, h

2

(x) = x

3

− 1

,

3. h

3

: R \ 1 → R, h

3

(x) =

x+1
x−1

.

Zadanie 1.9. Wyznacz funkcje odwrotne do podanych:

1. p

1

(x) = 2 − log

5

x

,

2. p

2

(x) = x|x|

,

3. p

3

(x) =

1

2

x

+4

,

4. p

4

(x) = sin(x − 1)

,

5. p

5

(x) = 1 − e

3x

.