3 Zaj¦cia 3. Semestr zimowy 20010/2011. T›

3.1 Granica funkcji

Zadanie 3.1. Oblicz nast¦puj¡ce granice, je±li istniej¡, lub uzasadnij ich brak:

1. lim

x→2

x

3

−2x

2

x−2

.

2. lim

x→−2

+

x−5
x+2

.

3. lim

x→1

e

x

1−x2

.

4. lim

x→−∞

(x

7

+ 2x

4

+ 3x + 1)

.

5. lim

x→2

x−2

√

8−x

2

−2

.

6. lim

x→−1

x+1

3

√

x+1

.

7. lim

x→0

sin x

tg 2x

.

3.2 Ci¡gªo±¢ funkcji

Zadanie 3.2. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji:

1. f(x) =











0

dla x 6 −1,

x

2

− 2x + 3

dla − 1 < x 6 2,

x + 1

dla x > 2.

2. f(x) =

(

2 arc tg

x

x−1

dla x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, +∞),

−π

√

x

dla x ∈ (0, 1].

3. f(x) =











2

dla x = −2, x = 0, x = 2,

4 − x

2

dla 0 < |x| < 2,

4

dla |x| > 2.

4. f(x) =











1

x

2

dla x < −1,

(x + 2)

2

dla − 1 6 x 6 2,

3

x

dla x > 2.

Zadanie 3.3.
Dla jakiej warto±ci parametru a ∈ R poni»sze funkcje s¡ ci¡gªe?

1. f(x) =











2

√

x

dla x ∈ [0, 1],

4 − 2x

dla

x ∈ (1,

5
2

),

2x − 7a

dla x ∈ [

5
2

, +∞).

2. f(x) =

(

ln x

dla x > 0,

a + e

x−1

dla x 6 0.

3. f(x) =

(

sin 2x

dla x < π,

a + cos x

dla x > π.

4. f(x) =

(

arc tg

x

x−2

dla x ∈ (−∞, 2),

a · sin

πx

4

dla x ∈ [2, +∞).