Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego

1

Teoria ruchu
telekomunikacyjnego

Podstawy rachunku
prawdopodobieństwa

2

Ruch telekomunikacyjny

- definicja (2)

Ruch telekomunikacyjny jest to zjawisko o

charakterze zbiorowym, daj

ą

ce si

ę

mierzy

ć

za

pomoc

ą

obserwacji statystycznych

i polegaj

ą

ce na zestawianiu poł

ą

cze

ń

,

przep

ł

ywie zg

ł

osze

ń

i wiadomo

ś

ci.

Zamiast poj

ę

cia ruch telekomunikacyjny

u

ż

ywa si

ę

niekiedy wyra

ż

enia „teletrafik” (ang.

teletraffic).

3

Rachunek prawdopodobie

ń

stwa

- poj

ę

cia i definicje

Zdarzenie – wynik dowolnego do

ś

wiadczenia

(eksperymentu) przebiegaj

ą

cego w

okre

ś

lonych warunkach

Do

ś

wiadczenie (w sensie teorii

prawdopodobie

ń

stwa) to proces, w wyniku

którego realizowane s

ą

w rzeczywisto

ś

ci

zdarzenia elementarne.

4

Rachunek prawdopodobie

ń

stwa

- poj

ę

cia i definicje

Dany jest zbiór

Ω

, którego elementy e

i

nazywane s

ą

zdarzeniami elementarnymi.

Niech zjawisko (zdarzenie) X stanowi

podzbiór zbioru

Ω

.

Mówimy,

ż

e zjawisko (zdarzenie) X jest

realizowalne, je

ś

li dla zdarzenia

elementarnego e

r

, b

ę

d

ą

cego wynikiem

do

ś

wiadczenia, zachodzi relacja:

e

r

∈

X.

5

Rachunek prawdopodobie

ń

stwa

- poj

ę

cia i definicje

Ka

ż

demu zdarzeniu X przyporz

ą

dkowujemy

liczb

ę

rzeczywist

ą

p(X) zwan

ą

prawdopodobie

ń

stwem zdarzenia X.

6

Definicja prawdopodobie

ń

stwa

(na gruncie eksperymentalnym)

Je

ż

eli podczas N do

ś

wiadcze

ń

n(X) razy

zaszło zdarzenie X, to

nazywamy cz

ę

sto

ś

ci

ą

zdarzenia A.

Natomiast prawdopodobie

ń

stwo zaistnienia

zdarzenia X wyra

ż

a si

ę

wzorem:

N

X

n

)

(

N

X

n

)

(

N

X

n

X

p

N

)

(

lim

)

(

∞

→

=

Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego

2

7

Aksjomaty prawdopodobie

ń

stwa

zdarzenia X

1. p(X)

≥

0

2. p(

Ω

) = 1

Je

ż

eli X

∩

Y =

∅

(zbiór pusty),

to mówimy,

ż

e zdarzenia X i Y s

ą

rozł

ą

czne,

a wtedy:

3. p(X

∪

Y) = p(X) + p(Y)

8

Własno

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa

zdarzenia X (1)

1. Je

ż

eli X` jest dopełnieniem do X w

Ω

(zdarzenie X` jest zdarzeniem przeciwnym

do zdarzenia X), to

X

∩

X’ =

∅

, X

∪

X` =

Ω

oraz

p(X) + p(X`) = p(

Ω

)

p(X`) = 1 - p(X)

9

Własno

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa

zdarzenia X (2)

2. Z równo

ś

ci p(X) + p(X`) = 1 i aksjomatu

p(X)

≥

0 wynika,

ż

e:

0

≤

p(X)

≤

1

st

ą

d

prawdopodobie

ń

stwo mo

ż

e by

ć

zdefiniowane

jako odwzorowanie cz

ęś

ci zbioru

Ω

w zbiór liczb rzeczywistych [0, 1].

10

Własno

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa

zdarzenia X (3)

3. Je

ż

eli

∅

oznacza zbiór pusty (

Ω ∪ ∅

=

Ω

),

to

p(

Ω ∪ ∅

) = p(

∅

) + p(

Ω

) = 1

wi

ę

c

p(

∅

) = 0 (prawd. zdarzenia niemo

ż

liwego),

p(

Ω

) = 1 (aksjomat 1., prawd. zdarzenia

pewnego).

11

Prawdopodobie

ń

stwo warunkowe

Dany jest zbiór

Ω

, na którym zdefiniowano

prawdopodobie

ń

stwo, natomiast zdarzenia A i B

nale

żą

do tego zbioru oraz

p(B)

>

0.

Prawdopodobie

ń

stwem zaistnienia zdarzenia A

pod warunkiem,

ż

e miało miejsce zdarzenie B,

nazywamy liczb

ę

)

(

)

(

)

|

(

B

p

B

A

p

B

A

p

∩

=

12

Prawdopodobie

ń

stwo całkowite

Je

ż

eli A

⊂ Ω

jest dowolnym zdarzeniem,

natomiast B

1

, B

2

, B

3

, ..., B

n

⊂ Ω

spełniaj

ą

warunki:

1. B

1

∪

B

2

∪

B

3

∪

...

∪

B

n

=

Ω

2. wykluczaj

ą

si

ę

parami B

1

∩

B

2

=

∅

3. maj

ą

dodatnie prawdopodobie

ń

stwa, to

P(A) = P(A|B

1

)*P(B

1

) + P(A|B

1

)*P(B

2

) + ... + P(A|B

n

)*P(B

n

)

Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego

3

13

Własno

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa –

rozł

ą

czno

ść

a niezale

ż

no

ść

Rozł

ą

czno

ść

nie dotyczy prawdopodobie

ń

stw:

zdarzenia A i B s

ą

rozł

ą

czne, gdy A

∩

B =

∅

.

Wtedy prawdopodobie

ń

stwo sumy zdarze

ń

A i

B jest równe sumie ich prawdopodobie

ń

stw.

P(A

∪

B) = P(A)+P(B)

Gdy zdarzenia s

ą

niezale

ż

ne, to

prawdopodobie

ń

stwo ich cz

ęś

ci wspólnej jest

iloczynem ich prawdopodobie

ń

stw.

P(A

∩

B) = P(A)

⋅

P(B)

14

Poj

ę

cie zmiennej losowej

Zmienna losowa – zmienna, która w wyniku

do

ś

wiadczenia mo

ż

e przyj

ąć

jedn

ą

z warto

ś

ci

z pewnego zbioru liczb rzeczywistych

(z okre

ś

lonym prawdopodobie

ń

stwem)

Przykłady zmiennych losowych:
• liczba uszkodzonych podzespołów urz

ą

dzenia, które ulega

awariom

• liczba obsługiwanych klientów przy kasie supermarketu
• liczba wyprodukowanych przedmiotów na danym

stanowisku pracy w pewnym przedziale czasu

15

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuanta

F(x) = P(X < x)

gdzie
X – zmienna losowa
x – liczba rzeczywista

16

Warto

ść

oczekiwana zmiennej losowej

Je

ż

eli zmienna losowa

X:

Ω

→

R,

której dystrybuant

ą

jest funkcja

F: R

→

[0, 1],

to warto

ś

ci

ą

oczekiwan

ą

zm. los. jest liczba

( )

∫

=

R

x

dF

x

EX

17

Momenty zmiennej losowej (1)

Momenty zmiennej losowej – grupa parametrów, okre

ś

lona

wyra

ż

eniem

E(X - c)

k

gdzie
c – ustalona liczba rzeczywista
k – liczba naturalna
E – operator warto

ś

ci oczekiwanej

E(X-c)

k

– moment k-tego rz

ę

du zmiennej losowej X

wzgl

ę

dem punktu c

18

Momenty zmiennej losowej (2)

E(X - c)

k

gdy c = 0, to
momenty nazywamy zwykłymi (lub krótko: momentami)
i oznaczamy przez

m

k

= E(X

k

)

gdy c = EX, to
momenty nazywamy centralnymi i oznaczamy przez

µµµµ

k

= E(X - EX)

k

Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego

4

19

Momenty zmiennej losowej (3)

Wariancja

Var X =

µµµµ

2

= E[X – E(X)]

2

Odchylenie standardowe

σσσσ

X

=

√√√√

Var X =

√√√√ µµµµ

2

20

Schemat Bernoulliego (1)

Ci

ą

g powtórze

ń

tego samego do

ś

wiadczenia

nazywamy schematem Bernoulliego, a

poszczególne do

ś

wiadczenia próbami

Bernoulliego.

Zaistnienie pewnego, interesuj

ą

cego nas,

zdarzenia nazywamy sukcesem, natomiast

zaistnienie zdarzenia przeciwnego - pora

ż

k

ą

.

21

Schemat Bernoulliego (2)

Prawdopodobie

ń

stwo p

N

(k) otrzymania

dokładnie k sukcesów, przy N powtórzeniach

do

ś

wiadczenia, wyra

ż

a si

ę

wzorem:

gdzie q=1-p i oznacza prawdopodobie

ń

stwo

pora

ż

ki

q

p

p

k

N

k

N

k

N

k

−













=

)

(

22

Schemat Bernoulliego (3)

Symbol Newtona, w schemacie Bernoulliego,

okre

ś

la si

ę

nast

ę

puj

ą

co:

)!

(

!

!

k

N

k

N

k

N

−

=













23

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

-rozkład binominalny (dwumianowy) (1)

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy,

czyli rozkład Bernoulliego, gdy funkcja

prawdopodobie

ń

stwa ma posta

ć

:

gdzie N jest liczb

ą

naturaln

ą

, a 0 < p < 1

q

p

x

P

x

N

x

x

N

−













=

)

(

24

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

-rozkład binominalny (dwumianowy) (2)

Najprostsz

ą

interpretacj

ą

zm. los. o rozkładzie

dwumianowym jest liczba wyst

ą

pie

ń

okre

ś

lonego zdarz. w serii do

ś

wiadcze

ń

przebiegaj

ą

cych zgodnie ze schematem

Bernoulliego.

Przykłady zastosowa

ń

:

- liczba uszkodze

ń

parku maszynowego w

okre

ś

lonym przedziale czasu, pod warunkiem,

ż

e

uszkodzenia s

ą

wzajemnie niezale

ż

ne

- liczba sztuk wybrakowanych w próbie
wylosowanych w losowaniu niezale

ż

nym (ze

zwracaniem).

Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego

5

25

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

- rozkład Poissona

Rozpatrujemy zm. los. dyskretn

ą

X, o

warto

ś

ciach całkowitych nieujemnych:

0,1,2,.....,k,...,

Prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e ta zm. los. przyjmie

warto

ść

k, wynosi:

gdzie a jest parametrem rozkładu Poissona.

e

a

a

k

k

k

p

−

=

!

)

(

26

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

- rozkład wykładniczy (1)

Dystrybuanta rozkładu wykładniczego:

g

ę

sto

ść

prawdopodobie

ń

stwa:

gdzie t

≥

0.

e

t

f

t

λ

λ

−

=

)

(

e

t

F

t

λ

−

−

=

1

)

(

27

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

- rozkład wykładniczy (2)

Warto

ść

ś

rednia rozkładu wykładniczego:

( )

=

















+















−

=

=

∫

∫

∞

−

∞

−

∞

−

0

0

0

dt

t

dt

te

t

E

e

e

t

t

t

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

1

1

2

0

2

=

=















−

=

∞

−

e

t

28

Wa

ż

niejsze typy rozkładów

- rozkład wykładniczy (3)

Wariancja rozkładu wykładniczego:

odchylenie standardowe:

2

1

)

(

λ

=

t

Var

λ

σ

1

)

(

=

=

t

Var