LISTA ZADA ´

N - FUNKCJE LOGARYTMICZNE

Podstawowe w lasno´

sci

• Definicja. Niech x > 0, a > 0, a 6= 1. Wtedy

y

= log

a

x

⇔ a

y

= x

• log

a

1 = 0, log

a

a

= 1 je´sli a > 0, a 6= 1

• log

a

a

y

= y, a

log

a

x

= x je´sli a > 0, a 6= 1, x > 0.

• log

a

(xy) = log

a

x

+ log

a

y

gdy a > 0, a 6= 1, x, y > 0

• log

a

x

y

= log

a

x

− log

a

y

gdy a > 0, a 6= 1, x, y > 0

• log

a

x

p

= p log

a

x

gdy a > 0, a 6= 1, x > 0

• Wz´

or za zamian¸

e podstawy logarytmu

log

x

y

=

log

a

y

log

a

x

gdy a, x, y > 0, a, x 6= 1

1. Oblicz:

a) log

3

√

3

27,

b) 2

log

2

√2

15

,

c) log

9

(tan

π

6

),

d) log

3

5 log

25

27,

e) (

3

√

9)

1

5 log5 3

,

f) 2

log

3

5

− 5

log

3

2

.

2. Wyznacz dziedziny funkcji:

a)

q

log

0,1

(2x − 1) − log

0,1

(5 − 3x),

b) log

2

x

+3

2−x

,

c) log

3

(2

x

− 8).

3. Narysuj wykresy funkcji i podaj jej dziedzin¸e :

a) log

2

|x|,

b) | log

2

x

|,

c) log

2

x

2

,

d) log

3

(x − 1),

e) log

1
3

(−x).

1

4. Poka˙z, ˙ze je´sli x, y > 0 i x, y 6= 1, to

log

x

y

=

1

log

y

x

.

5. Rozwi¸a˙z r´

ownania:

a) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x),
b)

2 log x

log(5x−4)

= 1,

c) log

16

x

+ log

4

x

+ log

2

x

= 7,

d) log

2

3

x

− log

3

x

3

+ 2 = 0,

e)

1

1+log x

+

5

3−log x

= 3.

6. Rozwi¸a˙z nier´

owno´sci:

a) log

1
3

[log

4

(x

2

− 5)] > 0,

b) log

2x−3

(3x

2

− 7x + 3) < 2,

c)

log(35−x

3

)

log(5−x)

>

3,

d) |3 − log

2

x

| < 1,

e) 3

log

1

2

(x

2

−5x+7)

<

1,

f)

1

log x

+

1

1−log x

>

1.

7. Wyka˙z, ˙ze log

10

2 = log

3

2 · log

4

3 · . . . · log

10

9.

2