LISTA 2 - Funkcja jednej zmiennej niezale·

znej.

Zadanie 1

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i przeciwdziedzin ¾

e nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = 3

2

jcos 4xj ; b) f (x) = 1 + jlog

2

x

j ;

c) f (x) =

1

1 tg

2

x

;

d) f (x) = 1 +

p

log (x

2

1):

Zadanie 2

Narysowa´c wykres, okre´sli´c dziedzin ¾

e i przeciwdziedzin ¾

e nast ¾

epu-

j ¾

acych funkcji trygonometrycznych:

a) f (x) = sin x;

a) f (x) = cos x;

a) f (x) = tgx;

a) f (x) = ctgx:

Zadanie 3

Dla funkcji z poprzedniego zadania wyznaczy´c funkcje odwrotne,

a nast ¾

epnie narysowa´c wykres oraz okre´sli´c dziedzin ¾

e i przeciwdziedzin ¾

e ka·zdej

z wyznaczonych funkcji odwrotnych.

Zadanie 4

Narysowa´c nast ¾

epuj ¾

ace funkcje hiperboliczne:

a) f (x) = sinhx

def

=

e

x

e

x

2

, x 2 R;

b) f (x) = coshx

def

=

e

x

+e

x

2

, x 2 R;

c) f (x) = tghx

def

=

e

x

e

x

e

x

+e

x

, x 2 R;

d) f (x) = ctghx

def

=

e

x

+e

x

e

x

e

x

, x 2 R n f0g :

Zadanie 5

Dla funkcji z poprzedniego zadania wyznaczy´c ich funkcje odwrot-

ne oraz wykona´c rysunki.

Zadanie 6

Wyznaczy´c i narysowa´c funkcje odwrotne do podanych:

a) f (x) = 2x

3;

b) f (x) = 3 +

p

x + 2; x

2;

c) f (x) = 1

3

x

;

d) f (x) = 3 + log

5

(x + 3) ; x >

3;

e) f (x) =

1
x

+ 1; x

2 R n f0g :

1

Zadanie 7

Obliczy´c pochodne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = 3x

2

+ 6x

1;

b) f (x) = (3x + 2)

2

;

c) f (x) =

p

2x;

d) f (x) = (2x + 1) sin x;

e) f (x) = (7x

2

+ 12x

1) e

x

;

f ) f (x) =

x+2
x 1

;

g) f (x) =

x

2

+x+1

x

2

x+1

;

h) f (x) =

x sin x

x

2

+1

;

i) f (x) =

x

2

e

x

x+1

;

j) f (x) =

(3x+1) sin x

x+cos x

:

Zadanie 8

Obliczy´c pochodne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = cos x

1
3

cos

3

x;

b) f (x) = 3 sin (3x + 5) ;

c) f (x) = sin (sin x) ;

d) f (x) = tg

1
2

(x + 1) ;

e) f (x) =

1
4

tg

4

x;

f ) f (x) = cos x

p

1 + sin

2

x;

g) f (x) = sin

p

1 + x

2

;

h) f (x) =

x

sin x+cos x

;

i) f (x) = cos

2

1

p

x

1+

p

x

;

j) f (x) = 1 + tg x +

1
x

1
2

;

k) f (x) =

1

18

sin

6

3x

1

24

sin

8

3x;

l) f (x) = sin

2

1 ln x

x

;

m) f (x) = x

3

arctgx

3

;

n) f (x) = arccos

p

1

3x;

o) f (x) = (arcsin x)

2

;

p) f (x) = x arcsin x +

p

1

x

2

;

r) f (x) =

arcsin x

p

1 x

2

;

s) f (x) =

1

1+x

2

arctgx;

t) f (x) = arccos

2x 1

p

3

;

u) f (x) = arcsin

q

1 x
1+x

:

2

Zadanie 9

Obliczy´c pochodne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) =

x

e

x

;

b) f (x) =

e

x

sin x

;

c) f (x) =

1+e

x

1 e

x

;

d) f (x) = e

p

ln x

;

e) f (x) =

e

x

e

x

e

x

+e

x

;

f ) f (x) = e

x

sin x;

g) f (x) = e

2x+3

x

2

x +

1
2

:

Zadanie 10

Obliczy´c pochodne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = x

2

log

3

x;

b) f (x) = (ln sin x)

4

;

c) f (x) = x

n

ln x;

d) f (x) = log (x

cos x) ;

e) f (x) = log

3

(x

2

sin x) ;

f ) f (x) = (x

2

+ 1) log x;

g) f (x) = ln

1 e

x

e

x

;

h) f (x) =

1 ln x
1+ln x

;

i) f (x) =

3

q

ln sin

1
4

(x + 3);

j) f (x) = ln arccos 2x;

Zadanie 11

Obliczy´c pochodne logarytmiczne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = x

x

;

b) f (x) = (cos x)

sin 2x

;

c) f (x) =

2x

p

1 x

2

;

d) f (x) = (x

1)

3

q

(x + 1)

2

(x

2):

Zadanie 12

Obliczy´c i przedstawi´c w najprostszej postaci pochodne rz ¾

edu

drugiego nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = 2x

3

6x

2

+ 5x;

b) f (x) = x ln x;

c) f (x) = xe

2x

;

d) f (x) = sin

2

x:

Zadanie 13

Obliczy´c i przedstawi´c w najprostszej postaci pochodne rz ¾

edu

trzeciego nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = cos

2

x;

b) f (x) = x cos x;

c) f (x) = x

2

e

x

;

d) f (x) = e

x

sin x:

3

Zadanie 14

Obliczy´c pochodne

dy
dx

funkcji okre´slonych równaniami parame-

trycznymi:

a) x = 4t; y = 8 (1

t) ;

b) x = a cos t; y = b sin t;

c) x = a (t

sin t) ; y = a (1

cos t) ;

d) x = a cos

3

t; y = a sin

3

t:

Zadanie 15

Korzystaj ¾

ac z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wypro-

wadzi´c pochodne nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) f (x) = e

x

;

b) f (x) = arcsin x;

c) f (x) = arccos x;

d) f (x) = arctgx:

Zadanie 16

Obliczy´c nast ¾

epuj ¾

ace granice:

a) lim

x!2

x

2

+x 6

x

2

4

;

b) lim

x!3

x

2

+x 12

x

3

27

;

c) lim

x!1

x

3

6x

2

+11x 6

x

2

1

;

d) lim

x!1

x

3

4x

2

+x+2

x

4

1

;

e) lim

x! 3

x

3

+27

x

3

2x

2

+3x+54

; f ) lim

x! 1

x

3

+5x

2

+8x+4

x

3

+1

;

g) lim

x! 1

(

p

x

2

+ 1

p

x

2

1); h) lim

x!0

p

x

2

+1 1

p

x

2

+25 5

;

i) lim

x!0

p

x

2

+1

p

x+1

1

p

x+1

;

j) lim

x!0

cos 2x

sin x cos x

;

k) lim

x!0

sin 5x

4x

;

l) lim

x!0

tgx

4x

;

m) lim

x!

1+cos x

sin

2

x

:

Zadanie 17

Wyznaczy´c granice jednostronne funkcji w podanych punktach:

a) f (x) = 2

1
x

; x = 0;

b) f (x) =

x

2

+1

x

2

1

; x =

1;

c) f (x) =

x

2

5x+6

x

2

7x+12

; x = 4; d) f (x) =

x

2

1

x

2

2x+1

; x = 1:

Zadanie 18

Korzystaj ¾

ac z twierdzenia de l’Hospitala obliczy´c nast ¾

epuj ¾

ace

granice:

1) lim

x!0

e

x

e

x

sin x

;

2) lim

x!1

ln x

p

x

2

1

;

3) lim

x!

e

x

e

sin x

x sin x

;

4) lim

x!0

arcsin x

x

2

;

5) lim

x!0

e

x

+1

e

x

1

;

6) lim

x!1

(1

x) ln (1

x) ;

4

7) lim

x!

6

tg (3x) cos

3

+ x ;

8) lim

x!0

+

1
x

+ ctgx ;

9) lim

x!1

+

x

x 1

1

ln x

;

10) lim

x!1

x

1
x

;

11) lim

x!0

(tgx)

tgx

;

12) lim

x!0

+

tg

x
2

1

ln x

;

13) lim

x!0

+

(cosh x)

1
x

;

14) lim

x!1

x sin x
x+sin x

:

Zadanie 19

Zbada´c ci ¾

ag÷

o´s´c podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f (x) =

7x

2

x

2

dla
dla

x

1;

x > 1;

x

0

= 1;

b) f (x) =

x

2

2x

dla
dla

x

2;

x > 2;

x

0

= 2:

Zadanie 20

Niech f : R ! R b ¾

edzie funkcj ¾

a okre´slon ¾

a w nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

f (x) =

8

<

:

ax + 1

x

2

+ b

(x + a)

2

dla x <

1

dla x

2 [ 1; 1)

dla x

1

:

Dobra´c a i b tak, ·zeby funkcja f by÷a ci ¾

ag÷

a na R.

Zadanie 21

Wyznaczy´c asymptoty nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

a) y =

x

x

2

+1

b) y = x

2

+

1

x

2

c) y =

x

2

x

2

1

d) y =

x

4

x

3

1

e) y = x

2

e

x

f ) y =

e

x

x

g) y = x

ln(x + 1) h) y =

ln x

x

Zadanie 22

Korzystaj ¾

ac z ró·zniczki funkcji obliczy´c przybli·zone warto´sci po-

danych wyra·ze´n:

a)

1

p

3:98

,

b) tg44 55

0

,

c) arcsin 0:51,

d) e

0;07

,

e) ln 0:9993.

Zadanie 23

Wyznaczy´c równania stycznych do wykresów podanych funkcji

we wskazanych punktach:

a) f (x) = e

x

; (0; 1) ;

b) f (x) = sin x; ( ; 0) ;

c) f (x) =

3

p

x

, (8; 2) :

5

Zadanie 24

Zbada´c przebieg zmienno´sci nast ¾

epuj ¾

acych funkcji:

1) f (x) = x

2

e

1
x

;

2) f (x) =

x

2

2x+2

x 1

;

3) f (x) =

x

2

3

x 2

;

4) f (x) = ln

x

2

+1

x

;

5) f (x) = arctg

x+1

x

2

;

6) f (x) =

x

4

e

x

;

7) f (x) =

1

ln x

;

8) f (x) = e

arctgx

;

9) f (x) = x + arctgx;

10) f (x) = ln cos x:

Bibliogra…a

[1] W. Krysicki, L. W÷

odarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz ¾

e´s´c

I, PWN, Warszawa, 1996.

[2] G.I. Zaporo·

zec, Metody rozwi ¾

azywania zada´n z analizy matematycznej,

WNT Warszawa, 1974.

[3] M. Grabowski, ´Cwiczenia z analizy matematycznej dla nauczycieli,

PWN, Warszawa, 1980.

[4] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. De…nicje, twierdze-

nia, wzory, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2001.

[5] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przyk÷

ady i zada-

nia, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2002.

[6] M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, Supremum, Warsza-

wa, 2000.

[7] K. Cegie÷

ka, Matematyka dla studentów …nansów i rachunkowo´sci oraz

zarz ¾

adzania, Wydawnictwo Wy·

zszej Szko÷

y Zarz ¾

adzania i Prawa im.

Heleny Chodkowskiej, Warszawa, 2009.

[8] A. Flisowski, R. Grzymkowski, Matematyka: przewodnik po wyk÷

adach

wraz z zadaniami, Wydaw. Pracowni Komputerowej J. Skalmierskiego,
Gliwice, 2002.

6