1
Józef Szymczak
CAŁKI NIEOZNACZONE (notatki z wykładu)
– określenie, podstawowe wzory i metody całkowania
Funkcję
)
(x
F
nazywamy funkcją pierwotną funkcji
)
(x
f
, jeżeli
)
(
)
(
x
f
x
F
=
′
.
Jeżeli
)
(x
f
ma funkcję pierwotną
)
(x
F
, to
)
(x
f
ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych
dających się opisać wyrażeniem
C
)
(
+
x
F
, gdzie C jest dowolną stałą (łatwo zauważyć, że wtedy
też
)
(
)
C
)
(
(
x
f
x
F
=
′
+
)
Definicja 1.
Całką nieoznaczoną funkcji
)
(x
f
nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych, co
zapisujemy symbolem:
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
.
∫
jest znakiem całki,
)
(x
f
to funkcja podcałkowa,
dx
x
f
)
(
to wyrażenie podcałkowe,
x
oznacza zmienną całkowania.
Niektóre własności całki nieoznaczonej:
1
o
.
)
(
)
(
′
∫
dx
x
f
=
)
(x
f
,
2
o
.
∫
=
⋅
dx
x
f
a
)
(
∫
⋅
dx
x
f
a
)
(
( a jest pewną wartością stałą),
3
o
.
∫
±
dx
x
g
x
f
))
(
)
(
(
=
∫
∫
±
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
.
Podstawowe wzory dotyczące całek nieoznaczonych:
1.
∫
+
=
,
C
x
dx
2.
(
)
,
1
1
1
−
≠
+
+
+
=
∫
n
C
n
x
dx
n
n
x
3.
,
ln
1
C
x
dx
x
+
=
∫
4.
,
arctan
1
1
2
C
x
dx
x
+
=
+
∫
5.
∫
+
−
=
,
cos
sin
C
x
xdx
6.
∫
+
=
,
sin
cos
C
x
xdx
7.
,
tan
cos
1
2
C
x
dx
x
+
=
∫
8.
,
arcsin
1
1
2
C
x
dx
x
+
=
−
∫
9.
,
C
dx
x
x
e
e
+
=
∫
10.
(
)
,
1
,
0
ln
≠
>
+
=
∫
a
a
C
a
a
dx
a
x
x
11.
∫
+
=
,
C
chx
shxdx
12.
∫
+
=
,
C
shx
chxdx
Ć
wiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższych wzorów kilkanaście całek nieoznaczonych, w
szczególności uwzględniając różne przypadki wzoru (2) w zależności od typu wykładnika potęgi.
Zauważmy, że pochodna funkcji złożonej postaci
))
(
ln(
x
g
jest równa
)
(
)
(
x
g
x
g
′
, zatem wynika stąd
prosty wniosek, że
C
x
g
dx
x
g
x
g
+
=
∫
′
)
(
)
(
)
(
ln
.
Ć
wiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższego wzoru kilka całek nieoznaczonych tego typu.
2
Całkowanie przez podstawianie
Jeśli
)
(x
f
jest funkcją ciągłą w przedziale
)
;
(
b
a
, a funkcja
)
(t
x
ϕ
=
ma ciągłą pochodną na
przedziale
β
α
<
<
t
i
b
t
a
<
<
)
(
ϕ
dla
β
α
<
<
t
, to słuszny jest wzór
∫
∫
′
⋅
=
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(
ϕ
ϕ
Również słuszny jest wzór otrzymany z powyższego przez zamianę stron oraz zmiennych:
∫
∫
=
′
⋅
dt
t
f
dx
x
x
f
)
(
)
(
))
(
(
ϕ
ϕ
Zastosowanie tych wzorów pokażemy na kilku przykładach.
(1) Wyznaczyć całkę
∫
+
dx
x
5
2)
(3
.
Wykonując podstawienie
t
x
=
+
2
3
otrzymamy po obustronnym zróżniczkowaniu tej równości, że
dt
dx
=
3
, skąd
dt
dx
3
1
=
.
Możemy zatem zapisać:
∫
+
dx
x
5
2)
(3
=
∫
dt
t
5
3
1
=
C
t
+
⋅
6
6
1
3
1
=
C
t
+
6
18
1
=
C
x
+
+
6
)
2
3
(
18
1
.
(2) Wyznaczyć całkę
dx
a
x
∫
+
2
2
1
.
Zapiszemy tu ciąg równości, z opisem sposobu podstawienia, ujętego w nawiasy bezpośrednio za
przekształcaną całką(najczęściej zapisujemy zamiast nawiasów faliste pionowe kreski):
dx
a
x
∫
+
2
2
1
=
=
adt
dx
at
x
=
adt
a
at
∫
+
2
2
)
(
1
=
dx
t
a
a
∫
+
1
1
2
2
=
C
t
a
+
arctan
1
=
=
C
a
x
a
+
arctan
1
.
(3) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę
dx
x
x
∫
+
2
3
2
.
dx
x
x
∫
+
2
3
2
=
=
=
+
dt
xdx
dt
xdx
t
x
6
1
6
2
3
2
=
dt
t
∫
1
6
1
=
dt
t
∫
−
2
1
6
1
=
C
t
+
⋅
2
1
2
6
1
=
C
t
+
3
1
=
C
x
+
+
2
3
2
3
1
.
(4) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę
dx
x
∫
3
sin
.
dx
x
∫
3
sin
=
dx
x
x
∫
⋅
2
sin
sin
=
dx
x
x
)
cos
1
(
sin
2
∫
−
⋅
−
=
=
−
=
dt
xdx
dt
xdx
t
x
sin
sin
cos
=
dt
t
∫
−
−
)
1
(
2
=
=
dt
t
∫
−
)
1
(
2
=
C
t
t
+
−
3
3
1
=
C
x
x
+
−
cos
cos
3
3
1
.
(5)
∫
+
dx
x
x
2
=
>
=
+
tdt
dx
t
t
x
2
0
,
2
2
=
∫
−
dx
t
t
t
2
2
)
2
(
2
= 2
∫
−
dx
t
t
)
2
(
2
4
=
C
t
t
+
−
3
5
3
2
5
2
=
=
C
x
x
+
+
−
+
3
5
)
2
(
3
2
)
2
(
5
2
3
(6)
∫
+
+
1
2
x
dx
=
−
=
>
=
+
tdt
dx
t
x
t
t
x
2
1
0
,
1
2
2
=
=
−
=
=
∫
∫
∫
+
+
−
+
+
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
C
C
x
x
t
t
+
+
+
+
−
+
=
+
−
2
1
ln
4
1
2
2
ln
4
2
.
(7) Patrząc na przypadek (1) łatwo można zauważyć, że
jeżeli
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
, to
∫
+
+
=
+
C
b
x
F
a
dx
b
ax
f
a
)
(
1
)
(
.
Wynika to z podstawienia:
t
b
ax
=
+
, skąd
dt
adx
=
, czyli
dt
a
dx
1
=
.
Zatem możemy m.in. zapisać, że
,
1
C
a
dx
ax
ax
e
e
+
=
∫
∫
+
=
,
sin
1
cos
C
ax
a
axdx
∫
+
+
−
=
+
,
)
cos(
1
)
sin(
C
b
ax
a
dx
b
ax
C
a
dx
b
ax
b
ax
+
+
+
=
∫
ln
1
1
.
Całkowanie przez części
Całkowaniem przez części nazywamy obliczanie całki wg formuły:
∫
∫
⋅
′
−
⋅
=
′
⋅
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lub w skróconym zapisie
∫
∫
−
⋅
=
vdu
v
u
udv
gdzie
)
(
i
)
(
x
v
x
u
są funkcjami mającymi ciągłe pochodne na pewnym wspólnym przedziale.
Przykłady.
(8)
Obliczyć całkę
∫
⋅
xdx
x sin
.
Oznaczymy tutaj
=
′
=
x
x
v
x
x
u
sin
)
(
)
(
. Stąd mamy
−
=
=
′
x
x
v
x
u
cos
)
(
1
)
(
.
Zatem
C
dx
x
xdx
x
x
x
x
x
x
+
−
⋅
+
−
=
−
−
=
∫
∫
sin
cos
cos
)
cos
(
sin
.
(9)
∫
xdx
ln
=
=
′
=
1
)
(
ln
)
(
x
v
x
x
u
=
=
′
x
x
v
x
u
)
(
x
)
(
1
=
C
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
⋅
=
−
=
−
∫
∫
ln
ln
ln
1
.
(10)
∫
arctgxdx =
=
=
dx
dv
arctgx
u
=
+
=
x
v
x
du
dx
1
2
1
=
=
−
∫
+
dx
x
x
xarctgx
1
2
C
dx
x
x
x
xarctgx
xarctgx
+
+
−
=
−
=
∫
+
)
1
ln(
2
2
2
1
2
1
1
2
.
4
(11)
∫
⋅
xdx
x
3
cos
=
=
xdx
dv
x
u
3
cos
=
=
x
v
dx
du
3
sin
3
1
=
∫
−
xdx
x
x
3
sin
3
sin
3
1
3
1
=
=
C
x
x
x
+
+
3
cos
3
sin
9
1
3
1
.
(12)
∫
dx
e
x
x
3
2
=
=
dx
e
dv
x
u
x
3
2
=
=
x
e
v
xdx
du
3
3
1
2
=
∫
−
dx
x
x
x
xe
e
3
3
2
3
2
3
1
=
=
dx
e
dv
x
u
x
3
=
=
x
e
v
dx
du
3
3
1
=
=
)
(
3
3
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
∫
−
−
dx
x
x
x
x
x
e
e
e
=
C
x
x
x
x
x
e
e
e
+
+
−
3
3
3
2
27
2
9
2
3
1
=
=
C
x
x
x
e
+
+
−
3
2
)
(
9
2
3
2
3
1
.
(13)
∫
xdx
e
x
sin
=
=
xdx
dv
e
u
x
sin
−
=
=
x
v
dx
du
x
e
cos
=
∫
+
−
xdx
x
x
x
e
e
cos
cos
=
=
=
xdx
dv
e
u
x
cos
=
=
x
v
dx
du
x
e
sin
=
∫
−
+
−
xdx
x
x
x
x
x
e
e
e
sin
sin
cos
Ponieważ w powyższym ciągu równości otrzymaliśmy na końcu jako trzeci składnik całkę
identyczną za całką wyjściową, to z odpowiedniego porównania otrzymamy, że
∫
xdx
e
x
sin
2
=
x
x
x
x
e
e
sin
cos
+
−
, a więc ostatecznie
∫
xdx
e
x
sin
=
C
x
x
e
x
+
−
)
cos
(sin
2
1
.
Całki funkcji wymiernych
Funkcja wymierna jest to funkcja postaci
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
P
x
W
=
. Nazywamy ją
właściwą, jeżeli
stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w
mianowniku, to mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. Możemy ją przedstawić w
postaci sumy pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (po wykonaniu dzielenia
licznika przez mianownik).
Funkcję wymierną właściwą postaci
n
a
x
A
)
(
+
gdzie
R
A
a
N
n
∈
∈
,
oraz
, nazywamy
ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Funkcję wymierną właściwą postaci
n
q
px
x
D
Bx
)
(
2
+
+
+
gdzie
R
D
B
q
p
N
n
∈
∈
,
,
,
oraz
, przy czym
0
4
2
<
−
=
∆
q
p
, nazywamy
ułamkiem
prostym drugiego rodzaju.
Uwaga. Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista może być jednoznacznie przedstawiona w
postaci sumy ułamków prostych.
Przykłady.
(14) Rozłożyć na ułamki proste funkcję
16
8
2
4
+
−
x
x
x
(bez obliczania współczynników)
.
5
Zauważmy, że funkcję tę możemy zapisać w postaci
2
2
)
4
(
−
x
x
, a dalej
2
2
)
2
(
)
2
(
+
−
x
x
x
.
Po rozłożeniu mianownika na czynniki, zapiszemy daną funkcję wymierną w postaci sumy
wszystkich możliwych ułamków prostych, ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach, które
należy wyznaczyć z porównania stron zapisanej równoważności:
2
2
2
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)
2
(
)
2
(
+
+
+
+
−
+
−
≡
+
−
x
D
x
C
x
B
x
A
x
x
x
.
(15) Rozłożyć na ułamki proste funkcję
1
2
3
+
+
x
x
. Zauważmy, że
)
1
)(
1
(
1
2
3
+
−
+
=
+
x
x
x
x
, a więc
przewidujemy następujący rozkład danej funkcji wymiernej na ułamki proste:
1
1
)
1
)(
1
(
2
2
2
+
−
+
+
+
≡
+
−
+
+
x
x
C
Bx
x
A
x
x
x
x
.
Po wymnożeniu stronami tej równoważności mamy
)
1
)(
(
)
1
(
2
2
+
+
+
+
−
≡
+
x
C
Bx
x
x
A
x
czyli
C
Bx
Cx
Bx
A
Ax
Ax
x
+
+
+
+
+
−
≡
+
2
2
2
skąd po porównaniu współczynników z obu stron równoważności otrzymujemy układ równań
=
+
=
+
+
−
=
+
2
1
0
C
A
C
B
A
B
A
, i po podstawieniach otrzymamy, że
3
5
,
3
1
,
3
1
=
−
=
=
C
B
A
.
Zatem możemy zapisać, że
)
1
1
(
3
1
1
1
)
1
)(
1
(
2
2
2
2
5
1
3
5
3
1
3
1
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju.
Całkę typu
dx
n
a
x
A
∫
+
)
(
, gdzie
N
n
n
∈
≥
i
1
obliczamy stosując podstawienie
t
a
x
=
+
.
Otrzymujemy wtedy
(I)
>
−
=
=
=
+
−
+
+
−
∫
∫
1
gdy
1
gdy
ln
1
1
1
)
(
n
n
t
A
dt
dx
C
t
n
A
C
t
A
a
x
A
n
n
n
=
>
=
+
+
+
−
−
+
−
1
gdy
1
gdy
ln
1
)
)(
1
(
n
n
a
x
A
C
a
x
n
A
C
n
Np. a)
C
x
x
dx
+
+
+
=
∫
4
ln
3
4
3
, b)
C
x
x
dx
+
+
−
+
=
∫
3
4
)
5
(
3
2
)
5
(
2
.
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju.
Całkę typu
dx
k
x
∫
+
2
1
, gdzie
0
>
k
obliczamy wg znanego już wzoru
(II)
C
k
x
k
k
x
arctg
dx
+
+
=
∫
1
1
2
.
Np.
C
x
x
dx
arctg
+
+
=
∫
5
5
1
5
2
.
1.
Przy całkowaniu ułamków II rodzaju w ogólnej postaci dla
n=1, przedstawiamy je jako
kombinację liniową dwóch ułamków o takim samym mianowniku: pierwszy z nich zawiera w
liczniku pochodną mianownika, a drugi pewną stałą. Oba te ułamki całkujemy metodą
podstawiania.
6
2.
Przypadek, gdy
2
≥
n
można opisać wzorem rekurencyjnym:
dx
dx
n
n
a
x
a
n
n
a
x
a
n
x
a
x
n
∫
∫
+
−
−
+
+
−
+
−
=
)
(
1
)
1
(
2
3
2
)
(
)
1
(
2
)
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
;
W szczególności
dx
dx
n
n
x
n
n
x
n
x
x
n
∫
∫
+
−
−
+
+
−
+
−
=
)
1
(
1
2
2
3
2
)
1
)(
2
2
(
)
1
(
1
2
2
2
1
.
Przykłady całkowania funkcji wymiernych.
(16) Obliczyć
∫
−
+
6
2
x
x
dx
.
Ponieważ
)
3
)(
2
(
6
2
+
−
=
−
+
x
x
x
x
, więc funkcję podcałkową musimy rozłożyć na ułamki
proste:
3
2
6
1
2
+
+
−
≡
−
+
x
B
x
A
x
x
.
Mnożąc tę równoważność stronami przez mianownik
6
2
−
+
x
x
, otrzymujemy
)
2
(
)
3
(
1
−
+
+
≡
x
B
x
A
.
Stąd
B
A
x
B
A
2
3
)
(
1
−
+
+
≡
co prowadzi do prostego układu równań:
=
−
=
+
1
2
3
0
B
A
B
A
, którego rozwiązaniem jest
5
1
,
5
1
−
=
=
B
A
.
Możemy zatem napisać, że
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
+
+
−
+
+
−
−
+
−
−
+
=
=
−
=
∫
∫
∫
3
2
ln
5
1
3
ln
5
1
2
ln
5
1
3
1
5
1
2
1
5
1
6
2
.
(17)
C
x
x
dx
x
x
dx
+
+
+
+
+
−
=
=
∫
∫
2
1
)
2
(
4
4
2
2
.
(18)
∫
∫
+
+
+
+
=
4
)
1
(
5
2
2
2
x
dx
x
x
dx
=
=
+
dt
dx
t
x
1
=
C
t
arctg
+
2
2
1
=
C
x
arctg
+
+
2
1
2
1
.
(19)
∫
∫
∫
∫
∫
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
+
+
=
=
=
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
9
4
6
2
1
9
4
4
2
2
1
9
4
6
4
2
2
1
9
4
2
2
2
1
9
4
1
2
2
2
2
2
=
=
∫
+
−
+
−
+
dx
x
x
x
5
)
2
(
1
3
9
4
2
1
2
2
ln
=
C
x
x
x
arctg
+
−
+
−
+
5
2
5
3
9
4
2
1
2
ln
.
Całki funkcji trygonometrycznych
Jeżeli funkcja podcałkowa ma postać
)
cos
,
(sin
x
x
R
, czyli jest zależna od funkcji
sin x
lub
x
cos
, to wówczas możemy zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne:
t
x
tg
=
2
Przekształcając tę równość otrzymujemy, że
arctgt
x
2
=
, a stąd już mamy, że
dt
t
dx
2
1
2
+
=
.
7
Z odpowiednich wzorów trygonometrycznych możemy przy danym podstawieniu zapisać, że
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
Po tych przekształceniach otrzymamy całkę z funkcji wymiernej.
Przykład.
(20)
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
x
x
dx
t
t
t
t
t
t
t
8
8
2
2
5
5
3
3
8
2
5
3
4
5
cos
3
sin
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
C
tg
C
t
dt
t
dt
t
t
x
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
=
=
∫
∫
2
1
2
1
)
2
(
1
4
4
1
2
2
2
.
W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest parzysta względem
x
sin i
x
cos , to
wygodniej jest stosować podstawienie:
t
tgx
=
; wtedy
2
1 t
dt
dx
+
=
,
2
2
2
1
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
x
+
=
.
W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem
x
sin , to
stosujemy podstawienie:
t
x
=
cos
, a gdy funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem
x
cos , to
stosujemy podstawienie:
t
x
=
sin
.
Zadanie. Korzystając z tablic całek nieoznaczonych wyznaczyć kilka całek z niewymiernymi
funkcjami podcałkowymi:
a)
∫
−
,
4
2
dx
x
b)
∫
+
,
9
2
dx
x
c)
∫
+
+
dx
x
x
5
2
1
2
.