1

Wyk

Wyk

ł

ł

ad IX

ad IX

Funkcja jednej zmiennej

Funkcja jednej zmiennej

Przypomnienie wiadomości

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

Funkcja jednej zmiennej y = f(x)

3

y

1

y

4

y

2

y

Dziedzina funkcji - Df:
zbiór argumentów x

Przeciwdziedzina:
zbiór wartości funkcji y

2

Granica i ciągłość funkcji

Funkcja f(x) ma granicę g w punkcie x

0

, jeśli dla

dowolnego ciągu x

n

dążącego do x

0

, wartości funkcji

f

(x

n

) dążą do g.

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x

0

, jeśli punkt x

0

należy do dziedziny funkcji oraz granica lewostronna w
punkcie x

0

jest równa granicy prawostronnej w tym

punkcie i jest równa f(x

0

).

Jeśli funkcja f(x) posiada przynajmniej jeden punkt
nieciągłości to funkcja nie jest ciągła.

3

Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową jeśli każdemu y
z przeciwdziedziny odpowiada dokładnie jeden x∈Df .
Funkcję taką nazywamy wzajemnie jednoznaczną.

Każda funkcja różnowartościowa f(x) posiada funkcję do
niej odwrotną y= f

-1

(x). Wykresy funkcji f(x) i do niej

odwrotnej y=f

-1

(x) są symetryczne względem prostej

y=x

.

Przykład.

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji

y

=3x-4

Rozwiązanie:

Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji

y

=3x-4,

wstawiamy w miejsce

x

zmienną

y

oraz zamiast

y

wstawiamy

x

.

Następnie z równania wyznaczamy

y

.

x

=3y-4 |:3

3

4

3

−

= y

x

3

4

3

+

=

⇔

x

y

4

Podstawowe funkcje

1. Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci: y=ax+b .
Dziedziną funkcji jest zbór liczb rzeczywistych. Jest to
funkcja ciągła. Wykresem jest linia prosta.

Przykład:

y=

2x-3

-1

-3

y

1

0

x

y

=2x-3

5

2. Funkcja kwadratowa

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję postaci:

y=ax

2

+bx+c

,

gdzie a≠0. Dziedziną funkcji jest zbór liczb rzeczywistych.
Jest funkcją ciągłą i jej wykresem jest parabola.

a

b

x

2

0

−

=

a

b

x

2

2

∆

+

−

=

Jeśli a>0 wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry,
natomiast jeśli a<0 ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika ∆=b

2

-4ac.

Jeśli ∆<0 to nie ma miejsc zerowych.

Jeśli ∆=0 istnieje jedno miejsce zerowe:

Jeśli ∆>0 istnieją dwa pierwiastki:

a

b

x

2

1

∆

−

−

=

6

Przykład. Wykonać wykres funkcji:

4

5

2

+

−

=

x

x

y

0

4

5

2

=

+

− x

x

(

)

9

4

1

4

5

4

2

2

=

⋅

⋅

−

−

=

−

=

∆

ac

b

Znajdziemy punkty przecięcia paraboli z osią OX
(miejsca zerowe)

1

2

3

5

2

1

=

−

=

∆

−

−

=

a

b

x

4

2

3

5

2

2

=

+

=

∆

+

−

=

a

b

x

7

3. Funkcja wielomianowa

Funkcją wielomianową stopnia n nazywamy funkcję postaci:

y=a

0

x

n

+a

1

x

n

-1

+…+a

n

-1

x

+a

n

.

Dziedziną funkcji jest zbór liczb rzeczywistych.
Wielomian jest funkcją ciągłą. Wykresem funkcji są np.
krzywe postaci:

y=

-3x

5

+6x

4

-6x

3

+6x

2

-3x

y=

2x

4

-6x

3

-16x

2

+24x+32

8

4. Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywamy funkcję, która jest ilorazem
dwóch wielomianów:

Dziedziną funkcji jest zbór liczb rzeczywistych pomniejszony
o miejsca zerowe mianownika. Jeśli istnieją miejsca zerowe
mianownika to funkcja wymierna nie jest ciągła.

m

m

m

m

n

n

n

n

b

x

b

x

b

x

b

a

x

a

x

a

x

a

y

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

−

1

1

1

0

1

1

1

0

L

L

Wykresem funkcji

jest krzywa postaci:

)

2

)(

1

(

3

2

+

−

+

=

x

x

x

y

asymptoty

9

5. Funkcja wyk

ładnicza

.

;

;

;

a

3

2

2

1

3

1

=

Funkcją

wykładniczą

nazywamy funkcję postaci:

y=a

x

, a

>0.

Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste.
Funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie oraz jest
funkcją malejącą dla 0<a<1 oraz rosnącą dla a>1.

Wykresy funkcji wykładniczych dla wartości

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-1, 5

-1

-0 ,5

0

0,5

1

1,5

2

( )

x

y

3

1

=

x

y

3

=

x

y

2

=

( )

x

y

2

1

=

x

y

1

=

10

6. Funkcja logarytmiczna

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci

y=log

a

x

,

gdzie a>0 i a≠1.

Dziedziną tej funkcji są liczby dodatnie, tzn. x∈R

+

.

Wykresy funkcji logarytmicznych dla wartości

3

;

2

;

2

1

;

3

1

=

a

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

1

2

3

4

x

y

2

log

=

x

y

3

log

=

x

y

3

1

log

=

x

y

2

1

log

=

11

Spośród funkcji wykładniczych i logarytmicznych
wyróżnimy funkcję wykładniczą i logarytmiczną o
podstawie liczby e, czyli funkcje:

y=e

x

oraz

y=lnx

Wykresy funkcji y=e

x

oraz y=lnx

lnx

y =

x

e

y =

Wykresy funkcji y=e

x

oraz y=lnx

12

Do funkcji trygonometrycznych zaliczamy funkcje:

y

=sinx,

y=cosx

,

y

=tgx

i

y

=ctgx

. Wykresy funkcji:

7. Funkcje trygonometryczne

y

=sin

x

π/2

π

3/2π

2π

π/2

π

3/2π

2π

y

=cos

x

13

y

=tg

x

y

=ctgx

14

Funkcje trygonometryczne posiadają funkcje odwrotne
jedynie w pewnych przedziałach, w których są
różnowartościowe.

8. Funkcje cyklometryczne

y=arcsinx

y=arccosx

Funkcje odwrotne do funkcji:

y

=sinx,

y

=cosx

,

y

=tgx,

y

=ctgx

nazywamy odpowiednio:

y

=arcsinx, y=arccosx

,

y

=arctgx

i

y

=arcctgx.

15

y=arctgx

y=arcctgx