ARKUSZ 10. Funkcje logarytmiczne

1. Obliczyć:

a) log

2

√

2

8,

b) 3

log

3

√

3

27

,

c) log

2

log 100.

2. Rozwiązać równania:

a)

1

1+log x

+

5

3−log x

= 3,

b) log

x

8 + log

x

4 = 2 + log

x

2,

c) log

2

(9 − 2

x

) = 3 − x,

d) log(x − 3) − log(4 − x) = 1 − log(5 − x),

e) log

2

√

x − 3 − log

2

√

2x + 1 = log

4

10,

f ) log

x−a
x+a

= 1,

g) log

q

x +

x

3

+

x

9

+ . . . = log(9 − 2x),

h) log x + log

2

x + log

3

x + . . . = 1,

i) log 2 + log (4

x−2

+ 9) = log 10 + log (2

x−2

+ 1) ,

j) log

4

log

3

log

2

x = 0,

k) x

log x

= 100x,

l) log

16

x + log

4

x + log

2

x = 7.

3. Rozwiązać nierówności:

a) 3

log

1

2

(

x

2

−5x+7

)

< 1,

b) log

3

√

x(x−4)

x−3

+ 1

¬ 1,

c) log

2x+3

x

2

< 1,

d) log

x

2 · log

2x

2 > log

2
4x

2,

e)

1

log

a

x

> 1,

f ) log(ax) > 2 log(x + 1),

g) x

2

− 2x (1 + log a) + log

2

a + 1 > 0,

h) log

1
3

1
x

−

1

log

1

3

x

¬ 2,

i) log

2

(log

3

x

2

) − log

2

(log

3

(1 − x)) ¬ 1.

4. Sporządzić wykresy funkcji:

a) f (x) = − log

3

x, x > 0,

b) f (x) = log

3

(3 − x), x < 3,

c) f (x) = log

3

|x − 2|, x 6= 2,

d) f (x) =

log

1
2

x

, x > 0,

e) f (x) = log

2

(log

2

x) , x > 1,

f ) f (x) = 2

log

1

2

x

, x > 0.

19

5. Wyznaczyć zbiory określoności funkcji zdefiniowanych poniższymi wzo-

rami:

a) f (x) =

r

log

1
3

x −

1
x

,

b) f (x) =

1

√

log(x−1)−log(x−3)

,

c) f (x) =

r

log

3

(x

2

−1)

log

1

3

(x

2

−2)

.

6. Dla jakich wartości parametru m równanie

x

2

+ 2x + log

3

m = 0,

ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma odwrotności jest mniej-
sza od 1?

7. Dla jakich wartości parametru k równanie

log kx = 2 log(x + 1),

ma dokładnie jedno rozwiązanie?

8. Dla jakich wartości x liczby: log 2, log (2

x

− 1) , log (2

x

+ 3) , tworzą

ciąg arytmetyczny? Wyznaczyć liczby oraz różnicę tego ciagu.

9. Zbadać, która z liczb: f (log

5

6) , f (log

5

4) jest większa, jeśli f (x) =

1

x

+ x.

10. Podać przykład funkcji ciągłej ściśle malejącej i takiej, że f : (1, +∞)

na

−→ R

oraz przykład funkcji ciągłej ściśle rosnącej i takiej, że f : (−∞, 1)

na

−→ R.

11. Wyznaczyć wartości parametrów a, dla których istnieją funkcje ciągłe

f

a

: I

a

−→ R, (I

a

– przedział) takie, że:

a) 2

f (x)

= ax, x ∈ I

a

,

b) log

2

f

a

(x) + 2a log f (x) + x

2

− x = 0, x ∈ I

a

,

c) 10

f

2

a

(x)

= x

2

+ a, x ∈ I

a

.

12. Udowodnić, że

a) log

a

x · y = log

a

x + log

a

y, a > 0, a 6= 1, x, y > 0,

b) log

a

x

y

= y log

a

x, a > 0, a 6= 1, x > 0,

c) log

a

b =

1

log

b

a

, a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1,

d) log

a

x =

log

b

x

log

b

a

, a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1, x > 0.

13. Udowodnić, że

a) jeśli a > 1 oraz 0 < x < y, to log

a

x < log

a

y,

b) jeśli 0 < a < 1 oraz 0 < x < y, to log

a

x > log

a

y.

20