10. Funkcje wykładnicze

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem

gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od 1.

Uwaga. W niektórych opracowaniach dopuszcza się przypadek
, ale wówczas funkcja
jest funkcją stałą nie posiadającą własności charakterystycznych dla funkcji wykładniczej.

Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji wykładniczych w przypadku, gdy
i gdy

Odnotujmy następujące ważne własności omawianej funkcji:

i) Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych. Dzięki temu nie ma potrzeby nakładania zastrzeżeń na argumenty funkcji wykładniczej przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych.

ii) Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział
Oznacza to że, funkcja wy­kład­nicza przyjmuje tylko wartości dodatnie. Dzięki temu możemy dzielić lub mnożyć obie strony równań lub nierówności przez wyrażenia typu wykładniczego.

iii) Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Oznacza to, że
. Równo­ważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

iv) Dla
funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą, tzn.
Równoważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.

v) Dla
funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, tzn.
.

Równoważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.

Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Przykłady. Rozwiążemy kilka typowych równań wykładniczych.

a)

Rozwiązanie. Mamy

Korzystając z własności iii), otrzymujemy:

Ponieważ dziedziną równania był zbiór liczb rzeczywistych, więc jedynym rozwiązaniem tego równa­nia jest liczba
.

b)

Rozwiązanie. Zachodzą równoważności

Podstawiamy
, skąd

A więc:

Rozwiązaniami równania
są więc liczby 0 i 1.

c)

Rozwiązanie.

d)

Rozwiązanie.

e)

Rozwiązanie. Zauważmy, że

Stąd

Nierównością wykładniczą nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.

Przykłady. Rozwiążemy kilka nierówności.

a)

.

Rozwiązanie.

Korzystając z faktu, że funkcja
jest rosnąca, otrzymujemy:

Zbiorem rozwiązań
jest suma przedziałów

b)

.

Rozwiązanie. Mamy

Podstawiając
i zauważając, że
otrzymujemy

gdyż nierówność
w rozważanym przypadku jest zawsze fałszywa. Stąd wracając do pod­stawienia, otrzymujemy:

Nierówność
spełniają wszystkie liczby z przedziału

c)

Rozwiązanie. Muszą być spełnione następujące zastrzeżenia:

Zauważamy, że

Zatem warto zastosować podstawienie
Widzimy, że
i zgodnie z zastrzeżeniami
oraz
. Wtedy

Wracając do niewiadomej x, otrzymujemy:

Ostatecznie stwierdzamy, że

d)

Rozwiązanie.

Zwróćmy uwagę, że w jednym z kroków skorzystaliśmy z faktu, że nierówność
jest spełniona dla każdego x. A więc

e)

.

Rozwiązanie. Funkcja wykładnicza o podstawie
jest malejąca, więc

Zatem

f)

.

Rozwiązanie. Musi być spełnione zastrzeżenie:

Wprowadzając podstawienie
otrzymujemy

Stąd

Uwzględniając zastrzeżenie, ostatecznie stwierdzamy, że

Przykład. Rozwiążemy układ równań

Rozwiązanie. Mamy

Rozdział 10. Funkcje wykładnicze 75

72

x

x

y

1

y

x

1

1

1

1

y

---