LISTA 3. Funkcje wielu zmiennych.

1. Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji dwóch zmiennych:

a)

( )

y

x

y

x

f

sin

,

=

; b)

( )

(

)

3

2

ln

1

,

+

+

−

=

y

x

y

x

f

; c)

( ) ( )

xy

y

x

f

ln

,

=

;

d)

( )

(

)

8

4

ln

,

2

+

−

=

x

y

y

x

f

; e)

( )

y

x

y

x

y

x

f

+

+

−

=

,

; f)

( )

x

y

y

x

f

1

arcsin

,

−

=

.

2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji trzech zmiennych:

a)

(

)

2

2

arccos

,

,

y

x

z

z

y

x

f

+

=

; b)

(

)

)

sin(

1

,

,

2

2

2

z

y

x

z

y

x

f

+

+

=

3. Wyznaczyć warstwice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować wykresy

tych funkcji:

4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:

(a)

( )

y

x

y

x

f

arccos

,

=

; (b)

( )

x

x

y

y

e

y

x

f

−

=

sin

,

; (c)

( )

y

x

xy

arctg

y

x

f

+

−

=

1

,

;

(d)

(

)

x

y

z

x

z

y

x

f

−

=

,

,

; (e)

(

)

2

2

2

,

,

z

y

x

x

z

y

x

f

+

+

=

; (f)

( )

(

)

(

)

z

y

x

y

x

f

sin

cos

sin

,

=

.

5. Sprawdzić, czy podana funkcja spełnia wskazane równanie:

(a)

( )

(

)

2

,

ln

,

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

+

=

y

f

y

x

f

x

y

xy

x

y

x

f

;

(b)

( )

2

,

sin

,

f

y

f

y

x

f

x

x

y

x

y

x

f

=

∂

∂

+

∂

∂

=

.

6. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z=f(x,y) w punkcie (x

0

,y

0

,z

0

):

(a)

( )

(

)

(

)

2

,

3

,

2

,

,

,

9

,

0

0

0

2

2

−

=

−

−

=

z

y

x

y

x

y

x

f

; (b)

( )

(

) (

)

16

,

4

,

2

,

,

,

,

0

0

0

=

=

z

y

x

x

y

x

f

y

;

(c)

( )

(

)













−

−

=

=

1

,

2

3

,

2

1

,

,

,

arcsin

arcsin

,

0

0

0

z

y

x

y

x

y

x

f

.

7. Obliczyć pochodną kierunkową podanej funkcji we wskazanym punkcie i w kierunku

wektora u:

8. Zapisać różniczkę zupełną dla podanych funkcji:

);

5

,

12

(

),

4

,

3

(

)

,

(

,

)

,

(

)

(

0

0

2

2

=

−

=

+

=

u

y

x

y

x

y

x

f

a

)

3

,

3

,

1

(

)

1

,

1

,

1

(

)

,

,

(

,

)

,

,

(

)

(

0

0

0

−

=

−

−

=

=

u

z

y

x

e

z

y

x

f

b

xyz

).

3

,

1

(

),

,

0

(

)

,

(

,

cos

sin

)

,

(

)

(

0

0

−

=

=

⋅

=

u

y

x

y

x

y

x

f

c

π

.

)

,

,

(

)

(

,

1

ln

)

,

(

)

(

,

3

)

,

(

)

(

2

3

3

z

xy

arctg

z

y

x

f

c

y

x

y

x

f

b

xy

y

x

y

x

f

a

=













+

=

−

+

=

;

1

)

,

(

)

;

1

1

)

,

(

)

;

2

)

,

(

)

2

2

2

2

2

2

y

x

y

x

f

c

y

x

y

x

f

b

y

x

y

x

f

a

+

=

+

+

=

−

−

=

( )

.

4

,

)

;

)

,

(

)

2

2

2

2

y

x

y

x

f

e

y

x

y

x

f

d

−

−

=

+

=

9. Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:

(a)

( ) (

)

2

3

997

,

0

02

,

1

⋅

; (b)

( ) ( ) ( )

3

3

3

3

99

,

4

05

,

4

93

,

2

+

+

; (c)

05

,

0

97

,

2

e

⋅

; (d)

96

,

1

05

,

0

cos

.

10. Dla podanych funkcji obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego oraz

sprawdzić, czy otrzymane pochodne cząstkowe mieszane są równe:

),

sin(

)

,

(

)

(

,

5

cos

)

,

,

(

)

(

,

)

,

(

)

(

2

2

4

3

3

2

y

x

y

x

f

c

z

e

z

y

x

f

b

y

x

xy

y

x

f

a

y

x

+

=

=

+

=

+

(

)

1

ln

)

,

,

(

)

(

,

1

)

,

,

(

)

(

,

)

,

(

)

(

6

4

2

2

2

2

+

+

+

=

+

+

=

=

z

y

x

z

y

x

f

f

z

y

x

z

y

x

f

e

xe

y

x

f

d

xy