42

L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A

8

Oś liczbowa. Odległości liczb na osi liczbowej

ĆWICZENIE A.

Na poniższym rysunku każdy punkt oznaczony literą odpo-

wiada pewnej liczbie. Wymień, które z tych liczb są:

a) większe od 4,

c) większe od −2 lub równe −2,

b) mniejsze od −1,

d) mniejsze od 5 lub równe 5.

ĆWICZENIE B.

Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej kilka liczb większych

od −3,5. Zaproponuj, jak zaznaczyć na osi wszystkie liczby spełniające ten
warunek.

Liczby, które rozważaliśmy w powyższych ćwiczeniach, musiały speł-
niać pewne warunki. Każdy z tych warunków można opisać za pomocą
nierówności. Zbiory wszystkich liczb spełniających takie nierówności
możemy zaznaczać na osi liczbowej.

Liczby większe od 3,5 to te,

które spełniają nierówność:

x

> 3,5

Liczby mniejsze od −1 to te,

które spełniają nierówność:

x

< −1

Liczby większe od −2 lub równe −2

to te, które spełniają nierówność:

x

≥ −2

Liczby mniejsze od 5 lub równe 5

to te, które spełniają nierówność:

x

≤ 5

ĆWICZENIE C.

Poniższe nierówności opisują następujące zbiory liczbowe:

1 — liczby dodatnie, 2 — liczby ujemne, 3 — liczby nieujemne, 4 — liczby
niedodatnie. Dopasuj każdy z tych zbiorów do odpowiedniej nierówności.

A x < 0

B

x ≥ 0

C

x > 0

D x ≤ 0

Przyjmujemy, że na osi liczbowej odcinek
łączący liczby 0 i 1 ma długość 1 i nazy-
wamy go odcinkiem jednostkowym.

ĆWICZENIE D.

Podaj przykład dwóch liczb ujem-

nych, których odległość na osi jest równa 1.

Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest
równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom
(jednostką długości jest odcinek jednostkowy).

O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J

43

Na osi liczbowej między liczbami 3 i 7 miesz-
czą się 4 odcinki jednostkowe, więc odległość
między tymi liczbami wynosi 4.

Na osi liczbowej między liczbami −8 i −6,5
mieści się 1,5 odcinka jednostkowego. Odle-
głość między tymi liczbami wynosi 1,5.

Na osi liczbowej między liczbami −2 i 6 mie-
ści się 8 odcinków jednostkowych. Odległość
między tymi liczbami wynosi 8.

ĆWICZENIE E.

Zaznacz na osi liczbowej liczby −5,6 i −2.

a) Jaka jest odległość między tymi liczbami?
b) Od większej z tych liczb odejmij liczbę mniejszą. Co zauważyłeś?

Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, wy-
starczy od większej z tych liczb odjąć liczbę mniejszą.

Przykład

Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a = −9,1 i b = −3,7?

−9,1 < −3,7

Ustalamy, która liczba jest większa.

b

− a = −3,7 − (−9,1) = −3,7 + 9,1 = 5,4

Od większej z liczb odejmujemy
liczbę mniejszą.

Odp. Odległość między liczbami a i b wynosi 5,4.

Zadania

1.

Zapisz odpowiednie nierówności:

a) Liczba x jest większa od −2,5.

b) Liczba a jest mniejsza od 11.

c) Liczba x jest ujemna.

d) Liczba x jest mniejsza lub równa 5.

e) Liczba y jest nieujemna.

f) Liczba b jest nie mniejsza niż 8.

g) Liczba c jest nie większa niż 11.

Uwaga. Liczba jest nie mniejsza od 8, gdy jest większa od 8 lub równa 8.

73 /5

2

2.

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających podany warunek.

a) x < −2

c) x ≤ 200

e) x ≥ −3,5

b) x ≥ 10

d) x < −1

1
4

f) x >

7
3

44

L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A

3.

Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego
zbioru (i tylko te liczby).

Jeżeli o lic

zbie x wia

do-

mo, że jes

t większa

lub

równa −2,

ale mniejs

za

od 3, to m

ożemy to

za-

pisać króc

ej:

−2 ≤ x < 3

Na osi lic

zbowej lic

zby

spełniając

e ten waru

nek

możemy z

aznaczyć

tak:

4.

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełnia-

jących warunek:

a) 4 ≤ x < 9

c) −2,5 ≤ s ≤ 2,5

b) −3 < a < 0

d) −1 < y ≤

1
2

5.

Ustal, ile jest liczb spełniających warunek:

a) x ≤ 14 i x jest liczbą naturalną,

b) x > −6

3
7

i x jest liczbą całkowitą ujemną,

c) −2,5 < x ≤ 3,4 i x jest liczbą naturalną,

d) −105 ≤ x ≤ 95 i x jest liczbą naturalną.

6.

Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a i b, gdy:

a) a = 3,5

b) a = −12

c) a = −1

d) a =

3
4

b

= 1

b

= 37

b

= −105

b

= −1

7.

a) Jakie liczby leżą na osi liczbowej w odległości 15 od liczby −5?
b) Pewna liczba leży na osi liczbowej dokładnie w tej samej odległości
od liczb −3 i 17. Co to za liczba?

8.

Zaznacz na trzech różnych osiach podane zbiory liczbowe, a następnie
opisz je za pomocą nierówności (zob. ramka powyżej).

1 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 5 od liczby 0.

2 Zbiór liczb leżących w odległości nie większej niż 2 od liczby 1.

3 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 10 od liczby −7.

9.

Na osi liczbowej zaznaczono punkt A o współrzędnej −5 oraz punkt B
o współrzędnej 7. Następnie zaznaczono jeszcze dwa punkty C i D
w taki sposób, że odległości między punktami C i A oraz D i B są
równe 1,5. Jaka jest odległość między punktami C i D?

O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J

45

Symbol |a| oznacza wartość bezwzględną
liczby a. Bezwzględną wartością liczby do-
datniej lub równej 0 jest ta sama liczba,
a bezwzględną wartością liczby ujemnej
jest liczba do niej przeciwna. Na przykład:



5

1
3



 = 5

1
3

|

0| = 0

|

− 4| = 4

Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą
nieujemną. Zauważ, że dla każdej liczby
jej odległość od zera na osi liczbowej jest
równa wartości bezwzględnej tej liczby.

Gdy dla dowolnych dwóch liczb a i b naj-
pierw obliczymy różnicę a − b, a potem ob-
liczymy różnicę b − a, to otrzymamy dwie
liczby przeciwne, a więc liczby, których
wartości bezwzględne są równe.

Na przykład dla a = 2 i b = −8 otrzymamy:

|a

− b| = |2 − (−8)| = |10| = 10

|b

− a| = | − 8 − 2| = | − 10| = 10

Możemy więc powiedzieć, że dla dowol-
nych liczb a i b zachodzi równość:

|a

− b| = |b − a|

Zatem, gdy chcemy określić odległość mię-
dzy dwiema dowolnymi liczbami na osi
liczbowej, nie musimy ustalać, która z liczb
jest większa, wystarczy obliczyć wartość
bezwzględną z dowolnej różnicy tych liczb.

Do określania odległości między liczbami na
osi liczbowej symbol wartości bezwzględ-
nej przydaje się szczególnie wtedy, gdy nie
wiemy, która z dwóch liczb jest większa.

76 /

52

10.

a) Przeczytaj ciekawostkę i oblicz:

|

− 5|

|

2,6|

|

0 − 6,7|

|

7,5 − 10|

|

− 8 − 2|

|

6 − (−2)|

b) Zdanie: Odległość liczby a od 7 jest równa 3 można opisać za po-
mocą równania |a − 7| = 3. Dwie liczby spełniają ten warunek. Jakie?
c) Znajdź liczby spełniające równanie |x − 12| = 15.

1.

Wśród liczb zaznaczonych na osi na pewno
nie ma żadnej liczby:

A. dodatniej

B. mniejszej od −3

C. nieujemnej

D. mniejszej od 3

2.

Odcinek, którego końce na osi mają współrzędne −4 oraz 12 ma długość:

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

3.

Które z podanych liczb leżą na osi liczbowej w równej odległości od −2?

A. 1 i −5

B. 0 i 2

C. −4 i 4

D. −3 i −4

zadania uzupełniające 73–76, str. 52

52

L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A .

Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E

65.

W 2007 r. firma X zatrudniała 340

pracowników, z czego

9

17

stanowili męż-

czyźni. Rok później liczba zatrudnio-
nych wzrosła o

1
5

, przy czym liczba męż-

czyzn wzrosła tylko o 15. Ile kobiet za-
trudniała firma X w 2008 r.?

∗

66.

Zła macocha wsypała dwie miski so-

czewicy do wiadra z popiołem i kazała
Kopciuszkowi w ciągu godziny wybrać
wszystkie ziarenka. Ziarna stanowiły

1
4

ciężaru tej mieszanki. Najpierw przyle-
ciały gołębie i wyłuskały z popiołu

2
5

ziaren, potem przyleciały turkawki i wy-
łuskały 0,7 pozostałych ziaren, na ko-
niec przyleciały wróble i wyjęły z po-
piołu ostatnie 18 dag ziaren. Ile ważyła
soczewica, a ile popiół?

∗

67.

Sprawdź, czy poniższa równość jest

prawdziwa.

1

+

2

1+

2

1+

2

1+

2

1+2

=

2

1

21

Działania na liczbach dodatnich
i ujemnych

68.

Oblicz:

a) −7

4
9

− 2

1
6

e) −7,2 + 12,36

b) 3

1
4

− 8

5
6

f) 6,4 − 10,25

c) −2

3
5

+ 7

1
3

g) −3

1
7

− 1,2

d) −3,12 − 6,1

h) 4

5
6

− 8,2

69.

Oblicz:

a) −5,65 + (−2,08) − 1,35

b) 6,51 + (−2,775) − 11,125

c) −

10

9

+



−

1
6



+ 9

3
4

− (− 6,25)

d) −9,3 −



−12

1
5



− (72,8 − (−13,002))

70.

Oblicz jak najprostszym sposobem:

a) 12 −

2
7

− 7 + 13

3
7

b) −5,8 + 2,7 − 2,2 + 0,3

c) −5

1
8

+ 1

1

12

+ 2

7

12

+

1
8

d) −0,5 −

3
4

+ 1

1
2

− 0,25

71.

Oblicz:

a) −1

1
4

·

(−4)

e) (−3)

2

·

1
3

b) −6

2
3

: 2

f)



1
3



2

·

(−9)

c) −0,2 · (−0,2)

g) −6

2

:

1
2

d) −3

1
3

·

(−3)

h) 3

3
4

: (−1,25)

2

72.

Czy liczba przeciwna do iloczynu

dwóch liczb przeciwnych jest liczbą do-
datnią czy ujemną?

Oś liczbowa. Odległości na osi
liczbowej

73.

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb

spełniających podany warunek:
a) x ≥ −4

b) x < 7

c) x > 2

3
4

74.

Ustal, ile liczb całkowitych leży na

osi liczbowej w odległości:
a) mniejszej niż 20 od zera,
b) mniejszej niż 20 od liczby 15.

75.

Podaj liczby, których odległość od

liczby −2 na osi liczbowej wynosi:

a) 10

b) 3,5

c) 113

d) 1999

76.

Zapisz, używając symbolu warto-

ści bezwzględnej, równość opisującą po-
dany warunek i znajdź liczby spełniające
ten warunek:
a) Odległość liczby a od liczby 5 na osi
liczbowej jest równa 3.
b) Odległość liczby b od liczby 4 na osi
liczbowej jest równa 20.
c) Odległość liczby c od liczby −2 na osi
liczbowej jest równa 1.