Regulatory

Regulatory

Podstawy automatyki

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

Rozwa

Rozwa

ż

ż

my zamkni

my zamkni

ę

ę

ty uk

ty uk

ł

ł

ad regulacji:

ad regulacji:

gdzie:

gdzie:

•

•

r

r

–

–

warto

warto

ść

ść

zadana,

zadana,

•

•

E(s

E(s

)

)

–

–

uchyb regulacji,

uchyb regulacji,

•

•

U(s

U(s

)

)

–

–

sterowanie,

sterowanie,

•

•

Z(s

Z(s

)

)

–

–

zak

zak

ł

ł

ó

ó

cenie,

cenie,

•

•

Y(s)

Y(s)

–

–

wielko

wielko

ść

ść

regulowana

regulowana

G

G

r

r

(s

(s

)

)

–

–

transmitancja

transmitancja

regulatora,

regulatora,

G(s

G(s

)

)

–

–

transmitancja

transmitancja

obiektu regulacji

obiektu regulacji

G

G

r

r

(s

(s

)

)

G(s

G(s

)

)

Z(s)

r

E(s)

U(s)

Y(s)

+

-

+

-

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Uchyb statyczny

Uchyb statyczny

e

e

st

st

B

B

ł

ę

ł

ę

dem, odchyleniem lub uchybem statycznym

dem, odchyleniem lub uchybem statycznym

nazywamy uchyb regulacji wyst

nazywamy uchyb regulacji wyst

ę

ę

puj

puj

ą

ą

cy w uk

cy w uk

ł

ł

adzie

adzie

regulacji w stanie ustalonym

regulacji w stanie ustalonym

.

.

Dla uk

Dla uk

ł

ł

adu z powy

adu z powy

ż

ż

szego schematu uchyb statyczny

szego schematu uchyb statyczny

jest sum

jest sum

ą

ą

uchybu pochodz

uchybu pochodz

ą

ą

cego od zak

cego od zak

ł

ł

ó

ó

cenia

cenia

i uchybu pochodz

i uchybu pochodz

ą

ą

cego od warto

cego od warto

ś

ś

ci zadanej:

ci zadanej:

r

st

z

st

st

e

e

e

+

=

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Uchyby statyczne mo

Uchyby statyczne mo

ż

ż

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

na podstawie

na podstawie

twierdzenia o warto

twierdzenia o warto

ś

ś

ci ko

ci ko

ń

ń

cowej:

cowej:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

lim

lim

0

0

s

G

s

G

s

G

s

Z

s

s

se

t

e

e

r

s

z

s

z

t

z

st

+

⋅

⋅

=

=

=

→

→

∞

→

)

(

)

(

1

1

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

s

G

s

G

s

R

s

s

se

t

e

e

r

s

r

s

r

t

r

st

+

⋅

⋅

=

=

=

→

→

∞

→

Gdzie

Gdzie

R(s

R(s

) oznacza transformat

) oznacza transformat

ę

ę

Laplace

Laplace

’

’

a

a

warto

warto

ś

ś

ci zadanej.

ci zadanej.

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Przyk

Przyk

ł

ł

ad

ad

Wyznaczy

Wyznaczy

ć

ć

uchyby ustalone pochodz

uchyby ustalone pochodz

ą

ą

ce od:

ce od:

1.

1.

skoku warto

skoku warto

ś

ś

ci zadanej na wej

ci zadanej na wej

ś

ś

ciu uk

ciu uk

ł

ł

adu regulacji,

adu regulacji,

2.

2.

skoku zak

skoku zak

ł

ł

ó

ó

cenia na wej

cenia na wej

ś

ś

ciu obiektu w uk

ciu obiektu w uk

ł

ł

adzie regulacji

adzie regulacji

sk

sk

ł

ł

adaj

adaj

ą

ą

cym si

cym si

ę

ę

z regulatora proporcjonalnego

z regulatora proporcjonalnego

o

o

w

w

z

z

mocnieniu k o oraz obiektu inercyjnego I rz

mocnieniu k o oraz obiektu inercyjnego I rz

ę

ę

du.

du.

1

)

(

;

)

(

+

=

=

Ts

k

s

G

k

s

G

r

r

s

s

R

t

t

r

s

s

Z

t

t

z

1

)

(

)

(

1

)

(

;

1

)

(

)

(

1

)

(

=

⇒

=

=

⇒

=

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

r

z

st

r

s

z

st

kk

k

e

r

s

Ts

kk

Ts

k

s

s

e

kk

Ts

k

+

=

⇒

→

=

+

+

+

⋅

=

⇒

+

+

→

1

0

1

1

1

1

1

lim

lim

0

Uchyb ustalony od zak

Uchyb ustalony od zak

ł

ł

ó

ó

cenia:

cenia:

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

r

r

st

r

s

r

s

r

st

kk

e

kk

Ts

Ts

Ts

kk

e

s

s

+

=

⇒

⇒

+

+

+

=

+

+

⋅

=

→

→

1

1

1

1

1

1

1

lim

1

lim

0

0

Uchyb ustalony od warto

Uchyb ustalony od warto

ś

ś

ci zadanej:

ci zadanej:

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Jako

Jako

ść

ść

dynamiczna regulacji mo

dynamiczna regulacji mo

ż

ż

e by

e by

ć

ć

okre

okre

ś

ś

lana na

lana na

podstawie:

podstawie:

1.

1.

bezpo

bezpo

ś

ś

rednich wska

rednich wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w jako

w jako

ś

ś

ci wyznaczanych

ci wyznaczanych

na podstawie przebiegu czasowego uchybu

na podstawie przebiegu czasowego uchybu

regulacji w uk

regulacji w uk

ł

ł

adzie,

adzie,

2.

2.

parametr

parametr

ó

ó

w charakterystyki cz

w charakterystyki cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowej

ciowej

uk

uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego,

tego,

3.

3.

ca

ca

ł

ł

kowych wska

kowych wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w jako

w jako

ś

ś

ci wyznaczanych na

ci wyznaczanych na

podstawie przebieg

podstawie przebieg

ó

ó

w czasowych uchybu regulacji.

w czasowych uchybu regulacji.

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Bezpo

Bezpo

ś

ś

rednie wska

rednie wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci regulacji:

ci regulacji:

1. Czas regulacji

1. Czas regulacji

T

T

r

r

jest to czas, po jakim uchyb regulacji

jest to czas, po jakim uchyb regulacji

jest

jest

w spos

w spos

ó

ó

b trwa

b trwa

ł

ł

y mniejszy od za

y mniejszy od za

ł

ł

o

o

ż

ż

onej

onej

warto

warto

ś

ś

ci

ci

∆

∆

. Najcz

. Najcz

ęś

ęś

ciej przyjmuje si

ciej przyjmuje si

ę

ę

∆

∆

=5%.

=5%.

2. Odchylenie maksymalne

2. Odchylenie maksymalne

e

e

m

m

3. Przeregulowanie

3. Przeregulowanie

χ

χ

:

:

%

100

2

⋅

=

m

e

e

χ

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Bezpo

Bezpo

ś

ś

rednie wska

rednie wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

0

2

4

6

8

10

12

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

e(t)

t

e

m

e

2

∆∆∆∆

∆∆∆∆

T

r

Do oceny jako

Do oceny jako

ś

ś

ci regulacji s

ci regulacji s

ą

ą

stosowane nast

stosowane nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

ce

ce

parametry tej charakterystyki:

parametry tej charakterystyki:

1.

1.

M

M

r

r

–

–

maksymalna warto

maksymalna warto

ść

ść

modu

modu

ł

ł

u transmitancji

u transmitancji

widmowej uk

widmowej uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego

tego

-

-

powinna by

powinna by

ć

ć

jak najmniejsza,

jak najmniejsza,

2.

2.

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

p

p

–

–

szeroko

szeroko

ść

ść

pasma przenoszenia uk

pasma przenoszenia uk

ł

ł

adu

adu

zamkni

zamkni

ę

ę

tego. Powinna by

tego. Powinna by

ć

ć

dobrana tak, aby

dobrana tak, aby

zapewni

zapewni

ć

ć

t

t

ł

ł

umienie zak

umienie zak

ł

ł

ó

ó

ce

ce

ń

ń

wysoko

wysoko

-

-

cz

cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowych przy jednoczesnym

ciowych przy jednoczesnym

poprawnym przenoszeniu sygna

poprawnym przenoszeniu sygna

ł

ł

u u

u u

ż

ż

ytecznego.

ytecznego.

Cz

Cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowe wska

ciowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Cz

Cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowe wska

ciowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Charakterystyka cz

Charakterystyka cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowa uk

ciowa uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego:

tego:

10

-1

10

0

10

1

10

2

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

M(

ω

)

Φ

(

ω

)

M

r

ω

r

ω

p

M

st

M

p

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

0

2

4

6

8

10

12

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

e(t)

t

Uwagi:

Uwagi:

1.

1.

Miar

Miar

ą

ą

jako

jako

ś

ś

ci regulacji jest wielko

ci regulacji jest wielko

ść

ść

pola figury ograniczonej przez

pola figury ograniczonej przez

wykres odpowiedzi czasowej uchybu regulacji.

wykres odpowiedzi czasowej uchybu regulacji.

2.

2.

Sens wska

Sens wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w ca

w ca

ł

ł

kowych

kowych

–

–

opisuj

opisuj

ą

ą

one wielko

one wielko

ść

ść

strat (np. energii )

strat (np. energii )

podczas przebiegu sterowania.

podczas przebiegu sterowania.

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Wska

ź

niki całkowe stosowane w praktyce:

∫

∞

=

0

1

)

(

dt

t

e

I

Tylko przebiegi aperiodyczne

∫

∞

=

0

2

3

)

( dt

t

e

I

∫

∞

=

0

2

)

(

dt

t

e

I

Przebiegi aperiodyczne i oscylacyjne,
trudne w analizie teoretycznej

Najcz

ęś

ciej stosowany

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Je

ś

li transformata Laplace’a uchybu regulacji jest

znana i równa:

0

1

0

1

1

1

...

...

)

(

a

s

a

s

a

c

s

c

s

c

s

E

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

=

−

−

To mo

ż

na poda

ć

analityczne wzory na warto

ść

wska

ź

nika jako

ś

ci I

3

:

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Dla n = 1:

Dla n = 2:

0

1

2

0

3

2

a

a

c

I

=

1

2

2

0

0

2

2

1

3

2

a

a

c

a

a

c

I

+

=

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Dla n = 3:

)

(

2

)

2

(

3

0

2

1

3

2

0

0

2

3

2

0

2

1

3

2

2

1

3

a

a

a

a

a

c

a

a

a

c

c

c

a

c

a

I

−

+

−

+

=

Uk

Uk

ł

ł

ad regulacji

ad regulacji

G

G

r

r

(s

(s

)

)

G(s)

G(s)

Z(s)

r

E(s)

U(s)

Y(s)

gdzie:

gdzie:

•

•

r

r

–

–

warto

warto

ść

ść

zadana,

zadana,

•

•

E(s

E(s

)

)

–

–

uchyb regulacji,

uchyb regulacji,

•

•

U(s

U(s

)

)

–

–

sterowanie,

sterowanie,

•

•

Z(s

Z(s

)

)

–

–

zak

zak

ł

ł

ó

ó

cenie,

cenie,

•

•

Y(s

Y(s

)

)

–

–

wielko

wielko

ść

ść

regulowana

regulowana

•

•

G

G

r

r

(s

(s

)

)

–

–

transmitancja

transmitancja

regulatora,

regulatora,

•

•

G(s

G(s

)

)

–

–

transmitancja

transmitancja

obiektu regulacji

obiektu regulacji

Funkcje regulatora:

Funkcje regulatora:

1.

1.

wyznaczenie takiego sygna

wyznaczenie takiego sygna

ł

ł

u

u

steruj

steruj

ą

ą

cego, aby uchyb regulacji

cego, aby uchyb regulacji

by

by

ł

ł

mo

mo

ż

ż

liwie jak najmniejszy,

liwie jak najmniejszy,

2.

2.

Zapewnienie stabilno

Zapewnienie stabilno

ś

ś

ci uk

ci uk

ł

ł

adu

adu

regulacji,

regulacji,

3.

3.

Zapewnienie odpowiedniej jako

Zapewnienie odpowiedniej jako

ś

ś

ci

ci

regulacji, kt

regulacji, kt

ó

ó

rej miar

rej miar

ą

ą

s

s

ą

ą

wska

wska

ź

ź

niki

niki

jako

jako

ś

ś

ci regulacji.

ci regulacji.

+

-

+

-

Regulatory

Regulatory

-

-

klasyfikacja

klasyfikacja

Regulatory konwencjonalne ze wzgl

ę

du na sposób

przetwarzania (algorytm działania) sygnału uchybu

ε

(t)

w sygnał

u(t)

mo

ż

emy podzieli

ć

na cztery grupy:

1. Regulatory liniowe,

2. Regulatory dwupoło

ż

eniowe,

3. Regulatory trójpoło

ż

eniowe,

4. Regulatory impulsowe.

W ramach wykładu b

ę

dziemy si

ę

zajmowa

ć

regulatorami

liniowymi o wyj

ś

ciu ci

ą

głym.

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

-

-

schemat

schemat

Sygnał wyj

ś

ciowy regulatora wynosi:

(s)

U

(s)

U

(s)

U

U(s)

D

I

P

++++

++++

====

E s

( )

P

I

D

+

U s

P

( )

+

U s

I

( )

+

U s

D

( )

U s

( )

Rys. Ogólny schemat blokowy regulatora liniowego

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

Ze wzgl

ę

du na udział poszczególnych składowych w sygnale

generowanym przez regulator, w praktyce zastosowanie znalazły

nast

ę

puj

ą

ce regulatory:

regulator proporcjonalny o symbolu P,

regulator proporcjonalno-całkowy o symbolu PI,

regulator proporcjonalno-ró

ż

niczkowy o symbolu PD,

regulator proporcjonalno-całkowo-ró

ż

niczkowy o symbolu PID.

U

P

(s)

– składowa proporcjonalna do sygnału uchybu

wytwarzana przez blok

P

,

U

I

(s)

– składowa całkowa (całka z sygnału uchybu)

wytwarzana przez blok

I

,

U

D

(s)

– składowa ró

ż

niczkowa (pochodna z sygnału

uchybu) wytwarzana przez blok

D

.

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

Z pokazanego zestawienia wynika,

ż

e:

1. Nie znalazł zastosowania regulator I, gdy

ż

pogarsza on

znacznie wła

ś

ciwo

ś

ci dynamiczne (przeregulowanie

i czas regulacji). Z tego wzgl

ę

du w praktyce stosuje si

ę

poł

ą

czenie składowej proporcjonalnej i całkowej.

2. Nie znalazł tak

ż

e zastosowania regulator D, gdy

ż

jego

działanie

ogranicza

si

ę

tylko

do

przebiegów

przej

ś

ciowych.

Dlatego w

praktyce

stosuje

si

ę

poł

ą

czenie składowej proporcjonalnej i ró

ż

niczkowej.

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

r

r

k

s

G

=

)

(

Działanie:

•

zmniejszenie uchybu regulacji,

• niebezpiecze

ń

stwo utraty stabilno

ś

ci.

gdzie:

k

r

- wzmocnienie regulatora.

Transmitancja:

Algorytm sterowania:

)

(

)

(

t

e

k

t

u

r

=

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

Funkcja przej

ś

cia regulatora rzeczywistego (z inercj

ą

)

1

+

=

Ts

r

rrz

K

(s)

G

T

– nienastawiana stała czasowa wynikaj

ą

ca z inercji regulatora.

Uwaga

Regulator rzeczywisty mo

ż

na traktowa

ć

jak idealny

wtedy, gdy jego stała czasowa jest znacznie mniejsza
od pozostałych stałych czasowych układu.

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

Rys. Charakterystyki skokowe regulatora P

0

t

u

u

id

u

rz

A K

ε

r

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI













+

=

s

T

k

s

G

i

r

r

1

1

)

(

Algorytm sterowania:

Transmitancja:















+

=

∫

t

i

r

d

e

T

t

e

k

t

u

0

)

(

1

)

(

)

(

τ

τ

gdzie:

k

r

–

wzmocnienie regulatora.

T

i

– czas całkowania, zdwojenia, izodromu

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka skokowa regulatora PI:

0

5

10

15

20

25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

k

r

2k

r

T

i

czas

u(t)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo-fazowa:

-1

-0.5

0

0.5

1

2

2.5

-40

-30

-10

0

10

20

30

40

P(

ω

)

Q(

ω

)

k

r

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa Bodego modułu i fazy:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

M

a

g

n

it

u

d

e

(d

B

)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-90

0

Bode Diagram

-

ππππ

/4

-

ππππ

/2

1/T

i

20log(k

r

)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Funkcja przej

ś

cia regulatora rzeczywistego ma cz

ę

sto posta

ć

)

1

Ts

(

s

1

s

T

K

s

T

1

1

1

Ts

K

(s)

G

i

e

i

r

rrz

++++

++++

====













++++

++++

====

gdzie:

K

e

– wzmocnienie efektywne o warto

ś

ci

T – nienastawialna stała czasowa wynikaj

ą

ca

z inercji regulatora.

i

r

e

T

K

K

====

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

0

t

u

u

id

A K

ε

r

u

rz

T

i

2 A K

ε

r

4T

∆

u

Rys. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PI

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Po upływie czasu

t

≈

4T,

charakterystyka regulatora

rzeczywistego ró

ż

ni si

ę

od idealnej o warto

ść

bł

ę

du:

i

r

T

T

K

A

u

εεεε

====

∆∆∆∆

gdzie:

A

ε

– warto

ść

skokowego sygnału uchybu.

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Działanie:

• Eliminacja uchybu ustalonego z układu regulacji

• Regulator PI dla wi

ę

kszych cz

ę

stotliwo

ś

ci działa jak

regulator P, działanie całkuj

ą

ce jest widoczne dla

mniejszych cz

ę

stotliwo

ś

ci,

• Wprowadzenie ujemnego przesuni

ę

cia fazowego,

• Pogorszenie stabilno

ś

ci.

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD













+

=

dt

t

de

T

t

e

k

t

u

d

r

)

(

)

(

)

(

Algorytm:

Transmitancja regulatora PD rzeczywistego:













+

+

=

1

1

)

(

Ts

s

T

k

s

G

d

r

r

s)

T

(1

K

(s)

G

d

r

rid

+

=

Transmitancja regulatora PD idealnego:

gdzie:

k

r

– wzmocnienie regulatora,

T

d

– czas ró

ż

niczkowania, czas wyprzedzenia,

T

– stała czasowa cz

ęś

ci ró

ż

niczkuj

ą

cej, najcz

ęś

ciej przyjmuje

si

ę

:

T = T

d

/10

;

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

t

0

u

u

id

A K

ε

r

Rys. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PD

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka skokowa regulatora PD rzeczywistego:

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

czas

k

r

k

r

(1+T

d

/T)

T

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo- fazowa:

-5

0

5

10

15

20

25

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Q(

ω

)

P(

ω

)

k

r

k

r

(1+T

d

/T)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa logarytmiczna modułu i fazy:

5

10

15

20

25

30

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

30

60

Bode Diagram

1/T

d

1/T

20log(k

r

)

20log(k

r

(1+T

d

/T))

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Działanie:

• Zwi

ę

kszenie zapasu stabilno

ś

ci,

• Rozszerzenie szeroko

ś

ci pasma,

• Brak wpływu na działanie układu w stanie ustalonym.

Regulator

Regulator

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID















+

+

=

∫

dt

t

de

T

d

e

T

t

e

k

t

u

d

t

i

r

)

(

)

(

1

)

(

)

(

0

τ

τ

Algorytm:

Transmitancja regulatora rzeczywistego:













+

+

+

=

1

1

1

)

(

Ts

s

T

s

T

k

s

G

d

i

r

r

s)

T

s

T

1

(1

K

(s)

G

d

i

r

rid

++++

++++

====

Transmitancja regulatora idealnego:

Regulator

Regulator

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Rys. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID

t

0

u

u

id

A K

ε

r

T

i

2 A K

ε

r

Regulator

Regulator

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Odpowied

ź

skokowa regulatora PID

rzeczywistego.

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

k

r

(1+T

d

/T)

2k

r

T

i

Regulator

Regulator

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo – fazowa:

-5

0

5

10

15

20

25

-30

-20

0

10

20

30

Nyquist Diagram

Real Axis

k

r

(1+T

d

/T)

k

r

P(

ω

)

Q(

ω

)

Regulator

Regulator

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa logarytmiczna modułu i fazy:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

M

a

g

n

it

u

d

e

(d

B

)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-90

-45

0

45

90

P

h

a

s

e

(d

e

g

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

1/T

i

1/T

D

1/T

20log(k

r

(1+T

d

/T))

20logk

r

Wp

Wp

ł

ł

yw poszczeg

yw poszczeg

ó

ó

lnych cz

lnych cz

ęś

ęś

ci regulatora PID

ci regulatora PID

na stabilno

na stabilno

ść

ść

:

:

P(

ω

)

Q(

ω

)

(-1,j0)

M(

ω

)

P

D

I

Zasady doboru transmitancji typowych

Zasady doboru transmitancji typowych

regulator

regulator

ó

ó

w liniowych

w liniowych

PID

Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego,
zmiana przeregulowania, niedu

ż

a zmiana

czasu regulacji

PI

Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego,
zmiana przeregulowania, wyd

ł

u

ż

enie czasu

regulacji

PD

Skrócenie czasu regulacji, zmiana uchybu
statycznego, zmiana przeregulowania

P

Zmiana uchybu statycznego, zmiana
przeregulowania i czasu regulacji

Regulator

Przewidywane działanie regulatora

Dostrajanie regulator

Dostrajanie regulator

ó

ó

w

w

Uwagi wst

Uwagi wst

ę

ę

pne:

pne:

1.

1.

Poprawnie dostrojony do procesu regulator powinien

Poprawnie dostrojony do procesu regulator powinien

zapewni

zapewni

ć

ć

:

:

–

–

s

s

tabilno

tabilno

ść

ść

uk

uk

ł

ł

adu regulacji,

adu regulacji,

–

–

j

j

ako

ako

ść

ść

regulacji odpowiedni

regulacji odpowiedni

ą

ą

w sensie wybranego

w sensie wybranego

wska

wska

ź

ź

nika.

nika.

2. Dostrojenie regulatora do nieznanego procesu

2. Dostrojenie regulatora do nieznanego procesu

zawsze

zawsze

wi

wi

ąż

ąż

e si

e si

ę

ę

z wykonaniem eksperymentu na

z wykonaniem eksperymentu na

obiekcie regulacji.

obiekcie regulacji.

Klasyfikacja metod dostrajania regulator

Klasyfikacja metod dostrajania regulator

ó

ó

w

w

Metody dostrajania

regulatorów

Metody cyklu

granicznego

Metody bazuj

ą

ce na

znajomo

ś

ci odpowiedzi

skokowej obiektu.

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

• Eksperyment wykonujemy w układzie zamkni

ę

tym,

• Stosujemy okre

ś

lony typ regulatora ( proporcjonalny

lub II poło

ż

eniowy)

• celem eksperymentu jest znalezienie wzmocnienia

krytycznego k

kr

i okresu oscylacji nietłumionych T

osc

w układzie.

• Na podstawie warto

ś

ci k

kr

i T

osc

wyznaczamy

nastawy regulatora.

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

regulator

Obiekt

0

10

20

30

40

50

60

-5

0

5

10

15

20

25

Schemat układu do

ś

wiadczalnego.

Metody cyklu graniczneg

Metody cyklu graniczneg

o. Metoda

o. Metoda

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

Eksperyment wykonujemy w zamkni

ę

tym układzie

regulacji z regulatorem PID.

Etapy:

• regulator ustawiamy na działanie P – wył

ą

czamy

cz

ęść

całkuj

ą

c

ą

i ró

ż

niczkuj

ą

c

ą

.

• wyznaczamy do

ś

wiadczalnie wzmocnienie krytyczne

k

kr

zwi

ę

kszaj

ą

c k

r

. Osi

ą

gni

ę

cie granicy stabilno

ś

ci jest

sygnalizowane powstaniem oscylacji nietłumionych
w układzie.

• Mierzymy warto

ść

okresu oscylacji nietłumionych T

osc

.

• Wyznaczamy nastawy dla regulatorów wg wzorów:

Metody cyklu graniczneg

Metody cyklu graniczneg

o. Metoda

o. Metoda

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

k

r

= 0.6 k

kr

T

i

= 0.5T

osc

T

D

= 0.125T

osc

PID

k

r

= 0.45 k

kr

T

i

= 0.85T

osc

PI

k

r

= 0.5 k

kr

P

Nastawy

Regulator

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

. Metoda

. Metoda

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

t

T

osc

Dla K

rgr

y

Rys. Charakterystyka skokowa układu na granicy stabilno

ś

ci

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

. Metoda

. Metoda

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

Wady przedstawionej powy

Wady przedstawionej powy

ż

ż

ej metody:

ej metody:

1.

1.

Niebezpiecze

Niebezpiecze

ń

ń

stwo utraty stabilno

stwo utraty stabilno

ś

ś

ci.

ci.

2.

2.

Uci

Uci

ąż

ąż

liwo

liwo

ść

ść

do przeprowadzenia na rzeczywistych

do przeprowadzenia na rzeczywistych

obiektach o d

obiektach o d

ł

ł

ugich sta

ugich sta

ł

ł

ych czasowych.

ych czasowych.

3.

3.

Brak mo

Brak mo

ż

ż

liwo

liwo

ś

ś

ci zautomatyzowania.

ci zautomatyzowania.

4.

4.

Niemo

Niemo

ż

ż

liwa do zastosowania dla niekt

liwa do zastosowania dla niekt

ó

ó

rych

rych

obiekt

obiekt

ó

ó

w (

w (

np

np

. I i II rz

. I i II rz

ę

ę

du stabilnych strukturalnie).

du stabilnych strukturalnie).

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach

ce na parametrach

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

Eksperyment wykonujemy w układzie otwartym.

Etapy:

1. Wyznaczamy odpowied

ź

skokow

ą

obiektu.

2. Wyznaczamy parametry transmitancji zast

ę

pczej obiektu:

•

wzmocnienie k

•

zast

ę

pcz

ą

stał

ą

czasow

ą

T

•

zast

ę

pczy czas martwy

ττττ

3. Wyznaczamy nastawy dla regulatorów wg wzorów:

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach

ce na parametrach

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

Obiekty astatyczne z opó

źnienie m:

Typ

regulator a

Przeregulowanie 0%

Min T

r

Przeregulowanie 20%

Min T

r

Min wska

źnika

całkowego I

3

P

k

r

= 0.37(T/

ττττ

)

k

r

= 0.7(T/

ττττ

)

(brak nastaw)

PI

k

r

= 0.46(T/

ττττ

)

T

i

= 5.75

ττττ

k

r

= 0.7(T/

ττττ

)

T

i

= 3.0

ττττ

k

r

= 1.0(T/

ττττ

)

T

i

= 4.30

ττττ

PID

k

r

= 0.65(T/

ττττ

)

T

i

= 5.0

ττττ

T

d

= 0.23

ττττ

k

r

= 1.1(T/

ττττ

)

T

i

= 2.0

ττττ

T

d

= 0.37

ττττ

k

r

= 1.36(T/

ττττ

)

T

i

= 1.6

ττττ

T

d

= 0.5

ττττ

Obiekty statyczne z opó

źnienie m:

Typ

regulator a

Przeregulowanie 0%

min T

r

Przeregulowanie 20%

min T

r

Min I

3

P

T

k

k

r

τ

3

.

0

=

T

k

k

r

τ

7

.

0

=

(brak nastaw)

PI

T

k

k

r

τ

6

.

0

=

T

i

= 0.8

ττττ

+ 0.5T

T

k

k

r

τ

7

.

0

=

T

i

=

ττττ

+ 0.3T

T

k

k

r

τ

0

.

1

=

T

i

=

ττττ

+ 0.35T

PID

T

k

k

r

τ

6

.

0

=

T

i

= 2.4

ττττ

T

d

= 0.4

ττττ

T

k

k

r

τ

2

.

1

=

T

i

= 2.0

ττττ

T

d

= 0.4

ττττ

T

k

k

r

τ

4

.

1

=

T

i

= 1.3

ττττ

T

d

= 0.5

ττττ

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach

ce na parametrach

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

t

y

K A

u

τ

T

z

0.632 K A

u

P

o

0

Rys. Przykładowa charakterystyka skokowa obiektu regulacji

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

We

ź

my pod uwag

ę

układ regulacji przed korekcj

ą

.

W s

z

( )

K G s

z

o

( )

Y s

( )

–

Rys. Schemat blokowy układu oryginalnego, czyli przed

wprowadzeniem regulatora

Funkcja przej

ś

cia układu otwartego - przykład

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

(s)

G

K

(s)

G

o

z

1

++++

++++

++++

====

====

G1

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

W s

z

( )

G s

r

( )

K G s

z

o

( )

Y s

( )

–

Rys. Schemat blokowy układu skorygowanego

Po korekcji za pomoc

ą

idealnego regulatora P o wzmocnieniu K

r

= 0.133

otrzymano funkcj

ę

przej

ś

cia w układzie otwartym

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

0.133

(s)

G

(s)K

G

(s)

G

o

z

r

2

++++

++++

++++

====

====

G2

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

1

0.91s

1

10s

0.133

(s)

G

(s)K

G

(s)

G

o

z

r

3

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

++++

====

====

====

Po korekcji za pomoc

ą

rzeczywistego regulatora PD o parametrach:

otrzymano funkcj

ę

przej

ś

cia układu otwartego

10,

s,

9.1

T

0.133,

K

d

d

r

====

====

====

αααα

G3

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

Po korekcji za pomoc

ą

idealnego regulatora PI o parametrach:

s.

10

T

0.1,

K

i

r

====

====

otrzymano funkcj

ę

przej

ś

cia układu otwartego

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

s

1

10s

10

0.1

(s)

G

(s)K

G

(s)

G

o

z

r

4

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

====

====

G4

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

Po korekcji za pomoc

ą

rzeczywistego

regulatora PID o parametrach:

10,

s,

2.82

T

s,

14.1

T

0.42,

K

d

d

i

r

====

====

====

====

αααα

otrzymano funkcj

ę

przej

ś

cia układu otwartego

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

1)

s(0.28s

1)

1)(4.37s

(10s

14.1

0.42

(s)

G

(s)K

G

(s)

G

o

z

r

5

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

====

====

====

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji

adu regulacji

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

Wyniki bada

ń

symulacyjnych nieskorygowanego układu regulacji (y1)

oraz układu skorygowanego za pomoc

ą

regulatorów: P (y2), PD (y3),

PI (y4), PID (y5).

y1

y2

y3

y4

y5

0

10

20

30

40

50

60

Czas [s]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

y

1

,

y

2

,

y

3

,

y

4

,

y

5

Koniec wykładu