Regulatory

Regulatory

Podstawy automatyki

Jako

Jako

ść

ść

regulacji

regulacji

Rozwa

Rozwa

ż

ż

my zamkni

my zamkni

ę

ę

ty uk

ty uk

ł

ł

ad regulacji: 

ad regulacji: 

gdzie:

gdzie:

•

•

r 

r 

–

–

warto

warto

ść

ść

zadana,

zadana,

•

•

E(s

E(s

) 

) 

–

–

uchyb regulacji,

uchyb regulacji,

•

•

U(s

U(s

) 

) 

–

–

sterowanie,

sterowanie,

•

•

Z(s

Z(s

) 

) 

–

–

zak

zak

ł

ł

ó

ó

cenie,

cenie,

•

•

Y(s)

Y(s)

–

–

wielko

wielko

ść

ść

regulowana

regulowana

G

G

r

r

(s

(s

) 

) 

–

–

transmitancja 

transmitancja 

regulatora,

regulatora,

G(s

G(s

) 

) 

–

–

transmitancja 

transmitancja 

obiektu regulacji

obiektu regulacji

G

G

r

r

(s

(s

)

)

G(s

G(s

)

)

Z(s)

r

E(s)

U(s)

Y(s)

+

-

+

-

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Uchyb statyczny 

Uchyb statyczny 

e

e

st

st

B

B

ł

ę

ł

ę

dem, odchyleniem lub uchybem statycznym 

dem, odchyleniem lub uchybem statycznym 

nazywamy uchyb regulacji wyst

nazywamy uchyb regulacji wyst

ę

ę

puj

puj

ą

ą

cy w uk

cy w uk

ł

ł

adzie 

adzie 

regulacji w stanie ustalonym

regulacji w stanie ustalonym

.

.

Dla  uk

Dla  uk

ł

ł

adu  z  powy

adu  z  powy

ż

ż

szego  schematu  uchyb  statyczny 

szego  schematu  uchyb  statyczny 

jest    sum

jest    sum

ą

ą

uchybu  pochodz

uchybu  pochodz

ą

ą

cego  od  zak

cego  od  zak

ł

ł

ó

ó

cenia 

cenia 

i uchybu pochodz

i uchybu pochodz

ą

ą

cego od warto

cego od warto

ś

ś

ci zadanej: 

ci zadanej: 

r

st

z

st

st

e

e

e

+

=

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Uchyby  statyczne  mo

Uchyby  statyczne  mo

ż

ż

na  wyznaczy

na  wyznaczy

ć

ć

na  podstawie 

na  podstawie 

twierdzenia o warto

twierdzenia o warto

ś

ś

ci ko

ci ko

ń

ń

cowej:

cowej:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

lim

lim

0

0

s

G

s

G

s

G

s

Z

s

s

se

t

e

e

r

s

z

s

z

t

z

st

+

⋅

⋅

=

=

=

→

→

∞

→

)

(

)

(

1

1

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

s

G

s

G

s

R

s

s

se

t

e

e

r

s

r

s

r

t

r

st

+

⋅

⋅

=

=

=

→

→

∞

→

Gdzie 

Gdzie 

R(s

R(s

)  oznacza  transformat

)  oznacza  transformat

ę

ę

Laplace

Laplace

’

’

a

a

warto

warto

ś

ś

ci zadanej.

ci zadanej.

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

Przyk

Przyk

ł

ł

ad

ad

Wyznaczy

Wyznaczy

ć

ć

uchyby ustalone pochodz

uchyby ustalone pochodz

ą

ą

ce od:

ce od:

1. 

1. 

skoku warto

skoku warto

ś

ś

ci zadanej na wej

ci zadanej na wej

ś

ś

ciu uk

ciu uk

ł

ł

adu regulacji,

adu regulacji,

2. 

2. 

skoku zak

skoku zak

ł

ł

ó

ó

cenia  na wej

cenia  na wej

ś

ś

ciu obiektu w uk

ciu obiektu w uk

ł

ł

adzie regulacji

adzie regulacji

sk

sk

ł

ł

adaj

adaj

ą

ą

cym si

cym si

ę

ę

z regulatora proporcjonalnego 

z regulatora proporcjonalnego 

o 

o 

w

w

z

z

mocnieniu k o oraz obiektu inercyjnego I rz

mocnieniu k o oraz obiektu inercyjnego I rz

ę

ę

du. 

du. 

1

)

(

;

)

(

+

=

=

Ts

k

s

G

k

s

G

r

r

s

s

R

t

t

r

s

s

Z

t

t

z

1

)

(

)

(

1

)

(

;

1

)

(

)

(

1

)

(

=

⇒

=

=

⇒

=

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

r

z

st

r

s

z

st

kk

k

e

r

s

Ts

kk

Ts

k

s

s

e

kk

Ts

k

+

=

⇒

→

=

+

+

+

⋅

=

⇒

+

+

→

1

0

1

1

1

1

1

lim

lim

0

Uchyb ustalony od zak

Uchyb ustalony od zak

ł

ł

ó

ó

cenia:

cenia:

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

dok

dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

statyczna

statyczna

r

r

st

r

s

r

s

r

st

kk

e

kk

Ts

Ts

Ts

kk

e

s

s

+

=

⇒

⇒

+

+

+

=

+

+

⋅

=

→

→

1

1

1

1

1

1

1

lim

1

lim

0

0

Uchyb ustalony od warto

Uchyb ustalony od warto

ś

ś

ci zadanej:

ci zadanej:

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Jako

Jako

ść

ść

dynamiczna regulacji mo

dynamiczna regulacji mo

ż

ż

e by

e by

ć

ć

okre

okre

ś

ś

lana na 

lana na 

podstawie:

podstawie:

1.

1.

bezpo

bezpo

ś

ś

rednich wska

rednich wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w jako

w jako

ś

ś

ci wyznaczanych 

ci wyznaczanych 

na podstawie przebiegu czasowego uchybu 

na podstawie przebiegu czasowego uchybu 

regulacji w uk

regulacji w uk

ł

ł

adzie, 

adzie, 

2. 

2. 

parametr

parametr

ó

ó

w charakterystyki cz

w charakterystyki cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowej 

ciowej 

uk

uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego, 

tego, 

3.  

3.  

ca

ca

ł

ł

kowych wska

kowych wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w jako

w jako

ś

ś

ci wyznaczanych na 

ci wyznaczanych na 

podstawie przebieg

podstawie przebieg

ó

ó

w czasowych uchybu regulacji.

w czasowych uchybu regulacji.

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Bezpo

Bezpo

ś

ś

rednie wska

rednie wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci regulacji:

ci regulacji:

1. Czas regulacji 

1. Czas regulacji 

T

T

r

r

jest to czas, po jakim uchyb regulacji 

jest to czas, po jakim uchyb regulacji 

jest 

jest 

w spos

w spos

ó

ó

b trwa

b trwa

ł

ł

y mniejszy od za

y mniejszy od za

ł

ł

o

o

ż

ż

onej 

onej 

warto

warto

ś

ś

ci 

ci 

∆

∆

. Najcz

. Najcz

ęś

ęś

ciej przyjmuje si

ciej przyjmuje si

ę

ę

∆

∆

=5%.

=5%.

2. Odchylenie maksymalne 

2. Odchylenie maksymalne 

e

e

m

m

3. Przeregulowanie 

3. Przeregulowanie 

χ

χ

:

:

%

100

2

⋅

=

m

e

e

χ

Jako

Jako

ść

ść

regulacji 

regulacji 

–

–

jako

jako

ść

ść

dynamiczna

dynamiczna

Bezpo

Bezpo

ś

ś

rednie wska

rednie wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

0

2

4

6

8

10

12

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

e(t)

t

e

m

e

2

∆∆∆∆

∆∆∆∆

T

r

Do  oceny  jako

Do  oceny  jako

ś

ś

ci  regulacji  s

ci  regulacji  s

ą

ą

stosowane  nast

stosowane  nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

ce 

ce 

parametry tej charakterystyki: 

parametry tej charakterystyki: 

1.

1.

M

M

r

r

–

–

maksymalna warto

maksymalna warto

ść

ść

modu

modu

ł

ł

u transmitancji 

u transmitancji 

widmowej uk

widmowej uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego  

tego  

-

-

powinna by

powinna by

ć

ć

jak najmniejsza,

jak najmniejsza,

2.

2.

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

p 

p 

–

–

szeroko

szeroko

ść

ść

pasma przenoszenia uk

pasma przenoszenia uk

ł

ł

adu 

adu 

zamkni

zamkni

ę

ę

tego. Powinna by

tego. Powinna by

ć

ć

dobrana tak, aby 

dobrana tak, aby 

zapewni

zapewni

ć

ć

t

t

ł

ł

umienie zak

umienie zak

ł

ł

ó

ó

ce

ce

ń

ń

wysoko

wysoko

-

-

cz

cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowych przy jednoczesnym 

ciowych przy jednoczesnym 

poprawnym przenoszeniu sygna

poprawnym przenoszeniu sygna

ł

ł

u u

u u

ż

ż

ytecznego. 

ytecznego. 

Cz

Cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowe wska

ciowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Cz

Cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowe wska

ciowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Charakterystyka cz

Charakterystyka cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ś

ś

ciowa uk

ciowa uk

ł

ł

adu zamkni

adu zamkni

ę

ę

tego:

tego:

10

-1

10

0

10

1

10

2

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

M(

ω

)

Φ

(

ω

)

M

r

ω

r

ω

p

M

st

M

p

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

0

2

4

6

8

10

12

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

e(t)

t

Uwagi:

Uwagi:

1.

1.

Miar

Miar

ą

ą

jako

jako

ś

ś

ci regulacji jest wielko

ci regulacji jest wielko

ść

ść

pola figury ograniczonej przez 

pola figury ograniczonej przez 

wykres odpowiedzi czasowej uchybu regulacji.  

wykres odpowiedzi czasowej uchybu regulacji.  

2.

2.

Sens wska

Sens wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w ca

w ca

ł

ł

kowych 

kowych 

–

–

opisuj

opisuj

ą

ą

one wielko

one wielko

ść

ść

strat (np. energii ) 

strat (np. energii ) 

podczas przebiegu sterowania.

podczas przebiegu sterowania.

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Wska

ź

niki całkowe stosowane w praktyce:

∫

∞

=

0

1

)

(

dt

t

e

I

Tylko przebiegi aperiodyczne

∫

∞

=

0

2

3

)

( dt

t

e

I

∫

∞

=

0

2

)

(

dt

t

e

I

Przebiegi aperiodyczne i oscylacyjne, 
trudne w analizie teoretycznej 

Najcz

ęś

ciej stosowany

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Je

ś

li transformata Laplace’a uchybu regulacji jest 

znana i równa:

0

1

0

1

1

1

...

...

)

(

a

s

a

s

a

c

s

c

s

c

s

E

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

=

−

−

To mo

ż

na poda

ć

analityczne wzory na warto

ść

wska

ź

nika jako

ś

ci I

3

:

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Dla n = 1:

Dla n = 2:

0

1

2

0

3

2

a

a

c

I

=

1

2

2

0

0

2

2

1

3

2

a

a

c

a

a

c

I

+

=

Ca

Ca

ł

ł

kowe wska

kowe wska

ź

ź

niki jako

niki jako

ś

ś

ci

ci

Dla n = 3:

)

(

2

)

2

(

3

0

2

1

3

2

0

0

2

3

2

0

2

1

3

2

2

1

3

a

a

a

a

a

c

a

a

a

c

c

c

a

c

a

I

−

+

−

+

=

Uk

Uk

ł

ł

ad regulacji

ad regulacji

G

G

r

r

(s

(s

)

)

G(s)

G(s)

Z(s)

r

E(s)

U(s)

Y(s)

gdzie:

gdzie:

•

•

r       

r       

–

–

warto

warto

ść

ść

zadana,

zadana,

•

•

E(s

E(s

) 

) 

–

–

uchyb regulacji,

uchyb regulacji,

•

•

U(s

U(s

) 

) 

–

–

sterowanie,

sterowanie,

•

•

Z(s

Z(s

) 

) 

–

–

zak

zak

ł

ł

ó

ó

cenie,

cenie,

•

•

Y(s

Y(s

) 

) 

–

–

wielko

wielko

ść

ść

regulowana

regulowana

•

•

G

G

r

r

(s

(s

) 

) 

–

–

transmitancja 

transmitancja 

regulatora,

regulatora,

•

•

G(s

G(s

) 

) 

–

–

transmitancja 

transmitancja 

obiektu regulacji

obiektu regulacji

Funkcje regulatora:

Funkcje regulatora:

1.

1.

wyznaczenie takiego sygna

wyznaczenie takiego sygna

ł

ł

u 

u 

steruj

steruj

ą

ą

cego, aby uchyb regulacji 

cego, aby uchyb regulacji 

by

by

ł

ł

mo

mo

ż

ż

liwie jak najmniejszy,

liwie jak najmniejszy,

2.

2.

Zapewnienie stabilno

Zapewnienie stabilno

ś

ś

ci uk

ci uk

ł

ł

adu 

adu 

regulacji,

regulacji,

3.

3.

Zapewnienie odpowiedniej jako

Zapewnienie odpowiedniej jako

ś

ś

ci 

ci 

regulacji, kt

regulacji, kt

ó

ó

rej miar

rej miar

ą

ą

s

s

ą

ą

wska

wska

ź

ź

niki 

niki 

jako

jako

ś

ś

ci regulacji. 

ci regulacji. 

+

-

+

-

Regulatory 

Regulatory 

-

-

klasyfikacja

klasyfikacja

Regulatory konwencjonalne ze wzgl

ę

du na sposób 

przetwarzania (algorytm działania) sygnału uchybu 

ε

(t)

w sygnał

u(t)

mo

ż

emy podzieli

ć

na cztery grupy:

1. Regulatory liniowe,

2. Regulatory dwupoło

ż

eniowe,

3. Regulatory trójpoło

ż

eniowe,

4. Regulatory impulsowe.

W  ramach  wykładu  b

ę

dziemy  si

ę

zajmowa

ć

regulatorami 

liniowymi o wyj

ś

ciu ci

ą

głym.

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e 

e 

-

-

schemat

schemat

Sygnał wyj

ś

ciowy regulatora wynosi:

(s)

U

(s)

U

(s)

U

U(s)

D

I

P

++++

++++

====

E s

( )

P

I

D

+

U s

P

( )

+

U s

I

( )

+

U s

D

( )

U s

( )

Rys. Ogólny schemat blokowy regulatora liniowego

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

Ze wzgl

ę

du na udział poszczególnych składowych w sygnale 

generowanym przez regulator, w praktyce zastosowanie znalazły 

nast

ę

puj

ą

ce regulatory:

regulator proporcjonalny o symbolu P,

regulator proporcjonalno-całkowy o symbolu PI,

regulator proporcjonalno-ró

ż

niczkowy o symbolu PD,

regulator proporcjonalno-całkowo-ró

ż

niczkowy o symbolu PID.

U

P

(s)

– składowa  proporcjonalna  do  sygnału  uchybu 

wytwarzana przez blok 

P

,

U

I

(s)

– składowa całkowa (całka z sygnału uchybu) 

wytwarzana przez blok 

I

,

U

D

(s)

– składowa ró

ż

niczkowa (pochodna z sygnału 

uchybu) wytwarzana przez blok 

D

.

Regulatory liniowe ci

Regulatory liniowe ci

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

Z pokazanego zestawienia wynika, 

ż

e:

1. Nie znalazł zastosowania regulator I, gdy

ż

pogarsza on 

znacznie  wła

ś

ciwo

ś

ci  dynamiczne  (przeregulowanie 

i czas regulacji). Z tego wzgl

ę

du w praktyce stosuje si

ę

poł

ą

czenie składowej proporcjonalnej i całkowej.

2. Nie  znalazł tak

ż

e  zastosowania  regulator  D,  gdy

ż

jego 

działanie 

ogranicza 

si

ę

tylko 

do 

przebiegów 

przej

ś

ciowych. 

Dlatego  w 

praktyce 

stosuje 

si

ę

poł

ą

czenie składowej proporcjonalnej i ró

ż

niczkowej.

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

r

r

k

s

G

=

)

(

Działanie:

•

zmniejszenie uchybu regulacji,

• niebezpiecze

ń

stwo utraty stabilno

ś

ci.

gdzie:

k

r

- wzmocnienie regulatora.

Transmitancja: 

Algorytm sterowania:

)

(

)

(

t

e

k

t

u

r

=

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

Funkcja przej

ś

cia regulatora rzeczywistego (z inercj

ą

)

1

+

=

Ts

r

rrz

K

(s)

G

T

– nienastawiana stała czasowa wynikaj

ą

ca z inercji regulatora.

Uwaga

Regulator rzeczywisty mo

ż

na traktowa

ć

jak idealny 

wtedy, gdy jego stała czasowa jest znacznie mniejsza 
od pozostałych stałych czasowych układu.

Regulator proporcjonalny P

Regulator proporcjonalny P

Rys. Charakterystyki skokowe regulatora P

0

t

u

u

id

u

rz

A K

ε

r

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI













+

=

s

T

k

s

G

i

r

r

1

1

)

(

Algorytm sterowania:

Transmitancja: 















+

=

∫

t

i

r

d

e

T

t

e

k

t

u

0

)

(

1

)

(

)

(

τ

τ

gdzie:   

k

r

–

wzmocnienie regulatora.

T

i

– czas całkowania, zdwojenia, izodromu

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka skokowa regulatora PI:

0

5

10

15

20

25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

k

r

2k

r

T

i

czas 

u(t)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo-fazowa:

-1

-0.5

0

0.5

1

2

2.5

-40

-30

-10

0

10

20

30

40

P(

ω

)

Q(

ω

)

k

r

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa Bodego modułu i fazy:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

M

a

g

n

it

u

d

e

(d

B

)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-90

0

Bode Diagram

-

ππππ

/4

-

ππππ

/2

1/T

i

20log(k

r

)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Funkcja przej

ś

cia regulatora rzeczywistego ma cz

ę

sto posta

ć

)

1

Ts

(

s

1

s

T

K

s

T

1

1

1

Ts

K

(s)

G

i

e

i

r

rrz

++++

++++

====













++++

++++

====

gdzie:

K

e

– wzmocnienie efektywne o warto

ś

ci

T – nienastawialna stała czasowa wynikaj

ą

ca 

z inercji regulatora.

i

r

e

T

K

K

====

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

0

t

u

u

id

A K

ε

r

u

rz

T

i

2 A K

ε

r

4T

∆

u

Rys. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PI

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Po  upływie  czasu 

t

≈

4T,

charakterystyka  regulatora 

rzeczywistego ró

ż

ni si

ę

od idealnej o warto

ść

bł

ę

du:

i

r

T

T

K

A

u

εεεε

====

∆∆∆∆

gdzie:

A

ε

– warto

ść

skokowego sygnału uchybu.

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

cy PI

cy PI

Działanie:

• Eliminacja uchybu ustalonego z układu regulacji 

• Regulator PI dla wi

ę

kszych cz

ę

stotliwo

ś

ci działa jak  

regulator P,  działanie całkuj

ą

ce jest widoczne dla 

mniejszych cz

ę

stotliwo

ś

ci, 

• Wprowadzenie ujemnego przesuni

ę

cia fazowego,

• Pogorszenie stabilno

ś

ci. 

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD













+

=

dt

t

de

T

t

e

k

t

u

d

r

)

(

)

(

)

(

Algorytm:

Transmitancja regulatora PD rzeczywistego:













+

+

=

1

1

)

(

Ts

s

T

k

s

G

d

r

r

s)

T

(1

K

(s)

G

d

r

rid

+

=

Transmitancja regulatora PD idealnego:

gdzie:

k

r

– wzmocnienie regulatora,

T

d

– czas ró

ż

niczkowania, czas wyprzedzenia,

T

– stała czasowa cz

ęś

ci ró

ż

niczkuj

ą

cej, najcz

ęś

ciej przyjmuje 

si

ę

: 

T = T

d

/10

;

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

t

0

u

u

id

A K

ε

r

Rys. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PD

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka skokowa regulatora PD rzeczywistego:

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

czas

k

r

k

r

(1+T

d

/T)

T

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo- fazowa:

-5

0

5

10

15

20

25

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Q(

ω

)

P(

ω

)

k

r

k

r

(1+T

d

/T)

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa logarytmiczna modułu i fazy:

5

10

15

20

25

30

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

30

60

Bode Diagram

1/T

d

1/T

20log(k

r

)

20log(k

r

(1+T

d

/T))

Regulator proporcjonalno

Regulator proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy PD

cy PD

Działanie:

• Zwi

ę

kszenie zapasu stabilno

ś

ci,

• Rozszerzenie szeroko

ś

ci pasma,

• Brak wpływu na działanie układu w stanie ustalonym.

Regulator 

Regulator 

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID















+

+

=

∫

dt

t

de

T

d

e

T

t

e

k

t

u

d

t

i

r

)

(

)

(

1

)

(

)

(

0

τ

τ

Algorytm:

Transmitancja regulatora rzeczywistego:













+

+

+

=

1

1

1

)

(

Ts

s

T

s

T

k

s

G

d

i

r

r

s)

T

s

T

1

(1

K

(s)

G

d

i

r

rid

++++

++++

====

Transmitancja regulatora idealnego:

Regulator 

Regulator 

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Rys. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID

t

0

u

u

id

A K

ε

r

T

i

2 A K

ε

r

Regulator 

Regulator 

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Odpowied

ź

skokowa regulatora PID

rzeczywistego. 

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

k

r

(1+T

d

/T)

2k

r

T

i

Regulator 

Regulator 

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa amplitudowo – fazowa:

-5

0

5

10

15

20

25

-30

-20

0

10

20

30

Nyquist Diagram

Real Axis

k

r

(1+T

d

/T)

k

r

P(

ω

)

Q(

ω

)

Regulator 

Regulator 

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

ca

ca

ł

ł

kuj

kuj

ą

ą

co

co

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

cy

cy

PID

PID

Charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa logarytmiczna modułu i fazy:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

M

a

g

n

it

u

d

e

(d

B

)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-90

-45

0

45

90

P

h

a

s

e

(d

e

g

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

1/T

i

1/T

D

1/T

20log(k

r

(1+T

d

/T))

20logk

r

Wp

Wp

ł

ł

yw poszczeg

yw poszczeg

ó

ó

lnych cz

lnych cz

ęś

ęś

ci regulatora PID 

ci regulatora PID 

na stabilno

na stabilno

ść

ść

:

:

P(

ω

)

Q(

ω

)

(-1,j0)

M(

ω

)

P

D

I

Zasady doboru transmitancji typowych 

Zasady doboru transmitancji typowych 

regulator

regulator

ó

ó

w liniowych

w liniowych

PID

Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, 
zmiana przeregulowania, niedu

ż

a zmiana 

czasu regulacji

PI

Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, 
zmiana przeregulowania, wyd

ł

u

ż

enie czasu 

regulacji

PD

Skrócenie czasu regulacji, zmiana uchybu 
statycznego, zmiana przeregulowania

P

Zmiana uchybu statycznego, zmiana 
przeregulowania i czasu regulacji

Regulator

Przewidywane działanie regulatora

Dostrajanie regulator

Dostrajanie regulator

ó

ó

w

w

Uwagi wst

Uwagi wst

ę

ę

pne:

pne:

1.

1.

Poprawnie dostrojony do procesu regulator powinien 

Poprawnie dostrojony do procesu regulator powinien 

zapewni

zapewni

ć

ć

:

:

–

–

s

s

tabilno

tabilno

ść

ść

uk

uk

ł

ł

adu regulacji,

adu regulacji,

–

–

j

j

ako

ako

ść

ść

regulacji odpowiedni

regulacji odpowiedni

ą

ą

w sensie wybranego 

w sensie wybranego 

wska

wska

ź

ź

nika. 

nika. 

2. Dostrojenie regulatora do nieznanego procesu 

2. Dostrojenie regulatora do nieznanego procesu 

zawsze 

zawsze 

wi

wi

ąż

ąż

e si

e si

ę

ę

z wykonaniem eksperymentu na 

z wykonaniem eksperymentu na 

obiekcie regulacji.

obiekcie regulacji.

Klasyfikacja metod dostrajania regulator

Klasyfikacja metod dostrajania regulator

ó

ó

w

w

Metody dostrajania 

regulatorów

Metody cyklu 

granicznego

Metody bazuj

ą

ce na 

znajomo

ś

ci odpowiedzi 

skokowej obiektu.

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

• Eksperyment wykonujemy w układzie zamkni

ę

tym,

• Stosujemy okre

ś

lony typ regulatora ( proporcjonalny 

lub II poło

ż

eniowy) 

• celem eksperymentu jest  znalezienie wzmocnienia 

krytycznego k

kr

i okresu oscylacji nietłumionych T

osc

w układzie. 

• Na podstawie warto

ś

ci k

kr

i  T

osc

wyznaczamy 

nastawy regulatora.

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

regulator

Obiekt 

0

10

20

30

40

50

60

-5

0

5

10

15

20

25

Schemat układu do

ś

wiadczalnego.

Metody cyklu graniczneg

Metody cyklu graniczneg

o. Metoda 

o. Metoda 

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

Eksperyment wykonujemy w zamkni

ę

tym układzie 

regulacji z regulatorem PID.

Etapy:

• regulator ustawiamy na działanie P – wył

ą

czamy          

cz

ęść

całkuj

ą

c

ą

i ró

ż

niczkuj

ą

c

ą

.

• wyznaczamy do

ś

wiadczalnie wzmocnienie krytyczne   

k

kr

zwi

ę

kszaj

ą

c k

r

. Osi

ą

gni

ę

cie granicy stabilno

ś

ci jest 

sygnalizowane powstaniem oscylacji nietłumionych
w układzie. 

• Mierzymy warto

ść

okresu oscylacji nietłumionych T

osc

.

• Wyznaczamy nastawy dla regulatorów wg wzorów:

Metody cyklu graniczneg

Metody cyklu graniczneg

o. Metoda 

o. Metoda 

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

k

r

= 0.6 k

kr

T

i

= 0.5T

osc

T

D

= 0.125T

osc

PID

k

r

= 0.45 k

kr

T

i

= 0.85T

osc

PI

k

r

= 0.5 k

kr

P

Nastawy 

Regulator

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

. Metoda 

. Metoda 

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

t

T

osc

Dla K

rgr

y

Rys. Charakterystyka  skokowa układu na granicy stabilno

ś

ci

Metody cyklu granicznego

Metody cyklu granicznego

. Metoda 

. Metoda 

Zieglera

Zieglera

-

-

Nicholsa

Nicholsa

Wady przedstawionej powy

Wady przedstawionej powy

ż

ż

ej metody:

ej metody:

1.

1.

Niebezpiecze

Niebezpiecze

ń

ń

stwo utraty stabilno

stwo utraty stabilno

ś

ś

ci.

ci.

2.

2.

Uci

Uci

ąż

ąż

liwo

liwo

ść

ść

do przeprowadzenia na rzeczywistych 

do przeprowadzenia na rzeczywistych 

obiektach o d

obiektach o d

ł

ł

ugich sta

ugich sta

ł

ł

ych czasowych.

ych czasowych.

3.

3.

Brak mo

Brak mo

ż

ż

liwo

liwo

ś

ś

ci zautomatyzowania.

ci zautomatyzowania.

4.

4.

Niemo

Niemo

ż

ż

liwa do zastosowania dla niekt

liwa do zastosowania dla niekt

ó

ó

rych 

rych 

obiekt

obiekt

ó

ó

w (

w (

np

np

. I i II rz

. I i II rz

ę

ę

du stabilnych strukturalnie).

du stabilnych strukturalnie).

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach 

ce na parametrach 

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

Eksperyment wykonujemy w układzie otwartym.

Etapy:

1. Wyznaczamy odpowied

ź

skokow

ą

obiektu.

2. Wyznaczamy parametry transmitancji zast

ę

pczej obiektu:

•

wzmocnienie k

•

zast

ę

pcz

ą

stał

ą

czasow

ą

T

•

zast

ę

pczy czas martwy 

ττττ

3. Wyznaczamy nastawy dla regulatorów wg wzorów:

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach 

ce na parametrach 

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

 
 
Obiekty astatyczne z opó

źnienie m: 

Typ 

regulator a 

Przeregulowanie 0% 

Min T

r 

Przeregulowanie 20% 

Min T

r

 

Min wska

źnika 

całkowego I

3 

P 

k

r

 = 0.37(T/

ττττ

) 

k

r

 = 0.7(T/

ττττ

) 

(brak nastaw) 

PI 

k

r

 = 0.46(T/

ττττ

) 

T

i

 = 5.75

ττττ

 

k

r

 = 0.7(T/

ττττ

) 

T

i

 = 3.0

ττττ

 

k

r

 = 1.0(T/

ττττ

) 

T

i

 = 4.30

ττττ

 

PID 

k

r

 = 0.65(T/

ττττ

) 

T

i

 = 5.0

ττττ

 

T

d

 = 0.23

ττττ

 

k

r

 = 1.1(T/

ττττ

) 

T

i

 = 2.0

ττττ

 

T

d

 = 0.37

ττττ

 

k

r

 = 1.36(T/

ττττ

) 

T

i

 = 1.6

ττττ

 

T

d

 = 0.5

ττττ

 

 
 
Obiekty statyczne z opó

źnienie m: 

Typ 

regulator a 

Przeregulowanie 0% 

min T

r 

Przeregulowanie 20% 

min T

r

 

Min I

3 

P 

T

k

k

r

τ

3

.

0

=

 

T

k

k

r

τ

7

.

0

=

 

(brak nastaw) 

PI 

T

k

k

r

τ

6

.

0

=

 

T

i

 = 0.8

ττττ

 + 0.5T 

T

k

k

r

τ

7

.

0

=

 

T

i

 = 

ττττ

 + 0.3T 

T

k

k

r

τ

0

.

1

=

 

T

i

 = 

ττττ

 + 0.35T 

PID 

T

k

k

r

τ

6

.

0

=

 

T

i

 = 2.4

ττττ

  

T

d

 = 0.4

ττττ

 

T

k

k

r

τ

2

.

1

=

 

T

i

 = 2.0

ττττ

  

T

d

 = 0.4

ττττ

 

T

k

k

r

τ

4

.

1

=

 

T

i

 = 1.3

ττττ

  

T

d

 = 0.5

ττττ

 

 

Metody bazuj

Metody bazuj

ą

ą

ce na parametrach 

ce na parametrach 

odpowiedzi skokowej obiektu

odpowiedzi skokowej obiektu

t

y

K A

u

τ

T

z

0.632 K A

u

P

o

0

Rys. Przykładowa charakterystyka skokowa obiektu regulacji

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji 

adu regulacji 

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

We

ź

my pod uwag

ę

układ regulacji przed korekcj

ą

.

W s

z

( )

K G s

z

o

( )

Y s

( )

–

Rys.  Schemat  blokowy  układu  oryginalnego,  czyli  przed 

wprowadzeniem regulatora

Funkcja przej

ś

cia układu otwartego - przykład

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

(s)

G

K

(s)

G

o

z

1

++++

++++

++++

====

====

G1

Synteza uk

Synteza uk

ł

ł

adu regulacji 

adu regulacji 

-

-

przyk

przyk

ł

ł

ad

ad

W s

z

( )

G s

r

( )

K G s

z

o

( )

Y s

( )

–

Rys. Schemat blokowy układu skorygowanego

Po korekcji za pomoc

ą

idealnego regulatora P o wzmocnieniu K

r

= 0.133

otrzymano funkcj

ę

przej

ś

cia w układzie otwartym

1)

1)(s

1)(5s

(10s

6

0.133

(s)

G

(s)K

G

(s)

G

o

z

r

2

++++

++++

++++

====

====

G2