T. 3. OPIS MATEAMTYCZNY

UKŁADÓW LINIOWYCH

• TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU

• TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU

• OPIS UKŁADÓW METODĄ ZMIENNYCH STANU

TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU

• Dowolny układ regulacji automatycznej opisuje równanie różniczkowe wiążące

wielkość wyjściową „y(t)” z wielkością wejściową „x(t)”, mające postać:

• Transformując to równanie przy zerowych warunkach początkowych otrzymamy:

• a po przekształceniach w postaci:

• z wyrażenia tego wyznaczymy stosunek transformaty sygnału wyjściowego do

transformaty sygnału wejściowego, co zapiszemy w postaci:

TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU

• Transmitancją operatorową

układu nazywamy: stosunek transformaty

sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych

warunkach początkowych, co zapisujemy:

• W przypadku

układów wielowymiarowych

należy określić macierz

transmitancji operatorowej opisującej związek pomiędzy wektorami

transformat: sygnałów wejściowych i sygnałów wyjściowych przy zerowych

warunkach początkowych, co zapisujemy:

TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU

• Do opisu własności dynamicznych układu wykorzystuję się również pojęcie

transmitancji widmowej układu

• Transmitancja widmowa

to stosunek zespolonej wartości sygnału

wyjściowego do zespolonej wartości sygnału wejściowego przy wymuszeniu

sinusoidalnym:

• Transmitancją widmową otrzymujemy z transmitancji operatorowej

dokonując następującego podstawienia:

• Transmitancja widmowa opisuje zachowanie się układu przy zmieniającej się

pulsacji sygnału wymuszającego

TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU

• Transmitancja widmowa jest wielkością zespoloną , a więc można ją

przedstawić w postaci:

• Związki

zachodzące

pomiędzy

poszczególnymi

elementami transmitancji

widmowej:

METODA ZMIENNYCH STANU

• Niech dla rozpatrywanego układu modelem będzie zespół „n” równań

różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

• Wybierzmy w tym układzie równań n” liniowo niezależnych wielkości

fizycznych lub abstrakcyjnych, które oznaczymy poprzez:

• Załóżmy, że w chwili początkowej znamy wartości tych wielkości:

• Mówimy wtedy, że zbiór tych „n” liczb przedstawia stan układu w chwili t=0,

jeżeli wystarcza to wraz ze znanym modelem matematycznym i znanym

przebiegiem sygnałów zewnętrznych działających na układ, do

jednoznacznego określania zachowania się układu w chwilach t>0

• Wielkości

nazywamy współrzędnymi

stanu lub

zmiennymi stanu

i traktujemy jako składowe wektora:

• Po podstawieniu t= t

0

otrzymujemy wektor przedstawiający

początkowy stan układu

• Przy t>t

0

poszczególne współrzędne stanu zmieniają się

zgodnie z rozwiązaniem układu „n” równań różniczkowych,

otrzymanymi dla znanych sygnałów zewnętrznych

METODA ZMIENNYCH STANU

• Wówczas w n-wymiarowej przestrzeni stanu koniec wektora kreśli

trajektorię, której punkty:

przedstawiają stan układu w chwilach t

0

, t

1

, t

2

, ..., t

k

. Dla układu

trzeciego rzędu

METODA ZMIENNYCH STANU

• Niech będzie dany układ liniowy ciągły stacjonarny opisany przez „n” równań

różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu w postaci:

• Sygnały wyjściowe niech spełniają układ „m” równań algebraicznych:

METODA ZMIENNYCH STANU

• W uproszczonej postaci wektorowo-macierzowej równania te przyjmą postać:

• Równanie pierwsze nazywane jest

równaniem stanu

, natomiast drugie

równaniem wyjścia

. W równaniach tych oznaczono: u(t) – wektor sygnałów

sterujących, y(t) – wektor sygnałów wyjściowych, A – macierz stanu,

B- macierz wejść, C – macierz wyjść.

METODA ZMIENNYCH STANU

• Schemat blokowy

układu odpowiadający powyższym równaniom

przedstawia rysunek:

• W przypadku układu jednowymiarowego r=1 i m=1 w równaniach stanu i

wyjścia należy zastąpić wektory u(t) i y(t) skalarami, wówczas równania

przyjmą postać:

• Układowi opisanemu powyższymi równaniami odpowiada schemat blokowy

w postaci:

METODA ZMIENNYCH STANU

• W układach często zdarza się, że na sygnały wyjściowe mają bezpośrednio

wpływ sygnały sterujące, wówczas równanie wyjścia przyjmie postać:

• Schemat blokowy takiego układu przedstawia się następująco:

ZWIĄZEK MIĘDZY RÓWNANIAMI STANU I WYJŚCIA

A MACIERZĄ TRANSMITANCJI

• Wyznaczymy

transmitancję w relacji wejście-wyjście

na podstawie

równania stanu układu i równania wyjścia przy założeniu, że wszystkie sygnały

zewnętrze są tożsamościowo równe zero. Po dokonaniu przekształcenia

Laplace’a, przy zerowych warunkach początkowych otrzymamy:

• Przy założeniu, że macierz

jest nieosobliwa możemy zapisać:

• Wówczas równanie wyjścia przyjmie postać:

a więc macierz transmitancji zapiszemy w postaci:

lub po podstawieniu:

Koniec wykładu 3