T. 3.       OPIS MATEAMTYCZNY  

 

      UKŁADÓW LINIOWYCH 

• TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU 

 

• TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU 

 

• OPIS UKŁADÓW METODĄ ZMIENNYCH STANU 

TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU 

• Dowolny układ regulacji automatycznej opisuje równanie różniczkowe wiążące 

wielkość wyjściową  „y(t)” z wielkością wejściową „x(t)”, mające postać: 

• Transformując to równanie przy zerowych warunkach początkowych otrzymamy: 

• a po przekształceniach w postaci: 

• z wyrażenia tego wyznaczymy stosunek transformaty sygnału wyjściowego do 

transformaty sygnału wejściowego, co zapiszemy w postaci: 

TRANSMITANCJA OPERATOROWA UKŁADU 

• Transmitancją operatorową

 układu nazywamy: stosunek transformaty 

sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych 

warunkach początkowych, co zapisujemy: 

• W przypadku 

układów wielowymiarowych

 należy określić macierz 

transmitancji operatorowej opisującej związek pomiędzy wektorami 

transformat: sygnałów wejściowych i sygnałów wyjściowych  przy zerowych 

warunkach początkowych, co zapisujemy: 

TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU 

• Do opisu własności dynamicznych układu wykorzystuję się również pojęcie 

transmitancji widmowej układu 

• Transmitancja widmowa

 to stosunek zespolonej wartości sygnału 

wyjściowego do zespolonej wartości sygnału wejściowego przy wymuszeniu 

sinusoidalnym: 

• Transmitancją widmową otrzymujemy z transmitancji operatorowej 

dokonując następującego podstawienia: 

• Transmitancja widmowa opisuje zachowanie się układu przy zmieniającej się 

pulsacji sygnału wymuszającego 

TRANSMITANCJA WIDMOWA UKŁADU 

• Transmitancja widmowa jest wielkością zespoloną , a więc można ją 

przedstawić w postaci: 

• Związki

 zachodzące 

pomiędzy

 poszczególnymi 

elementami transmitancji

 

widmowej: 

METODA ZMIENNYCH STANU 

• Niech dla rozpatrywanego układu modelem będzie zespół „n” równań 

różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu  

• Wybierzmy w tym układzie równań n” liniowo niezależnych wielkości 

fizycznych lub abstrakcyjnych, które oznaczymy poprzez: 

• Załóżmy, że w chwili początkowej znamy wartości tych wielkości:  

• Mówimy wtedy, że zbiór tych „n” liczb przedstawia stan układu w chwili t=0, 

jeżeli wystarcza to wraz ze znanym modelem matematycznym i znanym 

przebiegiem sygnałów zewnętrznych działających na układ, do 

jednoznacznego określania zachowania się  układu w chwilach t>0 

• Wielkości   

   

 

 

 

nazywamy współrzędnymi 

stanu lub 

zmiennymi stanu

 i traktujemy jako składowe wektora:  

• Po podstawieniu t= t

0

 otrzymujemy wektor przedstawiający 

początkowy stan układu 

• Przy t>t

0

 poszczególne współrzędne stanu zmieniają się 

zgodnie z rozwiązaniem układu „n” równań różniczkowych, 

otrzymanymi dla znanych sygnałów zewnętrznych  

METODA ZMIENNYCH STANU 

• Wówczas w n-wymiarowej przestrzeni stanu koniec wektora kreśli 

trajektorię, której punkty:  

  przedstawiają stan układu w chwilach t

0

, t

1

, t

2

, ..., t

k

. Dla układu 

trzeciego rzędu 

METODA ZMIENNYCH STANU 

• Niech będzie dany układ liniowy ciągły stacjonarny opisany przez „n” równań 

różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu w postaci: 

• Sygnały wyjściowe niech spełniają układ „m” równań algebraicznych: 

METODA ZMIENNYCH STANU 

• W uproszczonej postaci wektorowo-macierzowej równania te przyjmą postać: 

• Równanie pierwsze nazywane jest 

równaniem stanu

, natomiast drugie 

równaniem wyjścia

. W równaniach tych oznaczono: u(t) – wektor sygnałów 

sterujących, y(t) – wektor sygnałów wyjściowych, A – macierz stanu,            

B- macierz wejść, C – macierz wyjść. 

METODA ZMIENNYCH STANU 

• Schemat blokowy

 układu odpowiadający powyższym równaniom 

przedstawia rysunek: 

• W przypadku układu jednowymiarowego r=1 i m=1 w równaniach stanu i 

wyjścia należy zastąpić wektory u(t) i y(t) skalarami, wówczas równania 

przyjmą postać: 

• Układowi opisanemu powyższymi równaniami odpowiada schemat blokowy  

w postaci: 

METODA ZMIENNYCH STANU 

• W układach często zdarza się, że na sygnały wyjściowe mają bezpośrednio 

wpływ sygnały sterujące, wówczas równanie wyjścia przyjmie postać: 

• Schemat blokowy takiego układu przedstawia się następująco: 

ZWIĄZEK MIĘDZY RÓWNANIAMI STANU I WYJŚCIA  

A MACIERZĄ TRANSMITANCJI 

• Wyznaczymy 

transmitancję w relacji wejście-wyjście

 na podstawie 

równania stanu układu i równania wyjścia przy założeniu, że wszystkie sygnały 

zewnętrze są tożsamościowo równe zero. Po dokonaniu przekształcenia 

Laplace’a, przy zerowych warunkach początkowych otrzymamy: 

• Przy założeniu, że macierz  

       jest nieosobliwa możemy zapisać: 

• Wówczas równanie wyjścia przyjmie postać: 

  a więc macierz transmitancji zapiszemy w postaci: 

  lub po podstawieniu: 

Koniec wykładu 3