CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH,

TRYGONOMETRYCZNYCH I NIEWYMIERNYCH

2

CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH

Definicja (funkcja wymierna właściwa)

Funkcję wymierną

( )

( )

( )

L x

W x

M x

=

nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest

mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. W przeciwnym przypadku mówimy, ze funkcja
wymierna jest niewłaściwa.

Uwaga.
Każdą funkcję wymierna niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji
wymiernej właściwej.


Definicja (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)

1.

Funkcję wymierną postaci

(

)

n

A

x

a

+

, gdzie

,

,

n

a A

∈

∈

ℕ

ℝ

, nazywamy ułamkiem prostym

pierwszego rodzaju.

2.

Funkcję wymierną postaci

(

)

2

n

Bx

C

x

bx

c

+

+

+

, gdzie

,

, , ,

n

b c B C

∈

∈

ℕ

ℝ

, oraz

2

4

0

b

c

∆ =

−

<

, nazywamy

ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest
jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa

( )

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

...

...

s

r

l

l

l

k

k

k

r

s

s

L x

x

x

x

x

x

x

x

b x c

x

b x c

x

b x c

−

−

−

+

+

+

+

+

+

jest sumą

1

2

...

r

k

k

k

+ + +

ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz

1

2

...

s

l

l

l

+ + +

ułamków prostych

drugiego rodzaju, przy czym

czynnikowi

(

)

i

k

i

x

x

−

odpowiada suma k

i

ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:

(

)

(

)

1

2

2

...

i

i

ik

i

i

k

i

i

i

A

A

A

x

x

x

x

x

x

+

+ +

−

−

−

, gdzie

1

2

,

,...,

1

i

i

i

ik

A A

A

i

r

∈

≤ ≤

ℝ

,

czynnikowi

(

)

2

j

l

j

j

x

b x

c

+

+

odpowiada suma l

j

ułamków prostych drugiego rodzaju postaci:

(

)

(

)

1

1

2

2

2

2

2

2

...

j

j

j

jl

jl

j

j

j

j

l

j

j

j

j

j

j

B x C

B x C

B x C

x

b x

c

x

b x c

x

b x

c

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

, gdzie

1

2

1

2

,

,...,

,

,

,...,

1

j

j

j

j

jl

j

j

jl

B

B

B

C

C

C

j

s

∈

≤ ≤

ℝ

.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju

Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie

t

x

a

= +

i następnie

korzystamy ze wzoru:

1

ln

1

1

1

t

C dla

t dt

t

C dla

α

α

α

α

α

+



+

= −



=



+

≠ −



+



∫

3

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju

Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

n

n

n

Bx C dx

x b dx

B

Bb

dx

C

x

bx

c

x

bx c

x

bx c

+

+





=

+

−









+ +

+ +

+ +

∫

∫

∫

.

Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia

2

t

x

bx

c

=

+ +

, a drugą po sprowadzeniu

trójmianu

2

x

bx

c

+ +

do postaci kanonicznej:

(

)

2

2

2

2

4

b

b

x

p

q

x

c









−

+ =

+

+ −

















i podstawieniu

x

p

q t

− =

⋅

za pomocą wzoru:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

2

2

2

3

2

1

2

1

n

n

n

dx

x

n

dx

n

a

x

a

n

a x

a

x

a

−

−

−

=

+

−

+

−

+

+

∫

∫

.

(

** - ograniczymy się do n=1)

CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Całkowanie funkcji postaci: sin

cos

n

m

x

x

⋅

:

1.

Jeśli

n lub m jest nieparzystą liczbą naturalną stosujemy „jedynkę trygonometryczną”:

2

2

sin

1 cos

x

x

= −

( lub

2

2

cos

1 sin

x

x

= −

)

2.

Jeśli

n, m są parzystymi liczbami naturalnymi wykorzystujemy tożsamości:

(

)

2

1

sin

1 cos 2

2

x

x

=

−

,

(

)

2

1

cos

1 cos 2

2

x

x

=

+

(*) Całkowanie funkcji postaci: sin

cos

, sin

sin

, cos

cos

ax

bx

ax

bx

ax

bx

⋅

⋅

⋅

:

Do obliczania całek funkcji takiej postaci stosujemy następujące tożsamości trygonometryczne:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

sin

cos

sin

sin

,

2

1

sin

sin

cos

cos

2

1

cos

cos

cos

cos

2

ax

bx

a

b x

a

b x

ax

bx

a

b x

a

b x

ax

bx

a

b x

a

b x

⋅

=



+

+

−







⋅

=



−

−

+







⋅

=



+

+

−







Uwaga.
R(u,v) - funkcja wymierna dwóch zmiennych, tzn. funkcja, którą można przedstawić w postaci ilorazu
wielomianów dwóch zmiennych.

Całkowanie funkcji postaci:

(

)

sin , cos

R

x

x

:

Podstawienie:

2

x

t

tg

=

(podstawienie uniwersalne). Wówczas:

2

2

2

2

2

1

2

sin

, cos

,

1

1

1

t

t

dt

x

x

dx

t

t

t

−

=

=

=

+

+

+

.

(*) Całkowanie funkcji postaci:

(

)

2

2

sin

, cos

R

x

x :

Podstawienie:

t

tgx

=

. Wówczas:

2

2

2

2

2

2

1

sin

, cos

,

1

1

1

t

dt

x

x

dx

t

t

t

=

=

=

+

+

+

.

4

CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

Całkowanie funkcji zawierających

2

ax

bx

c

+

+

1.

Całka typu

2

dx

ax

bx

c

+

+

∫

.

Trójmian kwadratowy

2

ax

bx

c

+

+

sprowadzamy do postaci kanonicznej

(

)

2

a x

p

q

−

+

.

Następnie, stosując podstawienie:

(

)

a x

p

qt

−

=

, sprowadzamy całkę do postaci:

2

2

ln

1

,

0

1

dt

t

t

C

a

t

=

+

+ +

>

+

∫

lub

2

arcsin

,

0

1

dt

t

C

a

t

=

+

<

−

∫

.

2.

Całka typu

( )

2

n

W

x dx

ax

bx

c

+

+

∫

, gdzie

( )

n

W

x

jest wielomianem n – tego stopnia, ma następującą

postać:

( )

( )

2

1

2

2

n

n

W

x

dx

dx

A

x

ax

bx

c

B

ax

bx

c

ax

bx

c

−

=

+

+ +

+

+

+

+

∫

∫

Wartości współczynników

1

2

1

,

,...,

,

n

A A

A

B

−

otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań, który

powstaje po obustronnym zróżniczkowaniu powyższego wzoru, pomnożeniu przez

2

ax

bx

c

+

+

i porównaniu wielomianów.

Całkowanie funkcji zawierających pierwiastki z

ax

b

cx

d

+

+

Całki postaci

,

,

m

n

ax

b

ax

b

W x

dx

cx

d

cx

d





+

+









+

+





∫

, obliczamy przez podstawienie

ax

b

t

cx

d

α

+ =

+

gdzie α jest

najmniejszą wspólną wielokrotnością stopni m, n tych pierwiastków.