Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 1
1.1.1
Określanie ciśnienia czynnego w instalacji
z rozdziałem górnym
Przy projektowaniu instalacji centralnego ogrzewania z rozdziałem
górnym przyjmujemy następujące załoŜenia:
•
pion wznośny jest idealnie zaizolowany;
•
uwzględniamy wpływ schłodzenia wody w przewodach zasilających, na
ciśnienie czynne w obiegu;
•
pomijamy wpływ schłodzenia wody w przewodach powrotnych na
ciśnienie czynne w obiegu;
•
sprawność izolacji przewodów rozprowadzających na nieogrzewanym
poddaszu powinna wynosić ok. 80 % (
η
= 0.8).
Q
Q
rz
o
====
⋅⋅⋅⋅ −−−−
(
)
1
ηηηη
W
gdzie:
Q
o
- moc cieplna oddawana przez przewód bez izolacji (odczytana z tablic).
Ogólny wzór na ciśnienie czynne w obiegu instalacji z rozdziałem górnym ma
następującą postać:
(
)
[Pa]
;
81
.
9
dod
z
p
cz
p
h
p
∆
+
⋅
⋅
−
=
∆
ρ
ρ
[ 1.1]
o
Pion
wzno
ś
ny
h
h
i
h
i
Rys. 1.1. Instalacja grawitacyjna z rozdziałem górnym
Dodatkowe ciśnienie czynne wywołane schłodzeniem wody w przewodach
zasilających naleŜy wyznaczać ze wzoru:
(
)
[ ]
∑
−
⋅
∆
⋅
=
∆
n
i
i
i
dod
g
h
p
1
Pa
ρ
[ 1.2]
gdzie:
h
i
- róŜnica wysokości między środkiem źródła ciepła i środkiem
rozpatrywanej działki, [m] (Rys. 1.1);
∆∆∆∆ρρρρ
i
- róŜnica gęstości wody na początku i na końcu działki wynikająca ze
schłodzenia wody, [kg/m
3
];
t
1i
t
2i
ρρρρ
1i
ρρρρ
2i
Q
i
l
i
G
i
RóŜnicę gęstości określa wzór:
(
)
[
]
3
1
2
kg/m
i
ti
i
i
i
ε
δ
ρ
ρ
ρ
⋅
=
−
=
∆
[ 1.3]
w którym:
δδδδ
ti
i
w
Q
c
G
====
⋅⋅⋅⋅
K
[ 1.4]
(
)
[ ]
W
1
i
i
i
i
q
l
Q
⋅
−
⋅
=
η
[ 1.5]
q
i
- moc cieplna 1 m rury poziomej lub pionowej, [W/m].
εεεε
i
- zmiana gęstości na 1 K, [kg/m
3
⋅
K].
Uwzględniając powyŜsze zaleŜności wzór na dodatkowe ciśnienie czynne
przyjmuje postać:
(
)
[ ]
Pa
1
1
g
G
c
l
q
h
p
n
i
i
w
i
i
i
i
i
dod
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
∑
=
η
ε
[ 1.6]
Do określenia
∆∆∆∆
p
dod
muszą być znane średnice przewodów zasilających.
Wstępnie gdy średnice te nie są znane postępujemy w następujący sposób:
1.
Określamy orientacyjne dodatkowe ciśnienie czynne z tabeli
zamieszczonej poniŜej.
2.
Określamy ciśnienie czynne w obiegu i dobieramy średnice przewodów.
3.
Określamy rzeczywiste dodatkowe ciśnienie czynne.
4.
Określamy ciśnienie czynne w obiegu i sprawdzamy czy straty ciśnienia
w obiegu są zbliŜone do ciśnienia czynnego.
5.
Jeśli straty ciśnienia w obiegu odbiegają w znacznym stopniu (błąd > 10
%) od ciśnienia czynnego to wracamy do punktu 2.
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 2
Rys. 1.2. Wykres zmiany jednostkowego przyrostu gęstości wody
ε
i
[kg/m
3
⋅⋅⋅⋅
K] w funkcji temperatury
PrzybliŜone wartości dodatkowego ciśnienia czynnego wywołanego ochłodzeniem wody w przewodach zasilających
ogrzewania dwururowego z rozdziałem górnym
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 3
1.1.2
Przykład projektowania sieci przewodów z rozdziałem górnym
W oparciu o rzuty i rozwinięcie instalacji c.o. dobrać średnice przewodów dla obiegów przez grzejniki nr 1i nr 7 w pionie nr 7.
Dane wyjściowe:
•
parametry wody instalacyjnej: t
z
/t
p
= 90/70
°°°°
C;
•
w instalacji zastosowano grzejniki typu: T1;
•
oznaczenia działek i obciąŜenia cieplne oraz wymiary naleŜy przyjąć zgodnie z załączonymi rysunkami.
Rys. Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..3. Rzut piwnic skala 1:100
3
4
2
1
6
5
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 4
Rys. 1.4. Rzut typowej kondygnacji skala 1:100
1
6
2
6
3
4
7
8'
5
Rys. 1.5. Rzut poddasza skala 1:100
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 5
RB
H
NW
6
5
4
12
112
212
312
11
111
211
311
10
110
210
310
8
108
308
208
307
207
107
7
1
2
3
4
5
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
26
28
30
25
33
32
38
41
37
40
36
43
44
35
47
46
48
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.00
-
0.00
3.00
6.00
9.00
- 2.50
650
470
470
560
360
320
340
490
510
360
360
460
780
580
570
680
560
460
460
680
920
1710
2520
3660
460
820
1180
1690
5350
1240
2270
3310
4770
10120
10120
20240
"a"
"a"
5
6
7
8'
8"
9
10
11
24'
24"
27
29
31
34'
34"
39
42
45
3660
3660
2740
195
0
1140
1690
1690
1230
870
4770
4770
3530
2500
1460
10120
5350
13.30
12.60
12.40
12.00
20240
22'
510
Rys. 1.6. Rozwinięcie instalacji c.o. skala pionowa 1:100
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 6
Rozdział górny - ogrzewanie grawitacyjne
D
z
ia
łk
a
Q
G
l
d
v
R
Rl
Z
Rl+Z
Uwagi
Nr
W
kg/s
m
mm
m/s
Pa/m
Pa
Pa
Pa
1
2
3
4
5
6,00
7
8
9
10
11
12
Pion nr 6
Obieg przez grzejnik nr 1 w pomieszczeniu nr 12
1
650
0,0078
2,0
15
0,04
2,3
4,6
17,5
14
19
2
3660
0,0437
8,6
20
0,12
15,0
129,0
7,5
56
185
3
5350
0,0639
1,5
25
0,12
9,5
14,3
3,5
26
40
20
0,19
31,0
46,5
63
110
4
10120
0,1209
0,8
32
0,13
8,5
6,8
2,0
17
24
5
20240
0,2418
16,8
40
0,18
15,0
252,0
6,5
117
369
6
10120
0,1209
1,0
32
0,13
8,5
8,5
3,0
26
35
7
5350
0,0639
0,8
25
0,12
9,5
7,6
3,0
22
30
8
3660
0,0437
9,4
25
0,08
4,4
41,4
3,5
12
53
9
2740
0,0327
3,0
20
0,09
8,0
24,0
0,0
0
24
10
1950
0,0233
3,0
20
0,06
3,8
11,4
0,0
0
11
11
1140
0,0136
3,0
15
0,07
5,9
17,7
0,0
0
18
49,9
807
876
Ok
Obieg przez grzejnik nr 12 w pomieszczeniu nr 11
12
490
0,0059
2
15
0,03
1,4
3,0
17,5
9
12
2
Działki wspólne 2 do 11
858
870
Σζ
Σζ
Σζ
Σζ
Pa
611
250
95
.
2
47
.
12
81
.
9
=
+
⋅
⋅
=
∆
+
⋅
∆
⋅
=
∆
sch ł
czorj
P
h
g
p
ρ
R
orj
====
⋅⋅⋅⋅
====
0 5 611
49 9
6 1
.
.
. Pa / m
δδδδ ====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
====
<<<<
880
876
880
100%
0 5%
5%
.
∆∆∆∆
p
cz
====
880 Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
=
Σ
t
t
z
p
/
/
====
°°°°
90 70 C
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ ====
12 47
.
kg / m
3
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆∆∆∆
p
g
h
p
cz
cz
dodi
==== ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ++++
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++
====
∑
∑
∑
∑
9 81 12 47 2 95
519
880
.
.
.
Pa
δδδδ ====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
====
<<<<
880
870
880
100%
1 1%
5%
.
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 7
D
z
ia
łk
a
Q
G
l
d
v
R
Rl
Z
Rl+Z
Uwagi
Nr
W
kg/s
m
mm
m/s
Pa/m
Pa
Pa
Pa
1
2
3
4
5
6,00
7
8
9
10
11
12
Obieg przez grzejnik nr 14 w pomieszczeniu nr 112
13
2520
0,0301
3
15
0,15
30,0
90,0
0,5
5
95
14
470
0,0056
2
10
0,05
4,6
9,0
17,5
12
21
3
Działki wspólne 2 do 10
840
956
Dobrano kryz
ę
3.5 mm
K3.5
Obieg przez grzejnik nr 15 w pomieszczeniu nr 111
15
340
0,0041
2
10
0,04
2,5
5,0
17,5
12
17
2
Działki wspólne 2 do 10, 13
935
952
Dobrano kryz
ę
3.0 mm
K3
Obieg przez grzejnik nr 17 w pomieszczeniu nr 212
16
1710
0,0204
3
15
0,10
14,0
42,0
0,5
3
45
17
470
0,0056
2
10
0,05
4,6
9,0
17,5
12
21
Działki wspólne 2 do 9, 13
924
990
Dobrano kryz
ę
3 mm
K3
mm
7
.
3
216
0056
.
0
192
192
4
2
4
2
=
⋅
=
∆
⋅
=
kr
kr
p
G
d
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
1
11
880
75
9 81 12 47 3
1172
.
.
Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
216
956
1172
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
∆∆∆∆
p
cz
====
1172 Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
220
952
1172
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0041
220
3 2
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0056
456
3 1
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
14
10
1172
93
9 81 12 47 3
1446
.
.
Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
456
990
1446
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
Σζ
Σζ
Σζ
Σζ
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 8
D
z
ia
łk
a
Q
G
l
d
v
R
Rl
Z
Rl+Z
Uwagi
Nr
W
kg/s
m
mm
m/s
Pa/m
Pa
Pa
Pa
1
2
3
4
5
6,00
7
8
9
10
11
12
Obieg przez grzejnik nr 18 w pomieszczeniu nr 211
18
320
0,0038
2
10
0,04
2,2
4,0
17,5
9
13
2
Działki wspólne 2 do 9, 13, 16
969
982
Dobrano kryz
ę
2.5 mm
K2.5
Obieg przez grzejnik nr 20 w pomieszczeniu nr 312
19
920
0,0110
3
15
0,06
4,6
28,0
0,5
1
29
20
560
0,0067
2
10
0,06
6,6
13,0
17,5
30
43
Działki wspólne 2 do 8", 13, 16
945
1017
Dobrano kryz
ę
3 mm
K3
Obieg przez grzejnik nr 21 w pomieszczeniu nr 311
21
360
0,0043
2
10
0,03
1,0
2,0
17,5
9
11
2
Działki wspólne 2 do 8", 13, 16, 19
974
985
Dobrano kryz
ę
2.5 mm
K2.5
∆∆∆∆
p
cz
====
1446 Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
464
982
1446
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0038
464
2 5
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0067
700
3 1
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
17
9
1446
96
9 81 12 47 3
1717
.
.
Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
700
1017
1717
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
∆∆∆∆
p
cz
====
1717 Pa
ΣΣΣΣ
l
====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
732
985
1717
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0043
732
2 4
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
Σζ
Σζ
Σζ
Σζ
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 9
D
z
ia
łk
a
Q
G
l
d
v
R
Rl
Z
Rl+Z
Uwagi
Nr
W
kg/s
m
mm
m/s
Pa/m
Pa
Pa
Pa
1
2
3
4
5
6,00
7
8
9
10
11
12
PION 5
Obieg przez grzejnik nr 22 w pomieszczeniu nr 10
22
510
0,0061
5
10
0,05
5,2
26,0
14,0
18
44
23
1690
0,0202
4,1
15
0,10
15,0
61,5
8,5
43
105
Działki wspólne 3 do 7
568
24
1690 0,0202
5,3
15
0,1
15
79,5
5,5
28
108
25
1230 0,0147
3,0
15
0,075
8
24,0
0
0
24
26
870 0,0104
3,0
15
0,05
3,8
11,4
0
0
11
859
Dobrano kryz
ę
5 mm
K5
Obieg przez grzejnik nr 28 w pomieszczeniu nr 110
27
1180
0,0141
3
15
0,07
6,8
20,4
0,5
1
21
28
360
0,0043
2
10
0,04
2,7
5,4
15,0
10
15
Działki wspólne 23, 3 do 26
815
852
826
Dobrano kryz
ę
3.0 mm
K3
Obieg przez grzejnik nr 30 w pomieszczeniu nr 210
29
820
0,0098
3
15
0,05
3,8
11,4
0,5
1
12
30
360
0,0043
2
10
0,04
2,7
5,4
15,0
10
15
Działki wspólne 27, 23, 3 do 25
825
853
Dobrano kryz
ę
2.5 mm
K2.5
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0061
55
5 5
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
ΣΣΣΣ ====
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
312
852
1164
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0043
312
3 0
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆∆∆∆
p
g
h
P
czorj
sch
==== ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ++++
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++
====
³
.
.
.
9 81 12 47 2 95
250
611 Pa
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆∆∆∆
p
g
h
p
cz
cz
dodi
==== ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ++++
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++
====
∑
∑
∑
∑
9 81 12 47 2 95
553
914
.
.
.
Pa
(
)
Pa
55
859
914
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
22
22
914
117
9 81 12 47 3
1164
'
.
.
Pa
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
506
853
1359
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0043
506
2 7
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
28
26
1164
172
9 81 12 47 3
1359
.
.
Pa
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 10
D
z
ia
łk
a
Q
G
l
d
v
R
Rl
Z
Rl+Z
Uwagi
Nr
W
kg/s
m
mm
m/s
Pa/m
Pa
Pa
Pa
1
2
3
4
5
6,00
7
8
9
10
11
12
Obieg przez grzejnik nr 31 w pomieszczeniu nr 310
31
460
0,0055
5
10
0,05
4,6
23,0
13,0
18
41
Działki wspólne 29, 27, 23, 3 do 24"
825
866
Dobrano kryz
ę
3.0 mm
K3
ΣΣΣΣ ====
(
)
Pa
703
866
1569
=
−
=
+
−
∆
=
∆
∑
Z
Rl
p
p
cz
kr
d
G
p
kr
kr
====
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
====
192
192
0 0055
703
2 8
2
4
2
4
∆∆∆∆
.
. mm
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆ρ
∆ρ
∆ρ
∆ρ
p
p
p
g
h
cz
cz
cz
dod
dod
====
−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ ====
30
25
1359
157
9 81 12 47 3
1569
.
.
Pa
Materiały do ćwiczeń z ogrzewnictwa
Strona 11
Obliczanie dodatkowego ci
ś
nienia czynnego w instalacji z rozdziałem górnym
Sprawno
ść
izolacji pionu wzno
ś
nego 100%
Sprawno
ść
izolacji przewodów na poddaszu 80%
D
z
ia
łk
a
Uwagi
Nr
K
mm
W/m
m
-
W
kg/s
K
m
Pa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
Pion nr 6
Obieg przez grzenik nr 1 w pomieszczeniu nr 12
6
90
-15
105
32
232
1
0,2
46
0,1209
0,1
15,8
10
hi=13.3-(-2.5)
7
89,9
-15
104,9
25
190
0,8
0,2
30
0,0639
0,1
15,1
10
hi=12.6-(-2.5)
8'
89,8
-15
104,8
25
190
7,1
0,2
270
0,0437
1,5
14,9
143
hi=12.4-(-2.5)
8''
88,3
20
68,3
25
85
2,3
1
196
0,0437
1,1
13,3
93
hi=10.8-(-2.5)
9
87,2
20
67,2
20
66
3
1
198
0,0327
1,4
10,7
96
hi=8.2-(-2.5)
10
85,8
20
65,8
20
63
3
1
189
0,0233
1,9
7,7
93
hi=5.2-(-2.5)
11
83,9
20
63,9
15
48
3
1
144
0,0136
2,5
4,7
75
8,6
519
Pion nr 5
Obieg przez grzenik nr 22 w pomieszczeniu nr 10
6
90
-15
105
32
232
1
0,2
46
0,1209
0,1
15,8
10
hi=13.3-(-2.5)
7
89,9
-15
104,9
25
190
0,8
0,2
30
0,0639
0,1
15,1
10
hi=12.6-(-2.5)
24'
89,8
-15
104,8
15
128
3
0,2
77
0,0202
0,9
14,9
86
hi=12.4-(-2.5)
24"
88,9
25
63,9
15
50
2,3
1
115
0,0202
1,4
13,3
119
hi=10.8-(-2.5)
25
87,5
25
62,5
15
48
3
1
144
0,0147
2,3
10,7
157
hi=8.2-(-2.5)
26
85,2
25
60,2
15
46
3
1
138
0,0104
3,5
7,7
172
hi=5.2-(-2.5)
22'
81,7
25
56,7
10
33
3
1
99
0,0061
3,9
4,7
117
8,3
553
ττττ
zi
C
o
t
i
∆∆∆∆
t
q
i
l
i
d
1
−−−− ηηηη
i
Q
str
i
G
i
t
δ
h
i
∆∆∆∆
p
cz
dodi
C
o
εεεε ====
⋅⋅⋅⋅
0 65
.
kg / (m
K) dla t
= 85.5
3
œro
o
C
δδδδ
t
i
====
∑
∑
∑
∑
∆∆∆∆
p
cz
dodi
====
∑
∑
∑
∑
ś
r
t
7
.
85
6
.
8
5
.
0
90
5
.
0
≈
=
⋅
−
=
⋅
−
=
∑
i
z
ś
r
t
t
t
e
Sprawdzeni
δ
ε
δδδδ
t
i
====
∑
∑
∑
∑
∆∆∆∆
p
cz
dodi
====
∑
∑
∑
∑