Zadanie: Dla podłóżnych drgań pręta wyznaczyć częstości drgań i postaci drgań

Slawomir Nowacki, Bartosz Góra KMiU - laboratorium III

Model do obliczeń

dane

EE

2.1`*^11, ro

7800.`, RR

1.`, DD

0.04`, dd

0.02`,

AA

1

4

dd

2

DD

2

, kt

1.2`, GG

8.34`*^10,

1

7

6

, mm1

ddx1

AA

ro,

JJz1

mm1

3

DD

2

3

dd

2

4

ddx1

2

48

, JJs1

mm1

DD

2

dd

2

8

, dd 1

1

N1

,

ddx1

2

RR

Sin dd 1

2 , sp

5, JJz1g

DD

4

dd

4

64

, JJs1g

DD

4

dd

4

32

;

N1

17;

Ne

N1

1;

Nss

6

Ne;

Do

qq 6

ii

5

qx ii ;

qq 6

ii

4

qy ii ;

qq 6

ii

3

qz ii ;

qq 6

ii

2

x ii ;

qq 6

ii

1

y ii ;

qq 6

ii

z ii

,

ii, 1, Ne

Do

num ii

i

,

ii, 1, Nss

QQ

Array qq, Nss

qx 1 , qy 1 , qz 1 ,

x 1 ,

y 1 ,

z 1 , qx 2 , qy 2 , qz 2 ,

x 2 ,

y 2 ,

z 2 ,

qx 3 , qy 3 , qz 3 ,

x 3 ,

y 3 ,

z 3 , qx 4 , qy 4 , qz 4 ,

x 4 ,

y 4 ,

z 4 ,

qx 5 , qy 5 , qz 5 ,

x 5 ,

y 5 ,

z 5 , qx 6 , qy 6 , qz 6 ,

x 6 ,

y 6 ,

z 6 ,

qx 7 , qy 7 , qz 7 ,

x 7 ,

y 7 ,

z 7 , qx 8 , qy 8 , qz 8 ,

x 8 ,

y 8 ,

z 8 , qx 9 , qy 9 , qz 9 ,

x 9 ,

y 9 ,

z 9 , qx 10 , qy 10 , qz 10 ,

x 10 ,

y 10 ,

z 10 , qx 11 , qy 11 , qz 11 ,

x 11 ,

y 11 ,

z 11 , qx 12 , qy 12 ,

qz 12 ,

x 12 ,

y 12 ,

z 12 , qx 13 , qy 13 , qz 13 ,

x 13 ,

y 13 ,

z 13 ,

qx 14 , qy 14 , qz 14 ,

x 14 ,

y 14 ,

z 14 , qx 15 , qy 15 , qz 15 ,

x 15 ,

y 15 ,

z 15 , qx 16 , qy 16 , qz 16 ,

x 16 ,

y 16 ,

z 16 , qx 17 , qy 17 ,

qz 17 ,

x 17 ,

y 17 ,

z 17 , qx 18 , qy 18 , qz 18 ,

x 18 ,

y 18 ,

z 18

MatrixForm Transpose

Table ii,

ii, 1, Nss

, QQ

;

Wektory bezwładności

k

1;

CC 6

k

5

mm1

2;

CC 6

k

4

mm1

2;

CC 6

k

3

mm1

2;

CC 6

k

2

JJs1;

CC 6

k

1

JJz1

4;

CC 6

k

JJz1

4;

Do

CC 6

k

5

mm1;

CC 6

k

4

mm1;

CC 6

k

3

mm1;

CC 6

k

2

JJs1;

CC 6

k

1

JJz1;

CC 6

k

JJz1;

,

k, 2, N1

;

k

Ne;

CC 6

k

5

mm1

2;

CC 6

k

4

mm1

2;

CC 6

k

3

mm1

2;

CC 6

k

2

JJs1;

CC 6

k

1

JJz1

4;

CC 6

k

JJz1

4;

Wcc

Array CC, Nss

mm1

2

,

mm1

2

,

mm1

2

, JJs1,

JJz1

4

,

JJz1

4

, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1,

JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1,

mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1,

JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1,

JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1,

mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1,

JJz1, JJz1, mm1, mm1, mm1, JJs1, JJz1, JJz1,

mm1

2

,

mm1

2

,

mm1

2

, JJs1,

JJz1

4

,

JJz1

4

2

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

Zapis macierzy obrotu układów współrzędnych elementów sprężystych

trans61 dd 1_

:

Cos dd 1 , Sin dd 1 , 0, 0, 0, 0 ,

Sin dd 1 , Cos dd 1 , 0, 0, 0, 0 ,

0, 0, 1, 0, 0, 0 , 0, 0, 0, Cos dd 1 , Sin dd 1 , 0 ,

0, 0, 0,

Sin dd 1 , Cos dd 1 , 0 , 0, 0, 0, 0, 0, 1

;

MatrixForm trans61 dd 1

Cos dd 1

Sin dd 1

0

0

0

0

Sin dd 1

Cos dd 1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

Cos dd 1

Sin dd 1

0

0

0

0

Sin dd 1

Cos dd 1

0

0

0

0

0

0

1

Zapis współrzędnych elementów sprężystych

k

1;

wa k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

4

, 0, 0

;

wb k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

4

, 0, 0

;

Do

wa k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

2

, 0, 0

;

wb k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

2

, 0, 0

;

, k, 2, N1

;

k

Ne;

wa k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

4

, 0, 0

;

wb k

qx k , qy k , qz k

Cross

x k , y k , z k

,

ddx1

4

, 0, 0

;

WA

Array wa, Ne ;

WB

Array wb, Ne ;

Podpora 90stopni

pe

2;

k1

Quotient

pe, dd 1

1;

p

k1

. dane;

dp

2

RR

Sin

pe

2

;

wpp

qx p , qy p , qz p

Cross

x p , y p , z p

, dp, 0, 0

;

Wektor kątów

Do

kk

x kk , y kk , z kk

, kk, 1, Ne

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

3

Transformacja wektorow WA i WB

waT 1

trans61

dd 1 .Join wa 1 ,

1

;

wbT 1

trans61 dd 1 .Join wb 1 ,

1

;

Do

waT i

trans61

dd 1 .Join wa i ,

i

;

wbT i

trans61 dd 1 .Join wb i ,

i

;

,

i, 2, N1

waT Ne

trans61

dd 1 .Join wa Ne ,

Ne

;

wbT Ne

trans61 dd 1 .Join wb Ne ,

Ne

;

WAT

Array waT, Ne ;

WBT

Array wbT, Ne ;

Zapis energii potencjalnej

VV

ii 1

N1

CN1

WAT

ii

1, 1

WBT

ii, 1

^ 2

2

ii 1

N1

CT1

WAT

ii

1, 2

WBT

ii, 2

^ 2

2

ii 1

N1

CT1

WAT

ii

1, 3

WBT

ii, 3

^ 2

2

ii 1

N1

CS1

WAT

ii

1, 4

WBT

ii, 4

^ 2

2

ii 1

N1

CG1

WAT

ii

1, 5

WBT

ii, 5

^ 2

2

ii 1

N1

CG1

WAT

ii

1, 6

WBT

ii, 6

^ 2

2

CN1p

WAT

1, 1

^ 2

CT1p

WAT

1, 2

^ 2

CT1p

WAT

1, 3

^ 2

CS1p

WAT

1, 4

^ 2

CG1p

WAT

1, 5

^ 2

CG1p

WAT

1, 6

^ 2

CN2p

wpp

1

^ 2

CT2p

wpp

2

^ 2

CT2p

wpp

3

^ 2

CN3p

WBT

Ne, 1

^ 2

CT3p

WBT

Ne, 2

^ 2

CT3p

WBT

Ne, 3

^ 2

CS3p

WBT

Ne, 4

^ 2

CG3p

WBT

Ne, 5

^ 2

CG3p

WBT

Ne, 6

^ 2

2;

Obliczenie pochodnej i współczynników

QS

QQ

VV;

Macierz sztywności

Do

Do

cm kw, kk

Coefficient QS

kw

, QQ

kk

,

kw, 1, Nss

,

kk, 1, Nss

CM

Array cm,

Nss, Nss

;

NUMCM

MatrixForm CM ;

zapisanie współczynników sprężystosci dla wszystkich elementów w macierzy

Uwaga: Macierz zawsze musi byc symetryczna

4

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

Współczynniki sztywności

CT1

GG

AA

kt

ddx1

;

CN1

EE

AA

ddx1

;

CG1

EE

JJz1g

ddx1

;

CS1

GG

JJs1g

ddx1

;

CT1p

sp

GG

AA

kt

ddx1

;

CN1p

sp

EE

AA

ddx1

;

CG1p

0;

CS1p

0;

CT2p

sp

GG

AA

kt

ddx1

;

CN2p

sp

EE

AA

ddx1

;

CG2p

0;

CS2p

0;

CT3p

sp

GG

AA

kt

ddx1

;

CN3p

sp

EE

AA

ddx1

;

CG3p

0;

CS3p

0;

Zapisanie macieży sprężystości podzielonej przez masy elementów

Do

Do

cmm kw, kk

cm kw, kk

CC kw

,

kk, 1, Nss

,

kw, 1, Nss

CMm

Array cmm,

Nss, Nss

;

MatrixForm CMm ;

numCMm

CMm;

MatrixForm numCMm

. dane ;

Masy i masowe momenty bezwładności

www

Eigensystem CMm

. dane ;

obliczenie

wartosci wlasnych oraz wektorow wlasnych dla uzyskanej macierzy

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

5

czest

www

1

wyznaczenie częstotliwości

fcz

czest

2 Pi

696 620., 696 546., 87 405.3, 87 405.3, 69 392.1, 69 392.1, 67 380.8, 67 380.8, 65 684.3,

49 740.9, 49 033.3, 47 865.2, 47 016.2, 46 742.2, 46 277., 46 099.5, 46 019.5, 45 421.6,

45 264.3, 45 005.3, 44 771.8, 44 579.5, 44 267.4, 43 855.7, 42 542.9, 42 123.3, 41 984.9,

41 554.7, 41 035.4, 39 985.9, 39 945.8, 39 255.1, 38 412.6, 37 657.5, 37 139.5, 37 081.3,

34 682.3, 34 444.4, 33 837.3, 33 474.9, 32 999.5, 31 329.6, 31 117.4, 30 613.3, 30 229.2,

29 583.7, 29 540.4, 29 341.6, 29 295.4, 28 867.5, 28 702.4, 28 131.5, 28 013.5, 27 979.8,

27 364., 27 050.8, 25 926.9, 24 630.7, 24 221.9, 24 199.6, 23 633.5, 23 157.2, 22 124.6,

21 541.5, 19 793.3, 17 938., 17 716.3, 16 003.9, 14 562.9, 14 032., 12 502.6, 12 081.7,

10 582.4, 10 256.5, 9353.56, 8795.52, 8234.41, 7967.12, 7646.61, 7584.02, 7404.76,

7191.77, 6848.63, 6778.63, 6121.15, 5912.11, 5770.68, 5488.76, 4502.08, 4310.33,

4228.45, 3998.02, 3128.31, 2969.92, 2503.35, 2347., 1942.27, 1807.78, 1154.14,

1128.08, 977.034, 858.439, 367.366, 352.604, 269.948, 187.602, 74.6518, 20.122

110 871., 110 859., 13 911., 13 911., 11 044.1, 11 044.1, 10 724., 10 724., 10 454.,

7916.51, 7803.89, 7617.98, 7482.87, 7439.26, 7365.22, 7336.97, 7324.23, 7229.07,

7204.03, 7162.81, 7125.66, 7095.05, 7045.37, 6979.85, 6770.91, 6704.13, 6682.1,

6613.63, 6530.99, 6363.96, 6357.57, 6247.64, 6113.56, 5993.38, 5910.93, 5901.68,

5519.86, 5481.99, 5385.38, 5327.7, 5252.04, 4986.25, 4952.5, 4872.26, 4811.13,

4708.39, 4701.5, 4669.87, 4662.5, 4594.4, 4568.13, 4477.27, 4458.49, 4453.13,

4355.11, 4305.27, 4126.4, 3920.09, 3855.03, 3851.49, 3761.4, 3685.58, 3521.23,

3428.43, 3150.2, 2854.93, 2819.63, 2547.1, 2317.76, 2233.26, 1989.86, 1922.87,

1684.24, 1632.37, 1488.67, 1399.85, 1310.55, 1268.01, 1217., 1207.03, 1178.5,

1144.61, 1089.99, 1078.85, 974.211, 940.941, 918.433, 873.563, 716.528, 686.01,

672.978, 636.305, 497.887, 472.677, 398.42, 373.537, 309.122, 287.718, 183.687,

179.539, 155.5, 136.625, 58.4681, 56.1187, 42.9636, 29.8578, 11.8812, 3.20251

Analiza postaci drgan o numerze nr

nr

1;

nr2

Nss

nr

1;

odwrocenie numeracji

nr

czest

nr2

pierwsza czestosc wlasna

20.122

anr

www

2, nr2

;

wektor

przem x, przem y, fi ....

zczytywanie danych przemieszczen dla częstości nr2

Do

winx k

anr

6

k

5

,

winy k

anr

6

k

4

,

winz k

anr

6

k

3

,

win 1 k

anr

6

k

2

,

win 2 k

anr

6

k

1

,

win 3 k

anr

6

k

,

,

k, 1, Ne

Program wykonuje poprawne obliczenia czestości i postaci drgań własnych. Dla porównania w module CATIA
Analysis zostały wykonane symulacje drgań z kolejnymi wartościami częstości:

Częstości drgań obliczone w module CATIA Analysis:

6

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

Pierwsza częstość drgań:

Druga postać drgań:

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

7

Trzecia postać drgań:

8

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

Czwarta postać drgań:

Piąta postać drgań:

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

9

Szósta postać drgań:

10

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

Z ciekawszych postaci drgań, najlepiej prezentuje się 57 częstość drgań:

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

11

Wnioski

Obliczone w module CATIA Analysis częstości drgań własnych belki są zbliżone do obliczonych przez napisany
program, zwłaszcza po pominięciu pierwszych częstości. Pokazuje to poprawność zamodelowania układu.
Zwiększenie liczby elementów (zwiększenie poziomu dyskretyzacji układu) pozwala na uzyskanie dokład-
niejszych wyników i poprawniejszą analizę drgań własnych belki.
Modelowanie belki krzywoliniowej jest skomplikowane zarówno na poziomie samej analizy problemu jak i
późniejszym jego zamodelowaniu. Jest to kolejny krok po modelowaniu belki prostoliniowej i stanowi dopełnie-

12

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

nie do problemu modelowania konstrukcji typu rama oraz jej obliczeń wytrzymałościowych. Pozwala na oblicze-
nie chociażby częstości drgań własnych, to zaś umożliwia uniknięcie zniszczenia konstrukcji w wyniku chociażby
niekorzystnych warunków atmosferycznych.
Za przykład może posłużyć most Takoma, który uległ zniszczeniu w wyniku zaprojektowania kosntrukcji nośnej
budowli w sposób nieuwzględniający częstości drgań własnych.

Ostateczne-rozwiazanie-wtf-3-wykresy.nb

13