mbwyklad12 analiza g

Specjalne szeregi funkcyjne

1. Szeregi pot

egowe

Definicja

1.1. Niech x

∈ R oraz niech dany b

edzie ci

ag liczbowy

)

∞

n=0

. Szereg funkcyjny postaci

∞

n=1

− x

)

∈ R

(1.1)

nazywamy szeregiem pot

egowym (wzgl

edem pot

eg (x

− x

)

). Liczby a

∈ N, nazywamy wsp´ołczynnikami danego szeregu.

Uwaga

1.1. Szereg pot

egowy jest uog´

olnieniem poj

ecia wielomianu, bo

w przypadku gdy a

= 0 dla n > k otrzymujemy wielomian stopnia

¬ k.

Szereg (1.1) b

edziemy zapisywa´

c kr´

otko jako

∞

n=0

− x

)

, pami

etaj

ac,

że dla x = x

suma szeregu jest r´

owna a

. W dalszym ci

agu b

edziemy prze-

ważnie zakłada´

c, że x

= 0, co nie zmniejsza og´

olno´

sci rozważa´

n. Istotnie,

je´

sli oznaczymy y = x

− x

, to szereg (1.1) przyjmuje posta´

∞

n=0

Twierdzenie

1.1 (Cauchy’ego-Hadamarda). Niech b

edzie dany szereg

pot

egowy

∞

n=0

. Przyjmijmy α = lim sup

→∞

| oraz

R =











1/α,

gdy

0 < α < +

∞

gdy

α = +

∞

∞,

gdy

α = 0.

Wtedy szereg

jest bezwzgl

ednie zbieżny dla

|x| < R oraz rozbieżny

dla

|x| > R.

Dowód. Niech x

∈ R b

edzie ustalon

a liczb

a oraz przyjmijmy c

= a

Do szeregu liczbowego

∞

n=0

zastosujmy kryterium Cauchy’ego (tw. 8.2,

rozdz.III). Mamy

lim sup

→∞

| = lim sup

→∞

| = |x| lim sup

→∞

| = |x|α.

Zatem je´

sli

|x|α < 1, czyli |x| < R, to dany szereg jest bezwzgl

ednie zbieżny,

za´

s je´

sli

|x|α > 1, czyli |x| > R, to szereg jest rozbieżny.

W podobny spos´

ob, korzystaj

ac z kryterium d’Alamberta (tw. 8.3,

rozdz.III), otrzymujemy

Twierdzenie

1.2. Niech dany b

edzie szereg pot

egowy

∞

n=0

, gdzie

6= 0 dla n = 0, 1, . . . . Zał´ożmy, że istnieje lim

→∞

n+1

= β

∈ [0, +∞].

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

Niech

R =











1/β,

gdy

0 < β < +

∞

gdy

β = +

∞

∞,

gdy

β = 0.

Wtedy szereg

jest bezwzgl

ednie zbieżny dla

|x| < R, oraz rozbieżny

dla

|x| > R.

Definicja

1.2. Liczb

e R > 0 tak

a, że szereg pot

egowy

∞

n=0

, jest

zbieżny w przedziale (

−R, R), za´s rozbieżny w zbiorze (−∞, −R)∪(R, +∞),

nazywamy promieniem zbieżno´

sci danego szeregu. Przedział(

−R, R) nazywa

e przedziałem zbieżno´

sci danego szeregu. Je´

sli szereg jest zbieżny tylko w

punkcie 0, to przyjmujemy R = 0, za´

s jesli szereg jest zbieżny na całym

zbiorze liczb rzeczywistych, to przyjmujemy R = +

∞.

Uwaga

1.2. Twierdzenia 1.1 i 1.2 pokazuj

a, jak można praktycznie wy-

znaczy´

c promie´

n R zbieżno´

sci szeregu pot

egowego. W punktach

−R, R sze-

reg może by´

c zbieżny lub nie – sprawdzamy to, stosuj

ac odpowiednie kryteria

zbieżno´

sci szereg´

ow liczbowych. Zatem zbi´

or wszystkich punkt´

ow zbieżno´

sci

danego szeregu pot

egowego jest zawarty w [

−R, R].

Przykad

1.1.

(1) Dla szeregu

∞

n=1

mamy α = +

∞ oraz R = 0

(z tw. 1.1). Zatem dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0.

(2) Dla szeregu

∞

n=0

/n! mamy β = 0 oraz R = +

∞ (z tw. 1.2). Zatem

szereg jest zbieżny dla każdego x

∈ R.

(3) Dla szeregu (geometrycznego)

∞

n=0

mamy R = 1. W punktach

−1, 1 szereg ten jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego.

(4) Dla szeregu

∞

n=1

/n mamy R = 1 (z tw. 1.1). Dla x = 1 szereg

jest rozbieżny, za´

s dla x =

−1 jest zbieżny.

(5) Dla szeregu

∞

n=1

mamy R = 1 oraz szereg jest zbieżny także

dla x =

± 1.

Twierdzenie

1.3. Zał´

ożmy, że (

−R, R) jest przedziałem zbieżno´sci sze-

regu pot

egowego

∞

n=0

. Wtedy dla każdej liczby r

∈ (0, R) dany szereg

jest jednostajnie zbieżny na przedziale [

−r, r]. Ponadto suma szeregu f(x) =

∞

n=0

jest funkcj

a r´

ożniczkowaln

a (a wi

ec także ci

agł

a) na (

−R, R)

oraz

(x) =

∞

n=1

−1

∈ (−R, R).

(1.2)

Dowód. Niech r

∈ (0, R). Zauważmy, że

(

∀ n ∈ N)(∀ x ∈ [−r, r]) |a

| = |a

||x|

¬ |a

(1.3)

Skoro r

∈ (0, R), to z twierdzenia 1.1 wynika, że szereg

jest bez-

wzgl

ednie zbieżny. Zatem z (1.3) i z kryterium Weierstrassa (tw. 1.3, rozdz.X)

wynika jednostajna zbieżno´

s´

c szeregu

∞

n=0

na [

−r, r].

Rozważmy szereg

∞

n=1

−1

zwany szeregiem pochodnym (otrzy-

mujemy go z danego szeregu przez r´

ożniczkowanie wyraz po wyrazie). Jego

zbieżno´

s´

c jest r´

ownoważna zbieżno´

sci szeregu

∞

n=1

, a wi

ec na mocy

1. SZEREGI POT

EGOWE

twierdzenia 1.1 jego promie´

n zbieżno´

sci R

jest r´

owny

lim sup

→∞

lim sup

→∞

| lim

→∞

√

= R.

Zatem stosuj

ac do szeregu pochodnego pierwsz

a cz

e´

s´

c twierdzenia, stwier-

dzamy, że jest on jednostajnie zbieżny na każdym przedziale postaci [

−r, r],

gdzie r

∈ (0, R). Niech r ∈ (−R, R). Wybierzmy przedział[−r, r] ⊂ (−R, R)

taki, że x

∈ (−r, r). Z wniosku 3.2, rozdz.XI, wynika, że

(x) =

∞

n=0

)

∞

n=1

−1

Zatem wz´

or (1.2) zostałwykazany.

Wniosek

1.1. Zał´

ożmy, że f : (

−r, r) → R (dla r > 0) jest sum

a szeregu

pot

egowego

∞

n=0

zbieżnego w przedziale (

−r, r). Wtedy funkcja f ma

w (

−r, r) pochodne wszystkich rz

ed´

ow oraz dla dowolnych liczb k

∈ N i

∈ (−r, r) zachodz

a wzory

(k)

(x) =

∞

n=k

n(n

− 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)a

−k

(1.4)

W szczeg´

olno´

sci

(k)

(0) = k!a

dla k

∈ N ∪ {0}.

(1.5)

Dowód. Wz´

or (1.4) dla k = 1 wynika od razu ze wzoru (1.2) w twierdze-

niu 1.3. Dla k > 1 stosujemy twierdzenie 1.3 i prost

a indukcj

e. Dla k

∈ N

wz´

or (1.5) otrzymujemy z (1.4), przyjmuj

ac x = 0. Istotnie, z (1.4) mamy

(k)

(x) =

∞

m=0

(k + m)!a

k+m

∈ (−r, r).

Dla x = 0 mamy f

(k)

(0) = k!a

. Dla k = 0 wz´

or (1.5) jest oczywisty.

Uwaga

1.3. Je´

sli g(x) =

∞

n=0

− x

)

dla x

∈ (x

− r, x

+ r),

r > 0, to poł´

ożmy f (x) = g(x + x

) dla x

∈ (−r, r). Zauważmy, że g

(k)

(x) =

(k)

− x

) dla k

∈ N ∪ {0} oraz x ∈ (x

− r, x

+ r), wi

ec ze wzor´

ow (1.4)

i (1.5) otrzymujemy

(k)

(x) =

∞

n=k

n(n

− 1) . . . (n − k + 1)a

− x

)

−k

dla k

∈ N, x ∈ (x

− r, x

+ r), oraz

(k)

) = k!a

dla k

∈ N ∪ {0}.

Definicja

1.3. Zał´

ożmy, że funkcja f : (a, b)

→ R ma pochodn

a każ-

dego rz

edu w punkcie x

∈ (a, b). Szereg pot

egowy

∞

n=0

− x

)

wsp´

ołczynnikach a

= f

(n)

)/n!, n

∈ N ∪ {0}, nazywamy szeregiem Tay-

lora funkcji f wzgl

edem pot

eg (x

− x

)

. W przypadku gdy x

= 0, szereg

ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

Definicja

1.4. M´

owimy, że funkcja f : (a, b)

→ R jest analityczna w

(a, b), gdy dla każdego punktu x

∈ (a, b) istnieje otoczenie U ⊂ (a, b)

punktu x

oraz szereg pot

egowy

∞

n=0

−x

)

zbieżny do f (x) w każdym

punkcie x

∈ U (m´owimy w´owczas, że f rozwija si

e w szereg pot

egowy w

zbiorze U ).

Z definicji 1.4 i wniosku 1.1 wynika

Wniosek

1.2. Dowolna funkcja f : (a, b)

→ R analityczna w (a, b) ma w

każdym punkcie przedziału (a, b) pochodn

a każdego rz

edu (m´

owimy wtedy

kr´

otko, że f jest klasy C

∞

na (a, b)).

Bez dowodu podajemy nast

epuj

ace twierdzenie 8.4 z podr

ecznika Rudi-

na.

Twierdzenie

1.4. Zał´

ożmy, że funkcja f rozwija si

e w szereg pot

egowy

∞

n=0

− x

)

w otoczeniu U = (x

− r, x

+ r) punktu x

. Wtedy dla

każdego z

∈ U funkcja f rozwija si

e w szereg pot

egowy

∞

n=0

− z

)

w otoczeniu punktu z

, przy czym b

= f

(k)

)/k! dla k

∈ N ∪ {0}, tzn.

∞

n=0

− z

)

jest szeregiem Taylora funkcji f wzgl

edem pot

eg (x

− z

)

Z twierdzenia 1.4 wynika natychmiast

Wniosek

1.3. Funkcja f : (a, b)

→ R b

aca sum

a szeregu pot

egowego

∞

n=0

− x

)

zbieżnego na (a, b) jest funkcj

a analityczn

a w (a, b).

Cwiczenie

1.1. Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorem

f (x) =

(

−1/x

dla x

6= 0

dla x = 0.

(1.6)

(a) Wykaza´

c przez indukcj

e, że dla x

6= 0 i dla dowolnej liczby n ∈ N ma-

my f

(n)

(x) = W

1
x

−1/x

, gdzie W

jest pewnym wielomianem

stopnia 3n.

(b) Stosuj

ac reguł

e de l’Hospitala, wykaza´

c, że dla dowolnej liczby

∈ N mamy lim

→0

−1/x

= 0. (Zastosowa´

c podstawienie

z = 1/x

ac (a), (b) i indukcj

e, wykaza´

c, że f

(n)

(0) = 0 dla każdego

∈ N.

Nast

epuj

acy przykład pokazuje, że implikacja odwrotna do tej podanej

we wniosku 1.2 jest fałszywa.

Przykad

1.2. Z ´

cwiczenia 1.1 wynika, że funkcja f : R

→ R dana

wzorem (1.6) jest klasy C

∞

na R. Funkcja f nie jest jednak analityczna w

żadnym przedziale otwartym zawieraj

acym punkt 0. Istotnie, przypu´

s´

cmy,

że f jest analityczna na przedziale (a, b) oraz 0

∈ (a, b). Wtedy dla pewnego

otoczenia U

⊂ (a, b) punktu 0 mamy

(

∀ x ∈ U) f(x) =

∞

k=0

(k)

(0)

(1.7)

(por. def. 1.3 i wz´

or (1.5) we wniosku 1.1). Jednakże (1.7) nie może zacho-

dzi´

c, bo z okre´

slenia f wynika, że f (x) > 0 dla x

∈ U \ {0}, za´s z ´cwiczenia

1.1(c) wynika, że

∞

k=0

(k)

(0)

= 0 dla każdego x

∈ U.

1. SZEREGI POT

EGOWE

Przy pewnych dodatkowych założeniach funkcja klasy C

∞

na przedziale

rozwija si

e w szereg pot

egowy (a wi

ec jest analityczna). Rozwini

ecie takie

możemy uzyska´

c r´

ożnymi metodami. Jedn

a z nich jest wykorzystanie wzo-

ru Taylora (tw. 6.1, rozdz.VI), co pokazuje twierdzenie 1.5. Inn

a metod

prezentuje przykład 1.3.

Twierdzenie

1.5. Niech funkcja f : (a, b)

→ R b

edzie klasy C

∞

(a, b), niech x

∈ (a, b) oraz

(

∀ x ∈ (a, b))(∀ n ∈ N) f(x) =

k=0

(k)

)

− x

)

+ R

n+1

(x),

(1.8)

gdzie

n+1

(x)

jest

reszt

postaci

Lagrange’a,

tzn.

n+1

(x)

(n+1)

(ξ)(x

− x

)

n+1

/(n + 1)! dla pewnej liczby ξ = ξ(x, n) z przedziału

otwartego o ko´

ncach x, x

. Je´

sli

(

∃ M > 0)(∀ x ∈ (a, b))(∀ n ∈ N)

(n)

(x)

¬ M,

(1.9)

(

∀ x ∈ (a, b)) f(x) =

∞

k=0

(k)

)

− x

)

Dowód. Niech x

∈ (a, b). Z (1.9) wynika, że

(

∀ n ∈ N) |R

n+1

(x)

| ¬ M|x − x

n+1

/(n + 1)!.

(1.10)

Mamy lim

→∞

|x − x

n+1

/(n + 1)! = 0 (dow´

od: szereg

|x − x

n+1

/(n +

1)! jest zbieżny na mocy kryterium d’Alemberta, zatem spełnia warunek
konieczny zbieżno´

sci). St

ad i z (1.10) wynika, że lim

→∞

n+1

(x) = 0, a

ec przechodz

ac w (1.8) do granicy, gdy n

→ ∞, otrzymujemy tez

Cwiczenie

1.2. Korzystaj

ac z przykładu 6.1, rozdz.VI, oraz z twierdze-

nia 1.5 wykaza´

c, że:

(a) e

∞

k=0

dla x

∈ R,

(b) sin x =

∞

k=0

(

−1)

k x

2k+1

(2k+1)!

dla x

∈ R,

∞

k=0

(

−1)

k x

(2k)!

dla x

∈ R.

Przykad

1.3. Wykażemy, że

ln(1 + x) =

∞

n=1

(

−1)

n+1

dla x

∈ (−1, 1).

Korzystamy z rozwini

ecia

1 + t

∞

n=0

(

−t)

∈ (−1, 1)

(jest to szereg geometryczny o ilorazie

−t). Ustalmy x ∈ (−1, 1). Z twierdze-

nia 1.3 wynika, że szereg

∞

n=0

(

−t)

jest jednostajnie zbieżny na przedziale

domkni

etym o ko´

ncach 0, x. Zatem, korzystaj

ac z wniosku 3.1, rozdz.XI,

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

otrzymujemy

ln(1 + x) =

1 + t

dt =

∞

n=0

(

−t)

dt =

∞

n=0

(

−t)

∞

n=0

(

−1)

n+1

n + 1

∞

n=1

(

−1)

n+1

2. Szeregi Fouriera

Definicja

2.1. Niech dane b

a ci

agi liczbowe (a

)

∞

k=0

, (b

)

∞

k=1

(a) Funkcj

e postaci

k=1

cos kx + b

sin kx), x

∈ R

nazywamy wielomianem trygonometrycznym.

(b) Szereg funkcyjny postaci

∞

k=1

cos kx + b

sin kx), x

∈ R

nazywamy szeregiem trygonometrycznym.

Uwaga

2.1. Z okresowo´

sci funkcji x

7→ cos kx, x 7→ sin kx, k ∈ N, wyni-

ka, że dowolny wielomian trygonometryczny jest funkcj

a okresow

a o okresie

2π. Zatem je´

sli szereg trygonometryczny jest zbieżny na przedziale (jedno-

stronnie lub obustronnie) domkni

etym o długo´

sci 2π, to jest on zbieżny na

całym zbiorze R i jego suma jest funkcj

a okresow

a o okresie 2π.

Cwiczenie

2.1. Niech n, k

∈ N. Wykaza´c, że:

−π

cos nxdx =

−π

sin nxdx = 0,

−π

cos

nxdx =

−π

sin

nxdx = π,

−π

cos nx cos kxdx =

−π

sin nx sin kxdx = 0, n

6= k,

−π

sin nx cos kxdx = 0.

Twierdzenie

2.1 (o wsp´

ołczynnikach Fouriera). Zał´

ożmy,

że

szereg

trygonometryczny

∞

n=1

cos nx + b

sin nx)

(2.1)

jest zbieżny do funkcji f jednostajnie na R. Wtedy zachodz

a nast

epuj

ace

wzory Eulera-Fouriera:

−π

f (x)dx,

−π

f (x) cos nxdx,

−π

f (x) sin nxdx, n

∈ N.

(2.2)

Dowód. Sumy cz

e´

sciowe szeregu (2.1) s

a funkcjami ci

agłymi, a wi

ec ich

całki na [π, π] istniej

a (tw. tw. 3.1, rozdz.IX). W my´

sl jednostajnej zbieżno´

sci

2. SZEREGI FOURIERA

szeregu (2.1) można go całkowa´

c wyraz po wyrazie (por. wn. 3.1, rozdz.XI).

Mamy wi

−π

f (x)dx =

−π

∞

n=1

cos nx + b

sin nx)

= a

π +

∞

n=1

−π

cos nxdx + b

−π

sin nx

z ´

cw.2.1

π.

ad wynika pierwszy ze wzor´

ow (2.2). Nast

epnie zauważmy, że dla x

∈ R i

∈ N mamy

f (x) cos kx =

cos kx +

∞

n=1

cos nx cos kx + b

sin nx cos kx),

przy czym z założenia wynika, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie
zbieżny na R. St

ad stosuj

ac ponownie wniosek 3.1, rozdz.XI, otrzymujemy

−π

cos kxf (x)dx =

−π

cos kxdx +

∞

n=1

−π

cos nx cos kxdx +

−π

sin nx cos kxdx)

z ´

cw.2.1

π.

W analogiczny spos´

ob z r´

owno´

sci (dla x

∈ R i k ∈ N)

f (x) sin kx =

sin kx +

∞

n=1

cos nx sin kx + b

sin nx sin kx)

wnioskujemy, że

−π

sin kxdx =

−π

sin kxdx +

∞

n=1

−π

cos nx sin kxdx+

−π

sin nx sin kxdx

z ´

cw.2.1

π.

Tym samym wzory (2.2) zostały wykazane.

Definicja

2.2. Niech f : R

→ R b

edzie funkcj

a okresow

a o okresie 2π

i całkowaln

a w sensie Riemanna na [

−π, π]. Szereg trygonometryczny (2.1),

kt´

orego wsp´

ołczynniki dane s

a wzorami (2.2) nazywa si

e szeregiem Fourie-

ra funkcji f, a wsp´

ołczynniki (2.2) nazywaj

a si

e wsp´

ołczynnikami Fouriera

funkcji f.

Uwaga

2.2. Szereg Fouriera funkcji f, nawet je´

sli funkcja f jest ci

agła,

nie musi by´

c zbieżny. Istniej

a funkcje ci

agłe, dla kt´

orych szereg Fouriera jest

rozbieżny na podzbiorze g

estym [

−π, π].

W teorii szereg´

ow Fouriera bardzo pożyteczny jest nast

epuj

acy lemat.

Lemat

2.1 (Riemanna). Je´

sli funkcja f : [a, b]

→ R jest całkowalna w

sensie Riemanna na [a, b], to

lim

→∞

f (x) sin nxdx = 0,

lim

→∞

f (x) cos nxdx = 0.

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

Dowód. Wykażemy pierwsz

a r´

owno´

s´

c, drugiej dowodzi si

e analogicznie.

Niech ε > 0. Ponieważ z założenia f

∈ R na [a, b], wi

ec (por. tw. 1.4,

rozdz.IX) istnieje podziałP =

, . . . , x

} przedziału [a, b], taki, że U(f, P )−

L(f, P ) < ε/2. Niech m

= inf

∈[x

−1

]

f (x) M

= sup

∈[x

−1

]

f (x) dla

i = 1, . . . , k. Wtedy mamy

f (x) sin nxdx

i=1

−1

(f (x)

− m

) sin nxdx +

i=1

−1

sin nxdx

i=1

−1

(f (x)

− m

)

| sin nx|dx +

i=1

−1

sin nxdx

i=1

−1

− m

)dx +

i=1

cos nx

−1

− cos nx

i=1

− m

)∆x

i=1

= U (f, P )

− L(f, P ) +

i=1

| <

= ε,

o ile n >

i=1

|. St

ad teza.

Wniosek

2.1. Je´

sli f : R

→ R jest funkcj

a okresow

a o okresie 2π i

całkowaln

a w sensie Riemanna na [

−π, π], to jej wsp´ołczynniki Fouriera

(2.2) spełniaj

a warunek lim

→∞

= 0 i lim

→∞

= 0.

Cwiczenie

2.2. Wykaza´

c, że dla dowolnej liczby x

∈ R \ {2kπ : k ∈ Z}

i dla dowolnego n

∈ N zachodzi wz´or

k=1

cos kx =

sin(n + 1/2)x

2 sin(x/2)

(Wskaz´

owka. Zastosowa´

c indukcj

e lub pomnoży´

c obie strony r´

owno´

sci przez

2 sin(x/2) i zast

api´

c każdy z iloczyn´

ow 2 sin(x/2) cos kx przez sin(k+1/2)x

−

sin(k

− 1/2)x.) Zauważmy, że dla x ∈ {2kπ : k ∈ Z} mamy

k=1

cos kx =

+ n.

Definicja

2.3. Niech n

∈ N. Funkcj

e D

: R

→ R dan

a wzorem

(x) =

k=1

cos kx,

∈ R

nazywamy j

adrem Dirichleta.

Twierdzenie

2.2 (o sumach cz

e´

sciowych szeregu Fouriera). Niech

(x) =

k=1

cos kx + b

sin kx),

∈ R,

(2.3)

2. SZEREGI FOURIERA

edzie n-t

a sum

a cz

e´

sciow

a szeregu Fouriera funkcji f : R

→ R okresowej o

okresie 2π i całkowalnej w sensie Riemanna na [

−π, π]. Wtedy

(x) =

−π

f (t)D

− x)dt,

∈ R.

(2.4)

Dowód. Podstawiaj

ac do (2.3) wzory (2.2) na wsp´

ołczynniki Fouriera

funkcji f, otrzymujemy

(x) =

2π

−π

f (t)dt +

k=1

(

−π

f (t) cos ktdt) cos kx + (

−π

f (t) sin ktdt) sin kx

−π

(

f (t))dt +

−π

f (t)

k=1

(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt

−π

f (t)

k=1

cos k(t

− x)

dt =

−π

f (t)D

− x)dt.

W nast

epnym lemacie pokażemy, jak można przez dalsze przekształcenia

uzyska´

c posta´

c sumy s

(x) dogodn

a do sformułowania warunk´

ow dostatecz-

nych punktowej zbieżno´

sci szeregu Fouriera. W dalszym ci

agu je´

sli funkcja

f jest okre´

slona na przedziale [a, b] poza jednym punktem i da si

e ona roz-

szerzy´

c do funkcji g ci

agłej na [a, b], to rozważaj

ac całki na [a, b], b

edziemy

(domy´

slnie) zast

epowa´

c f przez g.

Lemat

2.2. Niech s

edzie n-t

a sum

a cz

e´

sciow

a szeregu Fouriera funk-

cji f : R

→ R okresowej o okresie 2π i całkowalnej w sensie Riemanna na

[

−π, π]. Wtedy dla dowolnego punktu x ∈ [−π, π] i dowolnej liczby δ ∈ (0, π)

mamy

(x) =

(f (x + t) + f (x

− t))

sin nt

dt + η

(x),

(2.5)

gdzie lim

→∞

(x) = 0.

Dowód. Dla t

∈ (−π, π) \ {0}, w my´sl ´cwiczenia 2.1 mamy

(t) =

sin(n + 1/2)t

2 sin(t/2)

sin(nt) cos(t/2) + cos(nt) sin(t/2)

2 sin(t/2)

sin nt

2 tg(t/2)

cos nt =

sin nt

2 tg(t/2)

−

sin nt +

cos nt.

(2.6)

Poł´

ożmy

g(t) =











2 tg(t/2)

−

dla t

∈ (−π, π) \ {0}

dla t = 0

1/π

dla t =

−π

−1/π

dla t = π.

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

W´

owczas funkcja g jest ci

agła na [

−π, π] oraz

(t) =

sin nt

+ g(t) sin nt +

cos nt

(2.7)

dla x

∈ [−π, π] \ {0} – z uwagi na wz´or (2.6) oraz ci

agło´

s´

c funkcji D

punktach

−π, π. Ponadto wiemy, że D

(0) = 1/2 + n (por.´

cw. 2.2) i tyle

samo wynosi granica w punkcie 0 funkcji po prawej stronie wzoru (2.7).
(W razie potrzeby możemy rozszerzy´

c fukcj

e (sin nt)/t do funkcji ci

agłej na

[

−π, π], kład

ac warto´

s´

c n w punkcie 0.)

Niech x

∈ [−π, π]. Ze wzoru (2.4) w twierdzeniu 2.2 wynika, że

(2.8)

(x) =

−π

f (t)D

−x)dt =

u = t

− x

du = dt

−x

−π−x

f (x+u)D

(u)du

(por. ´

cw. 6.2(a), rozdz.IX) =

−π

f (x + u)D

(u)du

z (2.7)

−π

f (x + u)

sin nu

du + γ

(x),

gdzie

(x) =

−π

f (x + u)g(u) sin nudu +

2π

−π

f (x + u) cos nudu .

Mamy lim

→∞

(x) = 0 na mocy lematu 2.1. Niech δ

∈ (0, π). Wtedy z

(2.8) wynika, że

(2.9)

(x) =

−δ

f (x + u)

sin nu

du +

−δ

−π

f (x + u)

sin nu

f (x + u)

sin nu

du + γ

(x).

Poł´

ożmy

(x) =

−δ

−π

f (x + u)

sin nu

du +

f (x + u)

sin nu

du + γ

(x).

(2.10)

Z lematu 2.1 wynika, że lim

→∞

(x) = 0. Zauważmy, że

−δ

f (x + u)

sin nu

du =

−δ

f (x + u)

sin nu

du +

f (x + u)

sin nu

v =

−u

dv =

−du

f (x

− v)

sin nv

dv +

f (x + u)

sin nu

(f (x + u) + f (x

− u))

sin nu

du.

ad i ze wzor´

ow (2.9), (2.10) wynika teza (2.5).

Uwaga

2.3. Ze wzoru (2.5) wynika, że na zbieżno´

s´

c szeregu Fouriera

funkcji f w punkcie x ma wpływ zachowanie si

e funkcji f w dowolnie małym

otoczeniu punktu x. Jest to tzw. zasada lokalizacji dla szereg´

ow Fouriera.

Wiemy, że całka

∞

sin x

dx jest zbieżna (zob. przykł. 1.2, rozdz.X). Teraz

obliczymy jej warto´

s´

2. SZEREGI FOURIERA

Lemat

2.3.

∞

sin x

dx =

Dowód. Teza 1:

∞

sin x

dx = lim

→∞

sin nx

dx dla każdego a > 0.

Istotnie,

sin nx

dx =

t = nx
dt = ndx

sin t

−→

∞

sin t

dt,

gdy n

→ ∞.

Teza 2 :

∞

sin x

dx = lim

→∞

sin(2n+1)x

sin x

dx.

Istotnie, z tezy 1 wynika, że

∞

sin x

dx = lim

→∞

sin(2n+1)x

sin x

dx. Zatem

wystarczy, je´

sli wykażemy, że

sin(2n + 1)x

sin x

−

sin(2n + 1)x

−→ 0,

dla n

→ ∞. Dla x ∈ (0,

] niech

f (x) =

sin x

−

− sin x

x sin x

oraz f (0) = 0. Wtedy funkcja f jest ci

agła na [0,

] oraz

f (x) sin(2n + 1)xdx

−→ 0, gdy n → ∞,

na mocy lematu 2.1.

Teza 3 :

sin(2n+1)x

sin x

dx =

dla każdego n

∈ N.

Istotnie, z ´

cwiczenia 2.2 wynika, że

sin(2n + 1)x

sin x

= 1 + 2

k=1

cos 2kx

dla x

∈ (0,

]

(dla x = 0 lew

a stron

e wzoru należy zast

api´

c przez 2n + 1). St

sin(2n + 1)x

sin x

dx =

dx + 2

k=1

cos 2kxdx =

(por. ´

cw. 2.1).

Wniosek

2.2. Je´

sli funkcja f : [0, a]

→ R jest monotoniczna na (0, a]

oraz istnieje sko´

nczona granica f (0+) = lim

→0

f (t), to

lim

→∞

f (t)

sin nt

dt =

f (0+).

Dowód. Zauważmy, że je´

sli zmienimy funkcj

e f, zast

epuj

ac f (0) przez

f (0+), to warto´

s´

c całki

f (t)

sin nt

dt nie ulegnie zmianie (por. ´

cw. 1.1,

rozdz.IX). Zatem zał´

ożmy dodatkowo, że f jest ci

agła w punkcie 0. Niech

F (x) =

sin t

dt, x

0. Funkcja F jest ci

agła na [0,

∞) (por. tw. 6.1,

rozdz.IX) oraz lim

→∞

F (x) = π/2 (na mocy lematu 2.3), wi

ec F jest ogra-

niczona na [0,

∞) (zob. ´cw. 3.2, rozdz.V). Zatem

(

∃ M > 0) (∀ x 0) |F (x)| ¬ M.

(2.11)

Niech ε > 0. Z ci

agło´

sci f w punkcie 0 wynika, że

(

∃ c ∈ (0, a)) (∀ t ∈ R) 0 ¬ t ¬ c ⇒ |f(t) − f(0)| <

(2.12)

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

Mamy

(2.13)

f (t)

sin nt

−

f (0)

f (t)

sin nt

−

f (0)

sin nt

f (0)

sin nt

−

f (0)

f (t)

sin nt

(f (t)

− f(0))

sin nt

|f(0)|

sin nt

−

f (t)

sin nt

Z lematu 2.3 i tezy 1 tego lematu wynika, że

lim

→∞

sin nt

dt =

Zatem

(

∃ n

∈ N)(∀ n n

)

|f(0)|

sin nt

−

(2.14)

Stosuj

ac lemat 2.1 do funkcji f (t)/t na [c, a], mamy

(

∃ n

∈ N)(∀ n n

)

f (t)

sin nt

(2.15)

Z założenia wynika, że funkcja g(t) = f (t)

− f(0), t ∈ [0, c], jest mono-

toniczna. Z twierdzenia o warto´

sci ´

sredniej dla całek (tw. 7.2 i uwaga 7.1,

rozdz.IX) otrzymujemy

(

∃ ξ

∈ [0, c])

(f (t)

− f(0))

sin nt

dt = (f (c)

− f(0))

sin nt

dt.

(2.16)

Dalej mamy

sin nt

u = nt
du = ndt

nξ

sin u

|F (nc) − F (nξ

)

¬ |F (nc)| + |F (nξ

)

z (2.11)

2M.

ad, z (2.16) i (2.12) otrzymujemy

(f (t)

− f(0))

sin nt

2M =

(2.17)

Niech n

= max

, n

}. Z (2.13), (2.14), (2.15) i (2.17) wynika, że

(

∀ n n

)

f (t)

sin nt

−

f (0)

< ε.

W poniższym twierdzeniu i przykładach b

edziemy stosowa´

c oznaczenia

f (x

−) i f(x+) na granic

e lewo- i prawostronn

a funkcji f w punkcie x (zob.

def. 2.3, rozdz.IV).

Twierdzenie

2.3 (Dirichleta). Niech f : R

→ R b

edzie funkcj

a okre-

sow

a o okresie 2π tak

a, że istnieje podziałprzedziału [

−π, π] na sko´nczon

liczb

e przedział´

ow domkni

etych, wewn

atrz kt´

orych funkcja f jest ci

agła, mo-

notoniczna i ograniczona. Wtedy szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny punk-
towo na R, przy czym jego suma jest r´

owna f (x), gdy x jest punktem ci

agło´

sci

funkcji f, oraz jest r´

owna (f (x+)+f (x

−))/2 gdy x jest punktem nieci

agło´

sci

funkcji f.

2. SZEREGI FOURIERA

Dowód. Niech x

∈ [−π, π]. Wybierzmy liczb

e δ

∈ (0, π) tak

a, że funkcja

f jest ci

agła i monotoniczna w przedziałach [x

− δ, x), (x, x + δ]. W my´sl

lematu 2.2 wystarczy udowodni´

c, że

lim

→∞

(f (x + t) + f (x

− t))

sin nt

dt =

f (x+) + f (x

−)

(Zauważmy, że je´

sli x jest punktem ci

agło´

sci funkcji f, to prawa strona tej

r´

owno´

sci jest r´

owna f (x)). W tym celu wykażemy, że

lim

→∞

f (x + t)

sin nt

dt = f (x+)/2

(2.18)

oraz

lim

→∞

f (x

− t)

sin nt

dt = f (x

−)/2.

(2.19)

Nast

epnie wystarczy doda´

c te r´

owno´

sci stronami. Dla dowodu (2.18) za-

uważmy, że funkcja g(t) = f (x + t) jest monotoniczna na (0, δ] oraz że
g(0+) = f (x+). Zatem (2.18) wynika z wniosku 2.2 zastosowanego do funk-
cji g. Dla dowodu (2.19) stosujemy wniosek 2.2 do funkcji monotonicznej
h(t) = f (x

− t), t ∈ (0, δ], i zauważamy, że h(0+) = f(x−).

Uwaga

2.4. Niech f : R

→ R b

edzie funkcj

a okresow

a o okresie 2π i

całkowaln

a w sensie Riemanna na [

−π, π]. Zał´ożmy, że f jest sum

a swoje-

go szeregu Fouriera. Je´

sli funkcja f jest parzysta, to wsp´

ołczynniki Fourie-

ra b

, n

∈ N, znikaj

a (por. ´

cw. 6.2(c), rozdz.IX), a zatem f (x) = a

/2 +

∞

k=1

cos kx, x

∈ R. M´owimy wtedy, że funkcja f rozwija si

e w szereg

cosinus´

ow. Podobnie je´

sli funkcja f jest nieparzysta, to wsp´

ołczynniki Fo-

uriera a

, n

∈ N ∪ {0}, znikaj

a (por.´

cw. 6.2(c), rozdz.IX), a zatem f (x) =

∞

k=1

sin kx, x

∈ R. M´owimy wtedy, że funkcja f rozwija si

e w szereg

sinus´

ow.

Przykad

2.1. Niech

f (x) =











−

dla x

∈ (−π, 0)

dla x

∈ (0, π)

dla x

∈ {−π, 0, π}.

Tak okre´

slon

a funkcj

e rozszerzamy do funkcji o okresie 2π na zbiorze R. Za-

uważmy, że spełnione s

a założenia tw. 2.3, przy czym je´

sli x jest punktem

nieci

agło´

sci funkcji f, to f (x) = (f (x+) + f (x

−))/2. Zatem na mocy twier-

dzenia 2.3 funkcja f jest sum

a swojego szeregu Fouriera w zbiorze R. Jest

jasne, że f jest funkcj

a nieparzyst

a, zatem rozwija si

e ona w szereg sinus´

ow.

Dla n

∈ N mamy

−π

f (x) sin nxdx = (z ´

cw. 6.2(b), rozdz.IX)

f (x) sin nxdx =

sin nxdx

[

− cos nx]

π
0

− cos nπ) =

− (−1)

SPECJALNE SZEREGI FUNKCYJNE

Zatem

(

dla n = 2k

− 1.

f (x) =

∞

k=1

− 1

sin(2k

− 1)x, x ∈ R.

W szczeg´

olno´

sci dla x =

mamy

∞

k=1

− 1

sin(2k

− 1)

∞

k=1

(

−1)

−1

− 1

W ten spos´

ob za pomoc

a szereg´

ow Fouriera można wyznacza´

c sumy niekt´

orych

szereg´

ow liczbowych.

Cwiczenie

2.3. Niech f (x) =

|x|, x ∈ [−π, π]. Rozszerzy´c funkcj

e f do

funkcji o okresie 2π na R, a nast

epnie rozwin

a´

c j

a w szereg Fouriera. Dla

x = 0 wywnioskowa´

c, że

∞

k=1

(2k

− 1)

ad wyprowadzi´

c wz´

or π

/6 =

∞

k=1

1/k

. (Wskaz´

owka. Je´

sli s =

∞

k=1

1/k

to zauważy´

c, że π

/8 + s/4 = s.)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mbwyklad6 Analiza a
mbwyklad13 analiza h
mbwyklad11 analiza f id 289928
mbwyklad7 Analiza b
mbwyklad9 Analiza d
mbwyklad8 Analiza c
mbwyklad10 analiza e
mbwyklad6 Analiza a
analiza złożonych aktów ruchowych w sytuacjach patologicznych

więcej podobnych podstron