Całka nieoznaczona. Metody całkowania

1. Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona

W tym paragrafie przez I b

,

edziemy oznacza´

c przedział niezdegenerowa-

ny.

Definicja

1.1. M´

owimy, że funkcja r´

ożniczkowalna F : I

→ R jest

funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f : I

→ R, gdy F

0

(x) = f (x) dla każdego I.

Twierdzenie

1.1. Zał´

ożmy, że F

0

jest ustalon

,

a funkcj

,

a pierwotn

,

a funk-

cji f : I

→ R. Funkcja F : I → R jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f wtedy i

tylko wtedy, gdy istnieje stała C

∈ R taka, że

F (x) = F

0

(x) + C

dla każdego x

∈ I.

(1.1)

Dowód. ”

⇒ ” Poł´ożmy g(x) = F (x) − F

0

(x) dla x

∈ I. Wtedy g

0

(x) =

F

0

(x)

− F

0

0

(x) = f (x)

− f(x) = 0 dla x ∈ I. Zatem na mocy wniosku ??(1),

rozdz.VI (z tw. Lagrange’a), funkcja g jest stała na I. St

,

ad wynika (1.1).

”

⇐ ” Z (1.1) wynika, że

F

0

(x) = F

0

0

(x) + C

0

= f (x)

dla każdego x

∈ I.

Zatem F jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f.

Przykład

1.1.

(a) Funkcja F (x) = x

2

/2 jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funk-

cji f (x) = x na dowolnym przedziale niezdegenerowanym.

(b) Funkcja f : [0, 1]

→ R dana wzorem

f (x) =

(

0

dla

x

6=

1
2

1

dla

x =

1
2

nie ma funkcji pierwotnej. Istotnie, przypu´

s´

cmy, że funkcja pierwotna

F funkcji f istnieje na [0, 1]. W´

owczas

F

0

(x) = 0

dla

x

∈ [0,

1

2

)

∪ (

1

2

, 1],

co wynika wprost z definicji 1.1 i okre´

slenia f. Zatem funkcja F jest

stała na każdym z przedział´

ow [0,

1
2

), (

1
2

, 1] na mocy wniosku ??(1),

rozdz.VI (z tw. Lagrange’a). Ponieważ funkcja F jest r´

ożniczkowalna

na [0, 1] (por. def. 1.1), wi

,

ec jest r´

ownież ci

,

agła na [0, 1]. Zatem funkcja

F jest stała na całym przedziale [0, 1]. St

,

ad F

0

(x) = 0 dla x

∈ [0, 1],

co jest niemożliwe, gdyż F

0

(1/2) = f (1/2) = 1.

Definicja

1.2. Je´

sli funkcja f : I

→ R posiada przynajmniej jedn

,

a

funkcj

,

e pierwotn

,

a F : I

→ R, to og´oln

,

a posta´

c (por. tw. 1.1)

F (x) + C,

x

∈ I

1

(gdzie C

∈ R) funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całk

,

a nieoznaczon

,

a

funkcji f i oznaczamy przez

R

f albo

R

f (x)dx. Zatem

Z

f (x)dx = F (x) + C

albo kr´

otko

R

f = F + C, gdzie C jest dowoln

,

a stał

,

a.

Uwaga

1.1. Z definicji 1.2 wynika, że

(

Z

f )

0

= f

oraz

Z

(g

0

) = g + C

(gdzie C

∈ R jest dowoln

,

a stał

,

a).

Zapis

R

f =

R

g oznacza, że funkcje f i g s

,

a okre´

slone na tym samym prze-

dziale I oraz posiadaj

,

a tam odpowiednie funkcje pierwotne F i G, przy czym

F i G r´

ożni

,

a si

,

e co najwyżej o stał

,

a.

Twierdzenie

1.2 (liniowo´

s´

c całki nieoznaczonej). Zał´

ożmy, że f, g : I

→

R

oraz że istniej

,

a całki

R

f i

R

g. Wtedy

(a) istnieje całka

R

(f + g) oraz

Z

(f + g) =

Z

f +

Z

g,

(b) dla dowolnej liczby a

∈ R istnieje całka

R

(af ) oraz

Z

(af ) = a(

Z

f ).

Dowód.

(a) Korzystaj

,

ac z uwagi 1.1 i algebraicznych reguł r´

ożniczkowania,

mamy

(

Z

f +

Z

g)

0

= (

Z

f )

0

+ (

Z

g)

0

= f + g.

St

,

ad wynika, że

R

f +

R

g jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f + g. Zatem

Z

(f + g) =

Z

f +

Z

g.

(b) Mamy (a

R

f )

0

= a(

R

f )

0

= af. St

,

ad

R

(af ) = a(

R

f ).

Przykład

1.2. Korzystaj

,

ac z twierdzenia 1.2, mamy

Z

(x

− 3x

2

− 2 sin x)dx =

Z

xdx

− 3

Z

x

2

dx

− 2

Z

sin xdx

=

x

2

2

− x

3

+ 2 cos x + C,

C

∈ R.

Twierdzenie

1.3 (o całkowaniu przez cz

,

e´

sci). Je´

sli f, g : I

→ R s

,

a

funkcjami r´

ożniczkowalnymi na przedziale I oraz istnieje całka nieoznaczo-

na jednej z funkcji f

0

g i f g

0

, to istnieje całka nieoznaczona drugiej z tych

funkcji oraz zachodzi wz´

or

Z

(f

0

g) = f g

−

Z

(f g

0

).

2

Dowód. Zał´

ożmy, że

R

(f g

0

) istnieje. Ze wzoru na pochodn

,

a iloczynu

(tw. ??(b), rozdz.VI) mamy (f g)

0

= f

0

g + f g

0

. St

,

ad

f

0

g = (f g)

0

− fg

0

= (f g)

0

− (

Z

(f g

0

))

0

= (f g

−

Z

(f g

0

))

0

,

a zatem f g

−

R

(f g

0

) jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f

0

g. W konsekwencji

Z

(f

0

g) = f g

−

Z

(f g

0

).

Przykład

1.3. Na mocy tw. 1.3 mamy

Z

x ln xdx =



f (x) = ln x,

g

0

(x) = x

f

0

(x) =

1

x

,

g(x) =

x

2

2



=

x

2

2

ln x

−

Z

1

x

x

2

2

dx

=

x

2

2

ln x

−

1

2

Z

xdx =

x

2

2

ln x

−

1

2

·

x

2

2

+ C =

x

2

2

ln x

−

x

2

4

+ C.

Twierdzenie

1.4 (o całkowaniu przez podstawienie). Zał´

ożmy, że f :

I

→ J oraz g : J → R, gdzie I, J ⊂ R s

,

a przedziałami niezdegenerowanymi.

Je´

sli funkcja f jest r´

ożniczkowalna na I oraz funkcja g ma całk

,

e nieozna-

czon

,

a na J, to funkcja (g

◦

f )f

0

ma całk

,

e nieoznaczon

,

a na I oraz zachodzi

wz´

or

Z

(g

◦f)f

0

= (

Z

g)

◦f.

(1.2)

Dowód. Należy sprawdzi´

c, że funkcja (

R

g)

◦

f jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funk-

cji (g

◦

f )f

0

na I. Istotnie, dla x

∈ I, na mocy twierdzenia o r´ożniczkowaniu

superpozycji (tw.??, rozdz. VI) mamy

((

Z

g)

◦

f )

0

(x) = (

Z

g)

0

(f (x))

· f

0

(x) = g(f (x))

· f

0

(x) = (g

◦

f )(x)

· f

0

(x).

Uwaga

1.2. Wz´

or (1.2) przeważnie zapisuje si

,

e w postaci

Z

(g(f (x)))f

0

(x)dx =

Z

g(t)dt,

gdzie t = f (x).

W tym zapisie lewa strona r´

owno´

sci jest funkcj

,

a zmiennej x

∈ I, za´s prawa –

funkcj

,

a zmiennej t

∈ J. Zatem funkcj

,

e po prawej stronie powyższej r´

owno´

sci

należy złoży´

c z funkcj

,

a f (x), by ”wr´

oci´

c” do zmiennej x.

Przykład

1.4.

Z

sin

2

x cos xdx =



t = sin x
dt = cos xdx



=

Z

t

2

dt =

t

3

3

+ C =

sin

3

x

3

+ C.

Tutaj t = f (x) = sin x dla x

∈ R oraz g(t) = t

2

dla t

∈ R. Zatem

sin

2

x cos x = (g

◦

f )(x)f

0

(x). Po podstawieniu t = sin x r´

ożniczkujemy obie

strony, stosuj

,

ac wygodny formalny zapis dt = cos xdx (oznaczaj

,

acy dt/dx =

cos x, czyli f

0

(x) = sin x). Na ko´

ncu oblicze´

n ”wr´

ocili´

smy” do zmiennej x.

3

Uwaga

1.3. Zauważmy, że

Z

dx

x

= ln

|x| + C

dla

x

6= 0.

Istotnie, dla x > 0 wynika to ze wzoru (ln x)

0

=

1
x

. Je´

sli za´

s x < 0, to

|x| = −x oraz

(ln

|x|)

0

= (ln(

−x))

0

=

−

1

x

(

−1) =

1

x

.

Uwaga

1.4. Bezpo´

srednio z definicji całki nieoznaczonej wnioskujemy,

że (korzystamy przy tym ze wzoru na r´

ożniczkowanie superpozycji i uwagi

1.3):

Z

f

0

(x)

f (x)

dx = ln

|f(x)| + C

(1.3)

Z

f

0

(x)

p

f (x)

dx = 2

q

f (x) + C,

(1.4)

o ile funkcja f jest r´

ożniczkowalna na odpowiednim przedziale.

Przykład

1.5. Ze wzoru (1.3) otrzymujemy

Z

tg xdx =

Z

sin x

cos x

dx =

−

Z

− sin x

cos x

dx =

− ln | cos x| + C.

Na zako´

nczenie podajemy podstawowe wzory na całki nieoznaczone,

kt´

orych słuszno´

s´

c sprawdza si

,

e bezpo´

srednio z definicji (na mocy znanych

wzor´

ow dotycz

,

acych r´

ożniczkowania).

Z

0dx = C,

Z

x

α

dx =







1

α + 1

x

α+1

+ C,

gdy α

6= −1

ln

|x| + C,

gdy α =

−1

[ w szczeg´

olno´

sci

Z

dx = x + C],

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

(gdzie

a > 0, a

6= 1)

[ w szczeg´

olno´

sci

Z

e

x

dx = e

x

+ C],

Z

sin xdx =

− cos x + C,

Z

cos xdx = sin x + C,

Z

dx

cos

2

x

= tg x + C,

Z

dx

sin

2

x

=

− ctg x + C,

Z

dx

√

1

− x

2

= arc sin x + C,

Z

dx

1 + x

2

= arctg x + C.

2. Całkowanie funkcji wymiernych

Nast

,

epuj

,

ace fakty s

,

a znane z algebry:

4

(I) Każd

,

a funkcj

,

e wymiern

,

a P (x)/Q(x), gdzie P (x), Q(x) s

,

a wielomia-

nami i Q(x) jest wielomianem niezerowym, można (przez wykona-
nie algorytmu dzielenia z reszt

,

a) przedstawi´

c jednoznacznie w po-

staci W(x) + R(x)/Q(x), gdzie W (x) jest wielomianem (by´

c może

zerowym), za´

s R(x) jest wielomiamem stopnia mniejszego niż stopie´

n

Q(x), albo R(x) jest wielomianem zerowym.

(II) Niech R(x) i Q(x) b

,

ed

,

a wielomianami niezerowymi, przy czym stopie´

n

R(x) jest mniejszy niż stopie´

n Q(x). Funkcj

,

e wymiern

,

a R(x)/Q(x)

można przedstawi´

c jednoznacznie jako sko´

nczon

,

a sum

,

e ułamk´

ow pro-

stych, tzn. funkcji wymiernych postaci

A

(x

− a)

n

(2.1)

lub

Ax + B

((x

− a)

2

+ b

2

)

n

,

(2.2)

gdzie n

∈ N; A, B ∈ R oraz b ∈ R \ {0}. Zauważmy, że tr´ojmian (x −

a)

2

+ b

2

wyst

,

epuj

,

acy w mianowniku ułamka (2.2) jest nierozkładalny.

Z (I) wynika, że

Z

P (x)

Q(x)

dx =

Z

W (x)dx +

Z

R(x)

Q(x)

dx.

Całk

,

e

R

W (x)dx liczymy łatwo, korzystaj

,

ac z liniowo´

sci całki i wzor´

ow po-

danych w poprzednim paragrafie. Całk

,

e

R

R(x)
Q(x)

dx liczymy jako sum

,

e całek

ułamk´

ow prostych uzyskanych na mocy (II). Spos´

ob rozkładu

R(x)
Q(x)

na sum

,

e

ułamk´

ow prostych om´

owimy na przykładzie. Przede wszystkim wielomian

Q(x) przedstawiamy jako iloczyn sko´

nczonej ilo´

sci wielomian´

ow nierozkła-

dalnych (w dziedzinie rzeczywistej), tzn. funkcji liniowych lub tr´

ojmian´

ow

kwadratowych o wyr´

ożniku ujemnym.

Przykład

2.1. Rozkład funkcji wymiernej

f (x) =

x

2

+ x + 2

(x

2

+ 1)

2

x

3

na sum

,

e ułamk´

ow prostych ma posta´

c

f (x) =

A

x

+

B

x

2

+

C

x

3

+

Dx + E

x

2

+ 1

+

F x + G

(x

2

+ 1)

2

.

(2.3)

Wsp´

ołczynniki A, B, C, D, E, F, G wyznaczamy, mnoż

,

ac r´

ownanie (2.3) stro-

nami przez (x

2

+ 1)

2

x

3

. Otrzymamy r´

owno´

s´

c dw´

och wielomian´

ow, zatem

ich wsp´

ołczynniki przy odpowiednich pot

,

egach x s

,

a r´

owne. Przyr´

ownuj

,

ac te

wsp´

ołczynniki, otrzymamy układ r´

owna´

n liniowych z niewiadomymi A, B, C,

D, E, F, G. Jego rozwi

,

azaniem s

,

a liczby A = 3, B =

−2, C = 2, D = −3, E =

2, F = 3, G = 2.

Ułamek prosty postaci (2.1) całkujemy według wzoru

Z

A

(x

− a)

n

dx =

(

A

1

−n

(x

− a)

−n+1

+ C,

gdy n > 1

A ln

|x − a| + C,

gdy n = 1.

5

Om´

owimy teraz całkowanie ułamk´

ow prostych postaci (2.2). Całk

,

e ta-

kiego ułamka przekształcamy w nast

,

epuj

,

acy spos´

ob:

Z

Ax + B

((x

− a)

2

+ b

2

)

n

dx =

A

2

Z

2(x

− a)dx

((x

− a)

2

+ b

2

)

n

+ (Aa + B)

Z

dx

((x

− a)

2

+ b

2

)

n

.

(2.4)

Całki wyst

,

epuj

,

ace po prawej stronie r´

ownania (2.4) oznaczamy kolejno przez

I

n

i J

n

. W całce I

n

podstawiamy (x

− a)

2

+ b

2

= t, wtedy 2(x

− a)dx = dt,

a zatem I

n

=

R

dt/t

n

. To jest znana całka (zob. poprzedni paragraf) i po jej

obliczeniu należy jeszcze ”wr´

oci´

c” do zmiennej x.

Całk

,

e J

n

obliczymy najpierw dla n = 1. Mamy

J

1

=

Z

dx

(x

− a)

2

+ b

2

=

1

b

2

Z

dx

(

x

−a

b

)

2

+ 1

=







t =

x

−a

b

dt =

dx

b

bdt = dx







=

1

b

Z

dt

t

2

+ 1

=

1

b

arctg t + C =

1

b

arctg

x

− a

b

+ C.

Przykład

2.2. Niech

M =

Z

x + 1

2x

2

+ 6x + 5

dx.

Ponieważ wyr´

ożnik mianownika funkcji podcałkowej jest ujemny, wi

,

ec funk-

cja ta jest ułamkiem prostym typu (2.2). Mamy

M =

1

4

Z

4x + 6

2x

2

+ 6x + 5

dx

−

1

2

Z

dx

2x

2

+ 6x + 5

=

1

4

ln

|2x

2

+ 6x + 5

| −

1

4

Z

dx

(x +

3
2

)

2

+

1
4

=

1

4

ln

|2x

2

+ 6x + 5

| −

Z

dx

x +

3
2

1
2

!

2

+ 1

,

Z

dx

x +

3
2

1
2

!

2

+ 1

=











t =

x +

3
2

1
2

1
2

dt = dx











=

1

2

Z

dt

t

2

+ 1

=

1

2

arctg t + C.

St

,

ad I =

1
4

ln

|2x

2

+ 6x + 5

| −

1
2

arctg(2x + 3) + C.

Wr´

o´

cmy do całki J

n

dla n

­ 2. Podobnie jak dla n = 1 podstawiamy

t = (x

− a)/b i mamy

J

n

=

1

b

2n

Z

dx

((

x

−a

b

)

2

+ 1)

n

=

1

b

2n

−1

Z

dt

(t

2

+ 1)

n

,

a zatem wystarczy obliczy´

c całk

,

e

T

n

=

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

.

6

Wiemy, że T

1

= arctg x + C. Dla n

­ 2 całk

,

e T

n

obliczamy ze wzoru reku-

rencyjnego. Wz´

or ten wyprowadzamy jak nast

,

epuje:

T

n

=

Z

x

2

+ 1

− x

2

(x

2

+ 1)

n

dx =

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

−1

−

Z

x

2

dx

(x

2

+ 1)

n

= T

n

−1

− S.

(2.5)

Całk

,

e S liczymy przez cz

,

e´

sci

S =

(

f (x) = x,

g

0

(x) =

x

(x

2

+1)

n

f

0

(x) = 1,

g(x) =

−1

2(n

−1)(x

2

+1)

n

−1

)

=

−

1

2(n

− 1)

x

(x

2

+ 1)

n

−1

+

1

2(n

− 1)

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

−1

=

−

1

2(n

− 1)

x

(x

2

+ 1)

n

−1

+

1

2(n

− 1)

T

n

−1

.

(2.6)

Ze wzor´

ow (2.5) i (2.6) otrzymujemy

T

n

= T

n

−1

+

1

2(n

− 1)

x

(x

2

+ 1)

n

−1

−

1

2(n

− 1)

T

n

−1

i st

,

ad mamy zapowiadany wz´

or rekurencyjny

T

n

=

1

2n

− 2

x

(x

2

+ 1)

n

−1

+

2n

− 3

2n

− 2

T

n

−1

.

´

Cwiczenie

2.1. Obliczy´

c całki

(a)

Z

x

4

+ 1

x

3

− x

2

+ x

− 1

dx

(b)

Z

dx

(x

2

+ 2x + 10)

3

.

3. Całkowanie wyraże´

n trygonometrycznych

Om´

owimy całkowanie fukcji postaci

x

7→ R(sin x, cos x),

(3.1)

gdzie R(u, v) jest funkcj

,

a wymiern

,

a dw´

och zmiennych (tzn. jest ilorazem

P (u, v)/Q(u, v) wielomian´

ow P (u, v), Q(u, v) dw´

och zmiennych, przy czym

wielomian Q(u, v) jest niezerowy).

Rozważmy trzy przypadki.
Przypadek 1. R(

−u, v) = −R(u, v). Przez podstawienie t = cos x spro-

wadzamy całk

,

e do całki funkcji wymiernej.

Przykład

3.1.

Z

sin x cos

2

x

1 + cos

2

x

dx =



t = cos x
dt =

− sin xdx



=

−

Z

t

2

1 + t

2

dt.

Przypadek 2. R(u,

−v) = −R(u, v). Przez podstawienie t = sin x spro-

wadzamy całk

,

e do całki funkcji wymiernej.

Przykład

3.2.

Z

cos x

1 + 2 sin

2

x

dx =



t = sin x
dt = cos xdx



=

Z

dt

1 + 2t

2

.

7

Przypadek 3. R(

−u, −v) = R(u, v). Przez podstawienie t = tg x sprowa-

dzamy całk

,

e do całki funkcji wymiernej. Należy pami

,

eta´

c o wzorze

1

cos

2

x

= tg

2

x + 1,

gdyż po podstawieniu musimy funkcj

,

e podcałkow

,

a wyrazi´

c przez funkcj

,

e

tangens.

Przykład

3.3.

Z

sin x cos x

sin

2

x cos

2

x + 1

dx =

Z

sin x

cos x

sin

2

x +

1

cos

2

x

dx =

Z

tg x

cos

2

x(tg

2

x +

1

cos

4

x

)

dx

=



t = tg x
dt =

1

cos

2

x

dx



=

Z

tdt

t

2

+ (t

2

+ 1)

2

=

Z

tdt

t

4

+ 3t

2

+ 1

.

Przypadki 1 - 3 nie wyczerpuj

,

a wszystkich możliwo´

sci. W pozostałych

sytuacjach wykorzystujemy znane tożsamo´

sci trygonometryczne i stosujemy

inne dogodne podstawienia. Dla całek funkcji postaci (3.1) zawsze skuteczne
jest tzw. podstawienie uniwersalne tg

x

2

= t, kt´

ore jednak nie musi prowadzi´

c

do najprostszych rachunk´

ow. Stosuj

,

ac to podstawienie, należy pami

,

eta´

c o

wzorach

sin x =

2t

1 + t

2

,

cos x =

1

− t

2

1 + t

2

,

x = 2 arctg t,

dx =

2dt

1 + t

2

.

Przykład

3.4.

Z

dx

2 + cos x

=











t = tg

x
2

dx =

2dt

1+t

2

cos x =

1

−t

2

1+t

2











=

Z

2t

1+t

2

2 +

1

−t

2

1+t

2

dt = 2

Z

dt

t

2

+ 3

.

´

Cwiczenie

3.1. Obliczy´

c całki

Z

dx

sin x

,

Z

dx

cos x

, stosuj

,

ac:

(a) podstawienia om´

owione w przypadkach 1 i 2,

(b) podstawienie uniwersalne.

´

Cwiczenie

3.2. Obliczy´

c całk

,

e

R

sin 5x cos 7xdx. (Wskaz´

owka. Potrak-

towa´

c 2 sin 5x cos 7x jako lew

,

a stron

,

e znanego wzoru

2 sin

α + β

2

cos

α

− β

2

= sin α + sin β.)

Na zako´

nczenie tego paragrafu om´

owimy obliczanie całek

I

n

=

Z

sin

n

xdx,

J

n

=

Z

cos

n

xdx, n

∈ N.

Dla n = 1 s

,

a to znane całki, za´

s dla n = 2 obliczamy je łatwo, stosuj

,

ac

wzory

sin

2

x =

1

− cos 2x

2

,

cos

2

x =

1 + cos 2x

2

.

8

Niech wi

,

ec n

­ 3. Korzystaj

,

ac z ”jedynki trygonometrcznej” i całkowania

przez cz

,

e´

sci, mamy

I

n

=

Z

sin

n

−2

x(1

− cos

2

x)dx = I

n

−2

−

Z

sin

n

−2

x cos

2

xdx

=

(

f (x) = cos x,

g

0

(x) = sin

n

−2

x cos x

f

0

(x) =

− sin x, g(x) =

1

n

−1

sin

n

−1

x

)

= I

n

−2

−

1

n

− 1

sin

n

−1

x cos x

−

1

n

− 1

I

n

.

St

,

ad

n

n

−1

I

n

=

−

1

n

−1

sin

n

−1

x cos x + I

n

−2

i ostatecznie

I

n

=

−

1

n

sin

n

−1

x cos x +

n

− 1

n

I

n

−2

.

W podobny spos´

ob wyprowadzamy wz´

or

J

n

=

1

n

cos

n

−1

x sin x +

n

− 1

n

J

n

−2

.

4. Całkowanie funkcji niewymiernych

Om´

owimy kilka typ´

ow całek wyraże´

n niewymiernych zawieraj

,

acych funk-

cje pierwiastkowe.

Typ I. Zał´

ożmy, że R(u, v) jest funkcj

,

a wymiern

,

a dw´

och zmiennych oraz

że mamy znale´

z´

c całk

,

e funkcji niewymiernej postaci

x

7→ R(x,

n

s

ax + b

cx + d

),

gdzie ad

− bc 6= 0.

Wtedy podstawienie t =

n

q

ax+b
cx+d

prowadzi do całki funkcji wymiernej.

Przykład

4.1.

Z

3

s

x + 1

x

− 1

dx

x + 1

=















t =

3

q

x+1
x

−1

x =

t

3

+1

t

3

−1

dx =

−6t

2

(t

3

−1)

2

dt















=

−3

Z

dt

t

3

− 1

.

Typ II. Zał´

ożmy, że R(u, v) jest funkcj

,

a wymiern

,

a dw´

och zmiennych.

Dowodzi si

,

e, że całka funkcji postaci x

7→ R(x,

√

ax

2

+ bx + c) daje si

,

e wy-

razi´

c przez funkcje elementarne. Om´

owimy kilka szczeg´

olnych przypadk´

ow

(a)

Z

dx

√

x

2

+ k

,

x

2

+ k > 0.

Stosujemy tzw. pierwsze podstawienie Eulera:

t = x +

p

x

2

+ k.

W´

owczas

√

x

2

+ k = t

− x, sk

,

ad x

2

+ k = t

2

− 2tx + x

2

, a zatem

x =

t

2

− k

2t

=

1

2

(t

−

k

t

),

p

x

2

+ k = t

− x = t −

t

2

− k

2t

=

t

2

+ k

2t

,

dx =

1

2

(1 +

k

t

2

)dt,

czyli dx =

t

2

+ k

2t

2

dt.

9

Zatem

Z

dx

√

x

2

+ k

=

Z

t

2

+k

2t

2

t

2

+k

2t

dt =

Z

dt

t

= ln

|t| + C = ln |x +

p

x

2

+ k

| + C.

(b)

Z

dx

√

a

− x

2

, a > 0, x

∈ (−

√

a,

√

a).

Podstawiamy x =

√

at, sk

,

ad dx =

√

adt oraz

Z

dx

√

a

− x

2

=

Z

√

adt

√

a

− at

2

=

√

a

√

a

Z

dt

√

1

− t

2

= arc sin t + C

= arc sin

x

√

a

+ C

(c) Całki

I

1

=

Z

p

x

2

+ kdx,

I

2

=

Z

x

2

dx

√

x

2

+ k

, k

∈ R,

s

,

a przykładem tzw. całek stowarzyszonych. Nazwa pochodzi od me-

tody, dzi

,

eki kt´

orej można je obliczy´

c jednocze´

snie. Zauważmy, że

I

1

=

Z

x

2

+ k

√

x

2

+ k

dx =

Z

x

2

dx

√

x

2

+ k

+

Z

kdx

√

x

2

+ k

.

St

,

ad i z (a) wynika, że

I

1

= k ln

|x +

p

x

2

+ k

| + I

2

.

(4.1)

Z drugiej strony, całkuj

,

ac przez cz

,

e´

sci, otrzymujemy

I

1

=

(

f (x) =

√

x

2

+ k,

g

0

(x) = 1

f

0

(x) =

2x

2

√

x

2

+k

,

g(x) = x

)

= x

p

x

2

+ k

−

Z

x

2

√

x

2

+ k

dx,

sk

,

ad

I

1

= x

p

x

2

+ k

− I

2

.

(4.2)

Rozwi

,

azuj

,

ac układ r´

owna´

n (4.1), (4.2) wzgl

,

edem niewiadomych I

1

,

I

2

, otrzymujemy (do rozwi

,

aza´

n dodajemy jeszcze stał

,

a C):

I

1

=

1

2

x

p

x

2

+ k +

1

2

k ln

|x +

p

x

2

+ k

| + C,

I

2

=

1

2

x

p

x

2

+ k

−

1

2

k ln

|x +

p

x

2

+ k

| + C.

´

Cwiczenie

4.1. Obliczy´

c całki stowarzyszone

I

1

=

Z

p

a

− x

2

dx,

I

2

=

Z

x

2

√

a

− x

2

dx (a > 0, x

∈ (−

√

a,

√

a)).

Uwaga

4.1. Całk

,

e postaci

R

dx

√

ax

2

+bx+c

, a

6= 0, przez stosowne podsta-

wienie sprowadzamy do jednej z całek typu II (w zależno´

sci od tego, czy

a > 0 lub a < 0).

Na koniec om´

owimy całki postaci

I =

Z

P

n

(x)

√

ax

2

+ bx + c

dx,

10

gdzie a

6= 0 oraz P

n

(x) jest wielomianem stopnia n. Dowodzi si

,

e, że całk

,

e I

można przedstawi´

c jako

I = Q

n

−1

(x)

p

ax

2

+ bx + c + k

Z

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

(4.3)

gdzie Q

n

−1

(x) jest pewnym wielomianem stopnia

¬ n − 1. Wobec uwagi 4.1

wystarczy wyznaczy´

c jeszcze wsp´

ołczynniki wielomianu Q

n

−1

(x) i stał

,

a k.

W tym celu r´

ożniczkujemy stronami r´

ownanie (4.3) i otrzymujemy

P

n

(x)

√

ax

2

+ bx + c

= Q

0

n

−1

(x)2

p

ax

2

+ bx + c + Q

n

−1

(x)

2ax + b

2

√

ax

2

+ bx + c

+

k

√

ax

2

+ bx + c

.

Mnoż

,

ac t

,

e r´

owno´

s´

c stronami przez

√

ax

2

+ bx + c, mamy r´

owno´

s´

c dw´

och

wielomian´

ow

P

n

(x) = Q

0

n

−1

(x)(ax

2

+ bx + c) + Q

n

−1

(x)(ax + b/2) + k.

Przez por´

ownanie wsp´

ołczynnik´

ow przy odpowiednich pot

,

egach x otrzymu-

jemy układ r´

owna´

n liniowych, w kt´

orym niewiadomymi s

,

a wsp´

ołczynniki

wielomianu Q(x) i stała k. Wystarczy zatem wyznaczy´

c te niewiadome i

wstawi´

c do wzoru (4.3). Jest to tzw. metoda wsp´

ołczynnik´

ow nieoznaczo-

nych. Aby zako´

nczy´

c obliczenie całki I, należy jeszcze wyznaczy´

c całk

,

e

R

dx

√

ax

2

+bx+c

we wzorze (4.3). W tym celu stosujemy uwag

,

e 4.1.

´

Cwiczenie

4.2. Obliczy´

c całk

,

e

Z

x

2

+ 4x

√

x

2

+ 2x + 2

dx.

11