mbwyklad13 analiza h

Rachunek r´

ożniczkowy dla funkcji wielu zmiennych

1. Pochodna kierunkowa, pochodne cz

astkowe

Definicja

1.1. Zał´

ożmy, że X i Y s

a przestrzeniami unormowanymi

oraz G

⊂ X jest zbiorem otwartym. Ustalmy elementy p ∈ G oraz h ∈ X.

Rozważmy zbi´

or otwarty w przestrzni R

U =

{t ∈ R : p + th ∈ G}.

(1.1)

(Jest to przeciwobraz zbioru otwartego G przez funkcj

e ci

agł

a t

7→ p+th; por.

tw. 3.1(3), rozdz.II i tw. 3.3, rozdz.IV). Niech b

edzie dana funkcja f : G

→ Y.

Rozważmy funkcj

e (f (p + th)

− f(p))/t dla t ∈ U \ {0}. Je´sli istnieje granica

lim

→0

f (p + th)

− f(p)

= f

(p),

(1.2)

to nazywamy j

a pochodn

a kierunkow

a funkcji f w punkcie p w kierunku

wektora h.

Uwaga

1.1.

(a) Zauważmy, że f

(p)

∈ Y. Je´sli h jest wektorem ze-

rowym w X, to f

(p) jest wektorem zerowym w Y.

(b) Praktyczny spos´

ob obliczania pochodnej kierunkowej f

(p) jest nast

puj

acy. Rozważmy zbi´

or dany wzorem (1.1) oraz funkcj

e pomocnicz

g : U

→ Y okre´slon

a wzorem g(t) = f (p + th), t

∈ U. Wtedy

(p) = lim

→0

g(t)

− g(0)

− 0

= g

(0),

gdzie g

(0) jest pochodn

a funkcji g w punkcie 0 (por. def. 2.1, rozdz.VII).

Przykad

1.1. Niech G = X = R

, Y = R, p =

h1, 1i, h = h1, 2i

oraz f (x, y) = x + 2y

dla

hx, yi ∈ G. Wtedy g(t) = f(h1, 1i + th1, 2i) =

f (1 + t, 1 + 2t) = 1 + t + 2(1 + 2t)

. St

ad g

(t) = 1 + 8(1 + 2t) oraz g

(0) = 9.

Zatem f

(p) = 9.

Cwiczenie

1.1. Wyznaczy´

c f

(p), gdy f : R

→ R

oraz f (x, y) =

− y, sin(x, y)i, hx, yi ∈ R

, oraz p =

h1, −2i, h = h4, −1i.

Istnienie pochodnej kierunkowej f

(p), nawet w kierunku dowolnego

wektora h, nie gwarantuje ci

agło´

sci funkcji f w punkcie p. Pokazuje to

nast

epuj

ace ´

cwiczenie.

Cwiczenie

1.2. Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorem

f (x, y) =

(

gdy y

= x i

hx, yi 6= h0, 0i

dla pozostałych

hx, yi.

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Wykaza´

c, że dla dowolnego wektora h

∈ R

istnieje liczba δ > 0 taka, że

f (th) = 0 dla dowolnego t

∈ R, |t| < δ. Wywnioskowa´c st

ad, że f

(0, 0) = 0.

Zauważy´

c, że funkcja f nie jest ci

agła w punkcie

h0, 0i.

Definicja

1.2. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym i niech b

dane f : G

→ R

, p

∈ G. Kolejne wsp´ołrz

edne punktu przestrzeni R

oznaczamy umownie przez x

, x

, . . . , x

. Ustalmy i

∈ {1, . . . , k} i niech

h0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0i (jedynka na i-tym miejscu) b

edzie wersorem

i-tej osi. Pochodna kierunkowa f

(p) (je´

sli istnieje) nazywa si

e pochodn

astkow

a funkcji f w punkcie p wzgl

edem i-tej zmiennej. Oznaczamy j

przez f

(p) albo

∂f

∂x

(p) (czasem D

f (p)).

Uwaga

1.2.

(a) Z def. 1.2 wynika, że je´

sli p =

, . . . , p

i, to

(p) = lim

→0

f (p

, . . . , p

+ t, . . . , p

)

− f(p

, . . . , p

)

Zatem pochodn

a cz

astkow

a f

(p) możemy traktowa´

c jako pochodn

w punkcie p

funkcji jednej zmiennej

g(x

) = f (p

, . . . , p

−1

, x

, p

i+1

, . . . , p

gdzie g : G

→ R

oraz G

∈ R : hp

, . . . , p

−1

, x

, p

, . . . , p

i ∈ G}.

Mamy wi

ec f

(p) = g

(b) Je´

sli k = 2 (lub k = 3), to cz

esto kolejne wsp´

ołrz

edne punktu prze-

strzeni R

oznaczamy umownie przez x, y (lub x, y, z) i wtedy pochod-

ne cz

astkowe oznaczamy przez f

(p), f

(p) (lub f

(p), f

(p).)

Przykad

1.2. Niech f (x, y) = (x + y

) sin 2x,

hx, yi ∈ R

. Wtedy

(x, y) = sin 2x + 2(x + y

) cos 2x oraz f

(x, y) = 2y sin 2x dla

hx, yi ∈ R

(Stosujemy znane wzory zwi

azane z obliczaniem pochodnej funkcji jednej

zmiennej.)

Cwiczenie

1.3.

(a) Wykaza´

c, że funkcja f : R

→ R dana wzorem

f (x, y) =







+ y

dla

hx, yi 6= h0, 0i

dla

hx, yi = h0, 0i

ma obie pochodne cz

astkowe f

(0, 0), f

(0, 0) (r´

owne 0), za´

s pochodna

kierunkowa f

h1,1i

(0, 0) nie istnieje. To pokazuje, że istnienie pochod-

nych kierunkowych f

(1)

(p), f

(2)

(p) nie implikuje istnienia f

(1)

(2)

(p),

gdzie h

(1)

, h

(2)

a danymi wektorami.

(b) Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorem

f (x, y) =











+ y

dla

hx, yi 6= h0, 0i

dla

hx, yi = h0, 0i.

Wykaza´

c, że f

(0, 0) = 1, za´

s f

(0, 0) nie istnieje.

Definicja

1.3. Je´

sli I

, I

, . . . , I

a przedziałami (otwartymi, dom-

kni

etymi) w R, to zbi´

or postaci I

× I

× . . . × I

nazywamy przedziałem

(otwartym, domkni

etym) w R

1. POCHODNA KIERUNKOWA, POCHODNE CZ

ASTKOWE

Twierdzenie

1.1 (o przyrostach dla funkcji wielu zmiennych).

Niech P

⊂ R

edzie przedziałem otwartym i zał´

ożmy, że funkcja f : P

→ R

ma w każdym punkcie x

∈ P pochodne cz

astkowe f

(x) dla i = 1, . . . , k,

kt´

ore s

a (wsp´

olnie) ograniczone na P, tzn. istnieje liczba M

0 taka, że

(

∀ x ∈ P )(∀ i ∈ {1, . . . , k})

(x)

¬ M.

Wtedy

(

∀ s, t ∈ P ) |f(s) − f(t)| ¬ M

√

ks − tk

(gdzie

k · k jest norm

a euklidesow

a w R

Dowód. Dla prostoty zał´

ożmy najpierw, że k = 2. Niech P = P

× P

gdzie P

i P

a przedziałami otwartymi w R. Ustalmy punkty s, t

∈ P,

s =

, s

i, t = ht

, t

i. Mamy

f (s)

− f(t) = (f(s

, s

)

− f(t

, s

)) + (f (t

, s

)

− f(t

, t

))

(1.3)

Funkcja ϕ(u) = f (u, s

), u

∈ P

, jest r´

ożniczkowalna na P

(bo f

istnieje

na P, por. uwag

e 1.2(a)). Je´

sli s

6= t

, to z twierdzenia Lagrange’a o warto´

sci

sredniej wynika, że

|ϕ(s

)

− ϕ(t

)

| = |ϕ

(ξ

)

||s

− t

| dla pewnego punktu ξ

edzy s

i t

. Zatem

|f(s

, s

)

−f(t

, s

)

| = |ϕ(s

)

−ϕ(t

)

| = |ϕ

(ξ

)

||s

−t

| = |f

(ξ

, s

)

||s

−t

ec z założenia wynika, że

|f(s

, s

)

− f(t

, s

)

| ¬ M|s

− t

(1.4)

przy czym nier´

owno´

s´

c ta jest także prawdziwa, gdy s

= t

. Analogicznie

otrzymujemy

|f(t

, s

)

− f(t

, t

)

| ¬ M|s

− t

(1.5)

Z (1.3), (1.4) i (1.5) wynika, że

|f(s) − f(t)| ¬ M(|s

− t

| + |s

− t

|).

W og´

olnym przypadku (k

2), post

epuj

ac podobnie, otrzymamy

|f(s) − f(t)| ¬ M

i=1

− t

gdzie s, t

∈ P = P

× . . . × P

, s =

, . . . , s

i, t = ht

, . . . , t

i. Nier´owno´s´c

ta wraz z nier´

owno´

sci

a Schwarza (por. tw. 1.1, rozdz. II)

i=1

· |s

− t

| ¬

v
u
u
t

i=1

v
u
u
t

i=1

− t

)

√

ks − tk

daje tez

Wniosek

1.1. Je´

sli funkcja f : U

→ R okre´slona w otoczeniu U punktu

∈ R

ma w każdym punkcie x

∈ U pochodne cz

astkowe f

(x) (i =

1, . . . , k), kt´

ore s

a ograniczonymi funkcjami zmiennej x na zbiorze U, to

funkcja f jest ci

agła w punkcie p.

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Dowód. Wybierzmy przedziałotwarty P taki, że p

∈ P ⊂ U. Z twierdze-

nia 1.1 wynika, że

(

∃ M 0)(∀ s, t ∈ P ) |f(s) − f(t)| ¬ M

√

ks − tk.

Zatem funkcja f spełnia warunek Lipschitza na P. W szczeg´

olno´

sci f jest

agła w punkcie p (por. ´

cw. 3.1, rozdz.V).

Wniosek

1.2. Je´

sli G

⊂ R

jest zbiorem otwartym i sp´

ojnym oraz funk-

cja f : G

→ R ma w każdym punkcie x ∈ G pochodne cz

astkowe f

(x) = 0

dla i = 1, . . . , k, to funkcja f jest stała na G.

Dowód. Zał´

ożmy najpierw, że G jest przedziałem. Przyjmijmy M = 0 w

założeniu twierdzenia 1.1. W´

owczas z tezy twierdzenia 1.1 wnioskujemy, że

f (s) = f (t) dla dowolnych s, t

∈ G. Zatem funkcja f jest stała na G.

Zał´

ożmy teraz og´

olny przypadek. Wybierzmy punkt p

∈ G i poł´ożmy

E =

{p ∈ G : f(p) = f(p

)

}. Zbi´or E jest otwarty, bo je´sli p ∈ E, to znajdziemy

przedział otwarty P taki, że p

∈ P ⊂ G. Na mocy poprzedniego przypadku

funkcja f jest stała na P, r´

owna f (p) = f (p

), a zatem P

⊂ E. Zbi´or G \ E

jest także otwarty, bo je´

sli p

∈ G \ E oraz wybierzemy przedziałotwarty P

taki, że p

∈ P ⊂ G, to f jest stała na P, r´owna f(p) 6= f(p

), a zatem

⊂ G \ E. Jednakże ze sp´ojno´sci zbioru G wynika, że E = ∅ lub G \ E = ∅.

Ponieważ p

∈ E, wi

ec G

\ E = ∅, co oznacza, że G = E. St

ad f (p) = f (p

)

dla każdego p

∈ G.

Udowodnimy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego

funkcji wielu zmiennych (por. def. 2.1 i tw. 2.1, rozdz.VI).

Twierdzenie

1.2. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym oraz p

∈ G,

f : G

→ R. Je´sli funkcja f ma w punkcie p

ekstremum lokalne i istnieje

pochodna kierunkowa f

) w kierunku wektora h

∈ R

, to f

) = 0. W

szczeg´

olno´

sci, je´

sli w p

istniej

a pochodne cz

astkowe funkcji f, to si

e one

zeruj

Dowód. Zał´

ożmy, że h

6= O (por. uwag

e 1.1(a)) oraz że f

) istnieje.

Zał´

ożmy np., że funkcja f ma w punkcie p

minimum lokalne. Zatem istnieje

liczba r > 0 taka, że f (p)

f(p

) dla każdego p

∈ K(p

, r). Rozważmy

zbi´

or otwarty U =

{t ∈ R : |t| < r/khk} oraz funkcj

e pomocnicz

a g(t) =

f (p

+ th), t

∈ U. Funkcja g jest poprawnie okre´slona, bo je´sli t ∈ U, to

+ th

− p

k = |t|khk < (r/khk) · khk = r, wi

ec p

+ th

∈ K(p

, r).

Ponadto funkcja g ma w punkcie 0 minimum lokalne, bo dla t

∈ U zachodzi

g(t) = f (p

+ th)

f(p

) = g(0). Zatem na mocy twierdzenia Fermata (tw.

2.1, rozdz.V) mamy g

(0) = 0. Ale g

(0) = f

) (por. uwag

e 1.1(b)), wi

otrzymali´

smy tez

Om´

owimy teraz zastosowanie twierdzenia 1.2. Niech f : D

→ R b

edzie

funkcj

a ci

agł

a na zbiorze zwartym D

⊂ R

. Wiadomo, że (wn. 3.1, rozdz.V)

funkcja f na D osi

aga swoje kresy, czyli przyjmuje warto´

s´

c najmniejsz

m = min

f i najwi

eksz

a M = max

f. Je´

sli f ma w zbiorze Int D pochodne

astkowe, to warto´

sci M i m mog

a by´

c przyj

ete w punktach p

∈ Int D, gdzie

zeruj

a si

e wszystkie pochodne cz

astkowe f

, i = 1, . . . , k, lub na brzegu

Fr D zbioru D.

2. POCHODNA MOCNA FUNKCJI RZECZYWISTEJ WIELU ZMIENNYCH

Przykad

1.3. Znajdziemy min

f i max

f dla funkcji f (x, y) = 2x

−

xy + y

na kole D =

{hx, yi ∈ R

: x

+ y

¬ 1}. Mamy f

(x, y) = 4x

− y,

(x, y) =

−x + 2y. Przyr´ownuj

ac te pochodne do zera, otrzymujemy jedyne

rozwi

azanie p

h0, 0i ∈ Int D. Mamy f(p

) = 0. Brzegiem zbioru D jest

okr

ag jednostkowy. Posługuj

ac si

e opisem parametrycznym okr

egu, mamy

Fr D =

{hcos t, sin ti ∈ R

: t

∈ R}.

Zauważmy, że

f (cos t, sin t) = 2 cos

−sin t cos t+sin

t = 1+ cos 2t

− (sin 2t)/2 +(1−cos 2t)/2

= 3/2 + (cos 2t

− sin 2t)/2 = 3/2 + (cos 2t + cos(

+ 2t))/2

= 3/2 + (

√

2/2) cos(2t +

Niech g(t) = 3/2 +

√

2/2 cos(2t +

) dla t

∈ R. Warto´s´c najmniejsza funkcji

g wynosi (3

−

√

2)/2 > 0 i jest przyj

eta, gdy cos(2t +

) =

−1. Warto´s´c

najwi

eksza funkcji g wynosi (3 +

√

2)/2 i jest przyj

eta, gdy cos(2t +

) = 1,

tzn. dla t =

−π/8 + 2kπ lub t = 7π/8 + 2kπ (gdzie k ∈ Z). Daje to punkty

h− cos(π/8), sin(π/8)i, p

hcos(π/8), − sin(π/8)i na okr

egu Fr D.

Reasumuj

ac, mamy:

• min

f = 0; warto´

s´

c ta jest przyj

eta w p

∈ Int D;

• max

f = 3/2 +

√

2/2; warto´

s´

c ta jest przyj

eta w p

, p

∈ Fr D.

2. Pochodna mocna funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

Definicja

2.1. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym i niech b

dane p

∈ G oraz f : G → R. Pochodn

a (albo pochodn

a mocn

a) funkcji f w

punkcie p nazywamy funkcj

e (form

e) liniow

a A : R

→ R tak

a, że

lim

→O

khk

(f (p + h)

− f(p) − A(h)) = 0,

(2.1)

gdzie O =

h0, . . . , 0i. Oznaczamy A = f

(p) i m´

owimy, że f jest r´

ożniczko-

walna (w sensie mocnym) w punkcie p. Wiadomo z algebry, że funkcja linio-
wa A : R

→ R jest reprezentowana przez wektor a ∈ R

, a =

, . . . , a

taki, że A(h) =

k
i=1

dla każdego h =

, . . . , h

i ∈ R

. Wektor ten

nazywamy gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy przez grad f (p).

Uwaga

2.1. Funkcja liniowa A jest jednoznacznie wyznaczona przez

wektor a i w tym sensie można te dwa obiekty utożsamia´

c. Dla k = 1 wektor

a jest liczb

a i wz´

or (2.1) jest r´

ownoważny znanej definicji pochodnej funkcji

jednej zmiennej (def. 1.1, rozdz.VI):

lim

→0

|h|

(f (p + h)

− f(p) − ah) = 0 ⇔ lim

→0

(f (p + h)

− f(p) − ah) = 0

⇔ lim

→0

f (p + h)

− f(p)

= a.

Nast

epuj

acy wniosek pokazuje inn

a r´

ownoważn

a posta´

c warunku defi-

niuj

acego pochod

a mocn

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Wniosek

2.1. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. Funkcja liniowa

A : R

→ R jest pochodn

a funkcji f : G

→ R w punkcie p ∈ G wtedy i tylko

wtedy, gdy dla każdego h

∈ R

takiego, że p + h

∈ G mamy

f (p + h)

− f(p) = A(h) + r(h)

(2.2)

oraz

lim

→O

r(h)

khk

= 0,

(2.3)

gdzie r(h) jest pewn

a funkcj

a okre´

slon

a na zbiorze otwartym

{h ∈ R

p + h

∈ G}. (Z (2.2) wynika, że r(O) = 0.)

Dowód. ”

⇒ ” Wystarczy przyj

a´

c r(h) = f (p + h)

− f(p) − A(h).

”

⇐ ” Z (2.2) i (2.3) wynika, że

lim

→O

khk

(f (p + h)

− f(p) − A(h)) = lim

→O

r(h)

khk

= 0.

Twierdzenie

2.1 (warunek konieczny r´

ożniczkowalno´

sci). Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. Je´

sli funkcja f : G

→ R jest r´ożniczkowalna w

punkcie p

∈ G, to jest ona ci

agła w tym punkcie.

Dowód. Niech f

(p) = A, wtedy A jest funkcj

a liniow

a A : R

→ R, jest

ona ci

agła (wynika to z postaci A(h) =

k
i=1

). Z (2.2) i (2.3) wynika,

że

lim

→O

(f (p + h)

− f(p)) = lim

→O

A(h) +

khk

r(h)

khk

= A(O) + 0

· 0 = 0 + 0 = 0.

Warunek lim

→O

(f (p + h)

− f(p)) = 0 oznacza ci

agło´

s´

c funkcji f w punkcie

Twierdzenie

2.2 (konsekwencje r´

ożniczkowalno´

sci mocnej). Niech

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. Zał´

ożmy, że funkcja f : G

→ R jest

r´

ożniczkowalna w punkcie p. Wtedy

(a) dla dowolnego wektora h

∈ R

istnieje pochodna kierunkowa f

(p)

oraz f

(p) = f

(p)h,

(b) f ma dokładnie jedn

a pochodn

a mocn

a w punkcie p,

a pochodne cz

astkowe f

(p) dla i = 1, . . . , k oraz zachodzi wz´

(

∀ h ∈ R

; h =

, . . . , h

i) f

(p)h =

i=1

(p)h

(2.4)

Dowód. (a) Niech f

(p) = A, gdzie A : R

→ R jest funkcj

a liniow

Ustalmy h

∈ R

\ {O}. Wybierzmy kul

e K(p, r)

⊂ G. Dla dowolnego t ∈ R,

je´

sli

|t| < r/khk, to p + th ∈ K(p, r), bo kp + th − pk = kthk = |t| khk < r.

Zatem je´

sli 0 <

|t| < r/khk, to na mocy (2.2) mamy

f (p + th)

− f(p)

A(th) + r(th)

tA(h)

r(th)

khk

(sgn t)

|t|khk

= A(h) +

r(th)

kthk

khk

sgn t

2. POCHODNA MOCNA FUNKCJI RZECZYWISTEJ WIELU ZMIENNYCH

ad i z (2.3) otrzymujemy

(p) = lim

→0

f (p + th)

− f(p)

= A(h) = f

(p)h.

(b) Pochodna kierunkowa f

(p) (jako granica odpowiedniej funkcji) jest wy-

znaczona jednoznacznie. St

ad i z (b) wynika jednoznaczno´

s´

c pochodnej moc-

nej f

(p). (c) Niech h =

, . . . , h

i. Z tezy (b) i liniowo´sci f

(p) otrzymu-

jemy

(p)(h) = f

(p)

i=1

(p)e

i=1

(p)h

Podamy kilka przykład´

ow, gdy pochodn

a mocn

a daje si

e wyznaczy´

c bez-

po´

srednio z definicji.

Przykad

2.1.

(a) Dla funkcji stałej f : R

→ R pochodna w dowol-

nym punkcie jest funkcj

a liniow

a zerow

a. Wynika to ze wzoru (2.1).

(b) Niech f : R

→ R b

edzie funkcj

a liniow

a na R

. Wtedy f

(p) = f w

dowolnym punkcie p

∈ R

. Istotnie, dla dowolnego h

∈ R

mamy

f (p + h)

− f(p) = f(p) + f(h) − f(p) = f(h)

i wystarczy we wzorze (2.2) przyj

a´

c A = f oraz r(h) = 0.

→ R b

edzie dana wzorem f (x) = x

x (iloczyn

skalarny), x

∈ R

. Dla dowolnych p, h

∈ R

mamy

f (p + h)

− f(p) = (p + h) (p + h) − p p = 2(p h) + h h

= (2p)

h + h h.

Wystarczy przyj

a´

c grad f (p) = 2p oraz r(h) = h

h. Mamy

lim

→O

r(h)

khk

= lim

→O

khk

= lim

→O

khk = kOk = 0.

Wida´

c, że wzory (2.2) i (2.3) s

a spełnione.

W praktyce aby sprawdzi´

c, czy funkcja f : G

→ R (G ⊂ R

– zbi´

otwarty) ma pochodn

a mocn

a w punkcie p

∈ G, wyznaczamy najpierw po-

chodne cz

astkowe f

(p) (i = 1, . . . , k), kt´

ore musz

a istnie´

c na mocy tw.

2.2(c). Nast

epnie sprawdzamy, czy zachodzi warunek

lim

→O

khk

f (p + h)

− f(p) −

i=1

(p)h

= 0

(2.5)

(por. (2.1) i tw. 2.2(c)). Je´

sli tak jest, to f

(p) istnieje oraz grad f (p) =

(p), . . . , f

(p)

W praktycznych zastosowaniach wygodny jest r´

ownież nast

epuj

acy wa-

runek dostateczny r´

ożniczkowalno´

sci mocnej.

Twierdzenie

2.3. Zał´

ożmy, że zbi´

or G

⊂ R

jest otwarty. Je´

sli funkcja

f : G

→ R ma w zbiorze G pochodne cz

astkowe f

(i = 1, . . . , k) ci

agłe w

punkcie p

∈ G, to funkcja f jest r´ożniczkowalna w punkcie p.

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Dowód. Rozważmy funkcj

e pomocnicz

a g : G

→ R dan

a wzorem g(x) =

f (x)

−

k
i=1

(p)x

dla x =

, . . . , x

i ∈ G. Zauważmy, że g

(x) =

(x)

− f

(p) dla i = 1, . . . , k oraz że pochodne cz

astkowe g

a ci

agłe

w punkcie p w my´

sl założenia. Dla uzyskania tezy wystarczy udowodni´

warunek (2.5). Niech p =

, . . . , p

i, h = hh

, . . . , h

i. Mamy

kh||

f (p + h)

− f(p) −

i=1

(p)h

kh||

f (p + h)

−

i=1

(p)(p

+ h

)

− f(p) +

i=1

(p)p

kh||

(g(p + h)

− g(p)).

(2.6)

Niech ε > 0. Ponieważ g

(p) = 0 oraz g

istnieje w G i jest ci

agła w punkcie

p, wi

ec można wybra´

c przedziałotwarty P taki, że p

∈ P ⊂ G oraz

(

∀ i ∈ {1, . . . , k})(∀ x ∈ P ) |g

(x)

| <

√

Stosuj

ac twierdzenie o przyrostach (tw. 1.1), mamy

|g(p + h) − g(p)| ¬

√

khk = εkhk,

(2.7)

o ile p + h

∈ P. Zauważmy, że U = {h ∈ R

: p + h

∈ P } jest zbiorem

otwartym (przedziałem) oraz O

∈ U. St

ad i z (2.7) wynika, że

(

∀ h ∈ U \ {O})

|g(p + h) − g(p)|

khk

= ε,

co wraz z (2.6) daje tez

Cwiczenie

2.1.

(a) Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorem

f (x, y) =











+ y

dla

hx, yi 6= h0, 0i

dla

hx, yi = h0, 0i.

Wykaza´

c, że funkcja f jest r´

ożniczkowalna na R

(b) Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorem

f (x, y) =











xy(x + y)

+ y

dla

hx, yi 6= h0, 0i

dla

hx, yi = h0, 0i.

Wykaza´

c, że funkcja f jest r´

ożniczkowalna na R

\ {h0, 0i}, za´s w

punkcie

h0, 0i nie jest r´ożniczkowalna.

3. Odwzorowania liniowe przestrzeni unormowanych

Przypomnijmy, że dla przestrzeni wektorowych X, Y nad ciałem R funk-

cja A : X

→ Y nazywa si

e odwzorowaniem liniowym, gdy A(α

+ α

) =

A(x

) + α

A(x

) dla dowolnych α

, α

∈ R oraz x

, x

∈ X.

Poniższy przykład pokazuje, że odwzorowanie liniowe z przestrzeni unor-

mowanej w przestrze´

n unormowan

a nie musi by´

c ci

agłe.

3. ODWZOROWANIA LINIOWE PRZESTRZENI UNORMOWANYCH

Przykad

3.1. Niech X b

edzie podprzestrzeni

a unormowan

a przestrzeni

C[0, 1] zdefiniowan

a wzorem

X =

{f ∈ C[0, 1] : f

(0) istnieje

}

Rozważmy odwzorowanie F : X

→ R dane wzorem F (f) = f

(0), f

∈ X.

Z własno´

sci pochodnych wynika, że jest ono liniowe. Jednakże F nie jest

agłe. Istotnie, niech f

(x) = x(1

− x)

oraz f (x) = 0 dla x

∈ [0, 1]. Wtedy

− fk = sup

∈[0,1]

x(1

− x)

n+1

−

n+1

)

→ 0, gdy n → ∞, oraz

F (f

) = 1 dla każdego n

∈ N, za´s F (f) = 0, wi

ec F (f

)

6→ F (f).

Nast

epuj

ace twierdzenie daje charakteryzacj

e funkcji liniowych i ci

agłych.

Twierdzenie

3.1. Niech X i Y b

a przestrzeniami unormowanymi z

normami

k · k

. Odwzorowanie liniowe A : X

→ Y jest ci

agłe wtedy

i tylko wtedy, gdy

(

∃ c 0)(∀ x ∈ X) kA(x)k

¬ ckxk

(3.1)

Dowód. W dalszym ci

agu dla prostoty zapisu b

edziemy opuszcza´

c in-

deksy przy normach w przestrzeniach X i Y.

”

⇒ ” Zał´ożmy, że odwzorowanie A : X → Y jest liniowe i ci

agłe oraz

przypu´

s´

cmy, że (3.1) nie zachodzi. Wtedy dla każdego n

∈ N znajdziemy

∈ X takie, że

kA(x

)

k > nkx

(3.2)

Oznaczmy przez O

i O

elementy zerowe przestrzeni X i Y. Mamy x

dla n

∈ N (gdyby x

= O

, to A(x

) = O

, wi

kA(x

)

k = 0 wbrew

(3.2)). Poł´

ożmy z

= x

/(n

k), n ∈ N. Wtedy

k =

→ 0, gdy n → ∞.

Zatem z

→ O

. Z ci

agło´

sci A wynika, że A(z

)

→ A(O

) = O

, a wi

kA(z

)

k → 0. Jednocze´snie dla każdego n ∈ N mamy

kA(z

)

k =

A(x

)

kA(x

)

z (3.2)

= 1,

sprzeczno´

s´

”

⇐ ” Niech ε > 0 oraz x, x

∈ X b

a dowolne. Z założenia (3.1) mamy

kA(x) − A(x

)

k = kA(x − x

)

k ¬ ckx − x

To oznacza, że funkcja A spełnia warunek Lipschitza ze stał

a c, a wi

ec jest

agła.

Przykad

3.2. Z algebry wiadomo, że odwzorowanie liniowe A : R

→

jest jednoznacznie wyznaczone przez macierz

¬m

¬k

przy czym dla x =

, . . . , x

i ∈ R

mamy

A(x) =

j=1

, . . . ,

j=1

(3.3)

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Zauważmy, że dla norm euklidesowych w R

i R

zachodzi

kA(x)k

i=1





j=1





¬ (z nier. Schwarza; tw. 1.1, rozdz.II)

i=1





j=1

2
ij

j=1

2
j





j=1

2
j





i=1

j=1

2
ij





= a

kxk

gdzie a =

m
i=1

k
j=1

. St

kA(x)k ¬

√

kxk, co na mocy tw. 3.1 dowo-

dzi, że odwzorowanie A jest ci

agłe. Oczywi´

scie ci

agło´

s´

c A można wykaza´

inaczej, zauważaj

ac że na mocy (3.3) funkcje składowe odwzorowania A s

agłe.

Niech X i Y b

a przestrzeniami unormowanymi. Zbi´

or wszystkich od-

wzorowa´

n liniowych i ci

agłych z przestrzeni X w przestrze´

n Y oznaczamy

przez L(X, Y ). W zbiorze L(X, Y ) wprowadzimy struktur

e przestrzeni linio-

wej unormowanej. Dla A, B

∈ L(X, Y ) oraz t ∈ R okre´slamy mianowicie

(A + B)(x) = A(x) + B(x),

∈ X

(tA)(x) = t(A(x)),

∈ R

oraz

kAk = inf{c 0 : (∀ x ∈ X) kA(x)k

¬ ckxk

}

(3.4)

(por. tw. 1.1). Polecamy czytelnikowi ´

cwiczenie pokazuj

ace, że funkcja dana

wzorem (3.4) spełnia warunki normy. Ze wzoru (3.4) wynika natychmiast

Wniosek

3.1. Je´

sli A

∈ L(X, Y ), to kA(x)k ¬ kAkkxk dla każdego

∈ X.

Cwiczenie

3.1. Niech X i Y b

a przestrzeniami unormowanymi. Wy-

kaza´

c, że:

(a) norma w L(X, Y ) może by´

c wyrażona wzorem

kAk = sup

kxk¬1

kA(x)k,

∈ L(X, Y ).

(b) je´

sli Y jest przestrzeni

a Banacha, to L(X, Y ) jest przestrzeni

a Bana-

cha.

Podamy teraz definicj

e pochodnej mocnej w og´

olnym przypadku.

Definicja

3.1. Niech X, Y b

a przestrzeniami unormowanymi, niech

⊂ X b

edzie zbiorem otwartym oraz p

∈ G. Pochodn

a (mocn

a) funkcji f

w punkcie p nazywamy odwzorowanie A

∈ L(X, Y ) (liniowe i ci

agłe) takie,

że

lim

→O

khk

(f (p + h)

− f(p) − A(h)) = O

Oznaczamy A = f

(p) i m´

owimy, że funkcja f jest r´

ożniczkowalna (w sensie

mocnym) w punkcie p.

Nast

epuj

ace twierdzenie wykazujemy w spos´

ob podobny jak w paragrafie

2 (por. wn. 2.1, tw. 2.1 i 2.2).

Twierdzenie

3.2. Niech X, Y b

a przestrzeniami unormowanymi, niech

⊂ X b

edzie zbiorem otwartym oraz niech b

edzie dana funkcja f : G

→ Y

i niech p

∈ G.

3. ODWZOROWANIA LINIOWE PRZESTRZENI UNORMOWANYCH

(1) Odwzorowanie A

∈ L(X, Y ) jest pochodn

a mocn

a funkcji f w punkcie

∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego h ∈ X takiego, że p+h ∈ G

mamy f (p + h)

− f(p) = A(h) + r(h) oraz lim

→O

r(h)/

khk

= O

(2) Je´

sli funkcja f jest r´

ożniczkowalna w punkcie p, to jest ci

agła w p.

(3) Je´

sli funkcja f jest r´

ożniczkowalna w punkcie p, to dla każdego h

∈ X

istnieje pochodna kierunkowa f

(p) oraz f

(p)h = f

(p).

Cwiczenie

3.2. Niech f : G

→ R

, gdzie G

⊂ R

jest zbiorem otwar-

tym, oraz niech p

∈ G. Oznaczmy f = hf

, . . . , f

i. Wykaza´c, że pochod-

na f

(p) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne (f

)

(p) istniej

a dla

i = 1, . . . , m. Ponadto f

(p) =

(p), . . . , f

(p)

Przykad

3.3. Niech f : G

→ R

, gdzie G

⊂ R

jest zbiorem otwartym,

oraz niech p

∈ G. Zał´ożmy, że pochodna f

(p) = A

∈ L(R

, R

), istnieje.

Z algebry wiadomo, że funkcja liniowa A z R

do R

jest reprezentowana

przez macierz

¬m

¬k

w tym sensie, że

A(h) =

j=1

, . . . ,

j=1

(3.5)

dla dowolnego h

∈ R

, h =

, . . . , h

i. Jak wyznaczy´c t

e macierz? Oznacz-

my f =

, . . . , f

i. Z twierdzenia 2.2(c) wiemy, że

(

∀ h ∈ R

) f

(p)h =

j=1

)

(p)h

(3.6)

Z ´

cwiczenia 3.2 mamy f

(p)h =

(p)h, . . . , f

(p)h

i dla h ∈ R

. St

ad z

(3.4), (3.5) i z r´

owno´

sci A = f

(p) wynika, że pochodna f

(p) jest reprezen-

towana przez macierz

A =

)

(p)

¬m

¬k

∂f

∂x

(p)

¬m

¬k

Macierz t

e nazywamy macierz

a Jacobiego. Je´

sli k = m, to wyznacznik ma-

cierzy Jacobiego

A nazywamy jakobianem funkcji f w punkcie p i oznaczamy

przez J f (p). Mamy wi

ec J f (p) = det

Twierdzenie

3.3 (pochodna superpozycji).

Zał´

ożmy, że X, Y, Z s

przestrzeniami unormowanymi i dane s

a funkcje g : U

→ Y, f : V → Z,

gdzie U

⊂ X i V ⊂ Y s

a zbiorami otwartymi takimi, że g[U ]

⊂ V. Je´sli

∈ U oraz istniej

a pochodne g

(p)

∈ L(X, Y ) i f

(g(p))

∈ L(Y, Z), to istnieje

pochodna (f

◦ g)(p) ∈ L(X, Z) oraz

◦ g)

(p) = f

(g(p))

◦ g

(p)

(3.7)

Dowód. Z istnienia g

(p) i twierdzenia 3.3(1) wynika, że dla element´

∈ X takich, że p + h ∈ U mamy

g(p + h) = g(p) + g

(p)h + r

(h),

lim

→O

(h)

khk

= O

(3.8)

Z istnienia f

(g(p)) i tw. 3.3(1) wynika, że dla element´

ow d

∈ Y takich, że

g(p) + d

∈ V mamy

f (g(p) + d)

− f(g(p)) = f

(g(p))d + r

(d),

lim

→O

(d)

kdk

= O

(3.9)

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Niech h

∈ X b

edzie takim elementem, że p + h

∈ U i przyjmijmy d(h) =

(p)h + r

(h). Zauważmy, że dla h

6= O

, z uwagi na ci

agło´

s´

c g

(p) w O

mamy

d(h) = g

(p)h +

(h)

khk

khk → O

gdy h

→ O

(3.10)

Ponadto d(O

) = O

, wi

ec istnieje liczba δ > 0 taka, że g(p) + d(h)

∈ V

dla każdego h

∈ X, khk < δ. Dla takich h mamy

◦ g)(p + h) − (f ◦ g)(p) = f(g(p + h)) − f(g(p))

z (3.8)

f (g(p) + g

(p)h + r

(h))

− f(g(p))

z (3.9)

(g(p))d(h) + r

(d(h)) = f

(g(p))(g

(p)h + r

(h)) + r

(d(h))

= f

(g(p))(g

(p)h) + f

(g(p))r

(h) + r

(d(h)) = (f

(p))

◦ g

(p))h + r

(h),

gdzie r

(h) = f

(g(p))r

(h) + r

(d(h)). W my´

sl twierdzenia 3.3(1) wystar-

czy udowodni´

c, że lim

→O

(h)

k / khk = 0. Niech ε > 0. Dla h ∈ X,

0 <

khk < δ, mamy

(3.11)

(h)

khk

(g(p))r

(h)

khk

(d(h))

khk

z wn. 3.1

(g(p))

(h)

khk

(d(h))

khk

Skoro lim

→O

(h)

k/khk = 0, to istnieje liczba δ

∈ (0, δ) taka, że

(

∀ h ∈ X) 0 < khk < δ

⇒

(h)

khk

(g(p))

k + 1)

(3.12)

Zauważmy, że je´

sli d(h) = O

dla pewnego h

∈ X, 0 < khk < δ

, to

(d(h)) = O

, wi

ec z (3.9) mamy

(h)

k/khk < ε/2 < ε. Ponieważ

lim

→O

(w)

k/kwk = 0, wi

ec istnieje liczba η > 0 taka, że

(

∀ w ∈ Y ) 0 ¬ kwk < η ⇒ α

(w)

kwk

(3.13)

gdzie α =

(p)

k + ε/(2(kf

(g(p))

k + 1)). Z (3.10) wynika, że istnieje liczba

∈ (0, δ

) taka, że

(

∀ h ∈ X) 0 < khk < δ

⇒ kd(h)k < η.

(3.14)

Zał´

ożmy, że h

∈ X, 0 < khk < δ

oraz d(h)

6= O

. Wtedy z (3.14) mamy

kd(h)k < η oraz

(d(h))

khk

(d(h))

kd(h)k

(p)h + r

(h)

khk

(d(h))

kd(h)k

(p)h

khk

(h)

khk

(d(h))

kd(h)k

(p)

k +

(h)

khk

z (3.12)

(d(h))

kd(h)k

4. POCHODNE WYżSZYCH RZ

ED ´

ad, z (3.11) i (3.12) wynika, że

(

∀ h ∈ X) 0 < khk < δ

⇒

(h)

khk

< ε.

Zatem lim

→O

(h)

k/khk = 0.

Przykad

3.4. Niech f, g spełniaj

a założenia twierdzenia 3.3, przy czym

X = R

, Y = R

, Z = R

. Oznaczmy g =

, . . . , g

i, f = hf

, . . . , f

◦g = hϕ

, . . . , ϕ

i. Pochodne g

(p), f

(g(p)) oraz (f

◦g)

(p) s

a odpowiednio

reprezentowane przez macierze (por. przykł. 3.3):

A =

)

(p)

¬m

¬k

B =

)

(g(p))

¬n

¬m

C =

(ϕ

)

(p)

¬n

¬k

Superpozycji f

(g(p))

◦ g

(p) odwzorowa´

n liniowych odpowiada iloczyn ma-

cierzy

B · A. Zatem na mocy (3.6) mamy C = B · A. St

ad otrzymujemy

wzory

(ϕ

)

(p) =

j=1

)

(g(p))

· (g

)

(p)

lub w innym zapisie

∂ϕ

∂x

(p) =

j=1

∂f

∂y

(g(p))

∂g

∂x

(p)

dla i = 1, . . . , n oraz r = 1, . . . , k.

4. Pochodne wyższych rz

ed´

Korzystaj

ac z definicji pochodnej mocnej dla odwzorowa´

n z przestrzeni

unormowanej w przestrze´

n unormowan

a można sformułowa´

c definicj

e po-

chodnej (mocnej) drugiego rz

edu.

Definicja

4.1. Niech X, Y b

a przestrzeniami unormowanymi i niech

a dane: zbi´

or otwarty G

⊂ X i funkcja f : G → Y. Zał´ożmy, że po-

chodna (mocna) f

(x)

∈ L(X, Y ) istnieje w każdym punkcie x ∈ G. Je´sli

odwzorowanie

3 x 7→ f

(x)

∈ L(X, Y )

(4.1)

jest r´

ożniczkowalna (w spos´

ob mocny) w punkcie p

∈ G, to m´owimy, że

funkcja f jest dwukrotnie r´

ożniczkowalna (w spos´

ob mocny) w punkcie p.

Druga pochodna (b

aca pochodn

a odwzorowania (4.1) w punkcie p) jest

ec odwzorowaniem liniowym i ci

agłym postaci A : X

→ L(X, Y ). Oznacz-

my A = f

(p). Zauważmy, że f

(p)

∈ L(X, L(X, Y )).

Pokażemy teraz, że L(X, L(X, Y )) możemy interpretowa´

c jako prze-

strze´

n odwzorowa´

n dwuliniowych ci

agłych.

Definicja

4.2. Niech X, Y b

a przestrzeniami wektorowymi. Odwzo-

rowanie A : X

× X → Y nazywa si

e dwuliniowe, gdy dla dowolnego x

∈ X

odwzorowania A(x,

·), A(·, x) s

a liniowe (z X do Y ). Je´

sli X i Y s

a dodatko-

wo przestrzeniami unormowanymi, to odwzorowanie A jest ci

agłe, gdy jest

funkcj

a ci

agł

a na X

× X, przy czym w X × X stosujemy norm

khx

, x

ik = max{kx

k, kx

k},

, x

i ∈ X × X.

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Zachodzi nast

epuj

ace twierdzenie (por. tw. 3.1):

Twierdzenie

4.1. Niech X i Y b

a przestrzeniami unormowanymi.

Odwzorowanie dwuliniowe A : X

× X → X jest ci

agłe wtedy i tylko wtedy,

gdy spełniony jest warunek

(

∃ c 0)(∀ x

, x

∈ X) kA(x

, x

)

k ¬ ckx

kkx

Dow´

od polecamy czytelnikowi jako ´

cwiczenie.

Zbi´

or wszystkich odwzorowa´

n dwuliniowych ci

agłych A : X

× X → X

ma naturaln

a struktur

e przestrzeni liniowej. Przestrze´

n ta jest unormowana

przez norm

kAk = inf{c 0 : (∀ x

, x

∈ X) kA(x

, x

)

k ¬ ckx

kkx

k}.

(4.2)

e przestrze´

n unormowan

a oznaczamy przez L

(X, Y ). Istnieje naturalna

bijekcja

Φ : L(X, L(X, Y ))

→ L

(X, Y )

dana wzorem Φ(A) = B, gdzie A

∈ L(X, L(X, Y )), B ∈ L

(X, Y ) oraz

B(x

, x

) = (A(x

))(x

)

dla

, x

i ∈ X × X.

Wykazuje si

e, że odwzorowanie Φ jest izomorfizmem przestrzeni liniowych

L(X, L(X, Y )) i L

(X, Y ), przy czym jest ono r´

ownież izometri

a, tzn.

(

∀ A ∈ L(X, L(X, Y ))) kΦ(A)k = kAk,

gdzie normy s

a rozważane w odpowiednich przestrzeniach. Z uwagi na izo-

morfizm Φ przestrzenie L(X, L(X, Y )) i L

(X, Y ) utożsamiamy ze sob

Zatem drug

a pochodn

a f

(p) okre´

slon

a w def. 4.1 można traktowa´

c jako

odwzorowanie dwuliniowe ci

agłe. Dowodzi si

e, że je´

sli f

(p) istnieje, to od-

wzorowanie f

(p) jest symetryczne, tzn.

(

∀ h

(1)

, h

(2)

∈ X) f

(p)(h

(1)

, h

(2)

) = f

(p)(h

(2)

, h

(1)

Zajmiemy si

e teraz przypadkiem, gdy X = R

, Y = R.

Definicja

4.3. Niech p

∈ G ⊂ R

, gdzie G jest zbiorem otwartym.

Pochodn

a kierunkow

a rz

edu drugiego funkcji f : G

→ R w punkcie p w

kierunku wektor´

ow h

(1)

, h

(2)

∈ R

nazywamy pochodn

a kierunkow

a funkcji

3 x 7→ f

(1)

(x)

w punkcie p w kierunku wektora h

i oznaczamy j

a przez f

(1)

(2)

(p). Mamy

(1)

(2)

(p) = (f

(1)

)

0
h

(2)

(p).

W szczeg´

olno´

sci f

(p) nazywamy pochodn

a cz

astkow

a rz

edu drugiego funk-

cji f w punkcie p wzgl

edem zmiennych x

, x

(gdzie i, j

∈ {1, . . . , k}) i ozna-

czamy przez f

(p) lub

∂

∂x

(p). W podobny spos´

ob (indukcyjnie) defi-

niujemy pochodne kierunkowe i cz

astkowe rz

edu trzeciego i rz

edu n (gdzie

∈ N).

Twierdzenie

4.2 (o pochodnej rz

edu drugiego). Niech p

∈ G ⊂ R

gdzie G jest zbiorem otwartym, i niech f : G

→ R.

4. POCHODNE WYżSZYCH RZ

ED ´

(a) Je´

sli istnieje pochodna mocna f

(p)

∈ L

, R), to dla dowolnych

wektor´

ow h

(1)

, h

(2)

∈ R

istnieje pochodna kierunkowa f

(1)

(2)

(p),

przy czym f

(1)

(2)

(p) = f

(p)(h

(1)

, h

(2)

). W szczeg´

olno´

sci istniej

wszystkie pochodne cz

astkowe f

(p) (dla i, j = 1, . . . , k) oraz

(

∀ h

(1)

, h

(2)

∈ R

) f

(p)(h

(1)

, h

(2)

) =

i=1

j=1

(p)h

(1)
i

(2)
j

(4.3)

gdzie h

(i)

(i)
1

, . . . , h

(i)
k

i; i = 1, 2.

(b) Je´

sli w otoczeniu punktu p istniej

a pochodne cz

astkowe f

(i, j =

1, . . . , k) ci

agłe w punkcie p, to istnieje pochodna mocna f

(p).

Dowody pomijamy, s

a one podobne do dowod´

ow twierdze´

n dla pochod-

nych pierwszego rz

edu (por. tw. 2.2).

Uwaga

4.1. Z algebry wiadomo, że funkcja dwuliniowa g : R

×R

→ R

ma posta´

g(h

(1)

, h

(2)

) =

i=1

j=1

(1)
i

(2)
j

gdzie h

(i)

(i)
1

, . . . , h

(i)
k

i, i = 1, 2 oraz

¬k

jest pewn

a macierz

a (do-

kładniej: a

= g(e

, e

)). Z (4.3) wynika, że dla funkcji dwuliniowej f

(p)

mamy a

= f

(p), gdy i, j

∈ {1, . . . , k}.

Twierdzenie

4.3 (Schwarza). Zał´

ożmy, że G

⊂ R

jest zbiorem otwar-

tym oraz f : G

→ R. Je´sli w zbiorze G istniej

a pochodne cz

astkowe f

(i, j

∈ {1, . . . , k}) ci

agłe w punkcie p

∈ G, to

(

∀ i, j ∈ {1, . . . , k}, i 6= j) f

(p) = f

(p).

Dowód. Dla prostoty zał´

ożmy, że k = 2. Niech p =

, p

i i dobierz-

my kul

e K(p, r)

⊂ G. Ustalmy dowolne liczby h

, h

∈ (−r/2, r/2) \ {0}.

Okre´

slmy funkcje pomocnicze ϕ, ψ : K(p, r/2)

→ R wzorami

ϕ(x

, x

) = f (x

, x

)

−f(x

, x

ψ(x

, x

) = f (x

, x

)

−f(x

, x

)

dla x =

, x

i ∈ K(p, r/2). Funkcje ϕ i ψ s

a poprawnie okre´

slone, gdyż

khx

+ h

, x

i − pk = kx − p + hh

, 0

ik ¬ kx − pk + |h

| <

= r,

khx

, x

+ h

i − pk = kx − p + h0, h

ik ¬ kx − pk + |h

| <

= r.

Rozważmy wyrażenie

W = f (p

+ h

, p

+ h

)

− f(p

+ h

, p

)

− f(p

, p

+ h

) + f (p

, p

Zauważmy, że

W = ϕ(p

, p

+ h

)

− ϕ(p

, p

)

(1)

= ϕ

, p

+ θ

(2)

= h

+ h

, p

+ θ

)

− f

, p

+ θ

))

(3)

= h

+ θ

, p

+ θ

(4.4)

gdzie θ

, θ

a pewnymi liczbami z przedziału (0, 1). Istotnie:

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

• w (1) stosujemy twierdzenie Lagrange’a do funkcji t 7→ ϕ(p

, p

+ t)

na przedziale o ko´

ncach 0, h

;

• w (2) wyliczamy pochodn

a cz

astkow

a ϕ

;

• w (3) stosujemy twierdzenie Lagrange’a do funkcji t 7→ f

+t, p

) na przedziale o ko´

ncach 0, h

Nast

epnie zauważmy, że

W = ψ(p

+ h

, p

)

− ψ(p

, p

)

i analogicznie jak w (4.3) znajdujemy liczby θ

∗

, θ

∗

∈ (0, 1) takie, że

W = h

+ θ

∗

, p

+ θ

∗

(4.5)

Z (4.4) i (4.5) wynika, że

+ θ

, p

+ θ

) = f

+ θ

∗

, p

+ θ

∗

Je´

sli

, h

i → h0, 0i, to z powyższej r´owno´sci i ci

agło´

sci funkcji f

w punkcie p otrzymujemy r´

owno´

s´

c f

(p) = f

(p).

Nast

epuj

ace ´

cwiczenie pokazuje, że pochodne ”mieszane” drugiego rz

edu

mog

a by´

c r´

ożne w punkcie, w kt´

orym nie s

a ci

agłe.

Cwiczenie

4.1. Niech funkcja f : R

→ R b

edzie dana wzorami

f (x

, x

) =











− x

+ x

dla

, x

i 6= h0, 0i

dla

, x

i = h0, 0i.

Wykaza´

c, że funkcja f jest ci

agła w R

oraz f

(0, x

) =

−x

dla x

∈ R i

, 0) = x

dla x

∈ R. Nast

epnie udowodni´

c, że f

(0, 0) =

−1 oraz

(0, 0) = 1.

Uwaga

4.2.

(a) Z twierdzenia Schwarza wynika, że, przy założeniu

istnienia pochodnych cz

astkowych drugiego rz

edu funkcji f w oto-

czeniu punktu p i ich ci

agło´

sci w p, pochodna drugiego rz

edu f

(p)

(kt´

ora istnieje na mocy twierdzenia 4.2(b)) jest odwzorowaniem dwu-

liniowym symetrycznym. Jak wspomnieli´

smy wcze´

sniej własno´

s´

c ta

zachodzi przy słabszym założeniu, że pochodna f

(p) istnieje.

(b) Je´

sli p

∈ G ⊂ R

, G jest zbiorem otwartym oraz f : G

→ R i h =

, h

i ∈ R

, to z symetryczno´

sci drugiej pochodnej f

(p) i wzoru

(4.3) wynika, że

(p)(h, h) = f

(p)h

2
1

+ 2f

(p)h

+ f

(p)h

2
2

Podamy teraz kilka informacji o pochodnych rz

edu n > 2. Niech X, Y

a przestrzeniami unormowanymi. Odwzorowanie postaci A : X

→ Y na-

zywa si

e n-liniowe, gdy jest liniowe ze wzgl

edu na każd

a zmienn

a (przy usta-

lonych pozostałych zmiennych). Przestrze´

n unormowan

a (por. wz´

or (4.2)

odwzorowa´

n n-liniowych ci

agłych z X

do Y oznaczamy przez L

(X, Y ).

Zał´

ożmy, że p

∈ G ⊂ X, f : G → Y oraz zbi´or G jest otwarty. Zał´ożmy

ponadto, że w każdym punkcie x

∈ G istnieje n-ta pochodna (mocna)

(n)

(x)

∈ L

(X, Y ) (dla n

∈ {1, 2} jest to przypadek znany). W´owczas

zgodnie z og´

oln

a definicj

a pochodnej mocnej (def. 3.1) okre´

slamy

(n+1)

(p) = (f

(n)

)

(p)

∈ L(X, L

(X, Y )),

5. WZ ´

OR TAYLORA DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

przy czym po prawej stronie rozważamy pochodn

a (mocn

a) funkcji

3 x 7→ f

(n)

(x)

∈ L

(X, Y )

w punkcie p. Ponieważ przestrzenie L(X, L

(X, Y )) oraz L

n+1

(X, Y ) s

izometrycznie izomorficzne, wi

ec utożsamiamy je ze sob

a. W tym sensie

(n+1)

(p)

∈ L

n+1

(X, Y ), czyli (n + 1)-wsza pochodna mocna w punkcie

p jest odwzorowaniem (n + 1)-liniowym ci

agłym z X

n+1

do Y.

Dowodzi si

e, że dla dowolnego n

∈ N, pochodna f

(n)

(p) (o ile istnieje)

jest odwzorowaniem n-liniowym symetrycznym, tzn.

(n)

(p)(h

(1)

, . . . , h

(n)

) = f

(n)

(p)(h

(σ(1))

, . . . , h

(σ(n))

)

dla dowolnych h

(1)

, . . . , h

(n)

∈ X i dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , n}

(tzn. bijekcji tego zbioru na siebie).

W przypadku gdy X = R

i Y = R, zachodzi odpowiednik twierdzenia

4.2 i twierdzenia Schwarza. Mamy też

(n)

(p)(h

(1)

, . . . , h

(n)

) = f

(n)

(1)

, ... ,h

(n)

(p) =

. . .

(n)

, ... ,x

(p)h

(1)
i

. . . h

(n)
i

(4.6)

gdzie h

(j)

(j)
1

, . . . , h

(j)
k

i ∈ R

; j = 1, . . . , n.

5. Wz´

or Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Zastosowania

W dalszym ci

agu b

edziemy pisa´

c f

(n)

... x

zamiast f

(n)

, ... ,x

; podobnie

dla pochodnych kierunkowych.

Definicja

5.1. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. M´

owimy, że

funkcja f : G

→ R

jest klasy C

(n)

na G, gdy w zbiorze G istniej

a wszystkie

pochodne cz

astkowe n-tego rz

edu f

(n)

... x

oraz s

a one funkcjami ci

agłymi

na G.

Uwaga

5.1. Dowodzi si

e, że je´

sli f jast klasy C

(n)

na G, to dla do-

wolnych wektor´

ow h

(1)

, . . . , h

(n)

∈ R

istnieje pochodna kierunkowa n-tego

edu f

(n)

(1)

... h

(n)

okre´

slona wsz

edzie na G i b

aca funkcj

a ci

agł

a na G, co

ecej istnieje pochodna mocna f

(n)

w każdym punkcie zbioru G.

Twierdzenie

5.1 (wz´

or Taylora dla funkcji k zmiennych). Je´

sli

∈ G ⊂ R

, zbi´

or G jest otwarty, h

∈ R

oraz odcinek I(p, p + h) o ko´

ncach

p, p + h zawiera si

e w G, to dla dowolnej funkcji f : G

→ R klasy C

(n)

na G

istnieje liczba θ

∈ (0, 1) taka, że

f (p + h) = f (p) +

(p)h

(n)

(p)(h, h)

· · · +

−1)

(p)

−1

{

(h, . . . , h)

− 1)!

(n)

(p + θh)

{

(h, . . . , h)

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Dowód. Definiujemy funkcj

e pomocnicz

a g : [0, 1]

→ R wzorem g(s) =

f (p+sh), s

∈ [0, 1]. Wykażemy, że g ma wszystkie pochodne do g

(n)

wł

acznie

oraz dla każdego j

∈ {1, . . . , n} mamy

(

∀ s ∈ [0, 1]) g

(j)

(s) = fh . . . h

}

(p + sh).

(5.1)

Dla dowodu (5.1) zastosujmy indukcj

e. Dla n = 1 wz´

or zachodzi, ponieważ

dla dowolnego s

∈ [0, 1] mamy

(s) = lim

→0

f (p + (s + t)h)

− f(p + sh)

= f

(p + sh)

(por.(4.6)). Zał´

ożmy, że (5.1) zachodzi dla liczby j < n. Ustalmy s

∈ [0, 1].

Wtedy

(j+1)

(s) = (g

(j)

)

(s) = lim

→0

(j)

(s + t)

− g

(j)

(s)

(z zał. ind.)

= lim

→0

(j)

h ... h

(p + (s + t)h)

− f

(j)

h ... h

(p + sh)

= f

(j+1)

h . . . h

}

j+1

(p + sh).

Zatem (5.1) zachodzi dla j + 1. Stosuj

ac do funkcji g wz´

or Maclaurina mamy

g(1) =

−1

j=0

(j)

(0)

(n)

(0 + θ

· 1)

(5.2)

dla pewnej liczby θ

∈ (0, 1). Ale g(1) = f(p + h), g(0) = f(p) oraz w my´sl (5.1)

mamy

(j)

(s) = f

(j)

h . . . h

}

(p + sh) = f

(j)

(p + sh)(h, . . . , h

}

)

(por. (4.6)) dla dowolnych s

∈ [0, 1] oraz j ∈ {1, . . . , n}. Zatem wz´or (5.2)

przyjmie posta´

f (p + h) = f (p) +

−1

j=1

(j)

(p)

(h, . . . , h

}

) +

(n)

(p + θh)

(h, . . . , h

}

Przykad

5.1. Funkcja f : R

→ R dana wzorem f(x

, . . . , x

) =

+...+x

jest klasy C

∞

na G = R

(tzn. jest klasy C

(n)

dla każdego n

∈ N).

Niech p =

, . . . , p

i ∈ R

. Łatwo sprawdzi´

c, że

(j)

... x

(p) = e

+...+p

= f (p)

dla dowolnych liczb j

∈ N oraz i

, . . . , i

∈ {1, . . . , k}. Zatem dla h =

, . . . , h

i ∈ R

mamy (por. (4.6))

(j)

(p)(h, . . . , h

}

) =

. . .

f (p)h

. . . h

= f (p)

i=1

5. WZ ´

OR TAYLORA DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Wz´

or Taylora przyjmuje wi

ec posta´

+...+p

= e

+...+p





1 +

i=1

+ . . . +

− 1)!

i=1

−1





+ e

+θh

+...+p

+θh

i=1

dla pewnej liczby θ

∈ (0, 1).

Cwiczenie

5.1. Napisa´

wz´

Taylora

dla

funkcji

f (x

, x

)

1/(1 + x

+ x

) w zbiorze G = K(

h0, 0i,

1
2

i wok´oł punktu p = h0, 0i dla

n = 3.

Dzi

eki twierdzeniu 5.1 b

edziemy mogli udowodni´

c warunki dostateczne

istnienia ekstrem´

ow lokalnych funkcji rzeczywistych okre´

slonych w otwar-

tych podzbiorach R

. Z twierdzenia 1.2 wynika, że warunkiem koniecznym

istnienia ekstremum lokalnego w danym punkcie jest zerowanie si

e pochod-

nych cz

astkowych pierwszego rz

edu w tym punkcie (o ile te pochodne ist-

niej

a). Warunek ten nie jest jednak dostateczny.

Przykad

5.2. Dla funkcji f : R

→ R danej wzorem f(x

, x

) = x

i punktu p =

h0, 0i mamy f

(p) = f

(p) = 0, ale w p funkcja nie ma

ekstremum, gdyż f (p) = 0, za´

s w dowolnym otoczeniu punktu p funkcja f

przyjmuje zar´

owno warto´

sci dodatnie (w pierwszej i trzeciej ´

cwiartce) jak i

ujemne (w drugiej i czwartej ´

cwiartce). Punkt p jest tzw. punktem siodłowym

funkcji f.

Wiemy już, że druga pochodna mocna funkcji wielu zmiennych w da-

nym punkcie jest funkcj

a dwuliniow

a symetryczn

a. W algebrze – je´

sli dana

jest funkcja F : R

× R

→ R dwuliniowa symetryczna, to funkcja F (h, h)

k-zmiennych h

, . . . , h

(gdzie h =

, . . . , h

i) nazywa si

e form

a kwadra-

tow

Definicja

5.2. Funkcja dwuliniowa symetryczna F

∈ L

, R) nazy-

wa si

(a) dodatnia, gdy (

∀ h ∈ R

\ {O}) F (h, h) > 0,

(b) ujemna, gdy (

∀ h ∈ R

\ {O}) F (h, h) < 0,

slonego znaku, gdy (

∃ h

(1)

, h

(2)

∈ R

\ {O}) (F (h

(1)

, h

(1)

) >

∧ F (h

(2)

, h

(2)

) < 0).

Twierdzenie

5.2 (warunek dost. istnienia ekstremum lokalnego).

Zał´

ożmy, że G

⊂ R

jest zbiorem otwartym i funkcja f : G

→ R jast klasy

(2)

w pewnym otoczeniu V

⊂ G punktu p ∈ G, przy czym f

(p) = 0 dla

i = 1, . . . , k. Je´

sli druga pochodna f

(p)

∈ L

, R) jest:

(a) dodatnia, to f ma w p minimum lokalne,

(b) ujemna, to f ma w p maksimum lokalne,

slonego znaku, to f nie ma w p ekstremum lokalnego.

Dowód. Skorzystamy z twierdzenia 5.1 dla n = 2. Zał´

ożmy, że V =

K(p, r), r > 0. Dla każdego h

∈ R

\ {O} takiego, że p + h ∈ V istnieje

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

liczba θ = θ

∈ (0, 1) taka, że

f (p + h) = f (p) + f

(p)h +

(p + θh)(h, h)

z zał.

= f (p) +

(p + θh)(h, h).

f (p + h)

− f(p) =

(p + θh)

− f

(p))(h, h) +

(p)(h, h).

(5.3)

Oznaczmy ψ(h) =

1
2

(p + θh)

− f

(p))(h, h). Niech h =

, . . . , h

Wtedy

|ψ(h)|

khk

¬k

(p + θh)

− f

(p)

, h

khk

¬k

(p + θh)

− f

(p)

||h

khk

¬k

(p + θh)

− f

(p)

khk

¬k

(p + θh)

− f

(p)

(5.4)

Ponieważ funkcja f jest klasy C

(2)

na V, wi

ec ostatnie wyrażenie w (5.4)

aży do 0, gdy h

→ O. Zatem

lim

→O

|ψ(h)|

khk

= 0.

(5.5)

Udowodnimy (a). Skoro f

(p)

∈ L

, R), to funkcja

3 h 7→

(p)(h, h)

jest ci

agła. Zatem na zbiorze zwartym

{h ∈ R

khk = 1} osi

aga ona sw´

kres dolny c. Zauważmy, że c > 0, bo z założenia f

(p)(h, h) > 0 dla h

6= O.

Z (5.5) wynika istnienie liczby δ

∈ (0, r) takiej, że

(

∀ h ∈ R

)

0 <

khk < δ ⇒

ψ(h)
khk

−

(5.6)

Niech h

∈ R

, 0 <

khk < δ. Wtedy p + h ∈ V i z uwagi na dwuliniowo´s´c

(p) wz´

or (5.3) można zapisa´

c w postaci

f (p + h)

− f(p) = ψ(h) +

(p)

khk

( z (5.6) i def. c)

−

khk

+ c

khk

> 0.

Zatem f (p + h) > f (p) dla każdego h

∈ R

, 0 <

khk < δ, co oznacza, że

f (q) > f (p) dla każdego q

∈ K(p, δ) \ {p}. Wobec tego funkcja f ma w

punkcie p minimum lokalne.

Dow´

od (b) jest analogiczny.

Udowodnimy (c). Z założenia wynika, że istniej

a elementy h

(1)

, h

(2)

∈

\ {O} takie, że

a = f

(p)(h

(1)

, h

(1)

) > 0

oraz

b = f

(p)(h

(2)

, h

(2)

) < 0.

5. WZ ´

OR TAYLORA DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Zast

epuj

ac h

(1)

przez h

(1)

k oraz h

(2)

przez h

(2)

k, na mocy dwu-

liniowo´

sci f

(p) możemy założy´

c, że

(1)

k = kh

(2)

k = 1. Z (5.5) wynika

istnienie liczby η

∈ (0, r) takiej, że

(

∀ h ∈ R

)

0 <

khk < η ⇒

|ψ(h)|

khk

min

{a, −b}

(5.7)

Niech t

∈ R, 0 < |t| < η. Wtedy p+th ∈ V, wi

ec ze wzoru (5.3) otrzymujemy

f (p + th

(1)

)

− f(p) = ψ(th

(1)

) +

(p)(th

(1)

, th

(1)

)

(z (5.7))

−

kth

(1)

(p)(h

(1)

, h

(1)

−

(1)

> 0.

(5.8)

Podobnie pokazujemy, że

(5.9)

f (p + th

(2)

)

− f(p) < −

kth

(2)

(p)(h

(2)

, h

(2)

−

(2)

< 0.

Je´

sli liczba t jest bliska 0, to punkty p + th

(1)

, p + th

(2)

a bliskie p. Zatem

warunki (5.8) i (5.9) dowodz

a, że f nie ma ekstremum w punkcie p.

Uwaga

5.2. Praktyczne zastosowanie twierdzenia 5.2(a),(b) polega na

zbadaniu macierzy [f

(p)]

i,j

¬k

drugiej pochodnej f

(p). Z algebry wiado-

mo (tw. Sylvestera), że je´

sli w

oznacza wyznacznik det[f

(p)]

i,j

¬r

(r =

1, . . . , k) oraz

(a) je´

sli w

> 0 dla każdego r

∈ {1, . . . , k}, to funkcja dwuliniowa f

(p)

jest dodatnia,

(b) je´

sli (

−1)

> 0 dla każdego r

∈ {1, . . . , k}, to funkcja dwuliniowa

(p) jest ujemna.

Przypadek k = 2 jest prostszy i uwzgl

ednia twierdzenie 5.2(c).

Wniosek

5.1. Zał´

ożmy, że zbi´

or G

⊂ R

jest otwarty oraz funkcja f :

→ R jest klasy C

(2)

w otoczeniu V

⊂ G punktu p ∈ G, przy czym

(p) = f

(p) = 0. Niech

w = det

(p)

(a) Je´

sli w > 0 i f

(p) > 0, to f ma w p minimum lokalne.

(b) Je´

sli w > 0 i f

(p) < 0, to f ma w p maksimum lokalne.

sli w < 0, to f nie ma w p ekstremum lokalnego.

Dowód. Tezy (a) i (b) wynikaj

a bezpo´

srednio z twierdzenia 5.2(a),(b) i

twierdzenia Sylvestera (uwaga 5.2). Inny dow´

od polega na zbadaniu odpo-

wiedniego tr´

ojmianu kwadratowego. T

e metod

e zastosujmy dla dowodu (c).

Niech h =

, h

i 6= h0, 0i. Zał´ożmy np., że h

6= 0. Wtedy h

= h

t dla

dokładnie jednej liczby t

∈ R. Forma kwadratowa f

(p)(h, h) ma posta´

(p)h

2
1

+ 2f

(p)h

+ f

(p)h

2
2

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

(zauważmy, że f

(p) = f

(p) na mocy tw. Schwarza). Podstawiaj

= h

t, otrzymujemy wyrażenie

F (t) = f

(p)t

+ 2f

(p)t + f

(p),

o tym samym znaku co f

(p)(h, h). Rozważmy dwa przypadki:

◦

je´

sli f

(p) = 0, wtedy założenie

w = f

(p)f

(p)

− (f

(p))

< 0

implikuje, że f

(p)

6= 0, a zatem funkcja F (t) przyjmuje zar´owno

warto´

sci dodatnie jak i ujemne. St

ad na mocy twierdzenia 5.2(c) funk-

cja f nie ma w p ekstremum lokalnego.

◦

je´

sli f

(p)

6= 0, to wyr´ożnik ∆ tr´ojmianu F (t) wzgl

edem zmiennej

t jest r´

owny

4(f

(p))

− 4f

(p)f

(p) =

−4w > 0.

Zatem tr´

ojmian F (t) przyjmuje zar´

owno warto´

sci dodatnie jak i ujem-

ne, co – jak poprzednio – daje tez

Cwiczenie

5.2. Wyznaczy´

c ekstrema lokalne funkcji f (x

, x

) = (x

, x

i ∈ R

Uwaga

5.3. Wniosek 5.1 nie uwzgl

ednia przypadku, gdy w = 0. W ta-

kiej sytuacji funkcja f może mie´

c ekstremum w punkcie p (np. dla f (x

, x

) =

+ x

, x

i ∈ R

, p =

h0, 0i) lub może nie mie´c ekstremum w p (np. dla

f (x

, x

) = x

+ x

, x

i ∈ R

, p =

h0, 0i). Wtedy istnieje ekstremum lub

jego brak stwierdzamy np. korzystaj

ac z definicji ekstremum lokalnego.

W nast

epuj

acym przykładzie pokazujemy, że funkcja może mie´

c ekstre-

mum lokalne, nie b

ac r´

ożniczkowalna w danym punkcie.

Przykad

5.3. Niech f (x

, x

) = 1

−

+ x

dla

, x

i ∈ R

i niech

p =

h0, 0i. Ponieważ

∀ hx

, x

i ∈ R

\ {p}

f (x

, x

) = 1

−

+ x

< 1 = f (p),

ec funkcja f przyjmuje w punkcie p maksimum lokalne (a nawet globalne).

Jednakże pochodne cz

astkowe f

(p), f

(p) nie istniej

6. Lokalne odwracanie odwzorowa´

n. Funkcja uwikłana

Nast

epuj

acy lemat jest wersj

a twierdzenia o przyrostach dla odwzorowa´

z R

do R

Lemat

6.1. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. Je´

sli funkcja f :

→ R

jest r´

ożniczkowalna (w spos´

ob mocny) w każdym punkcie odcinka

(domkni

etego) I

a,b

⊂ G o ko´ncach a, b, przy czym

(

∃ M 0)(∀ x ∈ I

a,b

)

(x)

k ¬ M,

kf(b) − f(a)k ¬ Mkb − ak.

6. LOKALNE ODWRACANIE ODWZOROWA ´

N. FUNKCJA UWIKŁANA

Dowód. Oznaczmy h = b

− a. Rozważmy funkcj

e pomocnicz

a g : [0, 1]

→

dan

a wzorem g(t) = f (a + th), t

∈ [0, 1]. Z twierdzenia 3.3 wynika, że

(t) = f

(a + th)h, t

∈ [0, 1]. St

ad i z założenia, dla każdego t

∈ [0, 1] mamy

(t)

k = kf

(a + th)h

k ¬ kf

(a + th)

k khk ¬ Mkhk.

(6.1)

Z twierdzenia o przyrostach dla funkcji wektorowych (tw. 3.1, rozdz.VII)
wiemy, że

(

∃ c ∈ (0, 1)) kg(1) − g(0)k ¬ kg

(c)

k(1 − 0).

kf(b) − f(a)k = kg(1) − g(0)k ¬ kg

(c)

z (6.1)

¬ Mkhk = Mkb − ak.

Z rachunku r´

ożniczkowego jednej zmiennej wiemy, że je´

sli funkcja f jest

klasy C

(1)

na [a, b] i f

(x)

6= 0 na [a, b], to z własno´sci Darboux dla funkcji

agłej f

na [a, b] wynika, że albo f

(x) > 0 wsz

edzie na [a, b] albo f

(x) <

0 wsz

edzie na [a, b]. Zatem f jest ´

sci´

sle monotoniczna na [a, b], czyli jest

iniekcj

a. Dla funkcji okre´

slonej na podzbiorze otwartym przestrzeni R

warto´

sciach w R

podobne twierdzenie ma lokalny charakter.

Definicja

6.1. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. M´

owimy, że

funkcja f : G

→ R

, f =

, . . . , f

i, jest klasy C

(1)

na G, gdy każda z

funkcji f

, . . . , f

jest klasy C

(1)

na G.

Dowodzi si

e, że f jest klasy C

(1)

na G wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna

(x) istnieje w każdym punkcie x

∈ G oraz odwzorowanie G 3 x 7→ f

(x)

∈

L(R

, R

) jest ci

agłe.

Twierdzenie

6.1. Niech p

∈ G ⊂ R

, gdzie G jest zbiorem otwartym.

Je´

sli f : G

→ R

, f =

, . . . , f

i, jest klasy C

(1)

na G oraz jakobian

J f (p) = det

)

(p)

¬k

e nie zeruje, to

(a) istnieje kula K(f (p), r)

⊂ f[G],

(b) istnieje kula K(p, δ)

⊂ G taka, że obci

ecie f

| K(p, δ) jest iniekcj

Dowód. Oznaczmy q = f (p). Rozważmy najpierw uproszczony przypa-

dek, gdy p = q = O oraz f

(O) jest odwzorowaniem identyczno´

sciowym id,

tzn. f

(O)h = h dla każdego h

∈ R

. Rozważmy funkcj

e pomocnicz

a T :

→ R

dan

a wzorem T (x) = x

− f(x), x ∈ G. Ponieważ T (x) = (id −f)(x)

oraz f

(O) = id, wi

ec T

(O) = id

− id jest odwzorowaniem zerowym. Skoro

f jest klasy C

(1)

, to T jest także klasy C

(1)

, a zatem istnieje liczba δ > 0

taka, że

(

∀ x ∈ G) kxk ¬ δ ⇒ kT

(x)

k = kT

(x)

− T

(O)

k ¬

(6.2)

Możemy założy´

c, że liczba δ jest tak dobrana, że

{x ∈ R

kxk ¬ δ} ⊂ G.

Poł´

ożmy D =

{y ∈ R

kyk ¬ δ/2}. Wykażemy, że D ⊂ f[G], sk

ad b

edzie

wynika´

c (a) dla r = δ/2. Niech wi

ec y

∈ D. Pokażemy, że y

∈ f[G].

Oznaczmy X =

{x ∈ R

kxk ¬ δ}. Zauważmy, że X jest przestrze-

a zupełn

a (jako podzbi´

or domkni

ety przestrzeni zupełnej; por. ´

cw. 5.1(b),

rozdz.III). Okre´

slmy funkcj

e S : X

→ R

wzorem S(x) = T (x) + y

, x

∈ X.

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Pokażemy, że S : X

→ X oraz że S jest odwzorowaniem zw

eżaj

acym. Po-

nieważ S

(x) = T

(x), wi

ec z (6.2) mamy

(x)

k ¬ 1/2, o ile kxk ¬ δ.

Zauważmy, że funkcj

e dan

a tym samym wzorem można rozważa´

c na G. Sto-

suj

ac lemat 6.1 do funkcji S (dla odcinka I

O,x

, gdzie x

∈ X) otrzymujemy

kS(x) − S(O)k ¬ (1/2)kxk dla każdego x ∈ X. Zatem

(

∀ x ∈ X) kS(x)k ¬ kS(x) − S(O)k + kS(O)k ¬

kxk + ky

k <

= δ,

co oznacza, że S(x)

∈ X dla każdego x ∈ X. Odwzorowanie S jest zw

eżaj

ace,

bo z nier´

owno´

sci

(x)

k ¬ 1/2, x ∈ X, i lematu 6.1 otrzymujemy

(

∀ x, x

∈ X) kS(x) − S(x

)

k ¬

kx − x

(6.3)

Zatem na mocy tw. Banacha o punkcie stałym istnieje punkt x

∈ X taki,

że S(x

) = x

, tzn. x

− f(x

) + y

= x

, czyli y

= f (x

). St

ad y

∈ f[X] ⊂

f [G].

Dla dowodu (b) pokażemy, że f

|X jest iniekcj

a. Niech wi

ec x, x

∈ X

oraz f (x) = f (x

). St

ad T (x)

− T (x

) = x

− f(x) − x

+ f (x

) = x

− x

oraz

kx − x

k = kT (x) − T (x

)

k = kS(x) − S(x

)

z (6.3)

kx − x

Ale

kx − x

k ¬

1
2

kx − x

k implikuje x = x

Zał´

ożmy teraz przypadek, gdy warunki p = q = O i f

(p) = id nie

musz

a by´

c spełnione. Niech f

(p) = A. Ponieważ J f (p)

6= 0, wi

ec istnieje

−1

. Poł´

ożmy

g(x) = A

−1

(f (x + p)

− f(p)) dla x + p ∈ G.

Wtedy g(O) = O, g

(x) = A

−1

(x + p)) (por. tw. 3.3) oraz g

(O) =

−1

◦ A = id . Zatem do funkcji g można stosowa´c wcze´sniejszy przypa-

dek. Zauważmy, że

f (x) = A(g(x

− p)) + f(p) dla x ∈ G.

(6.4)

Nietrudno sprawi´

c, że złożenie funkcji g z translacj

a i funkcj

a liniow

a A nie

psuje tezy twierdzenia (gdyż translacja i funkcja A s

a homeomorfizmami).

ad i z (6.4) wynika, że teza zachodzi dla funkcji f.

Twierdzenie

6.2 (r´

ożniczkowanie

odwzorowznia

odwrotnego).

Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym, za´

s f : G

→ R

– funkcj

a klasy C

(1)

Je´

sli w każdym punkcie x

∈ G jakobian Jf(x) nie znika, to

◦

zbi´

or f [G] jest otwarty,

◦

je´

sli funkcja f jest iniekcj

a na G, to funkcja odwrotna f

−1

jest klasy

(1)

na f [G] oraz

(

∀ x ∈ G) (f

−1

)

(f (x)) = (f

(x))

−1

(6.5)

Dowód. Teza 1

◦

jest wnioskiem z twierdzenia 6.1, bo z tezy twierdze-

nia 6.1(a) wynika, że każdy punkt y

∈ f[G] należy do f[G] wraz z pewn

kul

a K(y, r).

Dla dowodu 2

◦

zauważmy najpierw, że funkcja g = f

−1

jest ci

agła na

= f [G]. Rzeczywi´

scie, niech U

⊂ G b

edzie dowolnym zbiorem otwartym.

Przeciwobraz g

−1

[U ] jest r´

owny obrazowi f [U ], a ten jest zbiorem otwartym

w my´

sl twierdzenia 6.1(a). Zatem funkcja g

−1

jest ci

agła na G

(por. tw. 3.3,

6. LOKALNE ODWRACANIE ODWZOROWA ´

N. FUNKCJA UWIKŁANA

rozdz.IV). Pokażemy teraz r´

ożniczkowalno´

s´

c g w dowolnym punkcie q

∈ G

Niech q = f (p), p

∈ G, oraz A = f

(p). Z założenia J f (p)

6= 0 wynika, że

istnieje A

−1

. Z definicji pochodnej mocnej A mamy

f (p + h)

− f(p) = A(h) + r(h) dla p + h ∈ G, lim

→O

r(h)

khk

= O.

(6.6)

Aby zachodziłwz´

or (6.5) w tezie, należy udowodni´

g(q + d)

− g(q) = A

−1

(d) + r

(d) dla q + d

∈ G

lim

→O

(d)

kdk

= O.

(6.7)

Zauważmy, że

(

∃ a > 0)(∀ h ∈ R

)

kA(h)k akhk.

(6.8)

Istotnie, mamy

(

∀ h ∈ R

)

khk = kA

−1

◦ A(h)k ¬ kA

−1

k kA(h)k,

zatem wystarczy przyj

a´

c a = 1/

−1

k. Na mocy (6.6) dobierzmy liczb

δ > 0 tak, by

(

∀ h ∈ R

)

0 <

khk < δ ⇒

kr(h)k

khk

(6.9)

Dla każdego h

∈ R

, 0 <

khk < δ mamy wi

kf(p + h) − f(p)k

z (6.6)

kA(h)k − kr(h)k

z (6.8) i (6.9)

khk −

khk =

khk.

(6.10)

Dla dowodu (6.7) rozważmy d

∈ R

\ {O}, q + d ∈ G

. Wtedy

(d)

kdk

g(q + d)

− g(q) − A

−1

(d)

kdk

= A

−1

A(g(q + d)

− g(q)) − d

kdk

(6.11)

Oznaczmy h = g(q + d)

− g(q). Wtedy h + g(q) = g(q + d), czyli h + p =

g(f (p) + d), sk

ad f (p + h) = f (p) + d. Ponadto h

6= O, bo g jest iniekcj

Traktuj

ac h jako funkcj

e h(d) zmiennej d, mamy lim

→O

h(d) = O, co wynika

z ci

agło´

sci g. Wz´

or (6.11) przyjmuje teraz posta´

(6.12)

(d)

kdk

= A

−1

A(h)

− (f(p + h) − f(p))

khk

kf(p + h) − f(p)k

z (6.6)

−1

−kr(h)k

khk

kf(p + h) − f(p)k

Ponieważ z (6.10) wynika, że

khk / (kf(p + h) − f(p)k) < a/2, wi

ec z

lim

→O

h(d) = O i (6.6) wnioskujemy, że

lim

→O

r(h(d))

kh(d)k

kf(p + h(d)) − f(p)k

= O.

ad, z (6.12) i ci

agło´

sci A

−1

otrzymujemy lim

→O

(d)/

kdk = A

−1

(O) = O.

Zatem wz´

or (6.7) został wykazany.

Aby wykaza´

c, że funkcja g jest klasy C

(1)

na G

, zauważmy, że dla

punktu y

∈ G

macierz

M(y) odwzorowania liniowego g

(y) = (f

g(y))

−1

jest macierz

a odwrotn

a do macierzy

N(y) odwzorowania liniowego f

(g(y)).

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Obie macierze s

a macierzami Jacobiego. Oznaczmy f =

, . . . , f

i, g =

, . . . , g

i. Ponieważ N(y) =

)

(g(y))

¬k

, wi

ec z ci

agło´

sci funkcji g,

agło´

sci pochodnych cz

astkowych (f

)

i wzor´

ow na wyrazy macierzy od-

wrotnej wynika, że wyrazy macierzy

M(y) s

a funkcjami ci

agłymi wzgl

edem

y. Ale

M(y) =

)

(y)

¬k

, wi

ec wszystkie pochodne cz

astkowe funkcji

, . . . , g

a ci

agłe na G

. Zatem funkcja g jest klasy C

(1)

na G

Definicja

6.2. Niech G

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. Funkcja f :

→ R

nazywa si

e dyfeomorfizmem, gdy

(1) f jest klasy C

(1)

na G,

(2) dla każdego x

∈ G mamy Jf(x) 6= 0,

(3) f jest iniekcj

a (na G) i f

−1

jest ci

agła (na f [G]).

Zauważmy, że dyfeomorfizm jest szczeg´

olnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykad

6.1. Odwzorowanie biegunowe f : G

→ R

, gdzie G =

{hr, αi ∈

: r > 0

}, f(r, α) = hr cos α, r sin αi, spełnia warunki (1), (2), ale nie

jest iniekcj

a, bo f (r, α) = f (r, α + 2π). Jednak je´

sli f rozważa´

c na zbiorze

∗

{hr, αi ∈ R

: r > 0, α

∈ (−π, π)}, to f jest dyfeomorfizmem.

Cwiczenie

6.1. Wykaza´

c, że złożenie dw´

och dyfeomorfizm´

ow jest dy-

feomorfizmem.

Z twierdzenia 6.2 wynika

Wniosek

6.1. Je´

sli G

⊂ R

jest zbiorem otwartym, za´

s f : G

→ R

jest

iniekcj

a klasy C

(1)

na G oraz J f (x)

6= 0 dla każdego x ∈ G, to zbi´or f[G]

jest otwarty, f jest dyfeomorfizmem (na G) i f

−1

jest jest dyfeomorfizmem

(na f [G]).

Definicja

6.3. Niech G

⊂ R

× R

edzie zbiorem otwartym i niech

edzie dana funkcja ci

agła F : G

→ R

. Dla argumentu

hx, yi ∈ G (zatem

∈ R

, y

∈ R

) warto´

s´

c funkcji F b

edziemy zapisywa´

c jako F (x, y). Każd

funkcj

e ci

agł

a postaci f : V

→ R

(gdzie V

⊂ R

jest zbiorem otwartym)

tak

a, że dla każdego x

∈ V r´ownanie

F (x, y) = O

(6.13)

ma rozwi

azanie y = f (x) nazywamy funkcj

a uwikłan

a (wzgl

edem x) wyzna-

czon

a przez r´

ownanie (6.13).

Przykad

6.2. R´

ownanie x

− y

= 0 rozważane w zbiorach

{hx, yi ∈ R

: x > 0, y > 0

{hx, yi ∈ R

: x > 0, y < 0

}

wyznacza uwikłan

a wzgl

edem x (w G

jest ni

a y = x, za´

s w G

jest ni

y =

−x). Natomiast w dowolnym zbiorze otwartym G zawieraj

acym punkt

h0, 0i s

a cztery r´

ożne funkcje uwikłane (y = x, y =

−x, y = |x|, y = −|x|)

wzgl

edem x.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jest warunkiem dostatecznym na to,

by r´

ownanie F (x, y) = 0 generowało w pewnym otoczeniu punktu

, y

takiego, że F (x

, y

) = 0 dokładnie jedn

a funkcj

e uwikłan

a y = f (x) klasy

(1)

6. LOKALNE ODWRACANIE ODWZOROWA ´

N. FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie

6.3 (o funkcji uwikłanej). Niech G

⊂ R

× R

edzie

zbiorem otwartym i niech F : G

→ R

edzie funkcj

a klasy C

(1)

na G.

Oznaczmy S =

{hx, yi ∈ G : F (x, y) = O}. Zał´ożmy, że hx

, y

i ∈ S oraz

W = det

)

, y

)

¬m

6= 0,

gdzie F =

, . . . , F

i. Wtedy istniej

a zbi´

or otwarty U

⊂ G taki, że

, y

i ∈ G i otoczenie V punktu x

oraz funkcja f : V

→ R

klasy C

(1)

taka, że S

∩ U = {hx, f(x)i : x ∈ V }. Zatem f jest jedyn

a funkcj

a uwikłan

generowan

a w otoczeniu U punktu

, y

i przez r´ownanie F (x, y) = O.

Dowód. Okre´

slmy funkcj

e pomocnicz

a Φ : G

→ R

×R

wzorem Φ(x, y) =

hx, F (x, y)i, hx, yi ∈ G. Z założenia wynika, że funkcja Φ jest klasy C

(1)

G, przy czym jej pochodna Φ

(x, y) w dowolnym punkcie jest reprezentowana

przez macierz

M postaci

k wierszy

(i = 1, . . . , m)






)

(x, y)

)

(x, y)






}

(r = 1, . . . , k)

}

(j = 1, . . . , m)

gdzie ID oznacza macierz jednostkow

a o wymiarach k

× k, za´s 0 – macierz

zerow

a o k wierszach i m kolumnach. Wyznacznik macierzy

M jest r´owny

det

)

(x, y)

¬m

ozn.

= W (x, y). Z ci

agło´

sci pochodnych cz

astkowych (F

)

i założenia W

6= 0 wynika, że W (x, y) 6= 0 w pewnym otoczeniu G

⊂ G

punktu

, y

i. Na mocy wniosku 6.1 funkcja Ψ = Φ | G

jest dyfeomorfi-

zmem oraz Ψ

−1

jest dyfeomorfizmem.

Oznaczmy G

= Ψ[G

] (jest to zbi´

or otwarty) oraz T =

{x ∈ R

hx, Oi ∈ G

} jest zbiorem otwartym jako przeciwobraz zbioru otwartego G

przez funkcj

e ci

agł

a R

3 x 7→ hx, Oi. Ponadto poł´ożmy

= S

∩ G

{hx, yi ∈ G

: F (x, y) = O

Zauważmy, że

= Ψ

−1

[

{hx, Oi : x ∈ T }].

(6.14)

Istotnie, dla

ht, yi ∈ R

× R

mamy

ht, yi ∈ S

⇔ (F (t, y) = O ∧ (t, y) ∈ G

)

⇔ (Ψ(t, y) = ht, Oi ∧ ht, Oi ∈ G

)

⇔ (Ψ(t, y) = ht, Oi ∧ t ∈ T ).

Funkcja Ψ

−1

ma posta´

c Ψ

−1

(x, y) =

hx, g(x, y)i dla hx, yi ∈ G

. Z (6.14)

wnioskujemy, że

{hx, g(x, O)i : x ∈ T }.

(6.15)

Skoro

, y

i ∈ S ∩ G

, to Ψ(x

, y

) =

, O

i ∈ G

, a zatem x

∈ T.

Ponieważ zbi´

or T jest otwarty, wi

ec możemy wybra´

c otoczenie V punktu x

takie, że V

⊂ T. Niech funkcja f : V → R

edzie dana wzorem f (x) =

g(x, O), x

∈ V. Wtedy f jest klasy C

(1)

, bo g jest klasy C

(1)

jako funkcja

RACHUNEK R ´

OżNICZKOWY DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

składowa dyfeomorfizmu Ψ

−1

. Poł´

ożmy U = G

∩ (V × R

) – jest to zbi´

otwarty, a ponadto

{hx, f(x)i : x ∈ V } = {hx, g(x, 0)i : x ∈ T ∧ x ∈ V }

z (6.15)

∩ (V × R

) = S

∩ G

∩ (V × R

) = S

∩ U.

Uwaga

6.1. Pochodne cz

astkowe funkcji uwikłanej f =

, . . . , f

spełniaj

acej tez

e twierdzenia 6.3 obliczamy w nast

epuj

acy spos´

ob. R´

ownanie

F (x, f (x)) = O jest r´

ownoważne układowi F

(x, f (x)) = 0, (i = 1, . . . , m).

R´

ożniczkuj

ac te r´

owno´

sci wzgl

edem ustalonej zmiennej x

(r = 1, . . . , k)

i stosuj

ac przy tym twierdzenie o r´

ożniczkowaniu superpozycji (tw. 3.3),

otrzymujemy

)

(x, f (x)) +

j=1

)

(x, f (x))

· (f

)

(x) = 0

dla i = 1, . . . , m. Jest to układ m r´

owna´

n liniowych o m niewiadomych

)

(x), . . . , (f

)

(x). Ponieważ f jest klasy C

(1)

w otoczeniu punktu x

oraz F (x

, y

)

6= 0, wi

ec jest to układ Cramera. Zatem szukane niewiadome

wyliczamy ze wzor´

ow Cramera.

Om´

owimy jeszcze dwa szczeg´

olne przypadki.

(a) Je´

sli F : G

→ R oraz G ⊂ R×R jest zbiorem otwartym, to r´ożniczkuj

r´

owno´

s´

c F

(x,f (x)) = 0 wzgl

edem x, mamy F

(x, f (x))+F

(x, f (x))f

(x) =

0. St

(x) =

−F

(x, f (x))/F

(x, f (x)).

(b) Niech F : G

→ R, gdzie G ⊂ R

× R jest zbiorem otwartym. Roz-

ważmy funkcj

e uwikłan

a z = f (x, y) generowan

a przez r´

ownanie

F (x, y, z) = 0. Wtedy pochodne cz

astkowe f

(x, y), f

(x, y) wylicza-

my, r´

ożniczkuj

ac r´

ownanie F (x, y, f (x, y)) = 0 wzgl

edem x oraz y :

(

(x, y, f (x, y)) + F

(x, y, f (x, y))f

(x, y) = 0

(x, y, f (x, y)) + F

(x, y, f (x, y))f

(x, y) = 0

(x, y) =

−

(x, y, f (x, y))

, f

(x, y) =

−

(x, y, f (x, y))

(6.16)

Przykad

6.3. Rozważmy r´

ownanie x + y + z = e

. Badamy istnienie

funkcji uwikłanej z = f (x, y). Niech F (x, y, z) = x + y + z

− e

. Jest to

funkcja klasy C

(1)

(a nawet C

(

∞)

) w R

. Ponadto F

(x, y, z) = 1

− e

6= 0,

o ile z

6= 0. Zatem w otoczeniu dowolnego punktu (x

, y

, z

) takiego, że

F (x

, y

, z

) = 0 i z

6= 0 generowana jest funkcja uwikłana z = f(x, y) oraz

ze wzor´

ow (6.16) otrzymujemy

, y

) =

−

− e

− x

− y

− z

, y

) =

−

− e

− x

− y

− z

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mbwyklad6 Analiza a
mbwyklad11 analiza f id 289928
mbwyklad7 Analiza b
mbwyklad9 Analiza d
mbwyklad8 Analiza c
mbwyklad10 analiza e
mbwyklad12 analiza g
mbwyklad6 Analiza a
analiza złożonych aktów ruchowych w sytuacjach patologicznych

więcej podobnych podstron