Całka niewła´

sciwa. Całka funkcji wektorowej

1. Całka niewła´

sciwa i jej zbieżno´

s´

c

Definicja

1.1.

(a) Niech f : [a, b)

→ R oraz zał´ożmy, że funkcja

f jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale [a, t]

⊂

[a, b). M´

owimy, że b jest punktem osobliwym funkcji f , gdy zachodzi

jeden z dw´

och przypadk´

ow:

1

◦

b = +

∞

2

◦

funkcja jest nieograniczona na każdym przedziale [c, b)

⊂ [a, b).

Całk

,

a niewła´

sciw

,

a funkcji f na [a, b) nazywamy granic

,

e lim

t

→b

−

R

t

a

f

(o ile ta granica istnieje) oraz oznaczamy j

,

a przez

R

b

a

f. Je´

sli granica

ta jest sko´

nczona, to m´

owimy, że całka

R

b

a

f jest zbieżna, je´

sli za´

s nie

istnieje lub jest niesko´

nczona, to m´

owimy, że całka

R

b

a

f jest rozbieżna.

Ponadto m´

owimy, że całka

R

b

a

f jest bezwzgl

,

ednie zbieżna, gdy całka

R

b

a

|f| jest zbieżna.

(b) Niech f : (a, b]

→ R oraz zał´ożmy, że funkcja f jest całkowalna w

sensie Riemanna na każdym przedziale [t, b]

⊂ (a, b]. M´owimy, że a

jest punktem osobliwym funkcji f , gdy zachodzi jeden z dw´

och przy-

padk´

ow:

1

◦

a =

−∞

2

◦

funkcja jest nieograniczona na każdym przedziale (a, c]

⊂ (a, b].

Całk

,

a niewła´

sciw

,

a funkcji f na (a, b] nazywamy granic

,

e lim

t

→a

+

R

b

t

f

(o ile ta granica istnieje) oraz oznaczamy j

,

a przez

R

b

a

f. Analogicznie

jak w (a) rozumiemy zbieżno´

s´

c (bezwzgl

,

edn

,

a) lub rozbieżno´

s´

c całki

R

b

a

f.

Uwaga

1.1.

(a) Je´

sli f

∈ R na [a, b], to z twierdzenia o funkcji g´ornej

granicy całkowania (tw. 6.1, rozdz.IX) wynikaj

,

a wzory

lim

t

→b

−

Z

t

a

f =

Z

b

a

f,

lim

t

→a

+

Z

b

t

f =

Z

b

a

f.

W tym sensie całka niewła´

sciwa jest uog´

olnieniem zwykłej całki Rie-

manna.

(b) W szczeg´

olno´

sci warunek 2

◦

jest spełniony, w sytuacji gdy lim

t

→b

−

|f(t)| =

+

∞ (odpow. lim

t

→a

+

|f(t)| = +∞).

1

Przykład

1.1.

(1) Niech α > 0, α

6= 1. Wtedy

Z

+

∞

1

dx

x

α

= lim

t

→+∞

Z

t

1

dx

x

α

= lim

t

→∞



1

(1

− α)x

α

−1



t

1

= lim

t

→∞

1

1

− α



1

t

α

−1

− 1



=

(

1

α

−1

,

gdy α > 1

+

∞,

gdy 0 < α < 1.

Gdy α = 1, mamy

Z

+

∞

1

dx

x

= lim

t

→+∞

(ln t

− ln 1) = +∞.

(2)

Z

1

0

ln xdx = lim

t

→0

+

Z

1

t

ln xdx

(całkujemy przez cz

,

e´

sci)

= lim

t

→0

+

[x ln x

− x]

1
t

= lim

t

→0

+

(

−1 − t ln t + t)

=

−1 − lim

t

→0

+

ln t

1

t

(z reguły de l’Hospitala)

=

−1 − lim

t

→0

+

1

t

−

1

t

2

=

−1 − 0 = −1.

´

Cwiczenie

1.1. Obliczy´

c całk

,

e niewła´

sciw

,

a

R

1

0

dx

x

α

, α > 0.

Twierdzenie

1.1. Zał´

ożmy, że funkcja f : [a, b)

→ R jest całkowalna

w sensie Riemanna na każdym przedziale [a, t]

⊂ [a, b) oraz b jest jedynym

punktem osobliwym funkcji f. Całka niewła´

sciwa

R

b

a

f jest zbieżna wtedy i

tylko wtedy, gdy

(

∀ ε > 0)(∃ r ∈ [a, b))(∀ t, t

0

∈ (r, b))







Z

t

0

t

f







< ε.

Dowód. Niech F (t) =

R

t

a

f, t

∈ [a, b). Zbieżno´s´c całki

R

b

a

f jest r´

ownoważ-

na istnieniu sko´

nczonej granicy lim

t

→b

−

F (t), a to z kolei jest r´

ownoważne

odpowiedniemu warunkowi typu Cauchy’ego (por. rozdz.IV, tw.1.4 i ´

cw.

2.1(b)). St

,

ad i z r´

owno´

sci F (t

0

)

− F (t) =

R

t

0

t

f wynika teza.

Przykład

1.2. Rozważmy całk

,

e

R

∞

0

sin x

x

dx. Przyjmijmy, że funkcja pod-

całkowa w punkcie 0 przyjmuje warto´

s´

c 1; wtedy jest ona ci

,

agła oraz jej

jedynym punktem osobliwym jest +

∞. Z przykładu 7.1, rozdz.IX, wynika,

że spełniony jest warunek typu Cauchy’ego

(

∀ ε > 0) (∃r > 0) (∀ t, t

0

> r)







Z

t

0

t

sin x

x

dx







< ε,

kt´

ory na mocy twierdzenia 1.1 implikuje zbieżno´

s´

c danej całki.

´

Cwiczenie

1.2. Zał´

ożmy, że funkcja f : [a, b)

→ R jest całkowalna w

sensie Riemanna na każdym przedziale [a, t]

⊂ [a, b) oraz b jest punktem

osobliwym funkcji f. Wykaza´

c, że je´

sli całka

R

b

a

f jest bezwzgl

,

ednie zbieżna,

to jest ona zbieżna oraz





R

b

a

f





¬

R

b

a

|f|.

2

Wiele własno´

sci całek niewła´

sciwych przypomina własno´

sci szereg´

ow.

Przykładem jest nast

,

epuj

,

ace twierdzenie:

Twierdzenie

1.2 (kryterium por´

ownawcze). Zał´

ożmy, że f, g : [a, b)

→

R

oraz f, g

∈ R na każdym przedziale [a, t] ⊂ [a, b), przy czym b jest punktem

osobliwym obu funkcji f i g.

(1) Je´

sli (

∃ c ∈ [a, b)) (∀ x ∈ [c, b)) |f(x)| ¬ g(x) i całka

R

b

a

g jest zbieżna,

to całka

R

b

a

f jest bezwzgl

,

ednie zbieżna.

(2) Je´

sli (

∃ c ∈ [a, b)) (∀ x ∈ [c, b)) f(x) ­ g(x) ­ 0 i całka

R

b

a

g jest

rozbieżna (do +

∞), to całka

R

b

a

f jest rozbieżna (do +

∞).

Dowód.

(1) Niech t

∈ [c, b). Korzystaj

,

ac z założenia i własno´

sci całki

Riemanna mamy

Z

t

a

|f| =

Z

c

a

|f| +

Z

t

c

|f| ¬

Z

c

a

|f| +

Z

t

c

g

=

Z

c

a

|f| −

Z

c

a

g +

Z

c

a

g +

Z

t

c

g =

Z

c

a

(

|f| − g) +

Z

t

a

g.

Zauważmy, że funkcja F (t) =

R

t

a

|f|, t ∈ [c, b), jest niemalej

,

aca, bo

je´

sli t, t

0

∈ [c, b) oraz t < t

0

, to F (t

0

)

− F (t) =

R

t

0

t

|f| ­ 0. Zatem

granica lim

t

→b

−

F (t) istnieje (por. tw. 2.1, rozdz.IV) i wystarczy udo-

wodni´

c, że jest ona sko´

nczona. Przechodz

,

ac do granicy, gdy t

→ b

−

,

w nier´

owno´

sci

R

t

a

|f| ¬

R

c

a

(

|f| − g) +

R

t

a

g, otrzymujemy

Z

b

a

|f| ¬

Z

c

a

(

|f| − g) +

Z

b

a

g < +

∞,

bo całka

R

b

a

g jest zbieżna. Zatem całka

R

b

a

|f| jest zbieżna.

(2) Przypu´

s´

cmy, że całka

R

b

a

f jest zbieżna. Wtedy z pierwszej cz

,

e´

sci za-

łożenia na mocy (1) wynika, że całka

R

b

a

g jest zbieżna, co przeczy

drugiej cz

,

e´

sci założenia.

´

Cwiczenie

1.3. Zbada´

c zbieżno´

s´

c całki

R

∞

3

dx

√

x(x

−1)(x−2)

.

Można udowodni´

c także wersj

,

e graniczn

,

a twierdzenia 1.1 (polecamy to

czytelnikowi jako ´

cwiczenie). S

,

a jednak pewne r´

ożnice w por´

ownaniu z teo-

ri

,

a szereg´

ow: nast

,

epuj

,

ace ´

cwiczenie pokazuje, że zbieżno´

s´

c całki

R

∞

a

f nie

implikuje lim

x

→∞

f (x) = 0.

´

Cwiczenie

1.4. Wykaza´

c, że całka

R

∞

0

sin(x

2

)dx

jest zbieżna.

(W

całce

R

t

1

sin(x

2

)dx, t > 1 podstawi´

c x

2

= s, a nast

,

epnie posłuży´

c si

,

e me-

tod

,

a zastosowan

,

a w przykładzie 1.2). Zauważy´

c, że lim

x

→∞

sin(x

2

) = 0 nie

zachodzi.

Twierdzenie

1.3 (kryterium całkowe Cauchy’ego-Maclaurina). Zał´

ożmy,

że funkcja f : [1,

∞) → (0, ∞) jest nierosn

,

aca. Niech a

n

= f (n) dla n

∈ N.

W´

owczas:

1

◦

szereg

P

∞

n=1

a

n

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka I =

R

∞

1

f

jest zbieżna,

3

2

◦

ci

,

ag (s

n

− I

n

)

∞

n=1

, gdzie s

n

=

P

n
i=1

a

i

, I

n

=

R

n

1

f dla n

∈ N, jest

zbieżny do granicy a

∈ [0, a

1

].

Dowód. Niech F (x) =

R

x

1

f dla x

­ 1. Ponieważ f(t) > 0 dla t ­ 1,

wi

,

ec funkcja F jest niemalej

,

aca. St

,

ad lim

x

→∞

F (x) = sup

x

­1

F (x) (por. tw.

2.1, rozdz.IV). Ale sup

x

­1

F (x) = sup

n

∈N

F (n) = lim

n

→∞

I

n

. Wobec tego

zbieżno´

s´

c całki I jest r´

ownoważna ze zbieżno´

sci

,

a ci

,

agu (I

n

)

∞

n=1

.

Z monotoniczno´

sci funkcji f wynika, że a

k

= f (k)

¬ f(x) dla x ∈

[k

− 1, k], k ∈ N\{1} oraz f(x) ¬ f(k) = a

k

dla x

∈ [k, k + 1], k ∈ N. Zatem

a

k

¬

Z

k

k

−1

f

dla

k

∈ N\{1},

(1.1)

Z

k+1

k

f

¬ a

k

dla

k

∈ N.

(1.2)

Dodaj

,

ac te nier´

owno´

sci stronami, otrzymujemy

n

X

k=2

a

k

z (1.1)

¬

n

X

k=2

Z

k

k

−1

f =

Z

n

1

f =

n

−1

X

k=1

Z

k+1

k

f

z (1.2)

¬

n

−1

X

k=1

a

k

dla n

­ 2.

St

,

ad

s

n

− a

1

¬ I

n

¬ s

n

−1

dla

n

­ 2.

(1.3)

Oba ci

,

agi (s

n

) i (I

n

) s

,

a niemalej

,

ace (bo f > 0). Aby uzyska´

c ich zbieżno´

s´

c,

wystarczy wykaza´

c ich ograniczono´

s´

c (por. tw. 2.1, rozdz.III).

Dow´

od 1

◦

. Je´

sli szereg

P

a

n

jest zbieżny, to ci

,

ag (s

n

) jest ograniczony,

wi

,

ec z (1.3) wynika ograniczono´

s´

c ci

,

agu (I

n

). St

,

ad mamy zbieżno´

s´

c ci

,

agu

(I

n

), kt´

ora implikuje zbieżno´

s´

c całki I.

Odwrotnie, je´

sli całka I jest zbieżna, to ci

,

ag (I

n

) jest zbieżny, a wi

,

ec

ograniczony. Z (1.3) mamy

I

n+1

¬ s

n

¬ I

n

+ a

1

dla

n = 2, 3, ....

St

,

ad wynika ograniczono´

s´

c ci

,

agu (s

n

), a wi

,

ec też zbieżno´

s´

c szeregu

P

a

n

.

Dow´

od 2

◦

.

Ci

,

ag (s

n

− I

n

)

∞

n=1

jest nierosn

,

acy, bo dla n

­ 2 mamy

(s

n

− I

n

)

− (s

n

−1

− I

n

−1

) = (s

n

− s

n

−1

)

− (I

n

− I

n

−1

)

= a

n

−

Z

n

n

−1

f

¬ 0

na mocy

(1.1).

Ponadto ci

,

ag (s

n

− I

n

)

∞

n=1

jest ograniczony, bo z (1.3) wynika, że dla n

­ 2

mamy

s

n

− I

n

¬ a

1

(1.4)

s

n

− I

n

= s

n

−1

+ a

n

− I

n

­ a

n

­ 0,

(1.5)

oraz s

1

− I

1

= a

1

. Zatem na mocy wn. 2.1, rozdz.III, istnieje sko´

nczona

granica a = lim

n

→∞

(s

n

− I

n

), kt´

ora należy do przedziału [0, a

1

] – w my´

sl

(1.4) i (1.5).

Przykład

1.3.

(1) Ze zbieżno´

sci lub rozbieżno´

sci całek postaci

R

∞

1

dx/x

α

(α > 0) (por. przykład 1.1(1)) i twierdzenia 1.2 wynika zbieżno´

s´

c lub

rozbieżno´

s´

c odpowiednich szereg´

ow

P

1

n

α

(por. wn. 7.1, rozdz.III).

4

(2) Niech f (x) =

1
x

dla x

­ 1. Z twierdzenia 1.2,2

◦

wynika, że istnieje

sko´

nczona granica

lim

n

→∞

(1 +

1

2

+ . . . +

1

n

−

Z

n

1

dx

x

) = lim

n

→∞

(1 +

1

2

+ . . . +

1

n

− ln n),

i należy ona do [0, 1]. Nazywamy j

,

a stał

,

a Eulera i oznaczamy przez

γ. Jak dot

,

ad nie wiadomo, czy γ jest liczb

,

a wymiern

,

a. Mamy γ =

0, 577215....

2. Całka Riemanna funkcji wektorowej

Definicja

2.1. Niech f : [a, b]

→ R

k

, f =

hf

1

, . . . , f

k

i. M´owimy, że

funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b] (co zapisujemy f

∈ R

na [a, b]), gdy funkcje f

1

, . . . , f

k

s

,

a całkowalne w sensie Riemanna na [a, b].

Ponadto definiujemy

Z

b

a

f =

h

Z

b

a

f

1

, . . . ,

Z

b

a

f

k

i.

Zatem całka

R

b

a

f jest elementem przestrzeni R

k

.

´

Cwiczenie

2.1. Niech f, F : [a, b]

→ R

k

. Wykaza´

c, że je´

sli f

∈ R na

[a, b] oraz F

0

(x) = f (x) dla x

∈ [a, b], to

R

b

a

f = F (b)

− F (a).

Twierdzenie

2.1. Niech f : [a, b]

→ R

k

. Je´

sli f

∈ R na [a, b], to funkcja

x

7→ kf(x)k jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b] oraz

k

Z

b

a

f (x)dx

k ¬

Z

b

a

kf(x)kdx.

(2.1)

Dowód. Niech f =

hf

1

, . . . , f

k

i. Skoro f ∈ R na [a, b], to f

1

, . . . , f

k

∈ R

na [a, b]. Zatem funkcja dana wzorem

kf(x)k =

v
u
u
t

k

X

i=1

f

2

i

(x),

x

∈ [a, b],

jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b] na mocy twierdze´

n 5.1, 5.3, 3.3,

rozdz.IX. Dla dowodu nier´

owno´

sci (2.1) oznaczmy y

i

=

R

b

a

f

i

dla i = 1, . . . , k

oraz y =

hy

1

, . . . , y

k

i. Wtedy y =

R

b

a

f na mocy def. 2.1. Je´

sli

kyk = 0, to

wz´

or (2.1) jest oczywisty. Niech wi

,

ec

kyk 6= 0. Wtedy (por. rozdz.VII,3)

(2.2)

kyk

2

=

k

X

i=1

y

2

i

=

k

X

i=1

y

i

Z

b

a

f

i

(x)dx

!

=

Z

b

a

k

X

i=1

y

i

f

i

(x)

!

dx

=

Z

b

a

(y

 f(x))dx ¬

Z

b

a

kykkf(x)kdx = kyk

Z

b

a

kf(x)kdx.

Dziel

,

ac skrajne wyrażenia w (2.2) przez

kyk, otrzymujemy nier´owno´s´c (2.1).

Uwaga

2.1. Całk

,

e Riemanna funkcji wektorowej na [a, b] można zdefi-

niowa´

c jako granic

,

e odpowiednich sum całkowych (por. tw. 4.1, rozdz.IX), a

wi

,

ec bez odwoływania si

,

e do całek funkcji składowych. (Można pokaza´

c, że

obie definicje s

,

a r´

ownoważne.) T

,

e ide

,

e można uog´

olni´

c dalej – na przypadek,

gdy f : [a, b]

→ Y oraz Y jest przestrzeni

,

a Banacha.

5

3. Długo´

s´

c krzywej w R

k

Jest wiele zastosowa´

n geometrycznych i fizycznych całki oznaczonej.

Om´

owimy zastosowanie całki do obliczania długo´

sci krzywych w R

k

.

Definicja

3.1. Ci

,

agł

,

a funkcj

,

e γ : [a, b]

→ R

k

nazywamy krzyw

,

a w R

k

.

Zbi´

or (obraz) γ[ [a, b] ] nazywamy obrazem krzywej γ. Je´

sli dodatkowo funk-

cja γ jest iniekcj

,

a, to m´

owimy, że krzywa γ jest łukiem. Krzywa γ nazywa

si

,

e zamkni

,

eta, gdy γ(a) = γ(b).

Przykład

3.1.

(1) Niech x, y

∈ R

k

, x

6= y. Obrazem krzywej γ :

[0, 1]

→ R

k

danej wzorem

γ(t) = tx + (1

− t)y,

t

∈ [0, 1],

jest odcinek w R

k

o ko´

ncach x, y. Krzywa ta jest łukiem.

(2) Obrazem krzywej zamkni

,

etej γ : [0, 2π]

→ R

2

danej wzorem γ(t) =

hr cos t, r sin ti, t ∈ [0, 2π] (r > 0), jest okr

,

ag o ´

srodku

h0, 0i i promie-

niu r.

(3) Obrazami łuk´

ow

γ

1

: [0, π]

→ R

2

,

γ

1

(t) =

hcos t, sin ti,

t

∈ [0, π],

γ

2

: [

−1, 1] → R

2

,

γ

2

(t) =

ht,

p

1

− t

2

i,

t

∈ [−1, 1],

jest ten sam p´

ołokr

,

ag.

Definicja

3.2. Niech dana b

,

edzie krzywa γ : [a, b]

→ R

k

.

(a) Je´

sli P =

{x

0

, . . . , x

n

} jest podziałem przedziału [a, b], to łamana

(suma odcink´

ow) ł

,

acz

,

aca punkty γ(x

0

), γ(x

1

), . . . , γ(x

n

) nazywa si

,

e

łaman

,

a wpisan

,

a w krzyw

,

a γ, odpowiadaj

,

ac

,

a podziałowi P. Długo´

s´

c

takiej łamanej jest r´

owna

P

n
i=1

kγ(x

i

)

− γ(x

i

−1

)

k.

(b) Niech

L(γ) = sup

(

n

X

i=1

kγ(x

i

)

− γ(x

i

−1

)

k : n ∈ N, a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= b

)

.

(3.1)

Je´

sli L(γ) < +

∞, to m´owimy, że krzywa γ jest prostowalna i liczb

,

e

L(γ) nazywamy długo´

sci

,

a krzywej γ. Z (a) i (3.1) wynika, że L(γ) jest

kresem g´

ornym długo´

sci łamanych wpisanych w krzyw

,

a γ.

´

Cwiczenie

3.1. Niech dana b

,

edzie krzywa γ : [a, b]

→ R

k

. Zał´

ożmy, że

ϕ : [c, d]

→ [a, b] jest ci

,

agł

,

a bijekcj

,

a i okre´

slmy krzyw

,

a γ

1

: [c, d]

→ R

k

wzorem γ

1

= γ

◦ ϕ. Wykaza´c, że γ jest prostowalna wtedy i tylko wtedy, gdy

γ

1

jest prostowalna i ponadto L(γ

1

) = L(γ).

Twierdzenie

3.1. Je´

sli funkcja γ : [a, b]

→ R

k

ma na [a, b] ci

,

agł

,

a po-

chodn

,

a γ

0

, to krzywa γ jest prostowalna oraz L(γ) =

R

b

a

kγ

0

(x)

kdx.

Dowód. Niech γ =

hγ

1

, . . . , γ

k

i. Zał´ożmy, że P = {x

0

, . . . , x

n

} jest

dowolnym podziałem przedziału [a, b]. Skoro funkcja γ

0

jest ci

,

agła na [a, b],

to pochodne γ

0

1

, . . . , γ

0

k

istniej

,

a i s

,

a ci

,

agłe na [a, b]. Na mocy tw. Riemanna

6

(tw.3.1, rozdz.IX) mamy γ

0

1

, . . . , γ

0

k

∈ R na [a, b] i w konsekwencji funkcja

x

7→ kγ

0

(x)

k jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b]. Ponadto

n

X

i=1

kγ(x

i

)

−γ(x

i

−1

)

k

z ´

cw. 2.1

=

n

X

i=1

k

Z

x

i

x

i

−1

γ

0

(x)dx

k

z tw. 2.1

¬

n

X

i=1

Z

x

i

x

i

−1

kγ

0

(x)

kdx

=

Z

b

a

kγ

0

(x)

kdx.

Zatem

R

b

a

kγ

0

(x)

kdx jest ograniczeniem g´ornym długo´sci łamanych wpisa-

nych w krzyw

,

a γ. Aby zako´

nczy´

c dow´

od, wystarczy pokaza´

c, że dla każdego

ε > 0 istnieje podziałP =

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b] taki, że

n

X

i=1

kγ(x

i

)

− γ(x

i

−1

)

k >

Z

b

a

kγ

0

(x)

kdx − ε.

(3.2)

Niech wi

,

ec ε > 0. Funkcja γ

0

jako ci

,

agła na [a, b] jest tam jednostajnie ci

,

agła

(tw. 3.2, rozdz.V), a wi

,

ec istnieje liczba δ > 0 taka, że

(

∀ s, t ∈ [a, b]) |s − t| < δ ⇒ kγ

0

(s)

− γ

0

(t)

k ¬ ε

∗

,

(3.3)

gdzie ε

∗

= ε/(2(b

− a)). Ustalmy podziałP = {x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b]

taki, że µ(P ) < δ. Na mocy twierdzenia o warto´

sci ´

sredniej dla całek (tw.

7.1, rozdz.IX) mamy

(

∀ i ∈ {1, . . . , n})(∃ c

i

∈ (x

i

−1

, x

i

))

Z

x

i

x

i

−1

kγ

0

(x)

kdx = kγ

0

(c

i

)

k∆x

i

,

(3.4)

gdzie ∆x

i

= x

i

− x

i

−1

. Ustalmy i

∈ {1, . . . , n}. Niech K

i

=

{x ∈ R

k

:

kx −

γ

0

(c

i

)

k ¬ ε

∗

}. Z (3.3) wynika, że γ

0

[ [x

i

−1

, x

i

] ]

⊂ K

i

. Na mocy wniosku 3.2,

rozdz.VII, mamy (γ(x

i

)

−γ(x

i

−1

))/∆x

i

∈ K

i

. Niech (γ(x

i

)

−γ(x

i

−1

))/∆x

i

=

z

i

. Wtedy (por. lemat 1.1, rozdz.VII)

| kz

i

k − kγ

0

(c

i

)

k | ¬ kz

i

− γ

0

(c

i

)

k ¬ ε

∗

.

(3.5)

Zatem

Z

b

a

kγ

0

(x)

kdx−

n

X

i=1

kγ(x

i

)

−γ(x

i

−1

)

k =

n

X

i=1

Z

x

i

x

i

−1

kγ

0

(x)

kdx−

n

X

i=1

kγ(x

i

)

−γ(x

i

−1

)

k

=

n

X

i=1

Z

x

i

x

i

−1

kγ

0

(x)

kdx − kγ(x

i

)

− γ(x

i

−1

)

k

!

z (3.4)

=

n

X

i=1

kγ

0

(c

i

)

k∆x

i

− kz

i

∆x

i

k

=

n

X

i=1

kγ

0

(c

i

)

k − kz

i

k

∆x

i

z (3.5)

¬

n

X

i=1

ε

∗

∆x

i

= ε

∗

(b

− a) =

ε

2

< ε,

co daje (3.2).

Wniosek

3.1. Zał´

ożmy, że funkcja f : [a, b]

→ R

k

, f =

hf

1

, . . . , f

k

i, ma

ci

,

agł

,

a pochodn

,

a na [a, b]. W´

owczas krzywa γ : [a, b]

→ R

k+1

dana wzorem

γ(t) =

ht, f

1

(t), . . . , f

k

(t)

i, t ∈ [a, b], jest prostowalna oraz

L(γ) =

Z

b

a

v
u
u
t

1 +

k

X

i=1

(f

0

i

(t))

2

dt.

7

Dowód. Z założenia wynika, że funkcja γ ma ci

,

agł

,

a pochodn

,

a [a, b]. Po-

tem wystarczy zastosowa´

c wz´

or z tezy twierdzenia 3.1.

Przykład

3.2.

(1) Długo´

s´

c okr

,

egu γ : [0, 2π]

→ R

2

, γ(t) =

hr cos t, r sin ti,

t

∈ [0, 2π], liczymy na podstawie twierdzenia 3.1. Dla t ∈ [0, 2π] mamy

γ

0

(t) =

h−r sin t, r cos ti. St

,

ad

L(γ) =

Z

2π

0

kγ

0

(t)

kdt =

Z

2π

0

q

r

2

sin

2

t + r

2

cos

2

t =

Z

2π

0

r = 2πr.

(2) Długo´

s´

c cz

,

e´

sci paraboli y = x

2

, x

∈ [0, 1], liczymy według wniosku

3.1. Niech γ(x) =

hx, x

2

i, x ∈ [0, 1] i wtedy

L(γ) =

Z

1

0

q

1 + (2x)

2

dx =

Z

1

0

p

1 + 4x

2

dx =



t

= 2x

dt

= 2dx



=

1

2

Z

2

0

p

1 + t

2

dt =

1

2



1

2

t

p

t

2

+ 1 +

1

2

ln

|t +

p

t

2

+ 1

|



2

0

=

1

2

√

5 +

1

4

ln(2 +

√

5).

8