Całka oznaczona Riemanna

1. Definicja Darboux całki Riemanna

Definicja

1.1.

Niech b

,

edzie dany przedział[a, b]. Rozważmy punkty

x

0

, x

1

, . . . , x

n

∈ [a, b] takie, że

a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= b.

(1.1)

Dziel

,

a one przedział[a, b] na podprzedziały [x

i

−1

, x

i

]; i = 1, . . . , n. Sko´

nczony

zbi´

or P =

{x

0

, . . . , x

n

} punkt´ow spełniaj

,

acych warunek (1.1) nazywamy

podziałem przedziału [a, b]. B

,

edziemy oznacza´

c

∆x

i

= x

i

− x

i

−1

dla

i = 1, . . . , n.

Oczywi´

scie

P

n
i=1

∆x

i

= b

− a. Liczb

,

e µ(P ) = max

{∆x

i

: i = 1, . . . , n

}

nazywamy ´

srednic

,

a podziału P. M´

owimy, że podziałP

∗

jest zag

,

eszczeniem

podziału P, gdy P

∗

⊃ P.

Definicja

1.2. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a i niech

P =

{x

0

, . . . , x

n

} b

,

edzie podziałem przedziału [a, b]. Dla i = 1, . . . , n

oznaczmy

m

i

(f ) = inf

{f(x) : x ∈ [x

i

−1

, x

i

]

},

M

i

(f ) = sup

{f(x) : x ∈ [x

i

−1

, x

i

]

}.

(Zatem m

i

(f ) i M

i

(f ) s

,

a odpowiednimi kresami dolnym i g´

ornym obrazu

przedziału [x

i

−1

, x

i

] przez funkcj

,

e f. Zamiast inf

{f(x) : x ∈ [x

i

−1

, x

i

]

} pi-

szemy też inf

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) i podobnie dla supremum.) Liczby

L(f, P ) =

n

X

i=1

m

i

(f )∆x

i

oraz

U (f, P ) =

n

X

i=1

M

i

(f )∆x

i

nazywamy odpowiednio sum

,

a doln

,

a oraz sum

,

a g´

orn

,

a funkcji f odpowiada-

j

,

ac

,

a podziałowi P. Je´

sli funkcja jest ustalona, to piszemy m

i

, M

i

, L(P ), U (P )

zamiast m

i

(f ), M

i

(f ), L(f, P ), U (f, P ).

W teorii całki Riemanna cz

,

esto przydaje si

,

e nast

,

epuj

,

acy lemat (por.

´

cw. ??(b), rozdz. I):

Lemat

1.1. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a. Je´

sli [s, t]

⊂

[u, v]

⊂ [a, b], to

inf

x

∈[s,t]

f (x)

­ inf

x

∈[u,v]

f (x)

oraz

sup

x

∈[s,t]

f (x)

¬ sup

x

∈[u,v]

f (x).

Twierdzenie

1.1. Je´

sli

−∞ < m ¬ f(x) ¬ M < +∞ dla każdego

x

∈ [a, b] oraz P = {x

0

, . . . , x

n

} jest podziałem przedziału [a, b], to

m(b

− a) ¬ L(P ) ¬ U(P ) ¬ M(b − a).

1

Dowód. Z lematu 1.1 wynika, że m

¬ m

i

¬ M

i

¬ M dla i = 1, . . . , n.

St

,

ad

m∆x

i

¬ m

i

∆x

i

¬ M

i

∆x

i

¬ M∆x

i

(i = 1, . . . , n).

Sumuj

,

ac te nier´

owno´

sci stronami, dostajemy

m

n

X

i=1

∆x

i

¬

n

X

i=1

m

i

∆x

i

¬

n

X

i=1

M

i

∆x

i

¬ M

n

X

i=1

∆x

i

,

co daje tez

,

e.

Twierdzenie

1.2. Je´

sli f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a ograniczon

,

a oraz P

∗

jest zag

,

eszczeniem podziału P =

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b], to L(P ) ¬

L(P

∗

) oraz U (P

∗

)

¬ U(P ).

Dowód. Wykażemy pierwsz

,

a nier´

owno´

s´

c (drugiej dowodzi si

,

e analogicz-

nie). Zał´

ożmy na pocz

,

atek, że P

∗

= P

∪ {x

∗

}, gdzie

a = x

0

< . . . < x

j

−1

< x

∗

< x

j

< . . . < b.

Z lematu 1.1 wynika, że

inf

x

∈[x

j

−1

,x

∗

]

f (x)

­

inf

x

∈[x

j

−1

,x

j

]

f (x) = m

j

,

inf

x

∈[x

∗

,x

j

]

f (x)

­

inf

x

∈[x

j

−1

,x

j

]

f (x) = m

j

.

St

,

ad otrzymujemy

L(P

∗

)

− L(P ) =

j

−1

X

i=1

m

i

∆x

i

+

inf

x

∈[x

j

−1

,x

∗

]

f (x)(x

∗

− x

j

−1

)

+

inf

x

∈[x

∗

,x

j

]

f (x)(x

j

− x

∗

) +

n

X

i=j+1

m

i

∆x

i

−

n

X

i=1

m

i

∆x

i

=

inf

x

∈[x

j

−1

,x

∗

]

f (x)(x

∗

− x

j

−1

) +

inf

x

∈[x

∗

,x

j

]

f (x)(x

j

− x

∗

)

− m

j

∆x

j

­ m

j

(x

∗

− x

j

−1

) + m

j

(x

j

− x

∗

)

− m

j

∆x

j

= 0.

Dalszy dow´

od polega na zastosowaniu indukcji wzgl

,

edem liczby ”nowych”

punkt´

ow podziału P

∗

.

Definicja

1.3. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a.

Liczby

Z

b

a

f = sup

{L(P ) : P − podziałprzedziału [a, b]},

Z

b

a

f = inf

{U(P ) : P − podziałprzedziału [a, b]}

nazywamy odpowiednio całk

,

a doln

,

a i g´

orn

,

a Darboux funkcji f. (Na mocy

twierdzenia 1.1 rozważane tu kresy s

,

a sko´

nczone.)

´

Cwiczenie

1.1. Niech x

0

∈ [a, b] i zał´ożmy, że f i g s

,

a ograniczonymi

funkcjami rzeczywistymi na [a, b] takimi, że f (x) = g(x) dla każdego x

∈

[a, b]

\ {x

0

}. Wykaza´c, że

R

b

a

f =

R

b

a

g oraz

R

b

a

f =

R

b

a

g.

2

Twierdzenie

1.3. Je´

sli

−∞ < m ¬ f(x) ¬ M < +∞ dla każdego

x

∈ [a, b], to

m(b

− a) ¬

Z

b

a

f

¬

Z

b

a

f

¬ M(b − a).

Dowód. Niech P

1

, P

2

b

,

ed

,

a dowolnymi podziałami przedziału [a, b] i niech

P

∗

= P

1

∪ P

2

(jest to wsp´

olne zag

,

eszczenie podział´

ow P

1

i P

2

). Z twier-

dze´

n 1.1 i 1.2 wynika, że

m(b

− a) ¬ L(P

1

)

¬ L(P

∗

)

¬ U(P

∗

)

¬ U(P

2

)

¬ M(b − a).

Z dowolno´

sci P

2

i definicji

R

b

a

f mamy

m(b

− a) ¬ L(P

1

)

¬

Z

b

a

f

¬ M(b − a).

Z dowolno´

sci P

1

i definicji

R

b

a

f mamy za´

s

m(b

− a) ¬

Z

b

a

f

¬

Z

b

a

f

¬ M(b − a).

Definicja

1.4. Je´

sli dla funkcji ograniczonej f : [a, b]

→ R zachodzi

r´

owno´

s´

c

Z

b

a

f =

Z

b

a

f,

to wsp´

oln

,

a warto´

s´

c całek Darboux nazywamy całk

,

a oznaczon

,

a Riemanna

funkcji f na [a, b] i oznaczamy przez

R

b

a

f, oraz m´

owimy, że f jest całkowalna

na [a, b] w sensie Riemanna. Zapisujemy f

∈ R na [a, b].

Definicja ta pochodzi od Darboux. Oryginaln

,

a definicj

,

e pochodz

,

ac

,

a od

Riemanna poznamy w paragrafie 4.

Z twierdzenia 1.3 i definicji 1.4 wynika

Wniosek

1.1. Je´

sli

−∞ < m ¬ f(x) ¬ M < +∞ dla każdego x ∈ [a, b]

oraz f

∈ R na [a, b], to

m(b

− a) ¬

Z

b

a

f

¬ M(b − a).

W szczeg´

olno´

sci je´

sli

|f(x)| ¬ M dla każdego x ∈ [a, b], to |

R

b

a

f

| ¬ M(b−a).

Twierdzenie

1.4. Funkcja ograniczona f : [a, b]

→ R jest całkowalna w

sensie Riemanna na [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby ε > 0
istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że U (P )

− L(P ) < ε.

Dowód. ”

⇒ ” Niech ε > 0. Z definicji całki g´ornej i dolnej wynika, że

istniej

,

a podziały P

1

, P

2

przedziału [a, b] takie, że

U (P

1

) <

Z

b

a

f +

ε

2

(1.2)

Z

b

a

f

−

ε

2

< L(P

2

).

(1.3)

3

Niech P = P

1

∪ P

2

. Korzystaj

,

ac z twierdzenia 1.2, mamy

U (P )

¬ U(P

1

)

z (1.2)

<

Z

b

a

f +

ε

2

z (1.3)

<

L(P

2

) + ε

¬ L(P ) + ε.

St

,

ad teza.

”

⇐ ” Niech ε > 0. Dobierzmy podziałP tak, aby U(P ) − L(P ) < ε. Na

mocy tw. 1.3 mamy

L(P )

¬

Z

b

a

f

¬

Z

b

a

f

¬ U(P ),

a zatem

0

¬

Z

b

a

f

−

Z

b

a

f

¬ U(P ) − L(P ) < ε.

St

,

ad i z dowolno´

sci ε wynika, że

R

b

a

f =

R

b

a

f.

Wniosek

1.2. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a.

(a) Je´

sli f

∈ R na [a, b] oraz a ¬ c < d ¬ b, to f ∈ R na [c, d].

(b) Je´

sli a < c < b oraz f

∈ R na [a, c] i f ∈ R na [c, b], to f ∈ R na [a, b].

Dowód.

(a) Niech ε > 0. Z założenia i twierdzenia 1.4 wynika, że ist-

nieje

podział

P

=

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b] taki, że

U (P )

− L(P ) < ε. Na mocy twierdzenia 1.2, je´sli doł

,

aczymy do P

punkty c i d, to nier´

owno´

s´

c U (P )

− L(P ) < ε pozostanie prawdziwa.

Niech wi

,

ec np. c = x

k

oraz d = x

l

. Zbi´

or P

∗

=

{x

k

, . . . , x

l

} jest

podziałem przedziału [c, d] oraz

U (P

∗

)

−L(P

∗

) =

l

X

i=k+1

(M

i

−m

i

)∆x

i

¬

n

X

i=1

(M

i

−m

i

)∆x

i

= U (P )

−L(P ) < ε.

St

,

ad i z twierdzenia 1.4 wynika teza.

(b) Niech ε > 0. Z założenia i twierdzenia 1.4 wynika, że istniej

,

a podziały

P

1

i P

2

przedział´

ow [a, c] i [c, b] takie, że U (P

i

)

− L(P

i

) < ε/2 dla

i = 1, 2. Zauważmy, że P = P

1

∪ P

2

jest podziałem przedziału [a, b]

oraz

U (P )

− L(P ) = (U(P

1

) + U (P

2

))

− (L(P

1

) + L(P

2

)) <

ε

2

+

ε

2

= ε,

co w my´

sl twierdzenia 1.4 daje tez

,

e.

2. Interpretacja geometryczna. Miara Jordana

Niech A

⊂ R

2

b

,

edzie zbiorem ograniczonym i niech T = [a, b]

× [c, d]

b

,

edzie prostok

,

atem takim, że A

⊂ T. Rozważmy podziały P

1

=

{x

0

, . . . , x

n

}

oraz P

2

=

{y

0

, . . . , y

l

} odpowiednio przedział´ow [a, b] oraz [c, d]. Produkt

P = P

1

×P

2

b

,

edziemy nazywa´

c podziałem prostok

,

ata T. Podział P wyznacza

rodzin

,

e prostok

,

at´

ow T

ij

= [x

i

−1

, x

i

]

× [y

j

−1

, y

j

] (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , l)

zawartych w T ; b

,

edziemy m´

owi´

c, że T

ij

s

,

a prostok

,

atami podziału P. Dla

ustalonego podziału P prostok

,

ata T niech σ

∗

(A, P ) oznacza sum

,

e p´

ol tych

prostok

,

at´

ow podziału P, kt´

ore s

,

a zawarte w A, za´

s σ

∗

(A, P ) niech oznacza

sum

,

e p´

ol tych prostok

,

at´

ow podziału P, kt´

ore maj

,

a punkty wsp´

olne z A.

Oczywi´

scie σ

∗

(A, P )

¬ σ

∗

(A, P ).

4

Definicja

2.1. Niech A

⊂ R

2

b

,

edzie zbiorem ograniczonym i zał´

ożmy,

że A

⊂ T = [a, b] × [c, d]. Liczby

m

∗

(A) = sup

{σ

∗

(A, P ) : P

− podział prostok

,

ata T

}

oraz

m

∗

(A) = inf

{σ

∗

(A, P ) : P

− podział prostok

,

ata T

}

nazywamy odpowiednio wewn

,

etrzn

,

a oraz zewn

,

etrzn

,

a miar

,

a (dwuwymiaro-

w

,

a) Jordana zbioru A.

Dowodzi si

,

e (rozważaj

,

ac najmniejszy prostok

,

at [u, v]

×[w, z] zawieraj

,

acy

A), że liczby m

∗

(A) i m

∗

(A) nie zależ

,

a od wyboru prostok

,

ata T. Ponadto

zawsze m

∗

(A)

¬ m

∗

(A).

´

Cwiczenie

2.1. Niech A = (Q

∩[0, 1])×(Q∩[0, 1]). Wykaza´c, że m

∗

(A) =

0 < 1 = m

∗

(A).

Definicja

2.2. Je´

sli dla zbioru ograniczonego A

⊂ R

2

zachodzi r´

owno´

s´

c

m

∗

(A) = m

∗

(A), to m´

owimy, że zbi´

or A jest mierzalny w sensie Jordana,

za´

s wsp´

oln

,

a warto´

s´

c m

∗

(A) = m

∗

(A) nazywamy (dwuwymiarow

,

a) miar

,

a

Jordana zbioru A i oznaczamy przez m(A).

Dowodzi si

,

e, że miara Jordana dla wielok

,

ata jest tym samym, co jego

pole (w tradycyjnym rozumieniu).

W analogiczny spos´

ob jak dla zbior´

ow na płaszczy´

znie definiujemy miar

,

e

k-wymiarow

,

a Jordana zbioru ograniczonego A

⊂ R

k

, gdzie k

∈ N. (Stosuje-

my w´

owczas k-wymiarowe prostok

,

aty [a

1

, b

1

]

× . . . × [a

k

, b

k

].)

Zał´

ożmy teraz, że f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a nieujemn

,

a ograniczon

,

a.

Rozważmy zbi´

or ograniczony

E(f ) =

{hx, yi ∈ R

2

: x

∈ [a, b] ∧ 0 ¬ y ¬ f(x)}.

Je´

sli P =

{x

0

, . . . , x

n

} jest podziałem przedziału [a, b], to przy oznaczeniach

definicji 1.2 mamy

n

[

i=1

[x

i

−1

, x

i

]

× [0, m

i

(f )]

⊂ E(f) ⊂

n

[

i=1

[x

i

−1

, x

i

]

× [0, M

i

(f )]

(wykona´

c rysunek). Ponadto L(f, P ) jest sum

,

a p´

ol prostok

,

at´

ow [x

i

−1

, x

i

]

×

[0, m

i

(f )] (i = 1, . . . , n), za´

s U (f, P ) jest sum

,

a p´

ol prostok

,

at´

ow [x

i

−1

, x

i

]

×

[0, M

i

(f )] (i = 1, . . . , n). Przy zag

,

eszczaniu podziału P prostok

,

aty pierw-

szego typu ”coraz lepiej przybliżaj

,

a zbi´

or E(f ) od wewn

,

atrz”, za´

s prostok

,

aty

drugiego typu ”coraz lepiej przybliżaj

,

a zbi´

or E(f ) od zewn

,

atrz”.

Nast

,

epuj

,

ace twierdzenie daje interpretacj

,

e geometryczn

,

a całki Rieman-

na funkcji nieujemnej całkowalnej.

Twierdzenie

2.1. Dla dowolnej funkcji ograniczonej f : [a, b]

→ R nie-

ujemnej i całkowalnej w sensie Riemanna zbi´

or E(f ) jest mierzalny w sensie

Jordana oraz

m(E(f )) =

Z

b

a

f.

W dowodzie pokazuje si

,

e, że m

∗

(E(f )) =

R

b

a

f oraz m

∗

(E(f )) =

R

b

a

f

(szczeg´

oły pomijamy). St

,

ad już wynika teza.

5

3. Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna

Cho´

c całki dolna i g´

orna Darboux dla funkcji ograniczonej f : [a, b]

→ R

zawsze istniej

,

a, ich wyznaczenie może sprawia´

c trudno´

sci. Podamy dwa przy-

kłady, gdy można to zrobi´

c bez problemu.

Przykład

3.1. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a stał

,

a f (x) = c, x

∈

[a, b]. Łatwo sprawdzi´

c, że dla dowolnego podziału P przedziału [a, b] mamy

L(P ) = U (P ) = c(b

− a). St

,

ad

R

b

a

f =

R

b

a

f = c(b

− a). Zatem

R

b

a

f = c(b

− a).

´

Cwiczenie

3.1. Niech t

∈ [a, b] oraz f(x) = c dla każdego x ∈ [a, b]\{t},

za´

s f (t)

6= c. Wykaza´c, że

R

b

a

f = c(b

− a).

Przykład

3.2. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a Dirichleta (f (x) = 1

dla x

∈ [a, b] ∩ Q oraz f(x) = 0 dla x ∈ [a, b] \ Q; por. przykład ??(e),

rozdz. IV). Zauważmy, że dla dowolnego podziału P przedziału [a, b] mamy
L(P ) = 0 oraz U (P ) = 1 (gdyż odpowiednie kresy s

,

a r´

owne m

i

= 0, M

i

= 1).

St

,

ad

R

b

a

f = 0 < b

− a =

R

b

a

f. Zatem funkcja f nie jest całkowalna w sensie

Riemanna.

Stosuj

,

ac twierdzenie 1.4, pokażemy, że wszystkie funkcje ci

,

agłe oraz

wszystkie funkcje monotoniczne na danym przedziale [a, b] s

,

a całkowalne

w sensie Riemanna.

Twierdzenie

3.1 (Riemanna). Każda funkcja ci

,

agła f : [a, b]

→ R jest

całkowalna w sensie Riemanna.

Dowód. Niech ε > 0. Funkcja f jako ci

,

agła na zbiorze zwartym [a, b] jest

jednostajnie ci

,

agła (por. tw. ??, rozdz. V). Zatem istnieje liczba δ > 0 taka,

że

(

∀ s, t ∈ [a, b])



|s − t| < δ ⇒ |f(s) − f(t)| <

ε

b

− a



.

(3.1)

Niech P

=

{x

0

, . . . , x

n

} b

,

edzie takim podziałem przedziału [a, b], że

µ(P ) < δ. Ponieważ funkcja ci

,

agła na zbiorze zwartym osi

,

aga swoje kre-

sy (por. wn. ??, rozdz. V), wi

,

ec

m

i

=

inf

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) = f (t

i

)

oraz

M

i

=

sup

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) = f (s

i

)

dla pewnych punkt´

ow s

i

, t

i

∈ [x

i

−1

, x

i

]; i = 1, 2, . . . , n. Zatem

U (P )

−L(P ) =

n

X

i=1

(f (s

i

)

−f(t

i

))∆x

i

z(3.1)

<

ε

b

− a

n

X

i=1

∆x

i

=

ε

b

− a

(b

−a) = ε.

St

,

ad i z twierdzenia 1.4 wynika teza.

Twierdzenie

3.2. Dowolna funkcja monotoniczna f : [a, b]

→ R jest

całkowalna w sensie Riemanna.

Dowód. Zał´

ożmy, że funkcja f jest niemalej

,

aca (dla funkcji nierosn

,

acej

dow´

od byłby podobny). Niech ε > 0. Rozważmy podziałP =

{x

0

, . . . , x

n

}

przedziału

[a, b]

na

podprzedziały

r´

ownej

długo´

sci,

przy

czym

6

∆x

i

= (b

− a)/n dla i = 1, 2, . . . , n oraz liczba n ∈ N jest tak dobrana,

że (f (b)

− f(a))(b − a)/n < ε. Mamy

m

i

=

inf

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) = f (x

i

−1

)

oraz

M

i

=

sup

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) = f (x

i

)

dla i = 1, 2, . . . , n. St

,

ad

U (P )

− L(P ) =

n

X

i=1

(M

i

− m

i

)∆x

i

=

b

− a

n

n

X

i=1

(f (x

i

)

− f(x

i

−1

))

=

b

− a

n

(f (b)

− f(a)) < ε.

St

,

ad i z twierdzenia 1.4 wynika teza.

Twierdzenie

3.3. Niech f : [a, b]

→ R oraz f ∈ R na [a, b] i niech

−∞ < m ¬ f(x) ¬ M < +∞ dla każdego x ∈ [a, b]. Je´sli funkcja
ϕ : [m, M ]

→ R jest ci

,

agła, to h = ϕ

◦ f ∈ R na [a, b].

Dowód. Niech ε > 0. Funkcja ϕ jako ci

,

agła na zbiorze zwartym [m, M ]

jest ograniczona i jednostajnie ci

,

agła. Zatem K = sup

x

∈[m,M]

|ϕ(x)| < +∞

oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że

(

∀ s, t ∈ [m, M]) |s − t| < δ ⇒ |ϕ(s) − ϕ(t)| <

ε

2(b

− a)

.

(3.2)

Możemy przy tym założy´

c, że δ < ε/(4(K + 1)). Ponieważ f

∈ R na [a, b],

wi

,

ec na mocy twierdzenia 1.4 istnieje podziałP =

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału

[a, b] taki, że

U (f, P )

− L(f, P ) < δ

2

.

(3.3)

Niech m

i

(f ), M

i

(f ), m

i

(h), M

i

(h) dla i = 1, . . . , n maj

,

a znaczenie zgodne z

definicj

,

a 1.2. Oznaczmy

A =

{i ∈ {1, . . . , n} : M

i

(f )

− m

i

(f ) < δ

},

B =

{i ∈ {1, . . . , n} : M

i

(f )

− m

i

(f )

­ δ}.

Je´

sli i

∈ A, to dla dowolnych punkt´ow w, z ∈ [x

i

−1

, x

i

] mamy

|f(w)−f(z)| ¬

M

i

(f )

− m

i

(f ) < δ, co na mocy (3.2) daje

|h(w) − h(z)| = |ϕ(f(w)) −

ϕ(f (z))

| < ε/(2(b − a)), sk

,

ad

M

i

(h)

− m

i

(h) =

sup

w,z

∈[x

i

−1

,x

i

]

|h(w) − h(z)| ¬

ε

2(b

− a)

.

(3.4)

Je´

sli i

∈ B, to dla dowolnych punkt´ow w, z ∈ [x

i

−1

, x

i

] mamy

|h(w)−h(z)| =

|ϕ(f(w)) − ϕ(f(z))| ¬ |ϕ(f(w))| + |ϕ(f(z))| ¬ 2K, sk

,

ad M

i

(h)

− m

i

(h) =

sup

w,z

∈[x

i

−1

,x

i

]

|h(w) − h(z)| ¬ 2K. Ponadto

δ

X

i

∈B

∆x

i

=

X

i

∈B

δ∆x

i

¬

X

i

∈B

(M

i

(f )

− m

i

(f ))∆x

i

¬ U(f, P ) − L(f, P ) < δ

2

i w konsekwencji

X

i

∈B

∆x

i

< δ.

(3.5)

7

Mamy teraz

U (h, P )

− L(h, P ) =

n

X

i=1

(M

i

(h)

− m

i

(h))∆x

i

=

X

i

∈A

(M

i

(h)

− m

i

(h))∆x

i

+

X

i

∈B

(M

i

(h)

− m

i

(h))∆x

i

z(3.4)

¬

ε

2(b

− a)

X

i

∈A

∆x

i

+ 2K

X

i

∈B

∆x

i

¬

ε

2(b

− a)

(b

− a) + 2Kδ <

ε

2

+ 2K

ε

4(K + 1)

< ε.

Zatem na mocy twierdzenia 1.4 mamy h

∈ R na [a, b].

4. Całka jako granica sum całkowych

Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a.

Definicja

4.1. Dla dowolnego podziału P =

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału

[a, b] wybierzmy dowolnie punkty

t

i

∈ [x

i

−1

, x

i

]

dla

i = 1, . . . , n,

(4.1)

kt´

ore nazywa´

c b

,

edziemy punktami po´

srednimi podziału P. Suma postaci

S(f, P,

{t

i

}

i

¬n

) =

n

X

i=1

f (t

i

)∆x

i

nazywa si

,

e sum

,

a całkow

,

a Riemanna funkcji f odpowiadaj

,

ac

,

a podziałowi

P i układowi

{t

i

}

i

¬n

punkt´

ow po´

srednich podziału P. Je´

sli funkcja f jest

ustalona, to indeks f w zapisie S(f, P,

{t

i

}

i

¬n

) b

,

edziemy cz

,

esto pomija´

c.

Zauważmy, że

L(P )

¬ S(P, {t

i

}) ¬ U(P ),

bo m

i

¬ f(t

i

)

¬ M

i

dla i = 1, . . . , n.

´

Cwiczenie

4.1. Wykaza´

c, że dla ustalonego podziału P mamy

L(P ) = inf

{t

i

}

S(P,

{t

i

}) oraz U(P ) = sup

{t

i

}

S(P,

{t

i

}),

gdzie

{t

i

} s

,

a dowolnymi układami punkt´

ow po´

srednich podziału P.

Definicja

4.2. M´

owimy, że sumy całkowe S(P,

{t

i

}) funkcji f d

,

aż

,

a do

liczby A

∈ R przy µ(P ) → 0 (co zapisujemy lim

µ(P )

→0

S(P,

{t

i

}) = A),

gdy dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że dla dowolnego
podziału P =

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b] i dla dowolnego układu {t

i

}

i

¬n

punkt´

ow po´

srednich podziału P, je´

sli µ(P ) < δ, to

|S(P, {t

i

}) − A| < ε.

Twierdzenie

4.1 (o zbieżno´

sci sum całkowych). Niech funkcja f : [a, b]

→ R b

,

edzie ograniczona. Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na

[a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim

µ(P )

→0

S(P,

{t

i

}). Ponadto

je´

sli f

∈ R na [a, b], to granica ta jest r´owna

R

b

a

f.

8

Dowód. ”

⇒ ” Niech ε > 0. Skoro f ∈ R na [a, b], to na mocy twierdzenia

1.4 istnieje podziałP

∗

=

{x

0

, . . . , x

n

} przedziału [a, b] taki, że

U (P

∗

)

− L(P

∗

) <

ε

2

.

(4.2)

Oznaczmy m

∗

i

= inf

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x), M

∗

i

= sup

x

∈[x

i

−1

,x

i

]

f (x) dla i = 1, . . . , n.

Ponadto niech M = sup

x

∈[a,b]

|f(x)| i δ = ε/(4(M + 1)n). Rozważmy dowol-

ny podziałP =

{y

0

, . . . , y

k

} przedziału [a, b] taki, że µ(P ) < δ. Oznaczmy

m

i

= inf

x

∈[y

i

−1

,y

i

]

f (x), M

i

= sup

x

∈[y

i

−1

,y

i

]

f (x) dla i = 1, . . . , k. Zbi´

or

{1, . . . , k} podzielmy na dwa podzbiory:

A =

{i ∈ {1, . . . , k} : P

∗

∩ (y

i

−1

, y

i

) =

∅},

B =

{i ∈ {1, . . . , k} : P

∗

∩ (y

i

−1

, y

i

)

6= ∅}.

Dla każdego i

∈ A przedział[y

i

−1

, y

i

] zawiera si

,

e w dokładnie jednym prze-

dziale [x

j

−1

, x

j

], gdzie j

∈ {1, . . . , n}. Niech

J =

{j ∈ {1, . . . , n} : (∃ i ∈ A) [y

i

−1

, y

i

]

⊂ [x

j

−1

, x

j

]

}.

Dla każdego j

∈ J niech A(j) = {i ∈ A : [y

i

−1

, y

i

]

⊂ [x

j

−1

, x

j

]

}. Oczy-

wi´

scie A =

S

j

∈J

A(j) i składniki tej sumy s

,

a parami rozł

,

aczne. Z lematu

1.1 wnioskujemy, że M

i

¬ M

∗

j

dla i

∈ A(j), j ∈ J. St

,

ad

(4.3)

X

i

∈A

M

i

∆y

i

=

X

j

∈J

X

i

∈A(j)

M

i

∆y

i

¬

X

j

∈J





M

∗

j

X

i

∈A(j)

∆y

i





¬

X

j

∈J

M

∗

j

∆x

j

.

Zbi´

or B zawiera

¬ n − 1 element´ow, gdyż spo´sr´od punkt´ow podziału P

∗

jedynie x

1

, . . . , x

n

−1

mog

,

a należe´

c do przedział´

ow typu (y

i

−1

, y

i

). Zatem

(4.4)

X

i

∈B

M

i

∆y

i

¬

X

i

∈B

M ∆y

i

¬ (n − 1)Mδ =

n

− 1

n

M

M + 1

ε

4

<

ε

4

.

W konsekwencji na mocy (4.3) i (4.4) otrzymujemy

U (P ) =

X

i

∈A

M

i

∆y

i

+

X

i

∈B

M

i

∆y

i

<

X

j

∈J

M

∗

j

∆x

j

+

ε

4

.

(4.5)

Analogicznie dowodzimy, że

L(P ) >

X

j

∈J

m

∗

j

∆x

j

−

ε

4

.

(4.6)

Z (4.2), (4.5) i (4.6) wynika

(4.7)

U (P )

− L(P ) <

X

j

∈J

M

∗

j

∆x

j

−

X

j

∈J

m

∗

j

∆x

j

+

ε

2

¬ U(P

∗

)

− L(P

∗

) +

ε

2

<

ε

2

+

ε

2

= ε.

Ponieważ oczywi´

scie L(P )

¬

R

b

a

f

¬ U(P ) oraz L(P ) ¬ S(P, {t

i

}) ¬ U(P )

dla dowolnego układu

{t

i

} punkt´ow po´srednich podziału P, wi

,

ec

|S(P, {t

i

}) −

Z

b

a

f

| ¬ U(P ) − L(P )

z (4.7)

<

ε.

To oznacza, że lim

µ(P )

→0

S(P,

{t

i

}) =

R

b

a

f.

9

”

⇐ ” Niech ε > 0. Z założenia istnieje lim

µ(P )

→0

S(P,

{t

i

}) = A. Zatem

zgodnie z definicj

,

a 4.2 istnieje liczba δ > 0 taka, że

(

∀ P )(∀{t

i

}) µ(P ) < δ ⇒ |S(P, {t

i

}) − A| <

ε

3

.

(4.8)

Ustalmy podziałP przedziału [a, b] taki, że µ(P ) < δ. Na mocy (4.8) dla
dowolnego układu

{t

i

} punkt´ow po´srednich podziału P mamy

A

−

ε

3

< S(P,

{t

i

}) < A +

ε

3

.

(4.9)

Ponieważ L(P ) = inf

{t

i

}

S(P,

{t

i

}) oraz U(P ) = sup

{t

i

}

S(P,

{t

i

}) (por. ´cw.

4.1), wi

,

ec z (4.9) otrzymujemy

A

−

ε

3

¬ L(P ) ¬ U(P ) ¬ A +

ε

3

.

St

,

ad U (P )

− L(P ) ¬ 2ε/3 < ε i w konsekwencji (na mocy twierdzenia 1.4)

funkcja f jest całkowalna na [a, b].

Za pomoc

,

a twierdzenia 4.1 można sformułowa´

c, inn

,

a niż podana w paragra-

fie 1, r´

ownoważn

,

a definicj

,

e całki Riemanna funkcji ograniczonej f : [a, b]

→ R.

Tego rodzaju definicj

,

e wyrażon

,

a przez sumy całkowe przypisujemy Rieman-

nowi.

Zbieżno´

s´

c sum całkowych okre´

slona w definicji 4.2 może by´

c wyrażona

w jezyku ci

,

ag´

ow. Jest to analogia do r´

ownoważno´

sci poj

,

ecia granicy funkcji

w punkcie w sensie Cauchy’ego i Heinego. Szczeg´

oły dowodu pozostawiamy

czytelnikowi, proponuj

,

ac nast

,

epuj

,

ace ´

cwiczenie.

´

Cwiczenie

4.2. Niech f : [a, b]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ograniczon

,

a oraz

niech A

∈ R. Zbieżno´s´c lim

µ(P )

→0

S(P,

{t

i

}) = A zachodzi wtedy i tylko

wtedy, gdy dla dowolnego ci

,

agu (P

n

)

∞

n=1

podział´

ow P

n

=

{x

(n)
0

, . . . , x

(n)
k

n

}

przedziału [a, b] takiego, że lim

n

→∞

µ(P

n

) = 0 i dla dowolnego ci

,

agu (t

n

)

∞

n=1

układ´

ow t

n

=

{t

(n)
i

}

i

¬k

n

punkt´

ow po´

srednich podział´

ow P

n

zachodzi

lim

n

→∞

S(f, P

n

,

{t

(n)
i

}

i

¬k

n

) = A.

Uwaga

4.1. Ci

,

ag

(P

n

)

∞

n=1

podział´

ow

przedziału

[a, b]

taki,

że

lim

n

→∞

µ(P

n

) = 0 nazywamy niekiedy normalnym ci

,

agiem podział´

ow. Za-

ł´

ożmy, że dana jest funkcja f : [a, b]

→ R całkowalna w sensie Riemanna,

np. jest ona ci

,

agła lub monotoniczna na [a, b]. Możemy rozważa´

c wybrany

ci

,

ag normalny podział´

ow (P

n

) (np. P

n

jest podziałem przedziału [a, b] na

n podprzedział´

ow o r´

ownych dlugo´

sciach) i odpowiedni ci

,

ag punkt´

ow t

(n)
i

(mog

,

a to by´

c np. lewe lub prawe ko´

nce przedziałow). Na mocy tw. 4.1 i

´

cw. 4.1 zachodzi r´

owno´

s´

c lim

n

→∞

S(f, P

n

,

{t

(n)
i

}) =

R

b

a

f, kt´

ora może mie´

c

dwojakie zastosowanie. Pierwsze zastosowanie: można obliczy´

c warto´

s´

c całki

R

b

a

f, dobieraj

,

ac odpowiednie podziały P

n

i punkty t

(n)
i

. Drugie zastosowanie:

można obliczy´

c granic

,

e lim

n

→∞

a

n

ci

,

agu (a

n

), kt´

orego wyrazy maj

,

a posta´

c

sum całkowych, tzn. a

n

= S(f, P

n

,

{t

(n)
i

}) dla pewnych f, P

n

,

{t

(n)
i

} (por.

´

cw. 6.1).

Na podstawie uwagi 4.1 możemy sformułowa´

c w szczeg´

olno´

sci

Wniosek

4.1. Je´

sli f

∈ R na [a, b], to

10

(a) lim

n

→∞

P

n

−1

k=0

f (a + k

b

−a

n

)

b

−a

n

=

R

b

a

f ,

(b) lim

n

→∞

P

n
k=1

f (a + k

b

−a

n

)

b

−a

n

=

R

b

a

f .

´

Cwiczenie

4.3. Obliczy´

c całk

,

e

R

1

0

xdx, korzystaj

,

ac z wniosku 4.1(a).

5. Własno´

sci całki Riemanna

Twierdzenie

5.1 (liniowo´

s´

c całki). Niech f, g : [a, b]

→ R oraz c ∈ R.

(a) Je´

sli f

∈ R na [a, b], to cf ∈ R na [a, b] oraz

R

b

a

cf = c

R

b

a

f.

(b) Je´

sli f, g

∈ R na [a, b], to f+g ∈ R na [a, b] oraz

R

b

a

(f +g) =

R

b

a

f +

R

b

a

g.

Dowód.

(a) Je´

sli c = 0, to teza jest oczywista (por. przykład 3.1).

Niech wi

,

ec c

6= 0. Skoro f ∈ R na [a, b], to lim

µ(P )

→0

S(f, P,

{t

i

}) =

R

b

a

f na mocy twierdzenia 4.1. Niech ε > 0. Dobierzmy liczb

,

e δ > 0 tak,

aby dla dowolnego podziału P przedziału [a, b] takiego, że µ(P ) < δ
i dowolnego układu

{t

i

} punkt´ow po´srednich podziału P zachodziła

nier´

owno´

s´

c

|S(f, P, {t

i

}) −

Z

b

a

f

| <

ε

|c|

.

St

,

ad

|cS(f, P, {t

i

})−c

R

b

a

f

| < ε. Ale, jak łatwo sprawdzi´c, cS(f, P, {t

i

}) =

S(cf, P,

{t

i

}), sk

,

ad

|S(cf, P, {t

i

}) − c

Z

b

a

f

| < ε.

To oznacza, że istnieje lim

µ(P )

→0

S(cf, P,

{t

i

}) = c

R

b

a

f. Zatem na

mocy twierdzenia 4.1 wnioskujemy, że istnieje całka

R

b

a

cf = c

R

b

a

f.

(b) Skoro f, g

∈ R na [a, b], to na mocy twierdzenia 4.1

lim

µ(P )

→0

S(f, P,

{t

i

}) =

Z

b

a

f

oraz

lim

µ(P )

→0

S(g, P,

{t

i

}) =

Z

b

a

g.

(5.1)

Niech ε > 0. W my´

sl (5.1) istnieje liczba δ > 0 taka, że

(5.2)

(

∀ P ) (∀{t

i

}) µ(P ) < δ

⇒

|S(f, P, {t

i

}) −

Z

b

a

f

| <

ε

2

∧ |S(g, P, {t

i

}) −

Z

b

a

g

| <

ε

2

!

Zauważmy, że

S(f + g, P,

{t

i

}) = S(f, P, {t

i

}) + S(g, P, {t

i

}).

(5.3)

Zatem dla dowolnego podziału P przedziału [a, b] takiego, że µ(P ) < δ
i dla dowolnego układu

{t

i

} punkt´ow po´srednich podziału P mamy

|S(f + g, P, {t

i

}) − (

Z

b

a

f +

Z

b

a

g)

|

z (5.3)

¬ |S(f, P, {t

i

}) −

Z

b

a

f

| + |S(g, P, {t

i

}) −

Z

b

a

g

|

z (5.3) <

ε

2

+

ε

2

= ε.

11

To oznacza, że istnieje lim

µ(P )

→0

S(f + g, P,

{t

i

}) =

R

b

a

f +

R

b

a

g. St

,

ad

na mocy twierdzenia 4.1 wnioskujemy, że istnieje całka

R

b

a

(f + g) =

R

b

a

f +

R

b

a

g.

Twierdzenie

5.2 (monotoniczno´

s´

c całki). Je´

sli funkcje rzeczywiste f,

g s

,

a całkowalne w sensie Riemanna na [a, b] oraz f (x)

¬ g(x) dla każdego

x

∈ [a, b], to

R

b

a

f

¬

R

b

a

g.

Dowód. Niech h(x) = g(x)

−f(x) dla x ∈ [a, b]. Z twierdzenia 5.1 wynika,

że h

∈ R na [a, b] oraz

R

b

a

h =

R

b

a

g

−

R

b

a

f. Z założenia wynika, że h(x)

­ 0

dla każdego x

∈ [a, b]. Zatem na mocy wniosku 1.1 mamy

R

b

a

h

­ 0. St

,

ad

R

b

a

g

−

R

b

a

f

­ 0, co daje tez

,

e.

Twierdzenie

5.3. Niech f, g : [a, b]

→ R.

(a) Je´

sli f

∈ R na [a, b], to |f| ∈ R na [a, b] oraz |

R

b

a

f

| ¬

R

b

a

|f|.

(b) Je´

sli f, g

∈ R na [a, b], to fg ∈ R na [a, b].

Dowód.

(a) Całkowalno´

s´

c

|f| wynika z twierdzenia 3.3. Z nier´owno´sci

−|f(x)| ¬ f(x) ¬ |f(x)|, x ∈ [a, b], na podstawie twierdze´n 5.2 i 5.1(a)
wnioskujemy, że

−

Z

b

a

|f| ¬

Z

b

a

f

¬

Z

b

a

|f|,

co daje tez

,

e.

(b) Skorzystajmy z r´

owno´

sci

f g =



(f + g)

2

− (f − g)

2



/4.

(5.4)

Z założenia i twierdze´

n 5.1 i 3.3 wynika, że (f + g)

2

, (f

− g)

2

∈ R na

[a, b]. St

,

ad, z twierdzenia 5.1 i wzoru (5.4) otrzymujemy tez

,

e.

Twierdzenie

5.4 (addytywno´

s´

c wzgl

,

edem przedziału). Niech a, b, c

∈

R

, a < c < b oraz niech f : [a, b]

→ R.

(a) Je´

sli f

∈ R na [a, b], to f ∈ R na [a, c] i f ∈ R na [c, b] oraz

Z

b

a

f =

Z

c

a

f +

Z

b

c

f.

(5.5)

(b) Je´

sli f

∈ R na [a, c] i f ∈ R na [c, b], to f ∈ R na [a, b] oraz zachodzi

(5.5).

Dowód. Pierwsza cz

,

e´

s´

c tezy w (a) i (b) wynika z wniosku 1.2. Zatem wy-

starczy udowodni´

c (5.5), przy założeniu, że wszystkie trzy całki wyst

,

epuj

,

ace

w (5.5) istniej

,

a. Niech ε > 0. Na mocy twierdzenia 4.1 mamy

lim

µ(P

1

)

→0

S(f, P

1

,

{t

i

}) =

Z

c

a

f,

lim

µ(P

2

)

→0

S(f, P

2

,

{w

i

}) =

Z

b

c

f,

lim

µ(P )

→0

S(f, P,

{z

i

}) =

Z

b

a

f.

12

Istnieje wi

,

ec liczba δ > 0 taka, że dla dowolnych podział´

ow P

1

, P

2

, P prze-

dział´

ow [a, c], [c, b], [a, b] o ´

srednicy mniejszej niż δ i dla dowolnych system´

ow

{t

i

}, {w

i

}, {z

i

} punkt´ow po´srednich podział´ow P

1

, P

2

, P mamy

|S(f, P

1

,

{t

i

}) −

Z

c

a

f

| <

ε

3

,

|S(f, P

2

,

{w

i

}) −

Z

b

c

f

| <

ε

3

,

(5.6)

|S(f, P, {z

i

}) −

Z

b

a

f

| <

ε

3

.

Ustalmy podziały P

1

, P

2

przedział´

ow [a, c], [c, b] o ´

srednicach mniejszych

niż δ oraz systemy

{t

i

}

i

¬n

,

{w

i

}

i

¬m

punkt´

ow po´

srednich podział´

ow P

1

, P

2

.

Utw´

orzmy podziałP = P

1

∪ P

2

z systemem punkt´

ow po´

srednich

{z

i

}

i

¬k

=

{t

i

}

i

¬n

∪ {w

i

}

i

¬m

przedziału [a, b]. Wtedy µ(P ) < δ oraz

S(f, P,

{z

i

}) = S(f, P

1

,

{t

i

}) + S(f, P

2

,

{w

i

}).

St

,

ad i z (5.6) otrzymujemy

|

Z

b

a

f

− (

Z

c

a

f +

Z

b

c

f )

|

¬ |

Z

b

a

f

− S(f, P, {z

i

})| + |S(f, P

1

,

{t

i

}) −

Z

c

a

f

| + |S(f, P

2

,

{w

i

}) −

Z

b

c

f

|

<

ε

3

+

ε

3

+

ε

3

= ε.

Z dowolno´

sci ε wynika teza.

Uwaga

5.1. Je´

sli f

∈ R na [a, b], a < b, to przyjmujemy

R

a

b

f =

−

R

b

a

f.

Ponadto przyjmujemy

R

a

a

f = 0.

´

Cwiczenie

5.1. Wykaza´

c, że je´

sli f

∈ R na [a, b] oraz u, s, t ∈ [a, b], to

Z

s

u

f =

Z

t

u

f +

Z

s

t

f.

Jest to uog´

olnienie twierdzenia 5.4(a).

´

Cwiczenie

5.2. Obliczy´

c całk

,

e

Z

0

−2

|2x + |x + 1| |dx.

6. Funkcja g´

ornej granicy całkowania.

Twierdzenie

6.1 (o funkcji g´

ornej granicy całkowania). Niech f

∈ R na

[a, b]. Okre´

slmy funkcj

,

e g´

ornej granicy całkowania wzorem

F (x) =

Z

x

a

f

dla

x

∈ [a, b].

W´

owczas:

(a) funkcja F spełnia warunek Lipschitza na [a, b] (zatem jest jednostajnie

ci

,

agła na [a, b]),

(b) je´

sli funkcja f jest ci

,

agła w punkcie x

0

∈ [a, b], to funkcja F jest

r´

ożniczkowalna w x

0

oraz F

0

(x

0

) = f (x

0

).

13

Dowód.

(a) Skoro f

∈ R na [a, b], to f jest funkcj

,

a ograniczon

,

a.

Zał´

ożmy, że M > 0 jest tak

,

a liczb

,

a, że

|f(x)| ¬ M dla każdego

t

∈ [a, b]. Je´sli x, y ∈ [a, b], to (por. ´cw. 5.1)

F (y)

− F (x) =

Z

y

a

f

−

Z

x

a

f =

Z

x

a

f +

Z

y

x

f

−

Z

x

a

f =

Z

y

x

f.

St

,

ad (por. uwag

,

e 5.1 i wniosek 1.1)

|F (y) − F (x)| = |

Z

y

x

f

| ¬ M|y − x|.

To oznacza, że funkcja F spełnia na [a, b] warunek Lipschitza ze stał

,

a

M (zatem jest tam jednostajnie ci

,

agła, por. ´

cw. ??, rozdz. V).

(b) Niech ε > 0. Z ci

,

agło´

sci funkcji f w punkcie x

0

wynika istnienie liczby

δ > 0 takiej, że

(

∀ t ∈ [a, b]) |t − x

0

| < δ ⇒ |f(t) − f(x

0

)

| < ε.

(6.1)

Niech x

∈ [a, b], 0 < |x − x

0

| < δ. Zauważmy, że

F (x)

− F (x

0

) =

Z

x

a

f

−

Z

x

0

a

f =

Z

x

0

a

f +

Z

x

x

0

f

−

Z

x

0

a

f =

Z

x

x

0

f.

oraz

f (x

0

) =

1

x

− x

0

Z

x

x

0

f (x

0

).

Zatem

|

F (x)

− F (x

0

)

x

− x

0

− f(x

0

)

| =






1

x

− x

0

Z

x

x

0

f (t)dt

−

1

x

− x

0

Z

x

x

0

f (x

0

)dt






=

1

|x − x

0

|






Z

x

x

0

(f (t)

− f(x

0

))dt






(z(6.1) i wn. 1.1)

¬

1

|x − x

0

|

|x − x

0

| · ε = ε.

St

,

ad lim

x

→x

0

F (x)

− F (x

0

)

x

− x

0

= f (x

0

), co daje tez

,

e.

Wniosek

6.1. Je´

sli f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, to F (x) =

R

x

a

f,

x

∈ [a, b], jest jej funkcj

,

a pierwotn

,

a.

Dowód. Z tw. 6.1(b) wynika, że F

0

(x) = f (x) dla x

∈ [a, b].

Nast

,

epuj

,

ace twierdzenie nosi nazw

,

e podstawowego twierdzenia rachunku

całkowego.

Twierdzenie

6.2 (Newtona-Leibniza). Je´

sli f

∈ R na [a, b], oraz F jest

funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f na [a, b], to

Z

b

a

f = F (b)

− F (a).

(6.2)

Dowód. R´

owno´

s´

c (6.2) b

,

edzie wykazana, je´

sli udowodnimy, że

(

∀ ε > 0)







Z

b

a

f

!

− (F (b) − F (a))







< ε.

(6.3)

14

Niech wi

,

ec ε > 0. Ponieważ f

∈ R na [a, b], wi

,

ec z twierdzenia 4.1 wynika,

że istnieje podziałP =

{x

0

, . . . , x

n

} taki, że dla dowolnego układu punkt´ow

po´

srednich t

i

∈ [x

i

−1

, x

i

] (i = 1, . . . , n) mamy







S(f, P,

{t

i

}) −

Z

b

a

f







< ε.

(6.4)

Stosuj

,

ac twierdzenie Lagrange’a (wn. ??, rozdz. VI) do funkcji F na prze-

dziale [x

i

−1

, x

i

], znajdziemy punkt t

i

∈ (x

i

−1

, x

i

) taki, że

F (x

i

)

− F (x

i

−1

) = F

0

(t

i

)∆x

i

= f (t

i

)∆x

i

.

St

,

ad

F (b)

− F (a) =

n

X

i=1

(F (x

i

)

− F (x

i

−1

)) =

n

X

i=1

f (t

i

)∆x

i

= S(f, P,

{t

i

}).

Zatem na mocy (6.4) otrzymujemy (6.3).

Uwaga

6.1. W przypadku, gdy funkcja f : [a, b]

→ R jest ci

,

agła na

[a, b], wz´

or (6.2) wynika z wniosku 6.1. Istotnie, je´

sli F jest funkcj

,

a pier-

wotn

,

a funkcji f oraz F

0

(x) =

R

x

a

f dla x

∈ [a, b], to z wniosku 6.1 i twier-

dzenia ??, rozdz. VIII, wynika, że funkcje F i F

0

r´

ożni

,

a si

,

e o stał

,

a. Mamy

F (a)

− F

0

(a) = F (a) (por. uwag

,

e 5.1), zatem t

,

a stał

,

a jest F (a). St

,

ad w

szczeg´

olno´

sci

F (b)

− F

0

(b) = F (a), co daje F

0

(b) = F (b)

− F (a), czyli wz´or (6.2).

Twierdzenie 6.2 daje praktyczny spos´

ob obliczania całek oznaczonych.

R´

ożnic

,

e F (b)

−F (a) wyst

,

epuj

,

ac

,

a w (6.2) oznaczamy w skr´

ocie przez [F (x)]

b

a

.

Przykład

6.1.

R

π

2

0

sin xdx = [

− cos x]

π

2

0

=

− cos

π

2

− (− cos 0) = 1.

´

Cwiczenie

6.1. Obliczy´

c

lim

n

→∞

1

n

r

1 +

1

n

+

r

1 +

2

n

+ . . . +

r

1 +

n

n

!

,

stosuj

,

ac wniosek 4.1 i twierdzenie 6.2.

Przy odpowiednich założeniach poznane w rozdziale VIII metody całko-

wania przez cz

,

e´

sci i przez podstawianie stosuj

,

a si

,

e do całek oznaczonych.

Twierdzenie

6.3 (całkowanie przez cz

,

e´

sci). Zał´

ożmy, że funkcje f, g :

[a, b]

→ R maj

,

a ci

,

agłe pochodne na [a, b]. W´

owczas

Z

b

a

f g

0

= [f (x)g(x)]

b
a

−

Z

b

a

f

0

g.

Dowód. Ponieważ (f g)

0

= f

0

g + f g

0

, wi

,

ec z liniowo´

sci całki wynika, że

Z

b

a

(f g)

0

=

Z

b

a

f

0

g +

Z

b

a

f g

0

.

(6.5)

Oczywi´

scie f g jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji (f g)

0

zatem z tw. 6.2 wniosku-

jemy, że

R

b

a

(f g)

0

= [f (x)g(x)]

b

a

. St

,

ad i z (6.5) wynika teza.

15

Twierdzenie

6.4 (o zamianie zmiennych). Zał´

ożmy, że funkcja ϕ : I

→

R

ma ci

,

agł

,

a pochodn

,

a na niezdegenerowanym przedziale domkni

,

etym I i

niech f : ϕ[I]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a. Wtedy dla dowolnych punkt´

ow

a, b

∈ I zachodzi wz´or

Z

ϕ(b)

ϕ(a)

f (x)dx =

Z

b

a

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt.

(6.6)

Dowód. Je´

sli ϕ jest funkcj

,

a stał

,

a, to teza jest oczywista. Je´

sli ϕ nie

jest stała, to ϕ[I] jest przedziałem domkni

,

etym niezdegenerowanym. Niech

F b

,

edzie funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji f na ϕ[I] (por. wn. 6.1). R´

ożniczkuj

,

ac

superpozycj

,

e F

◦ ϕ, mamy

(F

◦ ϕ)

0

(t) = F

0

(ϕ(t))ϕ

0

(t) = (f (ϕ(t)))ϕ

0

(t)

dla

t

∈ I,

co oznacza, że F

◦ϕ jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji (f

◦ ϕ)ϕ

0

na I. St

,

ad i z

twierdzenia 6.2 wynika, że dla a, b

∈ I mamy

Z

b

a

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt = [(F

◦ϕ)(t)]

b
a

= F (ϕ(b))

−F (ϕ(a)) = [F (x)]

ϕ(b)
ϕ(a)

=

Z

ϕ(b)

ϕ(a)

f.

Przykład

6.2.

Z

√

π/2

0

t sin(π

− t

2

)dt =







x = π

− t

2

dx =

−2tdt

tdt =

−

1
2

dx







=

−

1

2

Z

π/2

π

sin xdx

=

1

2

Z

π

π/2

sin xdx =

1

2

[

− cos x]

π
π/2

=

1

2

.

´

Cwiczenie

6.2.

(a) Niech f : R

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a i okre-

sow

,

a o okresie T > 0. Wykaza´

c, że

R

a+T

a

f =

R

T

0

f dla dowolnego

a

∈ R.

(b) Niech f : [

−a, a] → R, a > 0, b

,

edzie ci

,

agł

,

a funkcj

,

a parzyst

,

a. Wyka-

za´

c, że

R

a

−a

f = 2

R

a

0

f.

(c) Niech f : [

−a, a] → R, a > 0, b

,

edzie ci

,

agł

,

a funkcj

,

a nieparzyst

,

a.

Wykaza´

c, że

R

a

−a

f = 0.

´

Cwiczenie

6.3.

(a) Niech f : [0, 1]

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a. Wy-

kaza´

c, że

Z

π

0

xf (sin x)dx =

π

2

Z

π

0

f (sin x)dx = π

Z

π/2

0

f (sin x)dx.

(b) Korzystaj

,

ac z (a), obliczy´

c całk

,

e

Z

π

0

x sin x

1 + cos

2

x

dx.

Uwaga

6.2. Inna wersja twierdzenia o zamianie zmiennych jest nast

,

e-

puj

,

aca:

Zał´

ożmy, że funkcja ϕ : [a, b]

→ R ma na [a, b] ci

,

agł

,

a pochodn

,

a r´

ożn

,

a

od zera oraz ϕ przekształca [a, b] na przedział I o ko´

ncach ϕ(a), ϕ(b). Je´

sli

f

∈ R na I, to (f◦ϕ)ϕ

0

∈ R na [a, b] i zachodzi wz´or (6.6).

Dow´

od opiera si

,

e na twierdzeniu 4.1. Polecamy czytelnikowi jego prze-

prowadzenie – jako nietrywialne ´

cwiczenie.

16

7. Twierdzenia o warto´

sci ´

sredniej dla całek

Twierdzenie

7.1. Zał´

ożmy, że f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, za´

s

funkcja g jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b] oraz nieujemna na
[a, b] lub niedodatnia na [a, b]. W´

owczas

(

∃ ξ ∈ [a, b])

Z

b

a

f g = f (ξ)

Z

b

a

g.

Dowód. Funkcja f jest ci

,

agła na zbiorze zwartym [a, b], wi

,

ec jej kresy

m = inf

x

∈[a,b]

f (x), M = sup

x

∈[a,b]

f (x) s

,

a sko´

nczone (wn. 3.1, rozdz.V).

Zał´

ożmy, że np. g(x)

­ 0 dla [a, b]. Mamy wi

,

ec

(

∀ x ∈ [a, b]) mg(x) ¬ f(x)g(x) ¬ Mg(x).

St

,

ad oraz z monotoniczno´

sci i liniowo´

sci całki otrzymujemy

m

Z

b

a

g

¬

Z

b

a

f g

¬ M

Z

b

a

g.

(7.1)

Je´

sli

R

b

a

g = 0, to z (7.1) mamy

R

b

a

f g = 0. Wtedy punkt ξ

∈ [a, b] wybieramy

dowolnie i teza zachodzi. Je´

sli

R

b

a

g

6= 0, tzn.

R

b

a

g > 0, to z (7.1) wynika, że

m

¬

Z

b

a

f g

!

/

Z

b

a

g

!

¬ M.

Z twierdzenia Weierstrassa (wn. ??, rozdz. V) wynika, że istniej

,

a punkty

s, t

∈ [a, b] takie, że f(s) ¬

R

b

a

f g/

R

b

a

g

¬ f(t). Dalej na mocy własno´sci

Darboux dla funkcji ci

,

agłej f (tw. ??, rozdz. V) wynika, że istnieje punkt

ξ

∈ [a, b] taki, że f(ξ) =

R

b

a

f g/

R

b

a

g.

Uwaga

7.1. Zał´

ożmy, że f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a nieujemn

,

a

oraz g(x) = 1 dla x

∈ [a, b]. W tym przypadku teza twierdzenia 7.1 ma

posta´

c

(

∃ ξ ∈ [a, b])

Z

b

a

f = f (ξ)(b

− a).

W interpretacji geometrycznej (por. paragraf 2) warunek ten oznacza, że dla
pewnego ξ

∈ [a, b] pole (miara Jordana) zbioru

{hx, yi ∈ R

2

: x

∈ ha, bi ∧ 0 ¬ y ¬ f(x)}

jest r´

owne polu prostok

,

ata o wierzchołkach

ha, 0i, ha, f(ξ)i, hb, 0i, hb, f(ξ)i.

(Wykona´

c rysunek.)

Twierdzenie

7.2. Zał´

ożmy, że f : [a, b]

→ R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, za´

s

funkcja g : [a, b]

→ R ma ci

,

agł

,

a pochodn

,

a na [a, b] oraz g

0

­ 0 na [a, b] lub

g

0

¬ 0 na [a, b]. W´owczas

(

∃ ξ ∈ [a, b])

Z

b

a

f g = g(a)

Z

ξ

a

f + g(b)

Z

b

ξ

f.

Dowód. Zauważmy, że f (x) = F

0

(x) dla x

∈ [a, b], gdzie F (x) =

R

x

a

f dla

x

∈ [a, b] (por. tw. 6.1). Całkuj

,

ac przez cz

,

e´

sci, mamy

Z

b

a

f g =

Z

b

a

F

0

g = [F g]

b
a

−

Z

b

a

F g

0

.

(7.2)

17

Do całki

R

b

a

F g

0

stosujemy twierdzenie 7.1. Zatem istnieje liczba ξ

∈ [a, b]

taka, że

Z

b

a

F g

0

= F (ξ)

Z

b

a

g

0 (tw. 6.2)

=

F (ξ)(g(b)

− g(a)).

St

,

ad, korzystaj

,

ac z (7.2) i postaci F, otrzymujemy

Z

b

a

f g = F (b)g(b)

− F (a)g(a) − F (ξ)g(b) + F (ξ)g(a)

= g(a)(F (ξ)

− F (a)) + g(b)(F (b) − F (ξ))

= g(a)

Z

ξ

a

f + g(b)

Z

b

ξ

f.

Przykład

7.1. Wykażemy, że dla dowolnej liczby ε > 0 zachodzi nie-

r´

owno´

s´

c







Z

b

a

sin x

x

dx







< ε,

o ile b > a >

4

ε

.

Istotnie, stosuj

,

ac twierdzenie 7.2, znajdziemy liczb

,

e ξ

∈ (a, b) tak

,

a, że







Z

b

a

sin x

x

dx







=







1

a

Z

ξ

a

sin xdx +

1

b

Z

b

ξ

sin xdx







=






1

a

(cos a

− cos ξ) +

1

b

(cos ξ

− cos b)






¬

2

a

+

2

b

< ε.

Uwaga

7.2. Twierdzenie 7.2 pozostaje prawdziwe przy słabszym zało-

żeniu, że funkcja g jest monotoniczna na [a, b]. Dow´

od można znale´

z´

c w

ksi

,

ażce Fichtenholza.

18