PODSTAWY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

1. Różne pojęcia statystyki

A. Statystyka jako nauka dostarcza metod pozyskiwania,

przetwarzania, zestawiania, analizy i prezentacji danych doty-
czących wyników doświadczeń, obserwacji zjawisk losowych
lub procesów masowych.

Wiele nauk zajmuje się obserwacją otaczającego nas świa-

ta  lub  też  posługuje  się  eksperymentem  dla  potwierdzenia
swoich  teorii.  Takie  badanie  przebiega  zazwyczaj  według
schematu: zebranie dużej ilości danych, ich analiza i interpre-
tacja.  Badaczowi  potrzebny  jest  wtedy  zestaw  metod,  które
umożliwią mu operowanie na dużych zbiorach danych.

Tworzeniem i rozwijaniem takich użytecznych narzędzi

zajmuje się właśnie statystyka.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

B. Statystyka opisowa



zespół metod, nie używających

probabilistyki, służących do wydobycia dostępnej informacji
zawartej w zbiorze danych uzyskanych podczas

badania sta-

tystycznego

, jako wyniku realizacji zjawiska lub doświadcze-

nia losowego.

Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsu-

mowanie zbioru danych i wyciągnięcie pewnych podstawo-
wych wniosków dotyczących przedmiotu badań.

Przedmiotem badań statystyki opisowej są:

1. miary położenia: np. średnia, dominanta (moda), kwartyle,
2. miary dyspersji: np. wariancja, odchylenie standardowe,
3. miary asymetrii,
4. miary współzależności.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

C. Statystyka matematyczna (SM)



sformalizowany ze-

spół metod, używający probabilistyki, algebry liniowej i ana-
lizy matematycznej, służący do wnioskowania o własnościach
wyodrębnionych  populacji  będących  przedmiotem  badań,  na
podstawie  analizy  danych  częściowych,  otrzymanych  w  eks-
perymencie lub z obserwacji pewnego zjawiska.

SM dostarcza teoretycznych podstaw do konstrukcji pro-

cedur statystycznych, w celu uzyskania wiarogodnej informa-
cji o własnościach badanej populacji, na podstawie danych
częściowych.

W SM dane częściowe stanowią próby losowe. Probabili-

stycznymi modelami tych prób są jedno- lub wielowymiaro-
we ciągi zm. l. Na przykład, (X

, Y

), (X

, Y

),..., (X

, Y

) two-

rzy dwuwymiarową próbę losową (X, Y)

o liczebności n.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

D. Statystyka jako funkcja



każda zm. l. U będąca

funkcją próby losowej X



, X

,..., X

), tj. U



f(X

). Sta-

tystyki  służą  do  poznania  mechanizmu  generującego  obser-
wacje.
Probabilistyka  dostarcza  twierdzeń  dotyczących  rozkładów
statystyk. Są one podstawą metod statystycznych.

Podstawowe statystyki:



średnia arytmetyczna







jeżeli modelem cechy jest zm. l. X~B(p), to średnia
arytm. nazywa się frakcją jednostek wyróżnionych w
próbie i jest oznaczana

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej



wariancja z próby

)

(











odchylenie standardowe z próby S



kowariancja z próby,

)

)(

(

)

(

Cov











współczynnik korelacji Pearsona









)

(

)

(

)

)(

(

)

(

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

2. Badanie statystyczne

to szereg czynności, związanych z pozyskiwaniem

i przetwarzaniem danych, zmierzających do jak najlepszego
poznania rozkładu wyróżnionych cech w populacji general-
nej, których modelami są zm. losowe

X, Y, Z.

BS może być pełne (obejmuje całą populację) lub czę-

ściowe (dotyczy pewnych elementów populacji



próby)

Czynniki, które przemawiają na korzyść badań częściowych:



populacja może być nieskończona,



badanie może być niszczące,



wysokie koszty.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

3. Populacja generalna i cecha statystyczna

Populacja generalna

(zbiorowość statystyczna) to zbiór

elementów zwanych

jednostkami statystycznymi

, podlegają-

cych BS

Jednostki populacji są do siebie podobne pod

względem badanych cech, ale nie są identyczne.

Cechy statystyczne

to te właściwości

populacji general-

nej

, które są przedmiotem BS. Cecha statystyczna może być:



mierzalna

(ilościowe)



np. wzrost, waga, wiek



niemierzalna

(jakościowe)



np. kolor oczu, płeć

Zróżnicowanie wartości cechy statystycznej powoduje, że

można mówić o jej rozkładzie w populacji. Modelami bada-
nych cech statystycznych są zmienne losowe.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

4. Wnioskowanie statystyczne

to sformalizowany zespół metod i procedur służących

do uogólniania wyników badania próby na całą populację
oraz szacowania błędów wynikających z takiego uogólnienia.

Wyróżniamy dwie grupy metod uogólniania wyników, de-

finiujące jednocześnie dwa działy WS:



Estymacja



szacowanie wartości nieznanych parametrów

rozkładu badanych cech.



Weryfikacja hipotez statystycznych



sprawdzanie po-

prawności przypuszczeń na temat rozkładu badanych cech
w jednej lub kilku populacjach.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

5. Próba a próba reprezentatywna

Próbą losową

z populacji badanej ze względu na jedną ce-

chę, której modelem jest zm. l. X, lub kilka cech, powiedzmy
X i Y nazywamy:

w przypadku jednej cechy ciąg

zm. l.

, X

,…, X

oznaczany X lub X

w przypadku dwóch cech ciąg par zm. l.

, Y

), (X

, Y

),…, ( X

, Y

) oznaczany (X, Y)

każda z określonym

rozkładem prawdopodobieństwa.

Jeżeli badamy dwie populacje ze względu na wspólną ce-

chę, to próbą losową są dwa ciągi: X

1,1

,…, X

1,n

i X

2,1

,…, X

2,m

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Jeżeli zm. l.-owe w próbie są

niezależne

i o identycznym

rozkładzie (i.i.d.) co badana cecha lub cechy, to mówimy, że
jest to

prosta próba losowa

Próbą reprezentatywną

nazywamy taką próbę, która za-

chowuje strukturę populacji ze względu na badane cechy.
Sposobem pobierania prób zajmuje się dział statystyki zwany

metody reprezentacyjne

. Prosta próba losowa gwarantuje re-

prezentatywność.

Liczbę n jednostek wybranych do próby nazywamy

li-

czebnością próby

. Liczebność próby zależy m.in. od przyjęte-

go błędu, zwanego

poziomem ufności

Jeżeli n



30 to próbę nazywamy

małą próbą

. W przeciw-

nym przypadku próbę nazywamy

dużą próbą

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

42167 93093 06243 61680 07856 16376 93440 53537
37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305

77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659

Rozwiązanie. Liczba 600 składa się z trzech cyfr i liczby

trzycyfrowe  większe  od  600  są  ignorowane,  a  w  ich  miejsce
bierzemy liczbę następną, o ile należy do zakresu. Arbitralnie
ustalamy,  że  wybieramy  liczby  złożone  z  trzech  pierwszych
cyfr liczb pięciocyfrowych zestawionych w tablicy i, że poru-
szamy  się  po  kolejnych  wierszach,  aż  otrzymamy  10  loso-
wych numerów.

W ten sposób otrzymujemy kolejno: 104, 150, 15, 20, 816

(ignorujemy), 916 (ignorujemy), 691 (ignorujemy), 141, 223,
465, 255, 853 (ignorujemy), 309, 891 (ignorujemy), 279.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

7. Rozkład teoretyczny a rozkład empiryczny

Probabilistycznym modelem

badanej cechy jest zm. l. X.

Rozkład badanej cechy X w populacji nazywamy

rozkładem

teoretycznym

. Rozkład ten zwykle nie jest znany i w bada-

niach statystycznych zwykle przyjmujemy, że jest to pewien
rozkład spośród określonej rodziny rozkładów zależnej od
nieznanych parametrów, np. X ~ N(m,



), X ~ B(p).

Rozkład cechy lub kilku cech w próbie nazywamy

rozkła-

dem empirycznym

. Rozkład ten poznajemy na podstawie BS

opisującego wartości przyjmowane przez

cechę

lub cechy,

zwykle przy pomocy dystrybuanty empirycznej,

częstości

ich

występowania lub odpowiednich statystyk z próby.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Niech (X

, X

,…, X

) będzie jedno-cechową próbą prostą.

Dystrybuantą empiryczną

nazywamy następująca funkcję:

dla każdego x



R, F

(x)





{i: X





/n,

gdzie



oznacza liczebność zbioru A.

UWAGI:

1. W klasycznej SM zakładamy, że dane są próbami pro-

stymi.

2. Rozróżniamy rozkład prawdop. w populacji i rozkład

próby losowej oraz średnią, wariancję, odch. standardowe,
kowariancję, współczynnik korelacji, tzw. teoretyczne, tj.
w

populacjach od empirycznych, tj. w próbach losowych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

8. Twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej

Jeżeli cechę w populacji generalnej opisuje zm. l. X o roz-

kładzie N(m,



), to średnia arytmetyczna

z próby prostej

, X

,…, X

ma rozkład normalny N(m,





n), tj.





















teza

załałożeni

)

(

)

(







Dowód tego tw. wynika z tw. o sumie niezależnych zm. l. o
rozkładach normalnych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Twierdzenie o rozkładzie sumy zm. l.

Jeśli X

, X

,…, X

są

niezależnymi zm. l. o rozkładach normalnych N(m



), to dla



1, 2,…



















teza

2
2

...













Wniosek.

Dla prostej próby losowej

)

(



a po standaryzacji średniej

)

(

~ N





K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Uwaga.

W statystyce twierdzenia probabilistyki są stosowane

w drugą stronę, tzn. z pewnej wiedzy zawartej w tezie twier-
dzenia chcemy wnioskować o prawdziwości założenia.

Wnioskowanie to nazywamy

wnioskowaniem redukcyj-

nym

, w odróżnieniu od dedukcyjnego dowodzenia prawdy

stosowanego w naukach formalnych.

Wnioskowanie redukcyjne nie jest niezawodne, niemniej

jest najczęściej stosowane w naukach empirycznych.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Przykład 2.

Czasy T

i T

oczekiwania pasażerów na autobu-

sy linii A i B są zm. l. o rozkładach normalnych, tj.

~ N(m



), T

~ N(m



Przyjmując, że m



10 min.,





3min., m



15 min.,





4min., wyznaczyć dla losowo wybranego pasażera, który co-
dziennie dojeżdża do pracy korzystając z obydwu linii:

a) rozkład całodziennego czasu T

wyczekiwania na auto-

busy, tj. łącznie w drodze do pracy i z powrotem,

b) prawdop. zdarzenia, że całodzienny czas wyczekiwania

wynosi ponad 1 godz.,

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

c) Pewien pasażer powiedział, że czekając na autobusy

stracił pewnego dnia łącznie tylko 30 min. Czy to moż-
liwe ?

Rozwiązanie.

a) Ponieważ T



2 T



2 T

, więc na podsta-

wie tw. o rozkładzie sumy niezależnych zm. l. o rozkładach
normalnych



N(m



gdzie m







50 min.,











)





min.

b) P(T

> 60 )





P(T



60 )







(





0,08.

c) P(T



30 )





(







0,0000. Zdarzenie to jest prawie

niemożliwe.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

9. CTG



centralne twierdzenie graniczne

Jeżeli X

, X

,…, X

jest próbą prostą z populacji X o warto-

ści oczekiwanej m i skończonym odchyleniu standardowym



, to rozkład średniej

z próby dąży do rozkładu normalne-

go o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym





n, gdy liczebność próby wzrasta nieograniczenie, czyli dla

dostatecznie dużych n

)

(







Siła CTG polega na tym, że rozkład populacji może być inny
niż normalny, a nawet może być nieznany. Twierdzenie o
standaryzowanym rozkładzie średniej arytmetycznej nazywa
się

tw. Lindeberga-Levy’ego

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Przykład  3.  Producent  folii  aluminiowych  twierdzi,  że  75-
metrowe rulony mają przeciętną długość 75,05m oraz odchy-
lenie  standardowe  0,12  m.  Aby  tę  tezę  sprawdzić,  hurtownik
zamierza  na  losowej  próbie  złożonej  z  36  rulonów  przepro-
wadzić  badania  polegające  na  dokonaniu  pomiarów  długości
wylosowanych rulonów.

a) Przy założeniu, że producent udzielił prawdziwej in-

formacji, opisać rozkład średniej arytmetycznej z próby.

b) Przy założeniu, że producent udzielił prawdziwej in-

formacji, obliczyć prawdop. zdarzenia, że średnia arytme-
tyczna z próby będzie mniejsza niż 75m.

c) W wyniku pomiarów otrzymano średnią arytmetyczną

74,97m. Czy na tej podstawie hurtownik może podważać
tezę producenta ?

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Odp.: a) Ponieważ liczebność próby n



36, więc na podsta-

wie CTG wiemy, że

]

)[

;

(



0062

)

(





c) Jest mało prawdop., aby średnia arytmetyczna z próby była
mniejsza niż 75 m, oczywiście przy założeniu, że producent
udzielił prawdziwej informacji. Jeżeli przyjmie się, że w wy-
niku badań zrealizowała się bardzo mało prawdop. wartość



, to hurtownikowi trudno będzie utrzymać tezę

producenta jako prawdziwą.

Wniosek. Doświadczenie dostarczyło podstaw do odrzu-

cenia tezy producenta na rzecz stwierdzenia, że prawdziwa
długość rulonów jest średnio mniejsza niż 75,05 m lub odchy-
lenie standardowe



jest większe niż 0,12m.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

10. CTG dla sumy

Jeżeli X

, X

,…, X

jest próbą prostą z populacji X o skoń-

czonej wartości oczekiwanej m i odchyleniu stand.



, to dla

dostatecznie dużych n

)

(

)

(











Dowód.

Spełnione są założenia CTG, więc

)

(



Ponieważ



…





, więc dla dostatecznie dużych n

suma n

ma prawie rozkład normalny oraz

E(n

)



nE(

)



nm, D

)



(

)









Stąd odch. standardowe wynosi



n. Co kończy dowód.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

11. Rozkład t-Studenta, jego własności i zastosowa-
nie

Żeby zastosować CTG, powinniśmy znać



w populacji.

W praktyce, jeżeli



nie jest znane, to korzystamy z jego es-

tymatora S

z próby. W tym przypadku standaryzowana staty-

styka:





nie ma stand. rozkładu normalnego.

Rozkład statystyki t

jest bardziej płaski w środku i ma

dłuższe „ogony” niż stand. rozkład normalny.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Tw. Jeżeli rozkład cechy X w populacji jest normalny, to sta-
tystyka t

ma rozkład

t-Studenta



stopniach swobody.

Zapis X~t(n) oznacza, że zm. l. X ma rozkład t-Studenta o

n stopniach swobody.
Własności: Jeżeli X~t(n), to EX



0 oraz D



n/(n



2).

Zastosowanie: W estymacji i weryfikacji hipotez dotyczą-
cych wartości oczekiwanej przy nieznanej wariancji.

William Sealy Gosset (1876 – 1937), statystyk angielski. Publikował pod pseu-

donimem Student, stąd nazwa wprowadzonego przez niego - w roku 1908 - rozkładu.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Przykład 4. Rozkład płac pracowników w firmie FIA jest
normalny z wartością oczekiwaną m



2000 PLN. Spośród

pracowników tej firmy wylosowano 25 osób. Obliczyć praw-
dop. zdarzenia, że średnia płaca wylosowanych pracowników
jest większa od 1800 PLN, jeśli:

a) wariancja płacy pracowników firmy FIA jest znana i

wynosi





14400 PLN

;

b) jedynie wariancja płacy z próby jest znana i wynosi s



19600 PLN

Wsk. Jeśli



jest znane, to zastosować tw. o rozkładzie śred-

niej arytmetycznej; jeśli



jest nieznane, to zastosować roz-

kład t-Studenta.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

12. Rozkład frakcji i sumy z próby

Jeżeli X ~ B(p), to CTG nazywamy

tw. de Moivre’a

Tw. o rozkładzie frakcji z próby

. Gdy liczebność n próby

, X

,…, X

wzrasta, to średnia arytmetyczna



, gdzie





zwana

frakcją z próby

ma rozkład zbieżny do rozkładu nor-

malnego z wartością oczekiwaną p i wariancją p(1



p)/n, tj.

Abraham de Moivre (1667 – 1754) was a French-born mathematician who pio-

neered the development of analytic geometry and the theory of probability.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej





)

(







Ponadto suma

)

(

)

(

)

(







Jeżeli p



0,5, to rozkład sumy K

jest symetrycznym roz-

kładem dwumianowym i zbieżność do rozkładu normalnego
jest bardzo szybka.

Jeżeli parametr p jest bliski 0 (lub 1), to rozkład dwumia-

nowy  jest  silnie  asymetryczny.  Przy  rosnącym  n  asymetria
zanika.  W  praktyce  przyjmujemy,  że  przybliżenie  rozkładem
normalnym jest dobre, gdy  liczebność  n jest na tyle duża, że
wartości np





(np(1



p)) należą do przedziału (0, n).

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Przykład 5. Pobieramy próbę o liczebności n



12 z popula-

cji, w której frakcja jednostek wyróżnionych p



0,1.

a) Jaki jest rozkład liczby jednostek wyróżnionych w pró-

bie, tj. statystyki K

b) Czy rozsądne jest aproksymowanie statystyki K

roz-

kładem normalnym ?

c) Obliczyć prawdop. zdarzenia K



d) Obliczyć wartości oczekiwane i wariancje statystyk K

Odp.: b) Nie.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

13. Rozkład chi-kwadrat, jego własności i zastoso-
wanie

Jeżeli X

, X

,…, X

jest próbą prostą z populacji o rozkładzie

normalnym, to statystyka

)

(









ma rozkład chi-kwadrat o n



1 stopniach swobody. Piszemy





1).

Własności.

Jeżeli X~



(k), to EX



k, D

(X)



2k, mo(X)





2 dla k > 2.

K.J. Andrzejczak, PiS15 W04: Podstawy statystyki matematycznej

Przykład projektu zaliczeniowego cz. 2

Uwaga.  Należy  przytaczać  wzory  i  składnie  funkcji  wykorzystywanych  w  roz-
wiązaniach.  Udzielać  pełnych  odpowiedzi.  Sporządzić  tabelę  ocen  według
wzoru.  W  przypadku  braku  rozwiązania  punktu,  pod  jego  numerem,  w  polu
„uzyskano” wpisać „0”.

Punkt

a b c

Łącznie

do uzyskania 3 3 3

uzyskano

Producent detali informuje, że długość X określonego typu detalu ma rozkład
N(20; 0,2) [mm]. Norma długości tego detalu wynosi 20,00



0,4 [mm].

W celu sprawdzenia informacji producenta wylosowana zostanie próba losowa

i) 15 elementowa, ii) 180 elementowa.

a) Jakie jest prawdop., że średnia z próby będzie mniejsza niż 19,9mm?
Co wyniknie z faktu, jeśli średnia z próby wyjdzie mniejsza 19,9mm ?
b) Jakie jest prawdop., że wariancja z próby będzie większa od 0,1[mm]

Co wyniknie z faktu, jeśli wariancja z próby wyjdzie większa od 0,1[mm]

c) Jakie jest prawdop. że empiryczny wskaźnik długości spełni normę ?