K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

1

MPiS30 W09: PODSTAWY STATYSTYKI

MATEMATYCZNEJ

1. Różne pojęcia statystyki
2. Badanie statystyczne
3. Populacja generalna i cecha statystyczna
4. Wnioskowanie statystyczne
5. Próba a próba reprezentatywna
6. Rozkład teoretyczny a rozkład empiryczny
7. Twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej

Przykład 1

8. CTG



centralne twierdzenie graniczne

Przykład 2

9. CTG dla sumy

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

2

10. Rozkład t-Studenta, jego własności i zastosowanie

Przykład 3

11. Rozkład chi-kwadrat, jego własności i zastosowanie

Przykład 4

12. Statystyki porównania parametrów w dwóch popu-

lacjach normalnych

13. Statystyka porównania dwóch frakcji

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

3

1. Różne pojęcia statystyki

A. Statystyka jako nauka dostarcza metod pozyskiwania,

przetwarzania, zestawiania, analizy i prezentacji danych doty-
czących wyników doświadczeń, obserwacji zjawisk losowych
lub procesów masowych.

Wiele nauk zajmuje się badaniem „otaczającego nas świa-

ta” poprzez obserwacje lub konstrukcje doświadczeń dla po-
twierdzenia swoich

teorii

. Takie badania wymagają specjali-

stycznych metod i zwykle przebiegają według schematu:



planowanie doświadczenia,



zebranie i opracowanie danych,



analiza danych, ich interpretacja i wnioski.

Statystyka tworzy i rozwija te metody w sposób formalny.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

4

B. Statystyka opisowa



zespół metod, nie używających

probabilistyki, służących do wydobywania „informacji” za-
wartych w zbiorach danych zebranych w czasie

badania staty-

stycznego

, jako wyniku obserwacji, realizacji zjawiska lub

doświadczenia losowego.

Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumo-
wanie zbioru danych i wyciągnięcie podstawowych wniosków
dotyczących przedmiotu badań w określonej zbiorowosci.

Przedmiotem zainteresowania statystyki opisowej są m.in.:
1. miary położenia: np. średnia, percentyle, wartość modalna.
2. miary dyspersji: np. wariancja, odchylenie standardowe,
3. miary asymetrii,
4. miary współzależności.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

5

C. Statystyka matematyczna (SM)



sformalizowany

dział statystyki, używający probabilistyki i innych działów
matematyki do badania poprawności przyjętych założeń, w
określonym modelu probabilistycznym, na podstawie analizy
danych otrzymanych w wyniku obserwacji zjawiska lub prze-
prowadzonego eksperymentu.

SM dostarcza teoretycznych podstaw do konstrukcji pro-

cedur statystycznych, w celu uzyskania wiarogodnej informa-
cji o przedmiocie badania.

W SM wyniki doswiadczenia zwane obserwacjami lub

pomiarami, interpretujemy jako zm. l. X

1

, X

2

,..., X

n

tworzące

próbę losową X. Zmienne te i ich rozkłady stanowią element
modelu matematycznego badanego zjawiska.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

6

D. Statystyka jako funkcja



zm. l. U będąca funkcją U



f(X

n

) próby losowej X

n



(X

1

, X

2

,..., X

n

). Statystyki służą do

poznania mechanizmu generującego obserwacje.

Dzięki probabilistyce znamy twierdzenia dotyczące mię-

dzy innymi rozkładów najczęściej stosowanych statystyk.

Podstawowe statystyki:



średnia arytmetyczna







n

i

i

n

X

n

1

1

X

,



jeżeli modelem cechy jest zm. l. X~B(p), to średnia
arytm. nazywa się frakcją jednostek wyróżnionych w
próbie i jest ozn.

n

P

,

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

7



wariancja z próby

2

1

2

)

(

1

1

n

n

i

i

n

X

n

S

X











, n



2,



odch. std. z próby S

n

,



kowariancja empiryczna,

)

)(

(

1

1

)

,

(

1

n

i

n

n

i

i

Y

X

n

Cov

Y

X

Y

X













, n



2,



współczynnik korelacji Pearsona























n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

Y

X

Y

X

R

1

2

2

1

1

)

(

)

(

)

)(

(

)

,

(

Y

X

Y

X

Y

X

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

8

2. Badanie statystyczne

BS

to szereg czynności związanych z pozyskiwaniem

i przetwarzaniem danych zmierzających do jak najlepszego
poznania

rozkładu wyróżnionych cech statystycznych

X, Y, Z

w badanej zbiorowości zwanej

populacją generalną.

BS może być pełne (obejmuje całą populację) lub czę-

ściowe (dotyczy pewnych elementów populacji



próby)

.

Czynniki, które przemawiają na korzyść badań częściowych:



populacja może być nieskończona,



badanie może być niszczące,



wysokie koszty.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

9

3. Populacja generalna i cecha statystyczna

Populacja generalna

(zbiorowość statystyczna) to zbiór

elementów zwanych

jednostkami statystycznymi

, podlegają-

cych BS

.

Jednostki populacji są do siebie podobne pod

względem badanych cech, ale nie są identyczne.

Cechy statystyczne

to te właściwości

populacji general-

nej

, które są przedmiotem BS. Cecha statystyczna może być:



mierzalna

(ilościowe)



np. temperatura, ciśnienie, wzrost,



niemierzalna

(jakościowe)



np. kolor oczu, płeć,

Zróżnicowanie wartości cechy statystycznej powoduje, że

można mówić o jej

rozkładzie

w populacji. Modelami bada-

nych cech statystycznych są zmienne losowe.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

10

4. Wnioskowanie statystyczne

WS

to zespół metod służących do uogólniania wyników

badania próby na całą populację oraz szacowania błędów wy-
nikających z takiego uogólnienia.

Wyróżniamy dwie grupy metod uogólniania wyników, de-

finiujące jednocześnie dwa działy WS:



Estymacja



szacowanie wartości nieznanych parametrów

rozkładu badanych cech.



Weryfikacja hipotez statystycznych



sprawdzanie po-

prawności przypuszczeń na temat rozkładu badanych cech
w jednej lub kilku populacjach.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

11

5. Próba a próba reprezentatywna

Próbą losową

z populacji badanej ze względu na jedną ce-

chę X, lub kilka cech, np. dwie X i Y nazywamy:



w przypadku jednej cechy ciąg

zm. l.

X

1

, X

2

,…, X

n

oznaczany X lub X

n

,



w przypadku dwóch cech ciąg par zm. l.

(X

1

, Y

1

), (X

2

, Y

2

),…, ( X

n

, Y

n

) oznaczany (X, Y)

każda z określonym

rozkładem prawdopodobieństwa.

Jeżeli badamy dwie populacje ze względu na wspólną ce-

chę, to próbą losową są dwa ciągi: X

1,1

,…, X

1,n

i X

2,1

,…, X

2,m

.

Jeżeli zm. l.-owe w próbie są

niezależne

i o identycznym

rozkładzie (i.i.d.) co badana cecha lub cechy, to próbę nazy-
wamy

prostą próbą losową

.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

12

Próbą reprezentatywną

nazywamy taką próbę, która za-

chowuje strukturę populacji ze względu na badane cechy.
Prosta próba losowa gwarantuje reprezentatywność.

Próbę niereprezentatywną nazywamy

próbą obciążoną

.

Planowaniem doświadczenia i sposobem wyboru próby

zajmuje się dział statystyki zwany

metodami reprezentacyj-

nymi

.

Liczbę n jednostek wybranych do próby nazywamy

licz-

nością próby

. Liczność próby zależy m.in. od przyjętego błę-

du, zwanego

poziomem ufności

.

Jeżeli n



30 to próbę nazywamy

małą próbą

. W przeciw-

nym przypadku próbę nazywamy

dużą próbą

.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

13

6. Rozkład teoretyczny a rozkład empiryczny

Probabilistycznym modelem

badanej cechy jest zm. l. X.

Rozkład badanej cechy X w populacji nazywamy

rozkładem

teoretycznym

. Rozkład ten zwykle nie jest znany i w bada-

niach statystycznych zwykle przyjmujemy, że jest to pewien
rozkład spośród określonej rodziny rozkładów zależnej od
nieznanych parametrów, np. X ~ N(m,



), X ~ B(p).

Rozkład cechy lub kilku cech w próbie nazywamy

rozkła-

dem empirycznym

. Rozkład ten poznajemy na podstawie BS

opisującego wartości przyjmowane przez

cechę lub cechy

,

zwykle przy pomocy dystrybuanty empirycznej,

częstości

ich

występowania lub odpowiednich statystyk z próby.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

14

Niech (X

1

, X

2

,…, X

n

) będzie jedno-cechową próbą prostą.

Dystrybuantą empiryczną

nazywamy następującą funkcję:

dla każdego x



R, F

n

(x)





{i: X

i



x}



/n,

gdzie



A



oznacza liczebność zbioru A.

UWAGI:

1. W klasycznej SM zakładamy, że dane są próbami pro-

stymi.

2. Rozróżniamy rozkład prawdop. w populacji i rozkład

próby losowej oraz średnią, wariancję, odch. standardowe,
kowariancję, współczynnik korelacji, tzw. teoretyczne, tj.
w

populacjach od empirycznych, tj. w próbach losowych.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

15

7. Twierdzenie o rozkładzie średniej arytmetycznej

Jeżeli cechę w populacji generalnej opisuje zm. l. X o roz-

kładzie N(m,



), to średnia arytmetyczna

n

X

z próby prostej

X

1

, X

2

,…, X

n

ma rozkład normalny N(m,



/



n), tj.





























teza

n

e

załałożeni

n

m

N

m

N

X

)

/

,

(

~

)

,

(

~







X

Dowód tego tw. wynika z tw. o sumie niezależnych zm. l. o
rozkładach normalnych.

Twierdzenie o rozkładzie sumy zm. l.

Jeśli X

1

, X

2

,…, X

n

są

niezależnymi zm. l. o rozkładach N(m

i

,



i

), to dla n



1, 2,…

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

16



























































teza

n

n

n

m

m

m

N

X

X

X

2

2
2

2

1

2

1

2

1

...

,

...

~

...

























Wniosek.

Dla prostej próby losowej

)

/

,

(

~

n

m

N

n



X

,

a po standaryzacji średniej

)

1

,

0

(

~ N

n

m

n





X

.

Uwaga.

W statystyce twierdzenia probabilistyki są stosowane

w drugą stronę, tzn. z pewnej wiedzy zawartej w tezie twier-
dzenia chcemy wnioskować o prawdziwości założenia.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

17

Wnioskowanie to nazywamy

wnioskowaniem redukcyj-

nym

, w odróżnieniu od dedukcyjnego dowodzenia prawdy

stosowanego w naukach formalnych.

Wnioskowanie redukcyjne nie jest niezawodne, niemniej

jest najczęściej stosowane w naukach empirycznych.

Przykład 1.

Długość linii jaką można narysować pewnego

typu pisakiem ma rozkład N(800; 100) [m].

a) Ile trzeba mieć takich pisaków, aby z prawd. co najmniej

0,99, można było narysować linię o długości ponad
3000m ?

b) Co wynika z faktu, że średnia długość linii narysowanej

4 pisakami jest krótsza niż 650 m?

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

18

8. CTG



centralne twierdzenie graniczne

Jeżeli X

1

, X

2

,…, X

n

jest próbą prostą z populacji X o warto-

ści oczekiwanej m i skończonym odchyleniu standardowym



, to rozkład średniej

n

X

z próby dąży do rozkładu normal-

nego o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym



/



n, gdy liczebność próby wzrasta nieograniczenie, czyli

)

/

,

(

~

)

,

?(

~

n

m

N

m

X

n

n











X

.

Siła CTG polega na tym, że rozkład populacji może być inny
niż normalny, a nawet może być nieznany (stąd piszemy ?).
Twierdzenie o standaryzowanym rozkładzie średniej arytme-
tycznej nazywa się

tw. Lindeberga-Levy’ego

.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

19

Przykład 2. Dane techniczne informują, że pewne silniki
osiągają max moment obrotowy 220 Nm, a odchylenie stan-
dardowe 15 Nm. Producent łodzi motorowych zanim dokona
zakupu tych silników zamierza zbadać próbną partię 36 silni-
ków. Jakie jest prawdop. zdarzenia, że średni max moment
przyjmie wartość mniejszą niż 215 Nm ? Jeśli średni moment
z próby będzie mniejszy od 215Nm, to co z tego wynika ?
Rozwiązanie. Rozpatrywana tu zm. l. to średnia arytmetyczna
z próby

36

X

, która ze względu na dużą liczebność próby ma

w przybliżeniu rozkład normalny o średniej m i standardo-
wym odchyleniu



/



n. Wykonujemy obliczenia stosując

standaryzację

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

20

.

0228

,

0

)

2

(

36

/

15

220

215

P

/

215

P

)

215

(

P

36

TABL

STD

Z

n

m

Z

















































X

Wniosek. Prawdop. że test, który chce przeprowadzić nabyw-
ca, wykaże średni max moment obrotowy silnika mniejszy niż
215 KM jest bardzo małe. Wynika stąd, że jeśli przeprowa-
dzony test da wynik mniejszy od 215 KM, to będą podstawy
do podważenia a priori danej informacji o parametrach osią-
ganej mocy silników.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

21

9. CTG dla sumy

Jeżeli X

1

, X

2

,…, X

n

jest próbą prostą z populacji X o skoń-

czonej wartości oczekiwanej m i odchyleniu stand.



, to dla

dostatecznie dużych n

)

,

(

~

)

(

1

n

nm

N

X

n

n

i

i











Dowód.

Spełnione są założenia CTG, więc

)

/

,

(

~

n

m

N



X

.

Ponieważ

X

1



…



X

n



n

X

, więc dla dostatecznie dużych n

suma n

X

ma prawie rozkład normalny oraz

E(n

X

)



nE(

X

)



nm, D

2

(n

X

)



n

2

D

2

(

X

)



n

2



2

/n



n



2

.

Stąd odch. standardowe wynosi



n. Co kończy dowód.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

22

10. Rozkład t-Studenta, jego własności i zastosowa-
nie

Aby zastosować CTG musimy znać



w populacji. Jeżeli



nie jest znane, to korzystamy z jego estymatora S

n

z próby.

W tym przypadku standaryzowana statystyka:

n

S

m

t

n

n





X

nie ma stand. rozkładu normalnego. Jest jedynie asympto-
tycznie normalna.

Rozkład statystyki t jest bardziej płaski w środku i ma

dłuższe „ogony” niż stand. rozkład normalny.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

23

Tw. Jeżeli rozkład cechy X w populacji jest normalny, to sta-
tystyka t ma rozkład

t-Studenta

1

o

n



1

stopniach swobody.

Zapis X~t(n) oznacza, że zm. l. X ma rozkład t-Studenta

o n stopniach swobody.
Własności: Jeżeli X~t(n), to EX



0 oraz D

2

X



n/(n



2), n >2.

Zastosowanie: W estymacji i weryfikacji hipotez dotyczą-
cych wartości oczekiwanej przy nieznanej wariancji.

1

William Sealy Gosset (1876 – 1937), statystyk angielski. Publikował pod pseu-

donimem Student, stąd nazwa wprowadzonego przez niego - w roku 1908 - rozkładu.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

24

Kwantyle rozkładu t-Studenta są stablicowane.

http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_t-Studenta

Rys. 1. Krzywe gęstości rozkładu t-Studenta.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

25

Przykład 3. Zarząd wielkiej firmy FIA informuje, że rozkład
płac pewnej dużej grupy pracowników tej firmy jest normalny
z wartością oczekiwaną m



2500 PLN. Spośród pracowni-

ków tej firmy wylosowano 25 osób. Obliczyć prawdop. zda-
rzenia, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest
mniejsza od 2000 PLN, jeśli:

a) wariancja płacy pracowników firmy FIA jest znana i

wynosi



2



14400 PLN

2

;

b) jedynie wariancja płacy z próby jest znana i wynosi s

2



19600 PLN

2

.

Wsk. Jeśli



jest znane, to zastosować tw. o rozkładzie śred-

niej arytmetycznej; jeśli



jest nieznane, to zastosować roz-

kład t-Studenta.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

26

Doświadczenie z próbą powiązaną. W populacji badamy ce-
chę dwukrotnie, tj. opisaną parą zm. l.-ych (X, Y).
Zakładamy, że zm. l. D



(X − Y) ~ N(m,



).

Pobieramy n elementową próbę powiązaną, tj.

(X, Y)



(X

1

, Y

1

), (X

2

, Y

2

),…, (X

n

, Y

n

).

Jeżeli D

i



(X

i

−Y

i

), i



1, 2,…, n oraz D



(D

1

, D

2

,…, D

n

), to

)

1

(

~







n

t

n

S

m

D

t

n

p

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

27

11. Rozkład chi-kwadrat, jego własności i zastoso-
wanie

Jeżeli X

1

, X

2

,…, X

n

jest próbą prostą z populacji o rozkładzie

normalnym, to statystyka

)

1

(

~

)

1

(

2

2

2











n

chis

S

n

n

n

ma rozkład chi-kwadrat o n



1 stopniach swobody.

Własności.

Jeżeli X~chis(k), to EX



k, D

2

(X)



2k, mo(X)



k



2 dla k > 2.

Zastosowanie.

Statystyka chi-kwadrat ma zastosowanie w es-

tymacji i weryfikacji hipotez dotyczących wariancji.

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

28

Uwaga.

Jeżeli cecha X w populacji generalnej ma rozkład

normalny, to średnia arytmetyczna i wariancja z próby są nie-
zależnymi zm. l. mimo, że pochodzą z tej samej próby.

Krzywe gęstości Wykresy dystrybuant

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

29

Przykład 4 (kontynuacja przykładu 3). Zarząd firmy FIA po-
informował, że zróżnicowanie płac mierzone wariancją wy-
nosi 14400 PLN

2

.

a) (pre posteriori). Jakie jest prawd. zdarzenia, że obliczona

z wylosowanej próby 25 pracowników wariancja empi-
ryczna wyniesie ponad 25000 PLN

2

?

b) (a posteriori). Obliczona z wylosowanej próby wariancja

empiryczna wyniosła ponad 25000 PLN

2

. Co z tego wy-

nika ?

Wskazówka.

667

,

41

25000

2
25

2

25









S

Uwaga. Jeżeli n > 30, to można zastosować statystykę

)

1

,

3

2

(

/

)

1

(

2









n

N

S

n

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

30

12. Statystyki porównania parametrów w dwóch
populacjach normalnych

Rozważamy dwie niezależne populacje, w których modelami
badanej cechy są zm. l. X i Y, przy czym

X~N(m

1

,



1

), Y~N(m

2

,



2

).

Z populacji tych pobieramy niezależne próby proste

)

,...,

,

(

1

2

1

n

X

X

X



X

oraz

)

,...,

,

(

2

2

1

n

Y

Y

Y



Y

Niech

X

,

Y

, S

1

i S

2

będą statystykami z tych prób.

Do konstrukcji przedziałów ufności oraz testów statystycz-
nych dotyczących porównania wartości oczekiwanych lub
wariancji badanej cechy typu ciągłego mają zastosowanie na-
stępujące statystyki:

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

31





)

1

,

0

(

~

)

(

2

2
2

1

2

1

2

1

N

n

n

m

m

Z















Y

X









2

)

1

(

/

)

1

(

znane,

jest

?,

),

2

(

~

1

)

(

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2
2

2

1

2

1

2

1

2

2

1















































n

n

S

n

k

S

n

S

k

k

n

n

t

n

n

k

S

m

m

t

Y

X

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

32

W szczególnym przypadku, gdy k



1





2

)

1

(

)

1

(

?,

),

2

(

~

1

1

)

(

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2
2

2

1

2

1

2

1

2

2

1



















































n

n

S

n

S

n

S

n

n

t

n

n

S

m

m

t

Y

X

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

33

Statystyka Cochrana



Coxa





2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2
2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

?,

),

(

~

)

(





































































n

S

n

n

S

n

n

S

n

S

t

n

S

n

S

m

m

t

Y

X

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

34

2

)

1

(

)

1

(

,

),

2

(

~

)

2

(

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2
2

2

1

2

1

2

2

2

1

2





































n

n

S

n

S

n

S

n

n

chis

S

n

n

)

1

,

1

(

~

/

/

2

1

2
2

2

2

2

1

2

1











n

n

Snedecora

S

S

F

K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

35

13. Statystyka porównania dwóch frakcji

Rozważamy dwie niezależne populacje, w których modelami
badanej cechy jakościowej są zm. l. X i Y, przy czym

X~B(p

1

), Y~B(p

2

).

Z populacji tych pobieramy duże niezależne próby proste
o licznościach odpowiednio n

1

i n

2

(często >100),

)

,...,

,

(

1

2

1

n

X

X

X



X

oraz

)

,...,

,

(

2

2

1

n

Y

Y

Y



Y

.

Liczby elementów wyróżnionych, w tych próbach, oznacza-
my odpowiednio K

1

i K

2

, tj.

i

X

K





1

,

i

Y

K





2

oraz

1

1

1

/ n

K

P



,

2

2

2

/ n

K

P



K.J. Andrzejczak, MPiS30 W09: Podstawy statystyki matematycznej

36

wówczas





2

1

2

1

2

1

2

1

,

2

1

2

1

,

gdzie

)

1

,

0

(

~

)

1

(

)

(

2

1

n

n

n

n

n

n

n

K

K

p

N

n

p

p

p

p

p

p

Z

n

n

























W praktyce, przybliżenie rozkładem normalnym stosujemy,
gdy dla i



1, 2

i

i

i

i

i

i

n

p

p

n

p

n







)

1

(

0

