(6) Moment pędu

• moment pędu – definicja
• druga zasada dynamiki dla ruchu

obrotowego.
• moment bezwładności
• ruch w polu sił centralnych
• bryła sztywna

Moment pędu punktu materialnego
względem środka układu odniesienia.

x

y

z

r

L

v

r

p

r

L

m

×

=

×

≡

p=mv

Moment pędu cząstki swobodnej.

-

parametr zderzenia: r

0

=r sin

α

x

y

z

r

p=mv

const

v

r

p

r

L

=

×

=

×

≡

m

p=mv

r’

( )

( )

( )

const

mvr

L

const

t

t

r

=

=

=

⊥

α

α

sin

sin

v

r,

L

α

sin

r

α

′

α

•

L

zmiana momentu pędu punktu
materialnego pod działaniem siły, F.

F

p

=

dt

d

Siła prowadzi do zmiany pędu

x

z

y

r

L

(

)

T

F

r

p

r

L

=

×

=

×

≡

dt

d

dt

d

p=mv

F

(

)

0

=

×

=

×

×

=

×

+

×

=

×

×

=

×

v

v

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

F

r

p

r

m

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

T=r

×F

dL/dt

Moment siły prowadzi do zmiany momentu pędu

Moment bezwładności.

(

)

ω

r

ω

r

L

2

mr

m

=

×

×

=

L

ω

v

r

L

r

ω

v

×

=

×

=

m

bo:

x

y

z

r

L

2

mr

I

I

≡

= ω

L

p=mv

ω

(

) (

) (

)

0

=

⋅

⇒

⊥

⋅

−

⋅

≡

×

×

ω

r

ω

r

B

A

C

B

A

B

C

B

A

I

-moment bezwładności względem osi (

ω,L)

Ruch w polu siły centralnej.

- moment siły centralnej znika

* grawitacyjna,
* sprężysta,
* Coulomba, etc.)

x

y

r

p=mv

F

const

L

T

L

F

r

T

=

=

=

=

×

≡

0

0

c

c

dt

d

moment pędu całką ruchu

Ruch w polu siły centralnej.

- Drugie prawo Keplera.

Promień wodzący planety zakreśla równe pola w

równych czasach.

const

L

=

x

y

p=mv

r

vdt

α

m

rv

dt

dS

L

v

r

2

1

2

1

sin

2

1

=

×

=

=

α

m

L

m

mr

r

dt

d

r

r

dt

dS

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

=

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

ω

θ

α

sin

2

1

vdt

r

dS

=

Ruch w polu siły centralnej 1/r

2

.

- Zasady zachowania.

( )

( )

const

r

E

v

E

p

kin

=

+

= const

L

x

y

r

v(r)

ω

κ

ω

κ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

mr

L

r

r

m

mv

r

mv

mv

E

r

l

r

=

−

+

=

−

+

=

Szukamy równania toru w postaci

r(

θ

)

v

r

v

l

θ

2

2

2

2

mr

L

dt

d

r

m

L

E

m

dt

dr

v

r

=

≡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

≡

θ

ω

κ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

r

m

L

E

m

L

mr

d

dr

κ

θ

2

2

2

2

( )

2

2

2

2

1

cos

1

κ

ε

κ

θ

ε

θ

m

EL

m

L

p

p

r

+

≡

≡

+

=

r

E

p

κ

−

=

równanie krzywych stożkowych we współrzędnych biegunowych

Ruch w polu siły centralnej 1/r

2

.

- krzywe stożkowe (koło, elipsa, parabola, hiperbola).

=

Pierwsze prawo Keplera

( )

( )

const

r

E

v

E

p

kin

=

+

= const

L

( )

2

2

2

2

1

cos

1

κ

ε

κ

θ

ε

θ

m

EL

m

L

p

p

r

+

≡

≡

+

=

p

-parametr (promień,

f(L

2

)

)

ε–mimośród:

ε =0 koło,

E

mała

<0

0<

ε<1

elipsa,

E <0

ε

=1

parabola,

E =0

ε

>1

hiperbola,

E >0

0

2

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0

2

ε

=1

ε

=1

ε

=0

ε

=0.5

Ruch w polu siły centralnej 1/r

2

.

- Trzecie prawo Keplera (I).

( )

2

2

2

2

1

cos

1

κ

ε

κ

θ

ε

θ

m

EL

m

L

p

p

r

+

≡

≡

+

=

p

-parametr (promień,

f(L

2

)

)

gdy p stały (koło) to:

( )

T

GMm

m

r

m

m

I

m

L

p

r

π

ω

κ

κ

ω

κ

ω

κ

2

2

4

2

2

2

=

=

=

=

=

=

GM

r

T

3

2

2

4

π

=

Okres obiegu planety,

T

• nie zależy od masy planety
• jest proporcjonalny do

r

3/2

0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0

ε

=0

Ruch w polu siły centralnej 1/r

2

.

- Trzecie prawo Keplera (II).

( )

2

2

2

2

1

cos

1

κ

ε

κ

θ

ε

θ

m

EL

m

L

p

p

r

+

≡

≡

+

=

duża oś elipsy,

a

, zależy jedynie od

energii całkowitej

2

max

min

max

min

1

2

2

1

1

ε

ε

ε

−

=

+

=

−

=

+

=

p

r

r

a

p

r

p

r

E

a

2

2

κ

=

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

ε

=0

ε

=0.9

<

---- r

ma

x

ε

=0.5

<

------------ r

mi

n

E=const

pole elipsy:

E

m

L

b

2

=

m

L

T

dt

dS

T

ab

S

2

1

=

=

=

π

3

2

2

2

2

4

2

a

m

E

m

T

κ

π

κ

π

=

=

(III) Gdy

m<<M

okres obiegu,

T

, proporcjonalny do

a

3/2

.

(

)

3

2

2

4

a

m

M

G

T

+

=

π

Ruch w polu siły centralnej 1/r

2

.

- układ nie posiada stanu równowagi statycznej

Twierdzenie o wiriale:

E

E

E

E

to

E

E

E

gdzie

E

E

E

kin

p

kin

p

kin

p

=

=

>

<

<

+

=

2

0

,

0

,

0

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

Energia potencjalna

Promień

E

p

(r)=-1/r

E

p

E

E

kin

Układ bezstratny pozostaje
w równowadze dynamicznej!!!
(elektron w atomie)

Dynamika bryły sztywnej

• druga zasada dynamiki dla bryły,
• moment skręcający sił wewnętrznych znika,
• zasada zachowania momentu pędu
• moment bezwładności
• energia kinetyczna

Zasada zachowania momentu pędu.

dla układu

x

y

z

r

1

T

1

F

12

Moment obrotowy sił wewnętrznych znika
(względem dowolnego punktu odniesienia)

T

L

=

dt

d

r

2

F

21

T

2

∑

∑

=

i

i

i

i

dt

d

T

L

(

)

(

) (

)

∑

∑

∑

×

+

×

=

×

=

i

wewn

i

i

i

zewn

i

i

i

i

i

tot

F

r

F

r

F

r

T

(

)

0

=

×

=

∑

i

wewn

i

i

wewn

tot

F

r

T

zewn

tot

tot

dt

d

T

L

=

const

L

T

=

⇒

=

tot

zewn

tot

0

Zasada zachowania momentu pędu.

const

L

T

=

⇒

=

tot

zewn

tot

0

zewn

tot

tot

dt

d

T

L

=

• II prawo Keplera
• żyroskop,
• piruety,
• mechanika kawantowa (fizyka atomu, chemia)

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

zewn

tot

tot

dt

d

F

p

=

zewn

tot

tot

dt

d

T

L

=

Bryła sztywna:
•odległość pomiędzy punktami stała,
• wspólna prędkość kątowa

Gdy moment pędu,

L

, równoległy do

ω,

(gdy obrót wokół osi symetrii bryły

składowe poprzeczne

L

x

, L

y

=0

)

x

r

v=

ω×r

z

y

ω

(

)

(

)

(

)

(

)

ρ

=r sin(r,

ω)

L=mr

×v

(

)

∑

∑

∑

∑

=

⋅

=

×

=

×

×

=

×

=

×

=

i

i

i

i

tot

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

tot

r

m

L

m

m

ω

r

ω

L

r

ω

v

r

ω

r

v

r

p

r

L

,

sin

2

2

ω

ω

ω

∑

=

=

i

i

i

m

I

ω

I

L

2

ρ

ω

ω

ω

L

ω

Moment bezwładności

I

względem osi

ω

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

x

z

y

r

F

zewn

tot

tot

dt

d

T

L

=

ω

T

dL/dt

L

• jazda na rowerze,
• precesja (dziecinny bączek)
• rezonans magnetyczny

dL/dt

L

F=mg

r

T

Moment bezwładności brył

R

2

MR

I

=

• Obręcz

• Pręt

2

12

1

ML

I

=

dL

dM

L

M

=

≡

λ

( )

2

2

3

2

0

3

2

0

2

2

0

2

12

1

12

1

2

3

2

3

1

2

2

2

ML

L

L

I

L

d

dM

I

L

L

L

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

=

=

∫

∫

λ

λ

ρ

λ

ρ

ρ

λ

ρ

Moment bezwładności brył

R

2

2

DLR

DV

M

L

R

V

dV

dM

V

M

D

π

π

=

=

=

=

≡

• Jednorodny walec

∫

∫

=

=

V

dV

D

dm

I

2

2

ρ

ρ

2

4

0

4

0

3

2

0

0

3

0

2

0

0

2

2

1

2

1

4

1

2

2

MR

DLR

DL

d

DL

d

d

DL

dl

d

d

D

I

R

R

R

L

R

=

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

π

ρ

π

ρ

ρ

π

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ρ

ρ

π

π

2

R

dl

d

d

dV

⋅

⋅

=

ρ

ϕ

ρ

dl

ρ

d

ϕ

d

ρ

dl

ρ

2

2

1

MR

I

walca

=

Moment bezwładności brył

2

MR

I

=

• Obręcz wzgl. osi

• Krążek, walec, wzgl. osi

2

2

1

MR

I

=

• Krążek, walec, wzgl. osi w płaszczyźnie

2

4

1

MR

I

=

• Pręt wzgl. osi poprzecznej

2

12

1

ML

I

=

• Kula pusta

2

3

2

MR

I

=

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym.

x

S

z

S

y

S

r

S

v

i

=

ω×r

i

ω

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

+

+

=

+

=

=

i

i

i

i

i

i

S

i

i

S

i

i

S

i

i

i

i

kin

S

S

S

v

m

m

m

V

m

v

m

E

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

v

V

v

V

ρ

=

=r

sin(r,

ω)

Gdy liczymy względem układu

związanego z środkiem masy to:

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

i

S

S

m

m

0

0

v

r

∑

+

=

i

i

i

S

kin

S

v

m

MV

E

2

2

2

1

2

1

Energia środka masy + energia względem środka masy

(

)

∑

∑

=

×

=

×

=

i

i

i

i

i

i

kin

i

S

S

S

m

m

E

2

2

2

2

1

2

1

ρ

ω

r

ω

r

ω

v

i

V

2

2

2

1

2

1

ω

ω

S

I

MV

E

S

kin

+

=

Praca sił wewnętrznych w ruchu obrotowym

• praca sił grawitacji w zagadnieniu Keplera

.

const

I

L

=

=

ω

Zasada zachowania momentu pędu:
Zasada zachowania energi: praca
wykonana nad układem powoduje
wzrost energii (kinetycznej)

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

ω

ω

I

I

d

W

r

r

−

=

⋅

=

∫

r

F

Staczanie się bryły

R

a

I

R

F

dt

d

m

F

mg

a

dt

dv

T

T

γ

γ

ω

α

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

−

=

=

sin

P=mg

F

T

=?

α

mgsin

α

m

F

mg

a

I

R

F

T

T

−

=

=

α

sin

2

I

mR

mg

F

T

2

1

sin

+

=

α

2

2

2

1

sin

sin

1

1

mR

I

a g

g

I

mR

mR

I

α

α

⎛

⎞

⎜

⎟

=

⎜

⎟ =

⎜

⎟

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

Energia kinetyczna toczącej się bryły.

α

v

R

v

=

ω

R

2

2

2

2

2

2

2

2

2

mR

mv

I

mv

I

mv

E

kin

+

=

+

=

ω

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

2

2

1

2

mR

I

mv

E

kin

h

l

z zasady zachowania energii

( )

( )

at

t

v

at

t

l

=

=

2

2

( )

( )

( )

2

2

2

2

1

sin

2

1

2

0

1

2

mR

I

t

gl

mR

I

t

gh

t

v

const

mR

I

mv

mgh

+

=

+

=

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

α

2

2

2

1

sin

1

sin

mR

I

g

a

mR

I

gat

at

+

=

+

=

α

α

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

• staczanie a zsuwanie się,
• zabawa w „napędzany” samochodzik,
• dlaczego stosuje się aluminiowe felgi,
• pocisk z gwintowanej lufy,

• jo-jo, opada powoli i wraca.

T

N

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

=

mg

I

mr

T

m

T

mg

a

r

I

rT

N

N

N

2

1

r

a

I

r

F

dt

d

N

γ

γ

ω

=

=

=

r

2

2

1

mR

I

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

→

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

2

2

2

2

1

1

R

r

mg

I

mr

mg

T

N

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

→

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

R

r

R

r

g

I

mr

I

mr

g

a

2

2

2

R

r

g

a

≅

mg

Moment bezwładności brył.

∑

=

i

i

i

m

I

2

ρ

ω

• cienki pierścień, oś symetrii

I=mR

2

• cienki pierścień, oś poprzeczna

I=mR

2

/2

• dysk, oś symetrii

I=mR

2

/2

•

dysk oś poprzeczna I=mR

2

/4

• pręt, oś poprzeczna

I=ml

2

/12

• walec, oś podłużna

I=mr

2

/2

• kula pełna

I=2mR

2

/5

• kula pusta

I=2mR

2

/3

0

2

ω

ω

I

MR

I

+

=

0

ω

ω

R

Tensor momentu bezwładności

• tensor związek pomiędzy

wektorami

• tensor diagonalny

ω

L I~

=

[

]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

,

,

∑

=

β

β

αβ

α

ω

I

L

[

]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

zz

yy

xx

z

y

x

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

0

0

0

0

0

0

,

,

z

L

ω

z

z

z

y

y

y

x

xx

x

I

L

I

L

I

L

ω

ω

ω

=

=

=

y

x

(

)

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

=

+

+

=

zz

z

yy

y

xx

x

z

zz

y

yy

x

xx

kin

I

L

I

L

I

L

I

I

I

E

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

ω

ω

ω

obrót wokół osi o dużym momencie bezwładności odpowiada małej energii kinetycznej