1.

Wielkości w ruchu obrotowym

2. Moment pędu i moment siły

3.

Zasada zachowania momentu pędu

4. Ruch obrotowy bryły sztywnej względem ustalonej osi

-II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
-moment bezwładności
-energia kinetyczna ruchu obrotowego

5. Precesja

ZASADA ZACHOWANIA

MOMENTU PĘDU: PODSTAWY

DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

WSTĘP

Dotychczas opisywaliśmy ruch (kinematykę) i przyczyny ruchu
(dynamikę) tylko dla punktu materialnego

Ale rzeczywiste obiekty są znacznie bardziej skomplikowane:
składają się z wielu punktów materialnych, czasem zupełnie ze
sobą nie powiązanych.

Jeśli wzajemne położenie punktów materialnych w ciele jest stałe, to

ciało takie nazywa się bryłą sztywną , a jego ruch jest szczególnie

prosty: da się opisać jako złożenie ruchu postępowego i ruchu

obrotowego.

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRĘDKOŚĆ

KĄTOWA

Kierunek wektora prędkości
kątowej określony jest regułą
prawej dłoni

Ruch ciała obracającego się względem stałej osi można opisać
szybkością zmian kąta θ zakreślonego przez wektor wodzący
dowolnego punktu

dt

dθ

=

ω

r

θ

V

dt

dθ

=

ω

r

Prędkość kątowa jest
wektorem

r

θ

Kierunek wektora
prędkości kątowej zależy
od kierunku obrotu

r

V

r

v

r

×

ω

=

V

ω

ω

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM:

PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE

ω

ω

ω

ω

θ

V

ε

ε

ε

ε

dt

dω

=

ε

r

r

Przyśpieszenie kątowe
jest wektorem

Przyśpieszenie ciała w ruchu obrotowym można opisać szybkością
zmian prędkości kątowej ω

dt

dω

=

ε

V’

a

s

a’

s

Kierunek wektora
przyśpieszenia kątowego
zależy od kierunku zmian ω

ω

ω

ω

r

a

s

r

r

r

×

ε

=

a

s

- przyśpieszenie

styczne do toru

θ

V

ε

ε

ε

ε

a

s

’

a

s

ω

ω

ω

ω

V’

MOMENT SIŁY

Moment siły F przyłożonej do bryły w punkcie o wektorze
wodzącym r, w stosunku do początku inercjalnego układu
odniesienia wynosi

F

r

N

r

r

r

×

≡

Ruch obracającego się ciała można zmienić przykładając

do niego moment siły

x

y

z

F

r

N=r × F

Jeśli sił jest więcej, to całkowity
moment jest sumą wektorową
wszystkich momentów

r

1

F

1

N

1

=r

1

×

F

1

∑

×

=

i

i

i

F

r

N

r

r

r

Efekt przyłożenie siły F do ciała, które może się obracać zależy od:

wielkości siły
odległości punktu przyłożenia od osi obrotu
kąta przyłożenia siły w stosunku do prędkości punktu przyłożenia

MOMENT PĘDU

Efektem przyłożenie momentu siły N do ciała, jest nadanie mu ruchu obrotowego

Moment pędu bryły w stosunku do początku
inercjalnego układu odniesienia wynosi

∑

×

≡

i

i

i

p

r

L

r

r

r

Moment pędu i moment siły to pojęcia, które można stosować do dowolnego ruchu,
nie tylko obrotowego

Jeśli do ciała przyłożony jest moment siły, to zmienia się
moment pędu ciała

x

y

z

r

i

p

1

L=

Σ

r

i

×

p

i

ω

W jakich okolicznościach moment pędu może się
zmienić?

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

)

p

r

(

d

dt

L

d

r

r

r

r

r

r

r

×

+

×

=

×

=

dt

p

d

r

)

v

m

v

(

dt

L

d

r

r

r

r

r

×

+

×

=

dt

p

d

r

dt

L

d

r

r

r

×

=

Szybkość zmiany
momentu pędu
wynosi:

x

z

F

y

r

p

Jeśli brak jest zewnętrznego momentu siły to moment pędu układu mas jest zachowany

0

N

zewn

=

r

=

L

r

const

F

r

dt

L

d

r

r

r

×

=

F

x

z

x

y

p

p

x

z

x

y

F

x

F

p

z

x

y

r

F

i

ale

r

i

F

f

r

f

r

i

F

i

r

f

F

f

stąd

0

L

i

L

f

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM

NIERUCHOMEJ OSI

Bryła obraca się ze stałą prędkością kątową ω

ω

ω

ω

wokół stałej osi z

obrót bryły względem
stałej osi w kierunku z

Jaki jest moment pędu bryły?

W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba
zsumować iloczyny

, w wyniku czego moment

pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.

i

i

i

m

V

r

∆

×

r

r

Ponieważ jednak prędkość V

i

każdego punktu bryły leży w

płaszczyźnie xy dlatego wyrażenie na L rozpada się na dwie
części:

ponieważ V

i

leży w płaszczyźnie xy. Tutaj:

L

xy

jest składową L w płaszczyźnie xy, a

L

z

jest składową L wzdłuż osi z

Obliczenie L

z

jest proste:

z

xy

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

L

L

∆

m

V

r

∆

m

V

r

∆

m

V

)

r

r

(

∆

m

V

r

L

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

+

=

×

+

×

=

=

×

+

=

×

=

∑

∑

∑

⊥

⊥

ll

ll

ponieważ prędkość elementu ∆m

i

masy w położeniu r

i

wynosi V

i

= r

i

ω

.

I-moment bezwładności

,

m

r

zˆ

m

r

r

zˆ

m

V

r

zˆ

m

V

r

L

i

2

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

i

∑

∑

∑

∑

∆

ω

=

∆

ω

=

∆

=

∆

×

=

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

r

r

r

∑

∆

=

⊥

i

2

m

r

I

i

ω

z

y

x

V

i

r

i⊥

L

z

ω

z

y

x

ω

z

y

x

V

i

r

i

L

i

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM

NIERUCHOMEJ OSI

Jeśli bryła obraca się ze stałą prędkością kątową ω

ω

ω

ω

wokół

stałej osi to składowa jej momentu pędu wzdłuż tej osi wynosi

I

L

z

ω

=

r

r

Jeśli obracająca się bryła jest symetryczna względem
osi obrotu, to jej całkowity momentu pędu wynosi

I

ω

L

r

r

=

Stąd:

I

L

z

ω

=

r

r

ω

ω

ω

ω

z

V

i

r

i⊥

L

z

w jaki sposób można zmienić moment pędu takiej bryły?

ale ponieważ

ε

⋅

=

ω

⋅

=

r

r

r

I

dt

d

I

dt

L

d

z

zewn

N

dt

L

d

r

r

=

z

,

zewn

z

N

dt

dL

=

I

L

z

ω

=

r

r

czyli

ε

⋅

= I

N

z

,

zewn

więc:

Składowa przyśpieszenia kątowego wzdłuż osi obrotu ustalonej w układzie inercjalnym
(lub przechodzącej przez środek masy), zależy od składowej zewnętrznego momentu
siły wzdłuż tej osi

ε

⋅

=

r

r

I

N

zewn

Jeśli obracająca się bryła jest symetryczna względem
osi obrotu, to jej całkowity momentu pędu wynosi

I

ω

L

r

r

=

PRZYKŁAD: STOLIK OBROTOWY

Jeśli brak jest zewnętrznego momentu siły to
moment pędu układu mas jest zachowany

0

N

zewn

=

r

const

L =

r

0

N

zewn

=

r

I

ω

L

r

r

=

ω

ω

ω

ω

ω

Ciężarki odległe od osi obrotu:
mała prędkość kątowa

Ciężarki bliskie osi obrotu: duża
prędkość kątowa

Rysunek skopiowane z
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/

PRZYKŁAD: TOCZENIE PO RÓWNI

Pełny walec o masie M i promieniu r toczy się bez poślizgu po
równi o dl. L nachylonej pod kątem α do poziomu. Ile wynosi
prędkość środka masy walca w najniżej położonym punkcie równi?

T

G

R

N

N

N

I

T

G

R

M

a

r

r

r

r

r

r

r

r

+

+

=

ε

+

+

=

Opisuje ruch środka masy

Opisuje ruch obrotowy względem środka masy

Każdy z momentów N

F

to rXF tylko T ma niezerowy moment siły względem osi obrotu.

Ma=Mgsinα-T
Tr = Iε

Tr=(1/2)Mr*a

T=(1/2)M*a

a=2/3gsinα

Ma=Mgsinα-T

Ma=Mgsinα-T

Rzut sił i przyśpieszenia na kierunek x

Rzut momentów sił i przyśpieszenia kątowego na kierunek z

Ponieważ I dla walca wynosi I=(1/2)Mr

2

, dlatego Tr=(1/2)Mr

2

*ε.

Jeśli toczenie bez poślizgu, to ruch postępowy środka masy i ruch obrotowy wokół osi obrotu
walca są powiązane: a=ε*r⇒ ε=a/r.

(Ponieważ V=at i L=at

2

/2)

α

=

=

sin

gL

3

4

La

2

V

Środek masy walca będzie się poruszał tak, jakby wszystkie siły
zewnętrzne (R, T i G) były do niego przyłożone, czyli będzie
poruszał się ruchem jedn. przyśp. wzdłuż równi. Walec będzie się
obracał względem osi przechodzącej przez ten środek masy.

ROZWIĄZANIE

α

G

R

T

L

x

y

r

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: OBLICZANIE

ω

ω

ω

ω

r

i

Moment bezwładności względem osi obrotu, to suma mas i
odległości od osi obrotu

∫

∑

=

∆

=

dm

r

m

r

I

2

i

2

i

moment bezwładności obręczy

R

Ponieważ masa jest rozłożona symetrycznie i w odległości R
względem osi obrotu, to

m

R

dm

r

I

2

2

=

=

∫

moment bezwładności walca

R

dm’

Walec składa się z pierścieni o masie dm’ i w odległości r
względem osi obrotu, to

2

MR

dr

r

R

M

2

R

M

r

2

dr

r

'

dm

r

dm

r

I

2

R

0

3

2

2

R

0

2

2

2

=

⋅

=

π

⋅

π

⋅

=

=

=

∫

∫

∫

∫

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: TWIERDZENIE STEINERA

Moment bezwładności względem osi
obrotu, to suma mas i odległości od
osi obrotu

∫

∑

=

∆

=

dm

r

m

r

I

2

i

2

i

Przykład: moment
bezwładności walca

2

MR

3

MR

2

MR

I

2

2

2

=

+

=

R

oś obrotu

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy
momentowi bezwładności względem osi do niej równoległej i
przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy przez
kwadrat odległości między obiema osiami

∑

+

=

i

2

∆

m

a

I

0

I

śm

Oznaczmy przez I

0

moment

bezwładności jeśli oś obrotu
przechodzi przez środek masy

0

I

a

A jaki jest moment bezwładności względem innej osi, nie
przechodzącej przez środek masy?

śm

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO

Jeśli bryła obraca się wokół stałej osi to całkowita energia kinetyczna jest sumą energii
kinetycznych poszczególnych mas ∆m:

∑

∑

∑

∆

ω

=

ω

∆

=

∆

=

i

i

2

i

i

2

2

i

i

i

2

i

i

K

r

m

2

1

)

r

(

m

2

1

v

m

2

1

E

PRZYKŁAD:

α

h

T

L

E

p

=mgh

Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć prędkość
środka masy walca u podnóża równi

E

K

=(mV

2

+Iω

2

)/2

Energia potencjalna na szczycie przekształca się w energię
kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego

E

p

=E

K

(mV

2

+Iω

2

)/2=mgh

Ale:
I=mr

2

/2 i ω=V/r, to

α

=

⇒

α

=

α

=

+

sin

gL

3

4

V

sin

gL

4

3

V

sin

mgL

r

V

2

mr

2

1

2

mV

2

2

2

2

2

I

2

1

E

2

K

ω

=

Bąk symetryczny podparty u podstawy,
wiruje z bardzo dużą prędkością kątową ω.
Jego chwilowy moment pędu wynosi L=Iω

ω

ω

ω

,

czyli skierowany jest wzdłuż osi obrotu. Jaki
będzie ruch bąka, jeśli przestanie działać
podtrzymująca go siła?

r

sm

L

PRECESJA

R

G

- siła reakcji R podłoża przyłożona do punktu podparcia (moment siły pochodzący od tej siły
wynosi 0).

Na bąk działają dwie siły:
- ciężkości G=mg, (moment siły z nią
związany,

obliczony

względem

punktu

podparcia, wynosi N=r

sm

XG i jest skierowany

ll do podłoża),

r

sm

N

dL

Całkowity moment siły N=r

sm

X G powoduje zmianę momentu pędu dL=Ndt, czyli w kierunku ⊥ do

L (bo N jest ⊥ do r

sm

, a r

sm

ll L). ⇒ L obraca się (precesuje) wokół kierunku równoległego do

działającej siły.

dθ

ω

=

=

θ

=

Ω

I

mgr

L

Gr

dt

d

sm

sm

α

Lsinα

dL=r

sm

Gsinα

Ponieważ dL=r

sm

Gsin(α)dt, a kąt dθ wynosi:

L

dt

r

G

sin

L

dt

sin

r

G

sin

L

dL

d

sm

sm

⋅

⋅

=

α

⋅

⋅

α

⋅

⋅

=

α

⋅

=

θ

więc prędkość kątowa
precesji Ω: