Analiza Matematyczna 1 dla WPPT FT/IB, lista 6

Zadanie 1. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punk-
tach:

a) f (x) = arcsin

x

2

, (1, f (1)),

b) f (x) = ln(x

2

+ e), (0, f (0)),

c) f (x) = e

tg x

, (

π

4

, f (

π

4

)),

d) f (x) =

√

2

x

+ 1, (3, f (3)),

e) f (x) =

2x

1+x

2

, (

√

2, f (

√

2)),

f ) f (x) =

x

√

x, (e, f (e)).

Zadanie 2. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji spełniające podane
warunki:

a) f (x) = x

3

+ x − 10, która są równoległa do prostej y = 4x − 3, b) f (x) = cos

2

x − x, które

są prostopałe do prostej y = 2x + 1.

Zadanie 3. Oblicz kąt, pod jakim przecinają się wykresy funkcji:

a) f (x) = x

2

i g(x) =

3

√

x, x > 0, b) f (x) = 4 − x i g(x) = 4 −

x

2

2

, x > 0.

Zadanie 4. Korzystając z różniczki funkcji, oblicz przybliżone wartości wyrażeń:

a)

3

√

7.999,

b)

1

√

3.98

,

c) ln

2001
2000

,

d) ln 0.9993,

e) e

0.04

,

f ) arccos 0.499.

Zadanie 5. Korzystając z pochodnych, wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:

a) f (x) = x

3

− 30x

2

+ 225x,

b) f (x) =

x

4

4

−

x

3

3

− x

2

,

c) f (x) = 4x +

1

x

,

d) f (x) =

x

3

3−x

2

,

e) f (x) = x − 3

3

√

x,

f ) f (x) = xe

−3x

,

g) f (x) = x ln

2

x,

h) f (x) =

x

ln x

,

i) f (x) =

1

x ln x

,

j) f (x) = x

2

e

−x

2

.

Zadanie 6. Znajdź wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a) f (x) = x

3

− 4x

2

,

b) f (x) = x +

1
x

,

c) f (x) =

2x

2

−1

x

4

,

d) f (x) =

1

x

2

−x

,

e) f (x) = x −

√

x,

f ) f (x) = |x

2

− 5x − 6|,

g) f (x) = x ln x,

h) f (x) =

√

3x − x

3

,

i) f (x) = 2arctg x − ln (1 + x

2

),

j) f (x) = arctg x + arcctg x.

Zadanie 7. Znajdź wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych prze-
działach:

a) u(x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x, [1, 5],

b) v(x) = arctg

1−x
1+x

, [0, 1],

c) w(x) = (x − 3)

2

e

|x|

, [−1, 4],

d) z(x) = 1 − |9 − x

2

|, [−5, 1],

e) g(x) = x − 2

√

x, [0, 5],

f ) h(x) = 2 sin x + sin 2x, [0,

3
2

π].