Analiza Matematyczna 1 dla WPPT F/IB, lista 2

Zadanie 1. Zbadaj, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:

a) a

n

=

n

√

2

n

+ 1,

b) b

n

=

(−2)

n

1+(−2)

n

,

c) c

n

=

√

n + 8 −

√

n + 3,

d) d

n

=

1

4

1

+1

+

1

4

2

+2

+ . . . +

1

4

n

+n

,

e) e

n

=

2+cos n

3−2 sin n

,

f ) f

n

= 2

n

− 3

n

.

Zadanie 2. Zbadaj, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

a) a

n

=

1

n

2

−6n+10

,

b) b

n

=

4

n

2

n

+3

n

,

c) c

n

=

√

n

2

+ 1 − n,

d) d

n

=

n!

10

n

,

e) e

n

=

2

n

+1

3

n

+1

,

f ) f

n

= tg

100π

2n+1

.

Zadanie 3. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu, uzasadnij równo-
ści:

a) lim

n→∞

3−n
n+4

= −1,

b) lim

n→∞

2n+1

n

2

= 0,

c) lim

n→∞

2

√

n+1

√

n+1

= 2,

d) lim

n→∞

1

2

n

+5

= 0,

e) lim

n→∞

log

2

(n + 3) = ∞,

f ) lim

n→∞

(10 −

√

n)

5

= −∞.

Zadanie 4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów, oblicz granice:

a) lim

n→∞

n

3

+2n

2

+1

n−3n

3

,

b) lim

n→∞

(

n

20

+2

)

3

(n

3

+1)

20

,

c) lim

n→∞

1+3+...+(2n−1)

2+4+...+2n

,

d) lim

n→∞

(

n

2

+1

)

n!+1

(2n+1)(n+1)!

,

e) lim

n→∞



√

n

2

+ 4n + 1 −

√

n

2

+ 2n



,

f ) lim

n→∞



q

n + 6

√

n + 1 −

√

n



,

g) lim

n→∞



4

√

n

4

+ 16 − n



,

h) lim

n→∞

(

√

n

3

+1)

5

3

√

n

5

+1+1

,

i) lim

n→∞

3

√

8

n+1

+3

2

n

+1

,

i) lim

n→∞

2

n

+3

n

3

n

+4

n

.

Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, oblicz:

a) lim

n→∞

2n+(−1)

n

3n+2

,

b) lim

n→∞

bnπc

n

,

c) lim

n→∞

n

√

3 + sin n,

d) lim

n→∞

n

q

1

n

+

2

n

2

+

3

n

3

+

4

n

4

,

e) lim

n→∞

n

√

n2

n

+ 1,

f ) lim

n→∞



1

n

2

+1

+

1

n

2

+2

+ . . . +

1

n

2

+n



3

,

g) lim

n→∞

b

n

√

2

c

b

n

√

3

c

,

h) lim

n→∞

n

q

3

n

+2

n

5

n

+4

n

,

i) lim

n→∞

n+2

√

3

n

+ 4

n+1

.

Zadanie 6. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu, oblicz:

a) lim

n→∞



1 +

1

n



3n−2

,

b) lim

n→∞



5n+2
5n+1



15n

,

c) lim

n→∞



3n

3n+1



n

;

d) lim

n→∞



n+4
n+3



5−2n

,

e) lim

n→∞



n

2

n

2

+1



n

2

,

f ) lim

n→∞

h

3n+2
5n+2



n

·



5n+3
3n+1



n

i

.

Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, oblicz:

a) lim

n→∞

n

√

n

n

+ 5,

b) lim

n→∞

(3

n

cos n − 4

n

),

c) lim

n→∞

(sin n−2)n

2

,

d) lim

n→∞

h

(

1
3

+

1

n

)

n

(5−

1

n

)

n

i

,

e) lim

n→∞

(n

5

−10n

6

+1),

f ) lim

n→∞



1

√

1

+

1

√

2

+. . .+

1

√

n



.

Zadanie 8. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów, oblicz:

a) lim

n→∞

(n

4

− 3n

3

− 2n

2

− 1)

5

,

b) lim

n→∞

1−(n+1)!

n!+2

,

c) lim

n→∞



√

3 − cos

π
n



n

,

d) lim

n→∞

(

3

√

n

3

+ 3n − n),

e) lim

n→∞

n

2

+1

n

,

f ) lim

n→∞



n+1

2n



n

,

g) lim

n→∞

(1 + 2

n

− 3

n

),

h) lim

n→∞



sin

n+1

n



n

,

i) lim

n→∞



2n

2

+1

n

2

+1



√

n

.