Analiza Matematyczna 1 dla WPPT FT/IB, lista 4

Definicja: Funkcja f : D

f

→ R jest

rosnąca na zbiorze A ⊂ D

f

⇔

∀x

1

, x

2

∈ A ( x

1

< x

2

) ⇒ f (x

1

) < f (x

2

);

malejąca na zbiorze A ⊂ D

f

⇔

∀x

1

, x

2

∈ A ( x

1

< x

2

) ⇒ f (x

1

) > f (x

2

);

Jeżeli powyższe nierówności pomiędzy wartościami funkcji nie są ostre, to f jest:

niemalejąca na zbiorze A ⊂ D

f

⇔

∀x

1

, x

2

∈ A ( x

1

< x

2

) ⇒ f (x

1

) ¬ f (x

2

);

nierosnąca na zbiorze A ⊂ D

f

⇔

∀x

1

, x

2

∈ A ( x

1

< x

2

) ⇒ f (x

1

) ­ f (x

2

).

O funkcji, mającej jedną z 4 powyższych własności, mówimy krótko, że jest monotoniczna na
zbiorze A.

Funkcja jest rosnąca, jeżeli jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, analogicznie definujemy funkcję
malejącą, niemalejącą oraz nierosnącą.

Zadanie 0.1 Rozwiązując odpowiednie nierówności, zbadaj monotoniczność (na całej dziedzinie lub
na przedziałach) podanych funkcji:

a) f (x) = x

2

, b) f (x) = 2

x

, c) f (x) = e

x

, d) f (x) =

1

x

b) Czy suma (odpowiednio: różnica, iloczyn, iloraz) funkcji rosnących musi być funkcją rosnącą? To
samo pytanie dla funkcji malejących.
c) Wykaż, że funkcja rosnąca jest różnowartościowa.
d) Wykaż, że funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej — malejąca.

Zadanie 0.2 Przypomnij sobie definicję funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta: dla punktu
(x, y) na okręgu jednostkowym określamy skierowany kąt α jako kąt od dodatniej półosi Ox do

półprostej łączącej punkty (0, 0) i (x, y). Wówczas sin α =

y

√

x

2

+ y

2

; podaj analogiczne definicje

cosinusa, tangensa i cotangensa.
Korzystając z tych definicji, podaj przykładowe przedziały zawarte w zbiorze [−2π, 2π], na których
funkcje trygonometryczne są rosnące.

Zadanie 1. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji:

a) f (x) =

x

3

+ x

2

x

2

− 4

,

b) f (x) =

x

3

(x + 1)

2

,

c) f (x) =

1 − x

2

x + 1

,

d) f (x) =

x − 3

√

x

2

− 9

,

e) f (x) =

√

1 + x

2

x

,

f) f (x) =

1

e

x

− 1

;

g) f (x) =

sin x

x − π

,

h) f (x) =

sin

2

x

x

3

,

i) f (x) = x − arctg x.

Zadanie 2. Naszkicuj wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

a)

lim

x→−∞

f (x) = ∞, lim

x→0

−

f (x) = 1, f (2) = 0, lim

x→∞

f (x) = −1;

b) lim

x→∞

f (x) = e, lim

x→2

f (x) = 0, funkcja f jest parzysta;

c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą ukośną

w ∞, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;

d)

lim

x→−∞

f (x) = 0, lim

x→1

f (x) = 3, lim

x→∞

f (x) = −∞;

e)

lim

x→−∞

f (x) = ∞, lim

x→0

−

f (x) = −∞, lim

x→0

+

f (x) = 1, lim

x→∞

f (x) = 5;

f )

lim

x→−∞

f (x) = −4, lim

x→−1

f (x) = ∞, lim

x→∞

f (x) = 4;

g) lim

x→1

f (x) = ∞, lim

x→2

f (x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;

h)

lim

x→−∞

f (x) = 4, lim

x→1

f (x) = ∞, funkcja f jest nieparzysta.

Na rysunkach wskaż fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.

Zadanie 3. Dobierz parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punk-
tach:

a) f (x) =

(

sin x

dla |x| ­

π

2

,

ax + b dla |x| <

π

2

,

punkty x

1

= −

π

2

, x

2

=

π

2

,

b) f (x) =

(

x

2

+ax+b dla |x| < 2,

x

√

x

2

− 4 dla |x| ­ 2,

punkty x

1

= −2, x

2

= 2,

c) f (x) =

(

a sin x + b cos x dla |x| >

π

4

,

1 + tg x

dla |x| ¬

π

4

,

punkty x

1

= −

π

4

, x

2

=

π

4

,

d) f (x) =

(

bx

dla x < π,

sin x

ax

dla x ­ π,

punkt x

0

= π.

Zadanie 4. Określ rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f (x) =

(

x

2

−1

√

x−1

dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),

3

dla x = 1,

punkt x

0

= 1,

b) f (x) =

(

|x|+x

x

2

dla x 6= 0,

0

dla x = 0,

punkt x

0

= 0,

c) f (x) = sgn [x(x − 1)] ,

punkt x

0

= 1,

d) f (x) =

(

1 − cos

1
x

dla x 6= 0,

0

dla x = 0,

punkt x

0

= 0.

Zadanie 5. Czym różni się funkcja f (x) = x − 2 od funkcji g(x) =

x

2

− 4

x + 2

?

Czy można znaleźć taką funkcję ciągłą na całej prostej, która dla x 6= 0 równa jest f (x) =

|x|

x

?

Zadanie 6. Dana jest funkcja

f (x) =







0

dla x niewymiernych,

x

dla x wymiernych.

a) Wykaż, że w punkcie x

0

= 0 ta funkcja jest ciągła.

b)* Czy jest ciągła w jakimkolwiek innym punkcie?

Zadanie 7. Dana jest funkcja

f (x) =







0,

gdy x niewymierne lub x = 0,

1
q

,

gdy x wymierne, x =

p
q

, gdzie p ∈ Z, q ∈ N i ułamek

p
q

jest nieskracalny.

a) Czy f jest ciągła w punkcie x

0

= 1?

b)* Czy f jest ciągła w punkcie x

0

= 0?

c)* Czy f jest ciągła w punkcie x

0

=

√

2?

d)** W jakich punktach f jest ciągła?