Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

PRÓBNY

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

(zadania 1–11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu
zespo³u nadzoruj¹cego egzamin.

2. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to

przeznaczonym.

3. Pamiêtaj, ¿e pominiêcie argumentacji lub istotnych obliczeñ

w rozwi¹zaniu zadania otwartego mo¿e spowodowaæ, ¿e za
to rozwi¹zanie nie bêdziesz móg³ dostaæ pe³nej liczby
punktów.

4. Pisz czytelnie i u¿ywaj tylko d³ugopisu lub pióra z czarnym

tuszem lub atramentem.

5. Nie u¿ywaj korektora, a b³êdne zapisy wyraŸnie przekreœl.
6. Pamiêtaj, ¿e zapisy w brudnopisie nie bêd¹ oceniane.
7. Mo¿esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej

naklejkê z kodem.

9. Nie wpisuj ¿adnych znaków w czêœci przeznaczonej dla

egzaminatora.

PRZED MATUR¥

MAJ 2012

Czas pracy:

180 minut

Liczba punktów

do uzyskania: 50

WPISUJE ZDAJ¥CY

PESEL

KOD

Zadanie 1. (6 pkt)

Dana jest funkcja f (x) =

2

4

+

-

x

x

, gdzie x

Î R – {4}.

a) Wyznacz wszystkie punkty nale¿¹ce do wykresu funkcji f, których obie wspó³rzêdne s¹ licz-

bami pierwszymi.

b) Podaj zbiór tych argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoœci nieujemne.

c) Naszkicuj wykres funkcji g, jeœli g(x) =

| ( )|

( )

f x

f x

.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

2

Y

X

0

1

2

3

4

5

–2

–1

1

2

3

–1

–1

–3

–3

–4

–5

Zadanie 2. (4 pkt)

Ci¹g (a

n

), gdzie n

Î N

+

, okreœlony jest nastêpuj¹co:

a

a

a

n

n

n

1

1

2

3

1

=

=

³

ì
í

ï

îï

+

dla

.

Wyznacz wszystkie wartoœci k, dla których suma k pocz¹tkowych wyrazów ci¹gu (a

n

) jest

wiêksza od

728

243

.

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

3

Zadanie 3. (4 pkt)

W trapezie prostok¹tnym ABCD na rysunku poni¿ej dane s¹: |AD| = 8 cm, |DC| = 7 cm oraz
|AC| = 13 cm. Oblicz:
a) miarê k¹ta ostrego trapezu przy wierzcho³ku A,
b) d³ugoœæ odcinka ³¹cz¹cego œrodki ramion tego trapezu.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

4

A

B

C

D

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyka¿, ¿e jeœli x > 1, y > 1 i z > 1, to log

x

z + log

y

z

³ 4 × log

xy

z.

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

5

Zadanie 5. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartoœci x, dla których ci¹g (|x – 1|, 2, |x + 3|) jest malej¹cym ci¹giem
arytmetycznym.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

6

Zadanie 6. (4 pkt)

W czworok¹cie wypuk³ym ABCD (zobacz rysunek poni¿ej) dane s¹ k¹ty:

|

ËADC| = |ËABC| = 90° oraz |ËDCB| =135°. Wyka¿, ¿e

|

|

|

|

DB

AC

=

2

2

.

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

7

A

B

C

D

Zadanie 7. (5 pkt)

Jednym z pierwiastków wielomianu W(x) stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozosta³ych
dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu tego wielomianu nale¿y punkt A(3, 1). Wiedz¹c,
¿e reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 2) jest równa –2, wyznacz wzór tego
wielomianu i uporz¹dkuj go malej¹co.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

8

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

9

Zadanie 8. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartoœci parametru p (p

Î R), dla których równanie

3cos

2

x = (p + 1)

× cos x ma w przedziale -

æ
è

ç

ö
ø

÷

3

2

2

p p

,

tylko trzy ró¿ne rozwi¹zania, z których dwa s¹

ujemne, a jedno dodatnie.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

10

Zadanie 9. (4 pkt)

Ze zbioru liczb {0, 1, –1, 3, –3, 5, –5, …, 2n + 1, –2n – 1}, gdzie n jest ustalon¹ liczb¹ naturaln¹,
wiêksz¹ od 4, losujemy jednoczeœnie trzy liczby. Niech A oznacza zdarzenie: suma wylosowa-
nych liczb nie ulegnie zmianie, jeœli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne.

Wiedz¹c, ¿e P(A) =

1

133

, oblicz n.

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

11

Zadanie 10. (6 pkt)

W trójk¹cie ABC, w którym A(–2, –2) oraz B(4, 4), k¹t przy wierzcho³ku B jest rozwarty. Bok AC
zawiera siê w prostej k: x – 3y – 4 = 0. Œrodek okrêgu opisanego na trójk¹cie ABC znajduje siê
w odleg³oœci 10 od boku AC. Wyznacz równanie tego okrêgu.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

12

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

13

Zadanie 11. (4 pkt)

Podstaw¹ ostros³upa jest romb, którego pole wynosi 800 cm

2

, a k¹t ostry rombu ma miarê 30

°.

Wysokoœæ ostros³upa jest równa 24 cm, a spodek tej wysokoœci jest œrodkiem okrêgu wpisanego
w podstawê. Oblicz:
a) promieñ tego okrêgu,
b) pole powierzchni bocznej ostros³upa.

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

14

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

15

WYPE£NIA ZDAJ¥CY

SUMA

PUNKTÓW

D

J

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

PESEL

WYPE£NIA EGZAMINATOR

9

4

5

6

7

8

3

2

1

Nr

zad.

Punkty

0

1

2

3

4

5

6

10

11

BRUDNOPIS

Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

16