GEOMETRIA I GRAFIKA IN

ŻYNIERSKA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

Przykładowe zadania z rozwi

ązaniami - część 3

Zad. 9. Wykreślić aksonometrię kawaler-
ską wielościanu mając dane jego trzy
rzuty główne. Przyjąć

λλλλ

y

= 1/2

,

γγγγ

= 45°

.

Wielościan należy umieścić w prostokąt-
nym układzie współrzędnych. Do każde-
go rzutu należy wprowadzić i wyskalować
osie układu współrzędnych. Ponieważ
rzutowana bryła powstała przez wycięcia
z sześcianu, najwygodniej za jednostkę
długości przyjąć długość krawędzi
sześcianu.

Rys. 9.1. Rzuty główne
bryły powstałej przez
wycięcia z sześcianu

Jak wynika z rysunku wycięcia z sześ-
cianu wymagają podziału krawędzi
sześcianu na dwie części.
Powstała bryła jest symetryczna, spróbuj-
my zatem wyznaczyć współrzędne tylko
dwóch punktów pokazanych na rysunku
obok.
Punkty te, to wierzchołki kwadratu
pokazanego w rzucie poziomym linią
kreskową (krawędzie niewidoczne w tym
rzucie). Współrzędne punktu

A

, odczytane

z rzutu poziomego, to

x

A

= 1/2

,

y

A

= 1

.

Analizując rzut pionowy i boczny można
wyznaczyć współrzędną

z

A

= 1/2

.

Współrzędna

z

punktu

A

nie może być równa

1

- bo w widoku z góry punkt

A

wyznaczony

jest przez krawędzie niewidoczne. Nie może być również

z

A

= 0

, ze względu na symetrię

bryły.
Podobną analizę można przeprowadzić dla punktu

B

, a także pozostałych dwóch wierzchoł-

ków kwadratu niewidocznego w widoku z góry.

A(1/2, 1, 1/2)

B(1, 1/2, 1/2)

Rys. 9.2. Rzuty główne
bryły w układzie
współrzędnych Oxyz

Konstrukcję najlepiej zacząć od narysowania aksonometrii kawalerskiej sześcianu, a następnie
pokazać na jego tle szukaną bryłę przez odmierzenie współrzędnych punktów i wykonanie
wycięć zgodnie z zadanymi rzutami.
Punkt

A

będzie środkiem ściany czołowej sześcianu - patrz rzut pionowy czyli widok z przodu.

Punkt

B

będzie środkiem ściany bocznej sześcianu - patrz widok z boku (rzut boczny).

Ś

rodek ściany (kwadratu) najlepiej wyznaczyć rysując jego przekątne. Można więc w ten

sposób wyznaczyć położenia punktów

A

i

B

zamiast odmierzać współrzędne.

Rys. 9.2. Rzuty główne
bryły w układzie
współrzędnych Oxyz
- powtórzenie

Rys. 9.3. Aksonometria sześcianu z
naniesionymi widokami z przodu i z boku
na jego ścianach: czołowej i bocznej

Punkty

A

i

B

należy połączyć - wykreślamy krawędź pokazaną linią kreskową na rzucie

poziomym. Na rzucie aksonometrycznym krawędź ta będzie widoczna. Biorąc pod uwagę
symetrię bryły, można wyznaczyć pozostałe krawędzie łączące środki ścian pionowych bryły. Z
rzutów można domniemywać, że istnieją wszystkie wierzchołki sześcianu, istnieją także
krawędzie utworzone przez przekątne ścian widoczne w rzucie pionowym i bocznym.
Wykreślając krawędzie bryły przy uwzględnieniu jej symetrii otrzymujemy bryłę pokazaną na
rysunku poniżej.
Rysunek z prawej strony pokazuje bryłę po usunięciu wyciętych części (wymazaniu
nieistniejących krawędzi).

Rys. 9.4. Aksonometria zadanej bryły na tle sześcianu (a) i bryła (wielościan) wycięta z sześcianu (b)

Zad. 10. Wykreślić aksonometrię wojskową wielościanu mając dane jego trzy rzuty główne.

Wielościan należy umieścić w prostokątnym układzie współrzędnych. Do każdego rzutu
należy wprowadzić i wyskalować osie układu współrzędnych. Ponieważ rzutowana bryła
powstała przez wycięcia z sześcianu, najwygodniej za jednostkę długości przyjąć długość
krawędzi sześcianu.

Rys. 10.1. Rzuty główne
wielościanu powstałego
przez wycięcia z sześcianu

Wykonanie wycięć związane jest z po-
działem krawędzi sześcianu na trzy
części. Dlatego też, jednostkę długości
(którą stanowi długość krawędzi
sześcianu) odmierzoną na osiach
układu współrzędnych, też podzielimy
na trzy części. Taki podział wystarczy
do określenia współrzędnych
wszystkich wierzchołków zadanej
bryły.
Ponieważ, zadana bryły ma dość dużo
wierzchołków i wiele z nich się
pokrywa, spróbujmy narysować bryłę
bez określania współrzędnych
poszczególnych punktów pomagając
wyobraźni w inny sposób.

Narysujmy aksonometrię wojskową sześcianu i na widokach: z przodu, z góry i z boku
naszkicujmy rzuty: pionowy, poziomy i boczny. Wyobraźnia powinna nam
podpowiedzieć w jaki sposób zrealizować wycięcia aby wykreślić szukaną bryłę.

Rys. 10.2. Rzuty główne wielościanu w układzie
współrzędnych Oxyz

Rysunek 10.3 pozwala nam na narysowanie
aksonometrii zadanego wielościanu zgodnego
z danymi rzutami głównymi. Krawędzie
widoczne rysujemy linią grubą a niewidoczne
linią cienką kreskową.

Rys. 10.3. Aksonometria sześcianu z nanie-
sionymi widokami bryły: z przodu, z boku
i z góry, na jego ścianach: czołowej, bocz-
nej i górnej

Rys. 10.4. Aksonometria wojskowa wielościanu
otrzymana przez wycięcia z sześcianu

Podobnie jak przy poprzednich zadaniach wielo-
ś

cian należy umieścić w prostokątnym układzie

współrzędnych. Do każdego rzutu należy dory-
sować i wyskalować osie układu współrzędnych.

Ponieważ rzutowana bryła powstała przez
wycięcia z sześcianu, najwygodniej za jednostkę
długości przyjąć długość krawędzi sześcianu.
Widoczne krawędzie związane z wycięciem na
widoku z przodu i z boku, mają współrzędną

z= 1/2

, wynikają więc z podziału krawędzi

sześcianu na połowy.

Zad. 11. Wykreślić aksonometrię wojskową wielościanu mając dane jego trzy rzuty główne.

Rys. 11.1. Rzuty główne bryły powstałej przez
wycięcia z sześcianu

Wyznaczono współrzędne tylko
dwóch punktów,

A

i

B

, będących

wierzchołkami szukanego wielościa-
nu a które nie są wierzchołkami
sześcianu. Punkty te zostały
następnie zaznaczone na aksono-
metrii sześcianu pokazanej na
rysunku 11.3.

Rys. 11.2. Rzuty główne wielościanu w układzie
współrzędnych Oxyz

Ponieważ krawędź

AB

jest na głównych

rzutach prostokątnych widoczna (narysowana
jest linią grubą ciągłą), musi być więc też
widoczna w rzucie aksonometrycznym.
Wykonane wycięcie pokazuje rysunek 11.4.

Rys. 11.3. Aksonometria sześcianu z na-
niesionymi punktami A i B oraz
naniesionymi widokami z przodu i z boku
na ścianach: czołowej i bocznej

Rys. 11.4. Szukana aksonometria
wielościanu opisanego rzutami głównymi

Zad. 12. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju wielościanu (powstałego przez
wycięcia z sześcianu) płaszczyzną

αααα

(1,2,3)

, określoną przez trzy punkty leżące na jego

krawędziach.

Przez punkty należące jednocześnie do
dwóch nierównoległych płaszczyzn musi
przechodzić krawędź przecięcia tych
płaszczyzn. Aby jednoznacznie określić
krawędź przecięcia wystarczą dwa
punkty wspólne. Przez punkty

1

,

2

i

3

przechodzi płaszczyzna tnąca,
zauważamy, że punkty

2

i

3

należą także

do ściany wielościanu leżącej na
płaszczyźnie określonej osiami

zy

. Przez

punkty

2

i

3

musi przechodzić krawędź

przecięcia płaszczyzny tnącej i ściany
wielościanu a więc należąca do przekroju
wielościanu zadaną płaszczyzną.

Rys. 12.1. Aksonometria wielościanu z naniesionymi
trzema punktami należącymi do płaszczyzny tnącej

Możemy przedłużyć krawędź łączącą
punkty

2

i

3

aż do przecięcia z osiami

z

i

y

- będzie to krawędź przecięcia

płaszczyzny tnącej z płaszczyzną
określoną osiami

zy

. Punkt

A

, leżący

na osi

y

, należy także do płaszczyzny

xy

. Do płaszczyzny

xy

należy także

punkt

1

. Ponieważ punkt

A

i

1

należą

także do płaszczyzny tnącej, przez
punkty te musi przechodzić krawędź
przecięcia tych płaszczyzn. Odcinek

1-4

jest krawędzią przecięcia płasz-

czyzny tnącej i ściany wielościanu
leżącej na płaszczyźnie

xy

.

Rys. 12.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 2-3 i 1-4

Wiedząc, że na płaszczyznach
równoległych, przecinanych płaszczyzną
tnącą, krawędzie przecięć są równoległe,
możemy przez punkt

3

poprowadzić

krawędź równoległą do krawędzi

1-4

.

Otrzymamy punkt

5

należący do

przekroju bryły. Zgodnie z tą zasadą,
możemy z punktu

1

poprowadzić

krawędź równoległą do

2-3

.

Otrzymujemy punkty

6

i

7

należące do

przekroju. Łącząc punkty

2

i

4

oraz

5

i

6

należące jednocześnie do dwóch
płaszczyzn, otrzymujemy krawędzie na
ś

cianach równoległych do płaszczyzny

xz

. Krawędzie te muszą być równoległe -

takie będą przy dokładnie wykonanej
konstrukcji.

Do wykonania przekroju brakuje nam jednego punktu - leżącego na krawędzi

CE

(rys. 12.4).

W celu wyznaczenia położenia tego punktu musimy posłużyć się pomocniczą konstrukcją.

Rys. 12.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju wielościanu -
sposób wyznaczenia krawędzi 5-3, 6-7, 2-4 i 5-6

Oznaczamy punktami

B

,

C

,

D

i

E

wierzchołki wielościanu należące do
płaszczyzny ściany

BCE

. Przez punkty

D

i

E

prowadzimy prostą aż do

przecięcia z prostą przechodzącą przez
punkty

1

i

4

. Wyznaczony punkt

F

należy jednocześnie do płaszczyzny
tnącej i do płaszczyzny ściany

BCE

- tak

jak punkt

7

. Prowadzimy więc prostą

przez te punkty aż do przecięcia z
krawędzią

CE

. Otrzymujemy szukany

punkt

8

należący do przekroju.

Rysujemy brakujące krawędzie

1-8

i

7-8

.

Punkty

1-2-3-4-5-6-7-8

tworzą szukaną

aksonometrię przekroju.

Po pogrubieniu krawędzi i zakreskowa-
niu otrzymujemy rzut przedstawiony na
rysunku 12.5.

Rys. 12.4. Wyznaczanie aksonometrii przekroju wielościanu -
sposób wyznaczenia krawędzi 1-8 i 7-8

Rys. 12.5. Aksonometria przekroju bryły - figura
zakreskowana

Rys. 12.5. Aksonometria wielościanu po
usunięciu jednej z części przeciętej bryły

Wykonując przekrój na kolokwium, nie należy wycierać żadnej z linii konstrukcyjnych.

Zad. 13. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju bryły (powstałej przez wycięcia
z sześcianu) płaszczyzną

αααα

(1,2,3)

, określoną przez trzy punkty leżące na jej krawędziach.

Punkty

1

i

3

należą jednocześnie do dwóch

płaszczyzn - płaszczyzny tnącej i ściany
bryły na krawędziach której punkty te leżą.
Przez punkty te możemy poprowadzić
krawędź przecięcia. Odcinek

1-3

należy do

przekroju bryły.

Rys. 13.1. Aksonometria bryły z naniesionymi trzema
punktami należącymi do płaszczyzny tnącej

Prowadząc krawędź przez przez punkty

1

i

3

aż do przecięcia z osią

y

,

otrzymujemy punkt

A

Punkt ten jest

punktem wspólnym trzech płaszczyzn:
płaszczyzny tnącej, płaszczyzny
określonej osiami

zy

i płaszczyzny

określonej osiami

xy

. Do dwóch

płaszczyzn - płaszczyzny tnącej i płasz-
czyzny

xy

należy punkt

2

. Łącząc punkt

A

z punktem

2

znajdujemy krawędź

2-4

należącą do przekroju.

Trzecią krawędź otrzymujemy łącząc
punkty

3

i

4

. Należą one jednocześnie do

płaszczyzny tnącej i ściany bryły.

Rys. 13.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia krawędzi 1-3, 2-4 i 3-4

Rys. 13.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia pozostałych krawędzi przekroju

Ponieważ krawędzie przekroju na
ś

cianach równoległych muszą być

równoległe, rysujemy odcinek

2-5

równoległy do odcinka

1-3

.

Następnie z punktu

5

i z punktu

1

prowadzimy odcinki równoległe do

2-4

wyznaczając punkty

6

i

7

.

Wykreślając odcinki

6-7

i

5-7

otrzymujemy pozostałe krawędzie
szukanego przekroju.

Rys. 13.4. Aksonometria przekroju bryły -
figura zakreskowana

Rys. 13.5. Aksonometria wielościanu po
usunięciu jednej z części przeciętej bryły

Zad. 14. Wykreślić aksonometrię wojskową przekroju wielościanu (powstałego przez
wycięcia z sześcianu) płaszczyzną

αααα

(1,2,3)

, określoną przez trzy punkty leżące na jego

krawędziach.

Rys. 14.1. Aksonometria bryły z naniesionymi trzema
punktami należącymi do płaszczyzny tnącej

Wykreślanie przekroju należy zacząć
od krawędzi

1-2

. Punkty te należą jed-

nocześnie do płaszczyzny tnącej i tylnej
ś

ciany wielościanu. Przedłużając tę

krawędź do przecięcia z osią

x

otrzymujemy punkt

A

leżący na osi

x

(rys. 14.2)

Rys. 14.2. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 1-2 i 3-4

Punkt

A

jest punktem wspólnym trzech

płaszczyzn: tnącej,

xz

i

xy

. Przez punkt

3

możemy poprowadzić drugą krawędź
przekroju rysując prostą równoległą do

1-2

- ponieważ na ścianach równoległych
krawędzie przekroju muszą być
równoległe. Na krawędzi wielościanu
otrzymujemy punkt

4

.

3-4 || 1-2

Rys. 14.3. Wyznaczanie aksonometrii przekroju
wielościanu - sposób wyznaczenia krawędzi 5-4, 2-5 i 3-6

Płaszczyzna tnąca przecina płaszczyznę

xy

w prostej przechodzącej przez punkty

A

i

4

.

Otrzymujemy punkt

5

i krawędź

4-5

należącą do przekroju.

Punkty

2

i

5

leżą na krawędziach tej samej

ś

ciany i należą także do płaszczyzny tnącej,

musi więc przez te punkty przechodzić
krawędź

2-5

należąca do przekroju.

Przez punkt

3

prowadzimy krawędź

równoległą do

2-5

otrzymując punkt

6

na

krawędzi ściany równoległej i przyległej do
płaszczyzny

zy

.

3-6 || 5-2

Rys. 14.4. Wyznaczanie aksonometrii przekroju bryły -
sposób wyznaczenia pozostałych krawędzi przekroju

Przekrój zakończymy rysując krawędzie
równoległe na ścianach równoległych.

Kolejno:

6-7 || 4-5

,

1-10

||

5-4

,

10-9 ||

1-2

,

7-8 || 2-1

,

8-9 || 4-5

.

Rys. 14.5. Aksonometria przekroju bryły -
figura zakreskowana

Rys. 14.6. Aksonometria wielościanu po
usunięciu jednej z części przeciętej bryły

Dzi

ękuję za uwagę