GEOMETRIA I GRAFIKA IN

ŻYNIERSKA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

Przykładowe zadania z rozwi

ązaniami - część 2

Zad. 5. Dane rzuty: poziomy i pionowy prostej
i trójkąta. Wyznaczyć rzeczywisty kąt jaki two-
rzy ta prosta z płaszczyzną trójkąta.

Należy zauważyć, że bok

AB

trójkąta

ABC

jest

równoległy do rzutni poziomej, zatem dla
uzyskania rzutu, w którym płaszczyzna trójkąta
jest prostopadła do rzutni, nie wymaga
wprowadzania obiektów pomocniczych.

Dla wyznaczenia rzeczywistego kąta pomiędzy
prostą i płaszczyzną trójkąta musimy właśnie
wprowadzić rzutnię prostopadłą do płaszczyzny
trójkąta.

Konstrukcję należy jednak zacząć od
wybrania dowolnych dwóch punktów
leżących na prostej

a

. Na rysunku są

to punkty

1

i

2

dane rzutami

pionowymi

1’’

i

2’’

i poziomymi

1’

i

2’

. Rzuty: pionowy i poziomy tych

punktów leżą na tych samych
prostych prostopadłych do osi

x

.

Promień rzutujący punkt

2

pokrywa

się z promieniem rzutującym
wierzchołek

C

trójkąta.

Prowadzenie wspólnych prostych
rzutujących zmniejsza liczbę
elementów rysunku - jest on bardziej
przejrzysty i mniej pracochłonny -
może jednak czynić konstrukcję
mniej czytelną i wymagającą przy
tworzeniu rysunków większej uwagi.

Stawiamy nową rzutnię
prostopadłą do rzutni po-
ziomej i prostopadłą do
boku

AB

trójkąta. Krawędź

przecięcia nowej rzutni z
rzutnią poziomą to oś

x

1

prostopadła do rzutu pozio-
mego boku

AB

, czyli

odcinka

A’B’

.

Rzutujemy na nową rzutnię
prostą i trójkąt prowadząc
od

rzutów

poziomych

punktów (czyli punktów

A’

,

B’

,

C’

,

1’

i

2’

) proste

rzutujące prostopadłe do
nowej osi.
Z

drugiej

strony

osi

odmierzamy dodatnie wy-
sokości

tych

punktów

(odległości punktów

A’’

,

B’’

,

C’’

,

1’’

i

2’’

od osi

x

)

znajdując położenie ich
trzecich rzutów.

W efekcie otrzymujemy taką konfigurację prostej i trójkąta na
której uwidoczniony jest rzeczywisty kąt jaki tworzy prosta
z płaszczyzną trójkąta.

x

1

⊥

A’B’

Opisaną konstrukcję można wykorzystać do wyznaczania punktu przebicia płaszczyzny przez
prostą. W tym zadaniu, sposób wyznaczenia rzutów punktu przebicia trójkąta przez prostą,
zaznaczono linią kreskową (proste rzutujące punkt

P

- punkty

P’’’

,

P’’

i

P’

).

Zad.6. Dane rzuty: poziomy i pionowy prostej i punktu. Wyznaczyć rzeczywistą odległość
punktu od prostej i wykreślić rzuty poziomy i pionowy tej odległości.

Na rysunku, na prostej, zaznaczono punkty odpowiadające punktom przebicia rzutni
poziomej i pionowej przez tą prostą.

Należy także zauważyć, że punkt

A

leży na płaszczyźnie poziomej, więc
rzut poziomy punktu

A

,

A’

, jest też

punktem rzeczywistym

A

. Wynika to

z położenia

A’’

na osi

x

.

Punkt

1’’

=

1

to punkt przebicia rzutni

pionowej przez prostą

a

.

Punkt

2’ = 2

to punkt przebicia

płaszczyzny poziomej przez prostą

a

.

Dla wyznaczenia odległości należy
skorzystać z niezmiennika o rzutowa-
niu kąta prostego.

Stawiamy nową rzutnię, prostopadłą
do rzutni poziomej i równoległą do
prostej

a

. Jej krawędź przecięcia z

płaszczyzną poziomą (

x

1

) będzie

równoległa do

a’

(także do

a’’

).

Proste rzutujące prostopadłe do nowej osi łączą rzuty poziome (

1’

,

2’

i

A’

) i rzuty trzecie (

1’’’

,

2’’’

,

A’’’

) punktów. Ponieważ wysokości punktów

2

i

A

są równe 0 (rzuty

2’’

i

A’’

leżą na osi

x

)

więc trzecie rzuty tych punktów leżą na osi

x

1

. Wysokość punktu

1

(odległość

1’’

od osi

x

)

została odmierzona na prostej rzutującej punkt

1

na trzecią rzutnię - jest więc także odległością

punktu

1’’’

od osi

x

1

. Odcinek

A’’’B’’’

, prostopadły do

a’’’

, jest trzecim rzutem odległości

punktu

A

od prostej

a

. Nie jest to jednak jeszcze odległość rzeczywista.

Aby wyznaczyć rzuty poziomy i pionowy tej odległości, należy zrzutować punkt

B

na rzutnię

poziomą i pionową za pomocą prostych rzutujących. Odcinek

A’B’

jest rzutem poziomym

odległości, a odcinek

A’’B’’

jej rzutem pionowym. Odległość

B’’

od osi

x

jest równa odległości

punktu

B’’’

od osi

x

1

.

Rzeczywistą odległość otrzymamy wykonując kolejny rzut odcinka

AB

na płaszczyznę do niego

równoległą. Budujemy nową oś

x

2

równoległą do

A’’’B’’’

. Na prostych rzutujących odmierzamy

odległości rzutów poziomych

A’

i

B’

od osi

x

1

. Rzeczywistą odległość stanowi długość odcinka

A

IV

B

IV

.

x

2

|| A’’’B’’’

A’’’B’’’

⊥

a’’’|| b’’’

Zad.7. Dane rzuty: poziomy i pionowy dwóch prostych

a

i

b

. Wyznaczyć trzecią prostą

c

prostopadłą do płaszczyzny utworzonej przez proste

a

i

b

i przechodzącą przez punkt

przecięcia tych prostych. Wykreślić rzuty poziomy i pionowy prostej

c

.

Prosta

a

zajmuje położenie szczególne. Jest równoległa do rzutni poziomej. Świadczy o tym

równoległość rzutu pionowego tej prostej

a’’

do osi

x

. Zadanie jest więc łatwiejsze - nie

musimy wprowadzać elementu pomocniczego w postaci odcinka łączącego obie proste i
równoległego do jednej z rzutni.

Aby wykonać nowy rzut prostych
należy na każdej z nich obrać po
jednym dowolnym punkcie. Drugim
punktem dla każdej z prostych
będzie punkt przecięcia

S

.

Zaznaczony punkt

1

należy do prostej

a

, a punkt

2

do prostej

b

. Rzuty tych punktów leżą na

tych samych prostych prostopadłych do osi

x

.

Stawiamy nową rzutnię prostopadle do rzutni poziomej i prostopadle do prostej

a

- oś

x

1

będzie

prostopadła do rzutu

a’

. Konstrukcja ta ma na celu wprowadzenie rzutni prostopadłej do

płaszczyzny określonej dwoma prostymi przecinającymi się. Położenie punktów

1’’’

,

2’’’

i

S’’’

znajdujemy po odmierzeniu od osi

x

1

wysokości tych punktów.

x

1

⊥

a’

Rysujemy rzut prostej

c’’’

prostopadle do trzecich rzutów obu prostych (czyli do płaszczyzny

określonej tymi prostymi) w punkcie

S’’’

. Obieramy na prostej

c

punkt

3

(w rzucie trzecim

punkt

3’’’

). Następnie rzutujemy punkt

3

na rzutnię poziomą i pionową.

Rzut poziomy prostej

c

(

c’

) będzie prostopadły do rzutu

a’

gdyż prosta

a

jest równoległa do

rzutni poziomej. Po narysowaniu rzutu poziomego

c’

prostej

c

,

rzutujemy na nią punkt

3

.

Prowadząc od punktu

3’

prostą rzutującą prostopadłą do osi

x

, znajdujemy rzut pionowy

3’’

i możemy narysować prostą

c’’

. Odległość punktu

3’’

od osi

x

(wysokość punktu

3

) jest

równa odległości punktu

3’’’

od osi

x

1

.

Zad.8. Wyznaczyć rzeczywisty kształt i rozmiary trójkąta

ABC

danego dwoma rzutami.

Rzeczywisty kształt i rozmiary trójkąta poznamy po zrzutowaniu go na płaszczyznę do niego
równoległą. Aby tego dokonać należy wcześniej wykonać rzut pośredni na płaszczyznę
prostopadłą do płaszczyzny trójkąta. Korzystając ze szczególnego ułożenia boku

AB

(jest on

równoległy do osi

x

czyli do obu płaszczyzn pionowej i poziomej) możemy zrzutować trójkąt

na płaszczyznę prostopadłą do boku

AB

i do płaszczyzny poziomej (i pionowej). Na rysunku

prawym tę płaszczyznę przedstawia oś

x

1

.

A’’B’’ || x, A’B’ || x

x

1

⊥

A’B’

Rzutujemy trójkąt na nową płaszczyznę odmierzając wysokości (można też głębokości)
punktów

A

,

B

i

C

od osi

x

1

. Należy zauważyć, że wysokość punktu

C

jest ujemna -

odmierzamy ją z lewej strony osi

x

1

. Wysokości punktów

A

i

B

(odległości rzutów

A’’

i

B’’

od osi

x

) są dodatnie i jednakowe. Ponieważ rzuty

A’’’

i

B’’’

pokrywają się, płaszczyzna

trójkąta jest prostopadła do nowej rzutni. Jeśli zrzutujemy teraz trójkąt na płaszczyznę do
niego równoległą, otrzymamy jego rzeczywiste rozmiary i kształt. Można również dokonać
kładu płaszczyzny trójkąta na płaszczyznę poziomą.

Od osi

x

2

, wzdłuż prostych rzutujących, odmierzamy odległości rzutów poziomych punktów od

osi

x

1

. Otrzymujemy czwarty rzut trójkąta odpowiadający trójkątowi rzeczywistemu. Jest to

trójkąt równoramienny.

x

2

||

A’’’C’’’

Uwagi i wnioski

1. Wykorzystując rzutnię poziomo-rzutującą (np.

ππππ

3

⊥ π

⊥ π

⊥ π

⊥ π

1111

)

i stawiając ją równolegle (lub prosto-

padle) do prostej lub odcinka, rysujemy nową oś równolegle lub (prostopadle) do rzutu poziome-
go tej prostej lub tego odcinka, np.

x

1

|| a’

. Konstruując rzut wykonujemy następujące czynności:

- prowadzimy proste rzutujące od rzutów poziomych punktów, czyli np.

1’, 2’, 3’, A’, B’

...

prostopadle do nowej osi

x

1

- na prostych rzutujących odmierzamy wysokości punktów, czyli odległości rzutów pionowych

1”, 2”, 3”, A”, B”

itd. od osi

x

. Należy pamiętać, że o tym z której strony osi

x

1

odmierzamy

odległości rzutów

1’’’, 2’’’

itd. zależy od znaku tej wysokości. Punktom, których rzuty piono-

we (z indeksem bis) leżą po różnych stronach osi

x

, przyporządkowujemy przeciwne znaki.

Nie ma przy tym znaczenia którą stronę uznamy za dodatnią a którą za ujemną.

2. Wykorzystując rzutnię pionowo-rzutującą (np.

ππππ

3

⊥ π

⊥ π

⊥ π

⊥ π

2222

)

i stawiając ją równolegle (lub prosto-

padle) do prostej lub odcinka, rysujemy nową oś równolegle lub (prostopadle) do rzutu pionowe-
go tej prostej lub tego odcinka, np.

x

1

|| a”

. Konstruując rzut wykonujemy następujące czynności:

- prowadzimy proste rzutujące od rzutów pionowych punktów, czyli np.

1”, 2”, 3”, A”, B”

...

prostopadle do nowej osi

x

1

- na prostych rzutujących odmierzamy głębokości punktów, czyli odległości rzutów poziomych

1’, 2’, 3’, A’, B’

itd. od osi

x

. Należy pamiętać, że o tym z której strony osi

x

1

odmierzamy

odległości rzutów

1’’’, 2’’’

itd. zależy od znaku tej głębokości. Punktom, których rzuty pozio-

me (z indeksem prim) leżą po różnych stronach osi

x

, przyporządkowujemy przeciwne znaki.

Nie ma przy tym znaczenia którą stronę uznamy za dodatnią a którą za ujemną.

3. Aby wyznaczyć rzeczywisty kształt i rozmiary płaskich obiektów geometrycznych, musimy
konstrukcję doprowadzić do takiego stanu, aby można było użyć rzutni równoległej do
płaszczyzny tego obiektu. Najczęściej konstrukcja sprowadza się do wykorzystania elementu
obiektu znajdującego się w położeniu szczególnym względem jednej (lub dwóch rzutni), np.
krawędź figury równoległa do rzutni poziomej lub pionowej. Jeżeli rozpatrywany obiekt nie
posiada takiego elementu to powinniśmy go dorysować. Musi się on znajdować na tej samej
płaszczyźnie co obiekt.
- Rzut pionowy prostej lub odcinka równoległy do osi

x

(np.

a” || x

,

A”B” || x

) oznacza, że ta

prosta lub ten odcinek są równoległe do rzutni poziomej. W takim przypadku wykorzystuje-
my rzutnię poziomo-rzutującą przecinającą rzutnię poziomą w krawędzi

x

1

⊥

⊥

⊥

⊥

a’

lub

x

1

⊥

⊥

⊥

⊥

A’B’

. Taka rzutnia jest wtedy prostopadła do płaszczyzny obiektu. Kolejny rzut już

może być wykonany na płaszczyznę równoległą do rozpatrywanego obiektu.
- Rzut poziomy prostej lub odcinka równoległy do osi

x

(np.

a’ || x

,

A’B’ || x

) oznacza, że ta

prosta lub ten odcinek są równoległe do rzutni pionowej. W takim przypadku wykorzystuje-
my rzutnię pionowo-rzutującą przecinającą rzutnię pionową w krawędzi

x

1

⊥

⊥

⊥

⊥

a’’

lub

x

1

⊥

⊥

⊥

⊥

A”B”

. Taka rzutnia jest wtedy prostopadła do płaszczyzny obiektu. Kolejny rzut już

może być wykonany na płaszczyznę równoległą do rozpatrywanego obiektu.

Dzi

ękuję za uwagę