Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

2

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

C(s)

P(s)

D(s)

R(s)

Y(s)

E(s)

U(s)

regulator

obiekt

N(s)

F(s)

v(s)

n(s)

F(s)=1 – sprz. od uchybu

3

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

6 transmitancji:

YN

T

,

YD

T

,

YR

T

;

N

PC

D

PC

P

R

PC

FPC

Y

+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

,

N

PC

PC

D

PC

P

R

PC

FPC

n

+

−

+

+

+

+

=

1

1

1

,

N

PC

C

D

PC

R

PC

FC

v

+

−

+

+

+

+

=

1

1

1

1

,

UN

T

,

UD

T

,

UR

T

:

N

PC

C

D

PC

PC

R

PC

FC

U

+

−

+

+

−

+

+

=

1

1

1

,

N

PC

D

PC

P

R

PC

F

E

+

−

+

+

−

+

+

=

1

1

1

1

Na sygnał zadający

Na szum pomiarowy

Na zakłócenie

P(s)C(s) Transmitancja układu otwartego

1

1

S( s )

P( s )C( s )

=

+

funkcja wrażliwości

1

YR

S( s ) T ( s )

+

=

4

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Wymagania stawiane układom regulacji

• Zdolność odtwarzania (śledzenia) sygnałów zadających.

• Redukcja oddziaływania zakłóceń (obciążeń).

• Redukcja wpływu zakłóceń (szumów) pomiarowych.

• Mała wrażliwość na zmiany właściwości obiektu.

STABILNOŚĆ

1. Wymagania dotyczące stanu ustalonego
Jakie wymuszenie/zakłócenie rozważamy?
Czy dopuszczamy uchyb ustalony, jeśli tak to jaki duży?

5

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

2. Wymagania dotyczące stanów dynamicznych.
Jakie sygnały wymuszeń/zakłóceń rozważamy?
Jakiego charakteru odpowiedzi (wyjścia, uchybu) oczekujemy – oscylacyjny/aperiodyczny?

Czy potrafimy podać graniczne parametry
odpowiedzi, np. w odpowiedzi jednostkowej:

• Czas narastania

• Czas regulacji

• Maksymalna wartość pierwszego

przeregulowania

• Proporcja pierwszego i drugiego

przeregulowania

Jak mierzyć?

0

e

6

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Całkowe wskaźniki jakości regulacji

0

0

T

I

e( t ) dt

=

∫

0

0

I

e( t ) dt

∞

=

∫

0

0

T

I

e( t )dt

=

∫

0

0

I

e( t )dt

∞

=

∫

2

2

0

T

I

e( t ) dt

=

∫

2

2

0

I

e( t ) dt

∞

=

∫

0

0

T

t

I

t e( t ) dt

=

∫

0

0

t

I

t e( t ) dt

∞

=

∫

2

2

0

T

t

I

te( t ) dt

=

∫

2

2

0

t

I

te( t ) dt

∞

=

∫

0

T

k

p

pk

I

t e( t ) dt

=

∫

0

k

p

kp

I

t e( t ) dt

∞

=

∫

7

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Odpowiedź na sygnał narastający liniowo – do oceny zdolności śledzenia sygnałów wolnozmiennych,
często w układach sterowania ruchem (napędowe, robotyka).

Odpowiedź uchybu na zakłócenie (obciążenie)
Miary jak w odpowiedzi skokowej.

e

8

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

3. Wymagania dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu zamkniętego. Powinny być

nakładane na każdą z sześciu transmitancji układu.

4. Wymagania dotyczące ODPORNOŚCI układu zamkniętego (zmiany parametrów modelu obiektu,

niedokładna znajomość parametrów obiektu, możliwość zmian i ograniczona dokładność nastaw
parametrów regulatora)

5. Wymagania specjalne/dodatkowe np. optymalność układu

Co jest dane:
Model obiektu regulacji i koniecznych urządzeń wykonawczych.
Informacje o dokładności modelu.
Konfiguracja układu regulacji – wejścia obiektu, wyjścia, zakłócenia, struktura układu regulacji.

Jak dobrać regulator (kompensator, korektor) C(s) by układ zamknięty spełniał zadane wymagania?

9

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

1. Sen o metodzie analitycznej:

Nawet jeśli uprościmy problem

1

PC

Y

R

PC

=

+

, zadamy

1

PC

T

PC

=

+

i wyznaczymy

(

)

(

)

(

)

1

1

1

T

PC

PC

T

P

T C

T

C

P

T

+

=

=

−

=

−

to wyznaczony regulator będzie najprawdopodobniej nierealizowalny fizycznie, np.:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

0

1

K

a

P

, T

, a

s

p

s

p

s a

a

a s

p

s

p

s a

C

K

a

Ks

s

p

s

p

s a

−

=

=

<

−

−

−

−

−

−

−

−

=

=

−

⎛

⎞

−

⎜

⎟

−

−

−

⎝

⎠

10

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

2. Projektujmy na podstawie przebiegów czasowych:

11

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

3. Ulokujmy bieguny transmitancji (wypadkowej, uchybowej) w zadanych położeniach lub obszarach –
dobry pomysł, wrócimy do niego.
4. Ukształtujmy charakterystykę częstotliwościową układu zamkniętego – właściwie
charakterystykę każdej z sześciu transmitancji układu zamkniętego

Szczyt rezonansowy

Pasmo przenoszenia

12

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Związki przebiegów czasowych i charakterystyk częstotliwościowych:

Czas regulacji T

S

a pasmo przenoszenia

BW

ω

Czas narastania T

P

a pasmo przenoszenia

13

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Tłumienie zakłóceń (obciążenia i pomiarowych):

Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(jω)|

1

1

max

P( j )C( j )

ω

ω

=

+

, przypadające dla

pulsacji ωsc jest miarą maksymalnego wzmocnienia zakłóceń w układzie.

Odporność

1. Narzucając wartość Ms i pulsację ωsc mamy wpływ na odporność układu bo:

ωsc jest dokładnie dla

tą częstotliwością dla której moduł [1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
s

m

=min|P(jω)C(jω)|, które jest (wektorowym) zapasem stabilności układu. Mamy Ms = 1/sm

Także zapasy modułu i fazy są gwarantowane przez wartość Ms

M

s

= 2 gwarantuje ΔM ≥ 2 i Δφ ≥ 30

o

M

s

= √2 (1.41) gwarantuje ΔM ≥ 3.4 i Δφ ≥ 45

o

M

s

= 2/√3 (1.15) gwarantuje ΔM ≥ 7.5 i Δφ ≥ 60

o

14

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

2. Narzucając transmitancję wypadkową mamy wpływ na odporność układu bo:

Dla każdej pulsacji musimy mieć

1

PC

PC

Δ

< +

1

1

YR

P

PC

P

PC

T

Δ

+

<

=

3. Mała wrażliwość na zmiany obiektu:

YR

G / P

YR

T

P

W

P T

∂

=

∂

(

)

1

1

S

CP

=

=

+

15

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Generalnie chcemy żeby charakterystyka widmowa funkcji wrażliwości miała mały moduł w
zakresie tych częstotliwości, dla których chcemy uzyskać mały błąd śledzenia i dobrą kompensację
zakłóceń. Pamiętamy, że całka Bodego wymusza kompromis:

Kształtujmy charakterystykę układu

otwartego

( )

{ }

0

0

2

k

k

s

k:Re( p )

log S j

d

Re p

lim L( s )

π

ω ω π

∞

→∞

>

=

−

∑

∫

Bieguny transmitancji
układu otwartego w
prawej półpłaszczyźnie

( )

( ) ( )

( )

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

d

j

L

log

d

j

C

j

P

log

d

j

S

log

∫

∫

∫

∞

∞

∞

+

=

+

=

0

0

0

1

1

1

1

16

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

5. Ukształtujmy charakterystykę częstotliwościową układu otwartego.

• Szczyt rezonansowy

• Częstotliwość rezonansowa

• Pasmo przenoszenia (zakres częstotliwości dla których moduł charakterystyki widmowej jest nie

mniejszy niż

1

2

wartości dla małych częstotliwości (dla układu o charakterystyce

dolnoprzepustowej)

• Częstotliwość odcięcia (częstotliwość dla której moduł charakterystyki widmowej = 1)

Mają wpływ na przebiegi czasowe i właściwości dynamiczne układu zamkniętego – właściwości
odpowiedzi w „krótkim horyzoncie czasowym” są związane z charakterystyką w zakresie dużych
częstotliwości, właściwości odpowiedzi w „długim horyzoncie czasowym” są związane z charakterystyką
w zakresie małych częstotliwości.

Tłumienie zakłóceń (obciążenia i pomiarowych):

17

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione

1+G

0

(jω)

G

0

(jω)

18

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Wpływ zakłócenia na wyjście:

N

PC

D

PC

P

R

PC

FPC

Y

+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

L

P

PC

P

T

YD

+

=

+

=

1

1

1

YD

P( j )

T ( j )

P( j )C( j )

ω

ω

ω

ω

=

+

Dla regulatora z całkowaniem

1

1

i

i

K

K

C ( j )

C( j )

C ( j )

j

j

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

Jeśli P(0)≠0, C

1

(0)≠0, to dla małych ω

( )

YD

i

j

T

j

K

ω

ω

≈

, dla dużych

( )

( )

YD

T

j

P j

ω

ω

≈

Wpływ szumu pomiarowego na sygnał sterujący:

N

PC

C

D

PC

PC

R

PC

FC

U

+

−

+

+

−

+

+

=

1

1

1

1

UN

C

T

N

PC

−

=

+

w sytuacji jak wyżej

( )

( )

ω

ω

j

P

j

T

UN

1

−

≈

dla małych ω,

( )

( )

ω

ω

j

C

j

T

UN

−

=

dla dużych.

Odporność:

19

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

Dostatecznie duże zapasy stabilności (jednocześnie mają wpływ na tłumienie zakłóceń)


Dobieramy kompensator/regulator, który zapewni pożądany kształt charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego

L( j ) P( j )C( j )

ω

ω

ω

=

.

• Zwykle na wykresach Bodego

• Zaczynamy od charakterystyki obiektu

P( j )

ω

.

• Dobieramy współczynnik wzmocnienia.

• Dodajemy zera i bieguny, żeby otrzymać zadany przebieg charakterystyki.

Zasady:

• Dla małych częstotliwości moduł musi być duży, żeby zapewnić dobre śledzenie wolnych sygnałów

zadających.

• Odporność wymaga dostatecznych zapasów modułu i fazy, co kształtuje charakterystykę w okolicy

częstotliwości odcięcia.

20

Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi

Układy czasu ciągłego

• Pasmo przenoszenia powinno być dostatecznie duże, częstotliwość odcięcia dostatecznie wysoka

(dla uzyskania odpowiedniej dynamiki układu zamkniętego), nachylenie charakterystyki modułu w
okolicy częstotliwości odcięcia dostatecznie duże.

• Dla dużych częstotliwości mały moduł, żeby nie wzmacniać szumów pomiarowych.

• POSZUKUJEMY KOMPROMISU