Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
2
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
C(s)
P(s)
D(s)
R(s)
Y(s)
E(s)
U(s)
regulator
obiekt
N(s)
F(s)
v(s)
n(s)
F(s)=1 – sprz. od uchybu
3
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
6 transmitancji:
YN
T
,
YD
T
,
YR
T
;
N
PC
D
PC
P
R
PC
FPC
Y
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
,
N
PC
PC
D
PC
P
R
PC
FPC
n
+
−
+
+
+
+
=
1
1
1
,
N
PC
C
D
PC
R
PC
FC
v
+
−
+
+
+
+
=
1
1
1
1
,
UN
T
,
UD
T
,
UR
T
:
N
PC
C
D
PC
PC
R
PC
FC
U
+
−
+
+
−
+
+
=
1
1
1
,
N
PC
D
PC
P
R
PC
F
E
+
−
+
+
−
+
+
=
1
1
1
1
Na sygnał zadający
Na szum pomiarowy
Na zakłócenie
P(s)C(s) Transmitancja układu otwartego
1
1
S( s )
P( s )C( s )
=
+
funkcja wrażliwości
1
YR
S( s ) T ( s )
+
=
4
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Wymagania stawiane układom regulacji
• Zdolność odtwarzania (śledzenia) sygnałów zadających.
• Redukcja oddziaływania zakłóceń (obciążeń).
• Redukcja wpływu zakłóceń (szumów) pomiarowych.
• Mała wrażliwość na zmiany właściwości obiektu.
STABILNOŚĆ
1. Wymagania dotyczące stanu ustalonego
Jakie wymuszenie/zakłócenie rozważamy?
Czy dopuszczamy uchyb ustalony, jeśli tak to jaki duży?
5
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
2. Wymagania dotyczące stanów dynamicznych.
Jakie sygnały wymuszeń/zakłóceń rozważamy?
Jakiego charakteru odpowiedzi (wyjścia, uchybu) oczekujemy – oscylacyjny/aperiodyczny?
Czy potrafimy podać graniczne parametry
odpowiedzi, np. w odpowiedzi jednostkowej:
• Czas narastania
• Czas regulacji
• Maksymalna wartość pierwszego
przeregulowania
• Proporcja pierwszego i drugiego
przeregulowania
Jak mierzyć?
0
e
6
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Całkowe wskaźniki jakości regulacji
0
0
T
I
e( t ) dt
=
∫
0
0
I
e( t ) dt
∞
=
∫
0
0
T
I
e( t )dt
=
∫
0
0
I
e( t )dt
∞
=
∫
2
2
0
T
I
e( t ) dt
=
∫
2
2
0
I
e( t ) dt
∞
=
∫
0
0
T
t
I
t e( t ) dt
=
∫
0
0
t
I
t e( t ) dt
∞
=
∫
2
2
0
T
t
I
te( t ) dt
=
∫
2
2
0
t
I
te( t ) dt
∞
=
∫
0
T
k
p
pk
I
t e( t ) dt
=
∫
0
k
p
kp
I
t e( t ) dt
∞
=
∫
7
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Odpowiedź na sygnał narastający liniowo – do oceny zdolności śledzenia sygnałów wolnozmiennych,
często w układach sterowania ruchem (napędowe, robotyka).
Odpowiedź uchybu na zakłócenie (obciążenie)
Miary jak w odpowiedzi skokowej.
e
8
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
3. Wymagania dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu zamkniętego. Powinny być
nakładane na każdą z sześciu transmitancji układu.
4. Wymagania dotyczące ODPORNOŚCI układu zamkniętego (zmiany parametrów modelu obiektu,
niedokładna znajomość parametrów obiektu, możliwość zmian i ograniczona dokładność nastaw
parametrów regulatora)
5. Wymagania specjalne/dodatkowe np. optymalność układu
Co jest dane:
Model obiektu regulacji i koniecznych urządzeń wykonawczych.
Informacje o dokładności modelu.
Konfiguracja układu regulacji – wejścia obiektu, wyjścia, zakłócenia, struktura układu regulacji.
Jak dobrać regulator (kompensator, korektor) C(s) by układ zamknięty spełniał zadane wymagania?
9
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
1. Sen o metodzie analitycznej:
Nawet jeśli uprościmy problem
1
PC
Y
R
PC
=
+
, zadamy
1
PC
T
PC
=
+
i wyznaczymy
(
)
(
)
(
)
1
1
1
T
PC
PC
T
P
T C
T
C
P
T
+
=
=
−
=
−
to wyznaczony regulator będzie najprawdopodobniej nierealizowalny fizycznie, np.:
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
0
1
K
a
P
, T
, a
s
p
s
p
s a
a
a s
p
s
p
s a
C
K
a
Ks
s
p
s
p
s a
−
=
=
<
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠
10
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
2. Projektujmy na podstawie przebiegów czasowych:
11
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
3. Ulokujmy bieguny transmitancji (wypadkowej, uchybowej) w zadanych położeniach lub obszarach –
dobry pomysł, wrócimy do niego.
4. Ukształtujmy charakterystykę częstotliwościową układu zamkniętego – właściwie
charakterystykę każdej z sześciu transmitancji układu zamkniętego
Szczyt rezonansowy
Pasmo przenoszenia
12
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Związki przebiegów czasowych i charakterystyk częstotliwościowych:
Czas regulacji T
S
a pasmo przenoszenia
BW
ω
Czas narastania T
P
a pasmo przenoszenia
13
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Tłumienie zakłóceń (obciążenia i pomiarowych):
Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(jω)|
1
1
max
P( j )C( j )
ω
ω
=
+
, przypadające dla
pulsacji ωsc jest miarą maksymalnego wzmocnienia zakłóceń w układzie.
Odporność
1. Narzucając wartość Ms i pulsację ωsc mamy wpływ na odporność układu bo:
ωsc jest dokładnie dla
tą częstotliwością dla której moduł [1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
s
m
=min|P(jω)C(jω)|, które jest (wektorowym) zapasem stabilności układu. Mamy Ms = 1/sm
Także zapasy modułu i fazy są gwarantowane przez wartość Ms
M
s
= 2 gwarantuje ΔM ≥ 2 i Δφ ≥ 30
o
M
s
= √2 (1.41) gwarantuje ΔM ≥ 3.4 i Δφ ≥ 45
o
M
s
= 2/√3 (1.15) gwarantuje ΔM ≥ 7.5 i Δφ ≥ 60
o
14
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
2. Narzucając transmitancję wypadkową mamy wpływ na odporność układu bo:
Dla każdej pulsacji musimy mieć
1
PC
PC
Δ
< +
1
1
YR
P
PC
P
PC
T
Δ
+
<
=
3. Mała wrażliwość na zmiany obiektu:
YR
G / P
YR
T
P
W
P T
∂
=
∂
(
)
1
1
S
CP
=
=
+
15
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Generalnie chcemy żeby charakterystyka widmowa funkcji wrażliwości miała mały moduł w
zakresie tych częstotliwości, dla których chcemy uzyskać mały błąd śledzenia i dobrą kompensację
zakłóceń. Pamiętamy, że całka Bodego wymusza kompromis:
Kształtujmy charakterystykę układu
otwartego
( )
{ }
0
0
2
k
k
s
k:Re( p )
log S j
d
Re p
lim L( s )
π
ω ω π
∞
→∞
>
=
−
∑
∫
Bieguny transmitancji
układu otwartego w
prawej półpłaszczyźnie
( )
( ) ( )
( )
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
j
L
log
d
j
C
j
P
log
d
j
S
log
∫
∫
∫
∞
∞
∞
+
=
+
=
0
0
0
1
1
1
1
16
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
5. Ukształtujmy charakterystykę częstotliwościową układu otwartego.
• Szczyt rezonansowy
• Częstotliwość rezonansowa
• Pasmo przenoszenia (zakres częstotliwości dla których moduł charakterystyki widmowej jest nie
mniejszy niż
1
2
wartości dla małych częstotliwości (dla układu o charakterystyce
dolnoprzepustowej)
• Częstotliwość odcięcia (częstotliwość dla której moduł charakterystyki widmowej = 1)
Mają wpływ na przebiegi czasowe i właściwości dynamiczne układu zamkniętego – właściwości
odpowiedzi w „krótkim horyzoncie czasowym” są związane z charakterystyką w zakresie dużych
częstotliwości, właściwości odpowiedzi w „długim horyzoncie czasowym” są związane z charakterystyką
w zakresie małych częstotliwości.
Tłumienie zakłóceń (obciążenia i pomiarowych):
17
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione
1+G
0
(jω)
G
0
(jω)
18
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Wpływ zakłócenia na wyjście:
N
PC
D
PC
P
R
PC
FPC
Y
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
L
P
PC
P
T
YD
+
=
+
=
1
1
1
YD
P( j )
T ( j )
P( j )C( j )
ω
ω
ω
ω
=
+
Dla regulatora z całkowaniem
1
1
i
i
K
K
C ( j )
C( j )
C ( j )
j
j
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
=
Jeśli P(0)≠0, C
1
(0)≠0, to dla małych ω
( )
YD
i
j
T
j
K
ω
ω
≈
, dla dużych
( )
( )
YD
T
j
P j
ω
ω
≈
Wpływ szumu pomiarowego na sygnał sterujący:
N
PC
C
D
PC
PC
R
PC
FC
U
+
−
+
+
−
+
+
=
1
1
1
1
UN
C
T
N
PC
−
=
+
w sytuacji jak wyżej
( )
( )
ω
ω
j
P
j
T
UN
1
−
≈
dla małych ω,
( )
( )
ω
ω
j
C
j
T
UN
−
=
dla dużych.
Odporność:
19
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
Dostatecznie duże zapasy stabilności (jednocześnie mają wpływ na tłumienie zakłóceń)
Dobieramy kompensator/regulator, który zapewni pożądany kształt charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego
L( j ) P( j )C( j )
ω
ω
ω
=
.
• Zwykle na wykresach Bodego
• Zaczynamy od charakterystyki obiektu
P( j )
ω
.
• Dobieramy współczynnik wzmocnienia.
• Dodajemy zera i bieguny, żeby otrzymać zadany przebieg charakterystyki.
Zasady:
• Dla małych częstotliwości moduł musi być duży, żeby zapewnić dobre śledzenie wolnych sygnałów
zadających.
• Odporność wymaga dostatecznych zapasów modułu i fazy, co kształtuje charakterystykę w okolicy
częstotliwości odcięcia.
20
Automatyka i sterowanie 7 Projektowanie układu zamkniętego, dobór regulatora metodami częstotliwościowymi
Układy czasu ciągłego
• Pasmo przenoszenia powinno być dostatecznie duże, częstotliwość odcięcia dostatecznie wysoka
(dla uzyskania odpowiedniej dynamiki układu zamkniętego), nachylenie charakterystyki modułu w
okolicy częstotliwości odcięcia dostatecznie duże.
• Dla dużych częstotliwości mały moduł, żeby nie wzmacniać szumów pomiarowych.
• POSZUKUJEMY KOMPROMISU