Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
2
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
0
0
0
01
02
0
0
n
L ( s )
G ( s )
, M ( s ) ( s s )( s s ) ( s s )
M ( s )
=
=
−
−
−
"
i transmitancji widmowej
0
0
s j
G ( j ) G ( s )
ω
ω
=
=
daje układ zamknięty o transmitancji
0
0
1
2
0
0
n
L ( s )
L ( s )
G( s )
, M ( s ) ( s z )( s z ) ( s s )
L ( s ) M ( s )
M ( s )
=
=
=
−
−
−
+
"
Tw.
Jeżeli M
0
(s) ma k pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyżnie zmiennej zespolonej
(nie ma pierwiastków na osi liczb urojonych), to M (s) ma n pierwiastków w lewej
półpłaszczyźnie wtedy i tylko wtedy gdy:
{
}
0
1
2
arg
G ( j )
k
ω
ω
π
−∞< <∞
Δ
+
=
{
}
0
0
1
i
arg
G ( j )
k
ω
ω
π
< <∞
⇔ Δ
+
=
(charakterystyka a-f
0
0
s j
G ( j ) G ( s )
ω
ω
=
=
obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k
razy).
3
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Dow.
1+
0
0
M ( s )
G ( s )
M ( s )
=
{
}
0
1
arg
G ( j )
ω
ω
−∞< <∞
Δ
+
=
{
}
{
}
0
arg M ( j )
arg M ( j )
ω
ω
ω
ω
−∞< <∞
−∞< <∞
Δ
− Δ
=
=
{
}
{
}
0
1
1
n
n
l
l
l
l
arg j
s
arg j
s
ω
ω
ω
ω
−∞< <∞
−∞< <∞
=
=
Δ
−
−
Δ
−
=
∑
∑
[
]
2
n
( n k )
k
k
π
π
π
π
−
−
−
=
{
}
l
arg j
s
ω
ω
π
−∞< <∞
Δ
−
=
{
}
l
arg j
s
ω
ω
π
−∞< <∞
Δ
−
= −
s
l
jω
Re
Im
jω-s
l
TAKŻE DLA
UKŁADÓW Z
OPÓŹNIENIAMI
s
l
jω
Re
Im
jω-s
l
4
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Analizujemy parametryczny opis granicy stabilności jω i jego obraz w przekształceniu
G
0
(jω)
02
0
0 01
1
0 1
0 01
s
. e
G ( j )
( s
)( s
. )( s
. )
ω
−
=
+
+
+
wykres we współrzędnych biegunowych:
ω
G
0
(jω)
1+G
0
(jω)
5
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Wykres
Nyquista
Wykresy
Bodego
6
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Procedura:
1. Narysuj wykres Nyquista – zacznij od pulsacji =0 skończ na pulsacji dużej – tak
dużej, ze moduł transmitancji widmowej układu otwartego będzie pomijalnie mały
(tak będzie dla każdego układu realizowalnego).
2. Wyznacz liczbę N obejść punktu krytycznego zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek
zegara. Możesz postąpić tak: narysuj półprostą z punktu krytycznego w dowolnym
kierunku, policz przejścia wykresu Nyquista przez półprostą zgodnie z kierunkiem
wskazówek zegara z + przeciwnie z -.
3. Wyznacz liczbę P biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie.
4. Oblicz liczbę biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie: Z=N+P.
7
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Jeżeli układ jest stabilny, to jak dalece można zmienić jego parametry, żeby stabilny pozostał?
Miary odporności.
Miarą odporności będzie odległość wykresu
Nyquista od punktu krytycznego s
m
. Nazywamy ją
zapasem stabilności. Pamiętamy że:
Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(jω)|,
przypadające dla pulsacji ωsc jest miarą maksymalnego
wzmocnienia zakłóceń w układzie, przypada ono
dokładnie dla tej częstotliwości dla której moduł
[1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
s
m
=min|P(jω)C(jω)|, które za chwilę nazwiemy zapasem
stabilności. Mamy
Ms = 1/sm
Miarę odporności układu można też wyrazić przez
zapas amplitudy (modułu, wzmocnienia)
ΔM
i
fazy
Δφ
wyznaczane w następujący sposób:
s
m
8
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Δφ
1/ΔM
9
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
lub bezpośrednio z wykresu
Bodego:
czyli zapas modułu jest
czynnikiem przez który można
pomnożyć wzmocnienie układu
otwartego bez utraty stabilności
(odporność na zmiany
wzmocnienia), a zapas fazy
wielkością, o którą można
zmniejszyć przesuniecie fazowe
układu otwartego dla pulsacji,
przy której moduł =1 (odporność
na opóźnienia w układzie).
10
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Analiza rysunków pozwala napisać
1
1
1
S
M
M
+
<
Δ
,
czyli
1
S
S
M
M
M
Δ >
−
- podobnie
1
S
arcsin
M
ϕ
Δ >
s
m
=1/M
S
1/ΔM
Δφ
1/M
S
11
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Stąd:
M
s
= 2 gwarantuje ΔM ≥ 2 i Δφ ≥ 30
o
M
s
= √2 (1.41) gwarantuje ΔM ≥ 3.4 i Δφ ≥ 45
o
M
s
= 2/√3 (1.15) gwarantuje ΔM ≥ 7.5 i Δφ ≥ 60
o
12
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Na problem odporności można spojrzeć
i tak:
Przy jakiej zmianie transmitancji
obiektu
ΔP
układ pozostanie stabilny:
Dla każdej pulsacji musimy mieć
1
PC
PC
Δ
< +
1
1
YR
P
PC
P
PC
T
Δ
+
<
=
1+PC
ΔPC
13
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Co w przypadku gdy bieguny układu zamkniętego znajdują się na osi liczb urojonych?
Jeżeli biegun układu otwartego znajduje się na osi liczb urojonych w odwzorowaniu
0
j
G ( j )
ω
ω
→
wystąpią osobliwości.
14
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Zamiast odwzorowania osi liczb
urojonych I
0
I
j
G ( j )
ω
ω
∋
→
rozważamy
odwzorowanie ścieżki N przedstawionej
na
rysunku
Bieguny
układu
otwartego
N
15
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
i opisanej
zależnościami:
W odwzorowaniu
0
N
j
G ( j )
ω
ω
∋
→
półokręgi o promieniu
dążącym do 0 przejdą w
półokręgi o promieniu
nieskończonym. W
przypadku biegunów
wielokrotnych okręgi o
promieniu
nieskończonym będą
wielokrotnie obiegane.
16
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
0
1
1
G ( s )
s( s
)
=
+
odpowiedź jednostkowa uchybu
17
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
0
3
1
1
G ( s )
s ( s
)
=
+
odpowiedź jednostkowa uchybu
18
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
2
0
3
10
( s
)
G ( s )
s
+
=
odpowiedź jednostkowa uchybu
19
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
2
0
3
10
10
( s
)
G ( s )
s
+
=
odpowiedź jednostkowa uchybu
20
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
2
0
2
2
2
85
1
2
43 25
2
82
2
101
( s
)( s
s
.
)
G ( s )
s ( s
s
)( s
s
)
+
+
+
=
+
+
+
+
odpowiedź jednostkowa uchybu
21
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Stabilność układów dyskretnych
Układ o transmitancji dyskretnej
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
G
−
−
−
=
=
"
nazywamy stabilnym jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi pozostaje ograniczona
dla dowolnej chwili impulsowania k, a asymptotycznie stabilnym gdy zanika dla k
dążącego do nieskończoności. Twierdzenie
Układ o transmitancji dyskretnej
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
G
−
−
−
=
=
"
jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy
n
i
z
i
,
,
2
,
1
,
1
"
=
<
Kryteria stabilności:
Warunki konieczne:
Jeżeli wielomian
m
m
m
m
a
z
a
z
a
z
+
+
+
+
−
−
1
1
1
"
ma wszystkie pierwiastki wewnątrz okręgu
jednostkowego, to
22
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
1.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
k
m
a
k
2.
0
1
3
2
1
>
+
+
+
+
+
m
a
a
a
a
"
3.
0
)
1
(
1
3
2
1
>
−
+
+
−
+
−
m
m
a
a
a
a
"
Przekształcenie homograficzne:
1
1
−
+
=
w
w
z
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
w
w
a
w
w
a
w
w
a
w
w
M
m
m
m
m
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
"
23
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
)
(
)
(
)
)
(
1
]
1
1
1
1
1
1
[
1
0
1
1
1
1
w
B
w
w
a
w
w
a
w
w
a
w
a
w
m
m
m
m
m
m
m
m
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
−
=
"
Wielomian M(z) ma wszystkie pierwiastki wewnątrz koła o promieniu 1
⇔
wielomian B(w) ma
wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie.
+ algebraiczne kryteria stabilności dla układów ciągłych.
Kryteria algebraiczne dla układów dyskretnych (Jury’ego, Mardena, ...)
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
0
02
01
0
0
0
0
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
G
−
−
−
=
=
"
i transmitancji widmowej
0
0
j i
i
i
i
z e
G ( j ) G ( z )
T
ω
ω
ω ω
=
=
=
daje układ zamknięty o
24
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
transmitancji
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
0
0
0
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
M
z
L
z
L
z
G
−
−
−
=
=
+
=
"
Tw.
Jeżeli M
0
(z) ma k pierwiastków na zewnątrz okręgu jednostkowego i n-k pierwiastków
wewnątrz, to M (z) ma n pierwiastków wewnątrz okręgu jednostkowego wtedy i tylko
wtedy gdy:
{
}
π
ω
Δ
π
ω
π
k
j
G
i
i
2
)
(
1
arg
0
=
+
<
<
−
{
}
π
ω
Δ
π
ω
k
j
G
i
i
=
+
⇔
<
<
)
(
1
arg
0
0
(charakterystyka a-f
i
j
e
z
i
z
G
j
G
ω
ω
=
=
)
(
)
(
0
0
obejmuje w kierunku dodatnim punkt (-1, j0) k
razy).
25
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista
Dow.
1+
)
(
)
(
)
(
0
0
z
M
z
M
z
G
=
{
}
=
+
<
<
−
)
(
1
arg
0
i
j
G
i
ω
Δ
π
ω
π
{
}
{
}
=
−
<
<
−
<
<
−
)
(
arg
)
(
arg
0
i
i
j
M
j
M
i
i
ω
Δ
ω
Δ
π
ω
π
π
ω
π
=
{
}
{
}
=
−
−
−
<
<
−
=
<
<
−
=
∑
∑
l
j
n
l
l
j
n
l
z
e
z
e
i
i
i
i
0
1
1
arg
arg
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
Δ
Δ
π
π
π
k
k
n
n
2
2
)
(
2
=
−
−
z
1
e
jω
-z
2
z
2
e
jω
i
e
jω
-z
1
Re
Im
26
Automatyka i sterowanie 5 Kryterium Nyquista