automatyka i sterowanie wyklad 2

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Układy z czasem ciągłym, jedno wejście – jedno wyjście (continous time single
input- single output –SISO)

Liniowe, stacjonarne równanie różniczkowe, transmitancja operatorowa, odpowiedź układu

warunek realizowalności, n – rząd układu
stałe współczynniki, zależne od struktury i parametrów fizycznych układu.
Do rozwiązania takiego równania potrzebne są warunki początkowe: y(0), y’(0), …,y

(n-1)

(0) i oczywiście

pełna znajomość sygnału wejściowego i jego pochodnych.
Możemy wyznaczyć rozwiązanie korzystając z transformaty Laplace’a

( )

(

)

( )

(

)

1

1

1

1

0

1

1

0

...

( )

...

( )

n

n

m

m

n

n

m

m

a y

a y

a y a y t

b u

b u

b u b u t

+

+ +

+

=

+

+ +

+

m

n

[

]

0

st

L f ( t )

f ( t )e dt

F( s )

=

=

background image

3

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Pamiętamy, że

0

df ( t )

L

sF( s ) f ( )

dt

⎤ =

[

]

2

2

2

0

0

0

0

0

d f ( t )

d df ( t )

df ( t )

L

L

sL

f '( ) s sF( s ) f ( )

f '( )

dt

dt

dt

dt

s F( s ) sf ( ) sf '( )

=

=

=

=

=

.....

(

)

(

)

2

1

1

2

0

0

0

0

k

k

k

k

k

k

k

d f ( t )

L

s F( s ) s

f ( ) s

f '( )

sf

( ) f

( )

dt

=

− −


Przy zerowych warunkach początkowych wykonujemy transformatę Laplace’a obu stron równania:

( )

(

)

( )

(

)

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

b

s

b

s

b

s

b

s

U

a

s

a

s

a

s

a

s

Y

m

m

m

m

n

n

n

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

background image

4

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

i otrzymujemy transmitancję układu:

1

0

1

0

...

( )

( )

( )

=

( )

...

( )

m

m

n

n

b s

b s b

Y s

L s

G s

U s

a s

a s a

M s

+ +

+

=

=

+ +

+

Znając transmitancję można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy.
Transformata sygnału wyjściowego: Y(s)=G(s)·U(s) , czyli

( )

( )

1

1

( )

( )

y t

L Y s

L

G s U s

=

=

Jeżeli wymuszenie jest impulsem Diraca:

u( t )

( t )

δ

=

, czyli U(s)=1, to otrzymujemy odpowiedź

impulsową układu:

czyli odpowiedź impulsowa jest oryginałem transmitancji, a interpretując wzór

( )

( )

1

1

( )

( )

y t

L Y s

L

G s U s

=

=

( )

1

( )

( )

y t

g t

L G s

=

=

background image

5

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

można powiedzieć, że odpowiedź na dowolne wymuszenie przy zerowych warunkach początkowych jest
splotem odpowiedzi impulsowej i tego wymuszenia.
Jeżeli wykorzystamy np. metodę residuów do wyznaczenia oryginału odpowiedzi, to musimy rozważyć
bieguny transmitancji G(s) (czyli miejsca zerowe jej mianownika M(s)) i ewentualne bieguny U(s), która
też może być funkcją wymierną. Jeżeli te dwa zbiory biegunów są rozłączne to:

(

)

(

)

(

)

(

)

j

j

j

j

j

j

j

j

st

st

s s

s s

j:s jest bieg .Y ( s )

j:s jest bie

st

s s

j:s jest bie

st

s s

j

g .U

:s jest bie

( s )

g

g .G(

.Y ( s )

s )

y( t )

Re s Y ( s )e

Re s G( s )U( s )e

Re s G(

Re s G( s )U( s )

s )

e

e

U( s )

=

=

=

=

=

=

=

=

+

składowa przejściowa odpowiedzi

składowa ustalona odpowiedzi



background image

6

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Jeżeli warunki początkowe nie są zerowe, to po wykonaniu transformaty Laplace’a zamiast

Y ( s )M ( s ) L( s )U( s )

=

otrzymamy

Y ( s )M ( s ) W ( s ) L( s )U( s )

=

gdzie W(s) jest wielomianem stopnia nie wyższego niż n-1, którego współczynniki zależą tylko od
warunków początkowych (a nie od wymuszenia). Wtedy

W ( s )

M ( s )

L( s )

U( s )

M

Y (

( s )

s )

=

+

składowa swobodna

składowa wymuszona

Na właściwości składowej swobodnej odpowiedzi mają wpływ bieguny transmitancji (czyli miejsca
zerowe jej wielomianu M(s)) i oczywiście warunki początkowe.
Na właściwości składowej przejściowej odpowiedzi mają wpływ bieguny i zera transmitancji (czyli
miejsca zerowe jej wielomianu M(s) i L(s)).
Na właściwości składowej ustalonej odpowiedzi mają wpływ bieguny wymuszenia.

background image

7

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Jeżeli wymuszeniem jest funkcja jednostkowa, a warunki początkowe są zerowe to

( )

( )

1

1

1

( )

y t

L Y s

L G s

s

=

=


i jeśli biegunem G(s) nie jest 0 to:

0

1

0

1

1

j

j

j

j

st

s s

j:s jest bieg .G( s )

st

s s

j:s jest bieg

st

s

.G( s )

Re s G( s ) e

s

Re s G

y( t )

( s ) e

s

Re s G( s ) e

s

G( )

=

=

=

=

+

+

=

=


background image

8

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Transmitancję G(s) można przedstawić w rozwinięciu na ułamki proste. Jeśli przyjmiemy, że bieguny
transmitancji są pojedyncze – rzeczywiste lub zespolone parami sprzężone, to takie rozwinięcie
transmitancji jest równoznaczne z przedstawieniem jej w postaci połączenia równoległego kilku
transmitancji: rzędu 1 (odpowiadają biegunom rzeczywistym) i rzędu 2, które odpowiadają biegunom
zespolonym sprzężonym, czyli są transmitancjami elementów oscylacyjnych. Odpowiedź układu o
transmitancji G(s) można więc postrzegać jak sumę odpowiedzi transmitancji rzędu 1 i 2 wynikających z
rozkładu na ułamki proste.

Układ nazywamy stabilnym, jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi zanika. Koniecznym i
dostatecznym warunkiem stabilności będzie więc zanikanie składowych przejściowych odpowiedzi
wszystkich układów wynikających z rozkładu na ułamki proste, czyli ujemne bieguny rzeczywiste i
ujemne części rzeczywiste biegunów zespolonych (wszystkie bieguny położone w lewej
półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej).

background image

9

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Układ pierwszego rzędu, związki miedzy biegunem a przebiegami czasowymi:








1

1

1

at

f

n

a

Y ( s ) G( s )R( s )

s( s a )

s s a

y( t ) c ( t ) c ( t )

e

=

=

= −

+

+

=

+

= −

background image

10

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

T

c

stała czasowa

T

R

czas narastania – od wartości 0.1do osiągnięcia 0.9 wartości ustalonej

T

S

czas regulacji do osiągnięcia i utrzymania wartości +- 2% od wartości ustalonej

1

2 31 0 11 2 2

4

C

R

S

T

/ a

.

.

.

T

a

a

a

T

a

=

=

=

=

background image

11

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych


Układ drugiego rzędu, związki miedzy parametrami (wsp. tłumienia i pulsacja drgań własnych),
biegunami a przebiegami czasowymi:

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

1

2

n

n

d y( t )

dy( t )

M

f ( t ) B

Ky( t )

dt

dt

M ( s Y ( s ) sy( ) y'( )) F( s ) B( sY ( s ) y( )) KY ( s )

y'( ) y( )

Ms Y ( s ) BsY ( s ) KY ( s ) F( s )

G( s )

Ms

Bs K

s

( B / M )s K / M

s

s

ςω

ω

=

=

=

=

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

+

KM

B

M

K

n

2

;

=

=

ς

ω

background image

12

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

http://www.wiley.com/college/nise/0471794759/swf/SOcalculator.swf

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

1

2

1

2

s

s

=0

s

s

gdy

s ,s rzeczywiste

gdy

zespolone

gdy

s =s rzeczywiste

ςω

ω

ςω ω ς

ςω ω ς

ς

ς

ς

+

+

= −

+

= −

> ⇒

< ⇒

= ⇒

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

t

n

G(s)

s

s

odp. jednostkowa Y(s)

s( s

s

)

y( t )

e

cos(

t

)

,

tan (

)

ςω

ω

ςω

ω

ω
ςω

ω

βω

ϕ

β

ς

β

ς

ϕ

β

=

+

+

=

+

+

= −

=

=

background image

13

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
















background image

14

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

2

2

2

2

2

2

1

1

2

0

1

1

100

n

t

n

n

n

t

n

n

n

p

n

n

/

p

/

L[ y'( t )] sY ( s )

( s

s

)

y'( t )

e

sin(

t )

t

T

M

e

Przeregulowanie

P.O.

e

ζω

ζπ

ς

ζπ

ς

ω

ζω

ω

ω

ω β

β

ω β

π

π

π

ω β ω

ς

=

=

+

+

=

=

=

=

=

= +

=

0 02

4

4

4

n s

T

n s

s

n

e

.

T

T

ζω

ζω

τ

ζω

<

=

background image

15

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Transmitancja widmowa. Charakterystyki częstotliwościowe
Rozważmy ustaloną składową odpowiedzi stabilnego układu o transmitancji G(s) na wymuszenie

m

u( t ) U cos( t )

ω

=

Transformatą Laplace’a tego wymuszenia jest

(

)(

)

2

2

m

m

U s

U s

U( s )

s

s

j

s

j

ω

ω

ω

=

=

+

+

mamy więc dwa

bieguny związane z wymuszeniem.

(

)(

)

(

)(

)

(

)

2

2

2

2

j t

j t

j t

j

st

t

st

ust

m

m

s j

s

j

m

m

m

m

U s

U s

Re s G( s )

e

Re s G( s )

e

s

j

s

j

s

j

y ( t )

U

j

U j

U

U

G( j )

e

G( j )

e

G( j )

e

G( j )

e

j

s

j

j

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=−

+

+

+

=

=

+

=

+

background image

16

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

j ( )

j ( )

G( j ) G( j ) e

G( j ) G( j ) e

ϕ ω

ϕ ω

ω

ω

ω

ω

=

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

1
2

j

t

(

)

j

t

(

)

j

t

(

)

j

t

(

)

m

m

ust

m

m

U

U

y ( t ) G( j )

e

G( j )

e

G( j ) U

e

e

G( j ) U cos

t

( )

ω ϕ ω

ω ϕ ω

ω ϕ ω

ω ϕ ω

ω

ω

ω

ω

ω ϕ ω

+

+

+

+

=

+

=

=

+

=

+

jx

jx

e

cos x

j sin x

e

cos x

j sin x

=

+

=

(

)

1
2

jx

jx

cos x

e

e

=

+



background image

17

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Transmitancja widmowa:

j ( )

G( j ) G( j ) e

P( ) jQ( )

ϕ ω

ω

ω

ω

ω

=

=

+

2

2

Q( )

A( )

P ( ) Q ( ),

( ) arctg

P( )

ω

ω

ω

ω

φ ω

ω

=

+

=

m

m

Y ( )

A( )

X ( )

ω

ω

ω

=

Charakterystyki częstotliwościowe mogą być mierzone:










U

m

Y

m

u(t)

y(t)

t

T/2

t

ϕ

=

ϕ/ω

t

y

=

φ

u

/

ω

t

x

=

φ

x

/

ω

background image

18

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyki logarytmiczne:

10

10

20

20

Lm( )

log A( )

log |G( j )|

ω

ω

ω

=

=

i

( )

ϕ ω

w funkcji częstotliwości przedstawionej w

skali logarytmicznej.

Pasmo przenoszenia – zakres pulsacji, w którym charakterystyka modułu nie opada bardziej niż 3dB
poniżej wzmocnienia w stanie ustalonym (dla małej pulsacji). Oznaczmy prawy kraniec pasma
przenoszenia przez

3dB

ω

. Im większa

3dB

ω

, tym szybszy układ. W przybliżeniu:

czas narastania

3

0 35

2

R

dB

.

T

πω



background image

19

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Charakterystyki elementu drugiego rzędu.





0.01

0.1

1

100

10

1

10

0.1

0.01

A(

ω)

ω/ω

n

ζ=0.1

ζ=0.3

ζ=0.5

ζ=0.7

ζ=1

-40dB/dek

0.01

-180

°

-150

°

-120

°

-90

°

-60

°

-30

°

0

°

0.1

1

10

100

ω/ω

n

ϕ(ω)

ζ=0.1

ζ=0.3

ζ=0.5
ζ=0.7
ζ=1

background image

20

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Związki przebiegów czasowych i charakterystyk częstotliwościowych:

Czas regulacji T

S

a pasmo przenoszenia

BW

ω

background image

21

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Czas narastania T

P

a pasmo przenoszenia

background image

22

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Układy z czasem ciągłym, jedno wejście – jedno wyjście (continous time multi input-
multi output –MIMO)

Macierz transmitancji i opis w przestrzeni stanu
Jeśli układ ma wiele wejść i wyjść, to można opisać go macierzą transmitancji:

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

11

s

G

s

G

s

G

s

G

s

lp

l

p

G

( )

( )

( )

i

ij

j

Y s

G s

U s

=

1

11

1

1

1

p

l

l

lp

p

Y ( s )

G ( s )

G ( s ) U ( s )

Y ( s )

G ( s )

G ( s ) U ( s )

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ =

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦ ⎣

⎦ ⎣

Y ( s ) G( s )U( s )

=

Wiadomo, że równanie różniczkowe

można zastąpić układem n równań różniczkowych stopnia pierwszego. Także z transmitancji można

( )

(

)

( )

(

)

1

1

1

1

0

1

1

0

...

( )

...

( )

n

n

m

m

n

n

m

m

a y

a y

a y a y t

b u

b u

b u b u t

+

+ +

+

=

+

+ +

+

background image

23

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

otrzymać taki układ równań różniczkowych, na przykład tak:

(I wariant metody bezpośredniej)

1

0

1

1

1

n

n

n

n

n

n

Y ( s )

b s

b s

b

G( s )

U( s )

s

a s

a

+

+ +

=

=

+

+ +

=

1

2

1

2

0

1

1

n

n

n

n

n

n

b s

b s

b

b

s

a s

a

+

+ +

+

+

+ +

0

0

1

2

2

0

1

1

1

~

~

,

,

~

~

,

~

~

b

a

b

b

b

a

b

b

b

a

b

b

n

n

n

=

=

=

1

2

1

2

0

1

1

1

n

n

n

n

b s

b z

b s

G( s ) b

a s

a s

+

+ +

=

+

+

+ +

(

)

1

2

0

1

2

1

1

1

n

n

n

n

U( s )

Y ( s ) b U( s )

b s

b s

b s

a s

a s

=

+

+

+ +

+

+ +

1

1

1

n

n

U( s )

E( s )

a s

a s

=

+

+

+

background image

24

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

1

2

1

2

n

n

E( s ) U( s )

a s

a s

a s

E( s )

=

+

+ +

1

n

X ( s ) s E( s )

=

1

1

2

1

1

n

n

n

X ( s ) sX ( s ) s

E( s ), ,X ( s ) sX ( s ) s E( s )

− +

=

=

=

=

wtedy:

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0
1

n

n

n

n

n

n

x ( t )

x ( t )

u( t )

x ( t )

x ( t )

x ( t )

a

a

a

x ( t )

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡ ⎤

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

=

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎦ ⎣

⎦ ⎣

background image

25

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

[

]

1

1

1

0

1

n

n

n

n

x ( t )

y( t )

b

b

b

b u( t )

x ( t )

x ( t )

=

+

background image

26

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

background image

27

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Uzyskaliśmy opis układu w postaci:

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx( t ) Du( t )

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze 1x1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze 1x1

do rozwiązania takiego układu równań różniczkowych konieczny jest warunek początkowy np.
x(t

0

)=x

0

Uzyskana macierz stanu A jest macierzą w postaci Frobeniusa. Współczynniki jej wielomianu
charakterystycznego są widoczne w ostatnim wierszu (w kolejności od najmniejszej potęgi z
przeciwnymi znakami) – czyli wielomian charakterystyczny macierzy stanu jest identyczny z
mianownikiem transmitancji, a wartości własne macierzy stanu identyczne z biegunami transmitancji.

background image

28

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Uzyskany opis w postaci równań stanu nie jest jedyny – tej samej transmitancji mogą odpowiadać różne
równania stanu, w zależności od wybory zmiennych stanu.
Także układu o wielu wejściach i wielu wyjściach można opisywać przy pomocy równań stanu.


Dalej rozważać będziemy opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x

0

lub bardziej ogólnie x(t

0

)=x

0

background image

29

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych


Do rozwiązania równania stanu użyjemy transformaty Laplace’a:

(

)

(

)

(

)

0

0

1

1

0

sX ( s ) x

AX ( s ) BU( s )

sI

A X ( s ) x

BU( s )

X ( s )

sI

A

x

sI

A

BU( s )

=

+

=

+

=

+

Macierz (sI-A)

-1

jest nazywana rezolwentą macierzy A, a jej oryginał

background image

30

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

{

}

(

)

(

)

1

1

1

adj sI

A

( t ) L

sI

A

L

det sI

A

Φ

=

=

macierzą fundamentalną albo tranzycyjną równania

d

x( t ) Ax( t )

dt

=

. Rozwiązaniem tego równania

z warunkiem początkowym x(0)=x

0

będzie

(

)

1

0

X ( s )

sI A

x

=

czyli

0

x( t )

( t )x

= Φ

a rozwiązaniem równania

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt

=

+

z warunkiem początkowym x(0)=x

0

będzie

(

)

(

)

1

1

0

X ( s )

sI

A

x

sI

A

BU( s )

=

+

, czyli

0

0

t

x( t )

( t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

splot

background image

31

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Poszukamy innego przedstawienia macierzy tranzycyjnej – w postaci szeregu potęgowego względem t:

2

3

0

1

2

3

0

i

i

i

( t ) K

K t K t

K t

K t

=

Φ

=

+

+

+

+

=

(

)

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

i

i

i

x( t )

( t )x

K

K t K t

K t

x

K t x

=

= Φ

=

+

+

+

+

=

0

t

=

:

0

K

I

=

(

)

2

3

1

2

3

4

0

2

3

4

x( t )

K

K t

K t

K t

x

=

+

+

+

+

(

)

(

)

2

3

2

3

1

2

3

4

0

0

1

2

3

0

2

3

4

K

K t

K t

K t

x

A K

K t K t

K t

x

+

+

+

+

=

+

+

+

+

0

t

=

:

1

0

K

AK

=

1

K

A

=

(

)

(

)

2

3

2

3

1

2

3

4

0

0

1

2

3

0

2

3

4

d

d

K

K t

K t

K t

x

A

K

K t K t

K t

x

dt

dt

+

+

+

+

=

+

+

+

+

(

)

(

)

2

2

2

3

4

0

1

2

3

0

2

2 3

3 4

2

3

K

K t

K t

x

A K

K t

K t

x

+ ⋅

+ ⋅

+

=

+

+

+

background image

32

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

0

t

=

:

2

1

2

K

AK

=

2

2

2

A

K

!

=

3

2

3

K

AK

=

3

3

3

A

K

!

=

4

3

4K

AK

=

4

4

4

A

K

!

=

czyli

2 2

3 3

0

2

3

i i

i

A t

A t

A t

( t ) I

At

!

!

i!

=

Φ

= +

+

+

+

=

przez podobieństwo z

2 2

3 3

0

1

2

3

at

i i

i

a t

a t

a t

e

at

!

!

i!

=

= +

+

+

+

=

oznaczamy

At

( t ) e

Φ

=

background image

33

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Jeżeli warunek początkowy jest dany w x(t

0

)=x

0

to dla t>t

0

0

0

0

t

t

x( t )

( t t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ −

+ Φ −






Związek rozwiązania z wartościami własnymi macierzy stanu – mody układu.
Przypomnienie:

0

i

i

i i

v

, Av

s v

=

definicja wartości wektorów własnych

(

)

0

i

i

s I

A v

=

(

)

0

i

det s I

A

=

background image

34

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

det sI

A

wielomian charakterystyczny A

(

)

0

det sI

A

=

równanie charakterystyczne

czyli jest n wartości własnych A rzeczywistych lub zespolonych parami sprzężonych, jedno lub
wielokrotnych. Dalej zakładamy, że wartości własne są jednokrotne.
Równania definiujące wektory i wartości własne można zapisać łącznie:

[

] [

]

1

2

2

1

1

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

n

n

s

s

s

S

S

A

v

v

v

v

v

v

V V

V

V

V

,

V

A

S

A

A

=

=

=

=

background image

35

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Rozpatrzmy równanie

d

x( t ) Ax( t )

dt

=

i zastosujmy przekształcenie zmiennych stanu:

Vz( t ) x( t )

=

1

1

0

0

0

0

d

V

z( t ) AVz( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

=

=

=

=

1

1

1

0

0

0

0

d

z( t ) V AVz( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

=

=

=

=

1

2

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

s

s

d

z( z )

z( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

s

=

=

=

=

background image

36

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

0

0

1 2

i

i i

i

i

d

z ( t ) s z ( t ), z ( ) z

i

, ,...,n

dt

=

=

=

0

1 2

i

s t

i

i

z ( t ) e z

i

, ,...,n

=

=

1

2

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

z( t )

z( ),

e

=

background image

37

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

2

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

Vz( t ) V

z( ),

e

=

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

x( t ) V

V x( ),

e

=

1

1

2

T

T

T

n

w
w

V :

w

=

background image

38

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

0

i

n

s t

T

i

i

i

x( t )

e v w x( ),

=

=

0

x( t )

( t )x

= Φ

czyli

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

( t ) V

V

e

Φ

=

1

i

n

s t

T

i

i

i

( t )

e v w

=

Φ

=

0

0

t

x( t )

( t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

background image

39

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

( )

0

1

1

0

0

1

0

i

i

i

i

t

n

n

s t

s t

T

T

i

i

i

i

i

i

t

n

s t

s

T

i

i

i

x( t )

e v w x

e

v w Bu( )d

e v w x

e

Bu( )d

τ

τ

τ τ

τ τ

=

=

=

=

+

=

=

+

Właściwości macierzy tranzycyjnej:
1.

0

( ) I

Φ

=

2.

(

)

{ }

1

2

1

2

0

n

n

s s

s t

tr A t

s t

s t s t

det ( t ) e e

e

e

e

+ +

Φ

=

=

=

3. wartościami własnymi

( t )

Φ

są liczby

1

2

n

s t

s t

s t

e ,e , ,e

, wektorami własnymi wektory własne A

4.

1

1

( t )A A ( t ),

( t )A

A

( t )

Φ

= Φ

Φ

=

Φ

background image

40

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

5.

2 2

3 3

2

3 2

2 2

3 3

2

3

2

3

2

3

2

3

d

d

A t

A t

A t

A t

( t )

I

At

A

dt

dt

!

!

!

!

A t

A t

A I

At

A ( t )

!

!

Φ

=

+

+

+

+

= +

+

+

=

=

+

+

+

+

= Φ

6.

( t )

Φ

jest rozwiązaniem równania (macierzowego, różniczkowego)

d

( t ) A ( t )

dt

Φ

= Φ

z

warunkiem początkowym

0

( ) I

Φ

=

7.

2 2

3 3

2

2 3

0

0

2

3

2

3

t

t

A

A

At

A t

( )d

I

A

d

It

!

!

!

!

τ

τ

τ τ

τ

τ

Φ

=

+

+

+

+

= +

+

+

jeśli

0

det( A )

, to

background image

41

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

8.

(

) (

)

2 2

3 3

2

2 3

0

0

2

2 3

2 2

3 3

1

1

1

1

2

3

2

3

2

3

2

3

t

t

A

A

At

A t

( )d

I

A

d

It

!

!

!

!

At

A t

A t

A t

A A It

A

At

!

!

!

!

A

( t ) I

( t ) I A

τ

τ

τ τ

τ

τ

Φ

=

+

+

+

+

= +

+

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

Φ

= Φ

9.

1

1

2

2

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

n

s t

s t

s t

s t

s t

s t

e

e

e

e

( t ) ( t ) V

V V

V

I

e

e

Φ

Φ − =

=


background image

42

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Opis w przestrzeni stanu a transmitancja
Opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
Wyznaczymy macierz transmitancji:

(

)

(

)

(

)

0

0

1

1

0

sX ( s ) x

AX ( s ) BU( s )

sI

A X ( s ) x

BU( s )

X ( s )

sI

A

x

sI

A

BU( s )

=

+

=

+

=

+

ale przy zerowych warunkach początkowych:

background image

43

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

1

X ( s )

sI

A

BU( s )

=

(

)

1

Y ( s )

C sI

A

B D U( s ) G( s )U( s )

=

+

=

(

)

(

)

(

)

1

adj sI

A

G( s ) C sI

A

B D C

B D

det sI

A

=

+ =

+

mogą wystąpić skrócenia – transmitancja może być niższego rzędu niż wymiar wektora stanu!!

background image

44

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( t ) x( t ), det P

=

równanie stanu

d

Pq( t ) APq( t ) Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

now

równanie wyjś a

e

ci

=

+

=

+

background image

45

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

1

równanie st

d

q( t ) P APq( t ) P Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

anu

równanie wyjścia

nowe

=

+

=

+

1

1

d

q( t ) Aq( t ) Bu( t )

A P AP, B P B

dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )

C CP

=

+

=

=

=

+

=


wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!


Jaka będzie transmitancja:

background image

46

Automatyka i sterowanie 2 Modele ciągłych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

G( s ) C sI

A

B D CP sI P AP

P B D

CP P

sI

A P

P B D CPP

sI

A

PP B D

C sI

A

B D G( s )

=

+ =

+ =

=

+ =

+ =

=

+ =



liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!

bo

(

)

1

1

1

MN

N M

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)

więcej podobnych podstron