automatyka i sterowanie wyklad 4

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym















Uchyb - e(t)=r(t)-y(t)

P(s)

C(s)

u(s)

y(s)

r(s)

obiekt

regulator

P(s)

C(s)

u(s)

y(s)

H(s)

czujnik

r(s)

-

background image

3

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym





P(s)

C(s)

u(s)

y(s)

r(s)

-

H(s)

H

-1

(s)

background image

4

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Wrażliwość transmitancji układu ze sprzężeniem zwrotnym
Niech transmitancja G(s) zależy od parametru p. Zdefiniujemy

0

0

G / p

p

p

G

G p

G p

G

W

lim

lim

p

p G

p G

p

Δ →

Δ →

Δ

Δ

=

=

=

Δ

Δ

0

G ( s ) C( s )P( s )

=

0

0

0

1

G / P

G P

P

W

C

P G

CP

=

=

=

1

C( s )P( s )

G( s )

C( s )P( s )H( s )

=

+

G / P

G P

W

P G

=

(

)

(

)

(

) (

)

2

1

1

1

1

1

CPH C CPCH

P

CP

CPH

CPH

CPH

+

=

=

+

+

+

G / H

G H

W

H G

=

(

)

(

) (

)

2

1

1

1

CPCP

H

CPH

CP

CPH

CPH

CPH

=

=

+

+

+

background image

5

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
















C(s)

P(s)

D(s)

R(s)

Y(s)

E(s)

U(s)

regulator

obiekt

N(s)

F(s)

v(s)

n(s)

F(s)=1 – sprz. od uchybu

background image

6

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

6 transmitancji:

YN

T

,

YD

T

,

YR

T

;

N

PC

D

PC

P

R

PC

FPC

Y

+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

,

N

PC

PC

D

PC

P

R

PC

FPC

n

+

+

+

+

+

=

1

1

1

,

N

PC

C

D

PC

R

PC

FC

v

+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

,

UN

T

,

UD

T

,

UR

T

:

N

PC

C

D

PC

PC

R

PC

FC

U

+

+

+

+

+

=

1

1

1

,

N

PC

D

PC

P

R

PC

F

E

+

+

+

+

+

=

1

1

1

1

ten sam mianownik: 1+PC. Często F(s)=1 i wtedy

transmitancja uchybowa uz

1

1

ER

T

PC

=

+

jest tożsama z funkcją wrażliwości

YR

T / P

W

i często (zwłaszcza w

terminologii angielskiej) nazywana funkcją wrażliwości (sensitivity function). Dlatego też będziemy

background image

7

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

oznaczać

1

1

S

PC

=

+

.

Transmitancja wypadkowa

1

YR

PC

T

PC

=

+

spełnia

1

1

1

1

YR

ER

PC

T

T

PC

PC

+

=

+

=

+

+

jest czasem nazywana

dopełniającą funkcją wrażliwości, transmitancja G

0

(s)=C(s)P(s) jest nazywana transmitancją układu

otwartego. Zwykle (jeżeli stopień mianownika G

0

(s) jest większy od stopnia licznika)

0

0

G ( )

∞ =

, czyli

1

ER

T ( )

∞ =

,

0

YR

T ( )

∞ =

.

Jeżeli w układzie otwartym występuje całkowanie, to

0

0

G ( )

= ∞

czyli

0

0

ER

T ( )

=

,

0

1

YR

T ( )

=

.

Wszystkie te transmitancje są potrzebne do oceny układu. Niech na przykład

1

a

P( s )

s

=

- obiekt niestabilny, niech

1

=

)

s

(

F

, wybieramy

C( s ) k

s a

s

=

i wtedy

s

k

)

s

(

C

)

s

(

P

=

,

1

1

ER

s

T

PC

s k

=

=

+

+

,

1

YR

PC

k

T

PC

s k

=

=

+

+

są stabilne ale

(

)

(

)

1

YD

P

s

T

PC

a

k

s

s

=

=

+

+

nie

(

)

1

UN

s a

C

T

k

PC

s k

=

=

+

+

background image

8

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Rozważmy jak zachowa się układ bez sterowania:

0

Y ( s ) N( s ) P( s )D( s )

=

+













i układ zamknięty przy r(t)=0 :

0

1

1

1

1

1

1

1

c

P

Y ( s )

N( s )

D( s )

( N PD )

Y ( s )

PC

PC

PC

PC

=

+

=

+

=

+

+

+

+

C(s)

P(s)

D(s)

R(s)

Y(s)

E(s)

U(s)

regulator

obiekt

N(s)

F(s)

v(s)

n(s)

background image

9

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

czyli zakłócenia o
częstotliwościach, dla których

1

1

1 P( j )C( j )

ω

ω

<

+

, czyli

1

1

P( j )C( j )

ω

ω

+

> będą

tłumione, a te o częstotliwościach, dla
których czyli

1

1

P( j )C( j )

ω

ω

+

<

wzmacniane:





ω

G

0

(jω)

1+G

0

(jω)

background image

10

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione

1+G

0

(jω)

G

0

(jω

background image

11

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione?

background image

12

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(jω)|

1

1

max

P( j )C( j )

ω

ω

=

+

, przypadające dla pulsacji

ωsc jest miarą maksymalnego wzmocnienia zakłóceń w układzie. Przypada ono dokładnie dla tej
częstotliwości dla której moduł [1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
s

m

=min|P(jω)C(jω)|, które za chwilę nazwiemy zapasem stabilności. Mamy Ms = 1/sm

background image

13

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Całka Bodego s → ∞, oraz ma zera p

k

w prawej półpłaszczyźnie

to

( )

( ) ( )

0

0

1

1

log S j

d

log

d

P j

C j

ω ω

ω

ω

ω

=

=

+

0

k

k

k:Re( p )

p

π

>

jeśli ma zer w prawej

półpłaszczyźnie to

( )

0

0

=

ω

ω

d

j

S

log



background image

14

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Właściwości układów stabilnych w stanie ustalonym:
Weźmy stabilny układ o transmitancji G(s). Twierdzenie graniczne pozwala obliczyć wartość ustalona
wyjścia przy wymuszeniu jednostkowym:

1

0

1

0

0

=

=

=

=

)

(

G

s

)

s

(

sG

lim

)

s

(

sY

lim

)

t

(

y

lim

y

s

s

t

współczynnik wzmocnienia układu

<

=

)

(

G

)

s

(

G

lim

s

0

0

0

0

,

s

A

)

s

(

X

=


0

0

0

0

0

1

1

0

e

t

s

s

s

A

A

A

e

lime( t ) lim sE( s ) lim sG ( s )

lim

s

G ( s )

G ( )

→∞

=

=

=

=

=

+

+

,

)

(

G

A

e

0

1

1

0

+

=

układ statyczny

( )

X s

( )

s

G

0

-

+

( )

E s

( )

s

Y

background image

15

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

)

(

G

k

A

e

p

0

1

1

0

+

=

zwiększanie kp spowoduje malenie uchybu ustalonego, ale granicą jest

możliwość utraty stabilności!!





( )

X s

p

k

-

+

( )

E s

( )

s

Y

( )

s

G

0

background image

16

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym





G0(s) = 1/(s+1)3,
kp = 1, 2, 5.
Uchyb ustalony 0.5, 0.33, 0.17 – maleje
ale układ zbliża się do utraty stabilności

background image

17

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

żadnych zakłóceń !!
dokładna znajomość obiektu!!
Uchyb regulacji w stanie ustalonym

( )

X s

p

k

-

+

( )

E s

( )

s

Y

( )

s

G

0

)

(

G 0

1

0

background image

18

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Układ astatyczny pierwszego rzędu względem wymuszenia – zerowy uchyb ustalony przy
wymuszeniu jednostkowym

0

=

e

)

s

(

M

)

s

(

L

)

s

(

G

0

0

0

=

A

)

s

(

L

)

s

(

M

)

s

(

M

lim

)

s

(

G

A

lim

s

A

)

s

(

sG

lim

)

s

(

sE

lim

)

t

(

e

lim

e

s

s

e

s

s

t

0

0

0

0

0

0

0

0

1

+

=

+

=

=

=

=

=

[

]

0

0

0

0

0

0

0

s

s

lim M ( s )

, lim M ( s ) L ( s )

=

+

)

s

(

M

s

)

s

(

M

01

0

=

czyli transmitancja uchybowa musi mieć zero =0, transmitancja układu

background image

19

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

otwartego biegun=0

)

s

(

M

s

)

s

(

L

)

s

(

L

)

s

(

G

cl

01

0

0

+

=

w transmitancji uz wyrazy wolne licznika i mianownika musza być równe,

czyli

0

0

cl

G ( )

=

Jak zachowa się układ astatyczny pierwszego rzędu przy wymuszeniu narastającym liniowo:

01

01

2

0

0

0

01

0

01

0

01

0

0

0

t

s

s

s

sM ( s )

A

M ( s )

e

lime( t ) lim sE( s ) lim

s

lim

A

sM ( s ) L ( s ) s

sM ( s ) L ( s )

M ( )

A const

L ( )

→∞

=

=

=

=

=

+

+

=

=

a przy wymuszeniu narastającym kwadratowo:

01

01

3

0

0

0

01

0

01

0

t

s

s

s

sM ( s )

A

M ( s )

A

e

lime( t ) lim sE( s ) lim

s

lim

sM ( s ) L ( s ) s

sM ( s ) L ( s ) s

→∞

=

=

=

=

= ∞

+

+

background image

20

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Układ astatyczny drugiego rzędu względem wymuszenia – zerowy uchyb ustalony przy
wymuszeniu narastającym liniowo

0

=

e

2

2

1

s

A

s

A

)

s

(

X

+

=

)

s

(

M

)

s

(

L

)

s

(

G

0

0

0

=

0

1

2

2

0

0

0

0

0

e

t

s

s

s

M ( s )

A

A

e

lime( t ) lim sE( s ) lim sG ( s )X ( s ) lim

s

M ( s ) L ( s )

s

s

→∞

=

=

=

=

+

+

[

]

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s

s

s

M ( s )

lim M ( s )

, lim

, lim M ( s ) L ( s )

s

=

=

+

)

s

(

M

s

)

s

(

M

02

2

0

=

czyli transmitancja uchybowa musi mieć podwójne zero =0, transmitancja układu otwartego podwójny
biegun=0

0

2

0

01

cl

L ( s )

G ( s )

L ( s ) s M ( s )

=

+ ⋅

w transmitancji uz współczynniki przy s oraz wyrazy wolne licznika i

mianownika muszą być równe.
Przy wymuszeniu narastającym kwadratowo uchyb ustalony będzie stały, przy narastającym jak t

3

background image

21

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

nieskończony.
Definicję astatyzmu można uogólnić na dalsze wymuszenia, czyli astatyzm rzędu p względem
wymuszenia oznacza zerowy uchyb ustalony przy wymuszeniu postaci

2

1

0

1

2

1

1

p

p

x( t ) a ( t ) a t a t

a t

=

+

+

+"

i można rozpoznać go po p-krotnym zerze =0 w transmitancji

uchybowej i po p-krotnym biegunie=0 w transmitancji układu otwartego . W transmitancji układu
zamkniętego obserwujemy:

1

1

1

r

cl

e

e

G ( s )

G ( s )

s G ( s )

= −

= −

1

0

1 0

0

1

r

cl

e

G ( )

G ( )

= −

=

{

}

1

0

1

0

1

1

0

0

r

r

r

cl

s

e

s

e

e

s

d

d

d

G ( s )

s G ( s )

rs G ( s ) s

G ( s )

dz

ds

ds

=

=

=

= −

= −

+

=

............

1

0

1

0

r

s

r

d

G( s )

ds

=

=

background image

22

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Jak widać wprowadzenie elementu całkującego do układu otwartego pozwala uzyskać astatyzm lub
podnieść jego rząd. Ale:

1

+

=

sT

K

)

s

(

G

p

,

i

r

sT

)

s

(

G

1

=

,

(

)

1

0

+

=

=

sT

s

T

K

)

s

(

G

)

s

(

G

)

s

(

G

i

p

r

,

(

)

i

i

cl

T

K

s

T

s

T

K

sT

s

)

s

(

M

+

+

=

+

+

=

2

1

(

)

1

+

=

sT

s

K

)

s

(

G

p

,

i

r

sT

)

s

(

G

1

=

,

(

)

1

2

0

+

=

=

sT

s

T

K

)

s

(

G

)

s

(

G

)

s

(

G

i

p

r

,

(

)

i

i

cl

T

K

s

T

s

T

K

sT

s

)

s

(

M

+

+

=

+

+

=

2

3

2

1

background image

23

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

(

)

1

+

=

sT

s

K

)

s

(

G

p

, ,

(

)

i

i

p

i

p

r

sT

sT

K

sT

K

)

s

(

G

1

1

1

+

=

⎟⎟

⎜⎜

+

=

,

(

)

(

)

1

1

2

0

+

+

=

=

sT

s

sT

T

KK

)

s

(

G

)

s

(

G

)

s

(

G

i

i

p

p

r

(

)

(

)

i

p

p

i

i

p

cl

T

KK

s

KK

s

T

s

sT

T

KK

sT

s

)

s

(

M

+

+

+

=

+

+

+

=

2

3

2

1

1

background image

24

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym


Astatyzm względem zakłócenia

s

A

)

s

(

D

=

,

)

s

(

M

)

s

(

L

)

s

(

G

0

0

0

=

⎛ −

+

=

⎛ −

+

=

s

A

)

s

(

L

)

s

(

M

)

s

(

M

s

A

)

s

(

M

)

s

(

L

)

s

(

E

0

0

0

0

0

1

1

( )

s

G

0

-

+

( )

E s

( )

s

Y

+

+

( )

0

=

s

X

( )

s

D

background image

25

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Regulacja astatyczna w układach dyskretnych:
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej

,

)

(

)

(

)

(

0

0

0

z

M

z

L

z

G

=

sztywne ujemne SZ. Zakładamy, że

UZ jest stabilny.

Wymuszenie jednostkowe

1

)

(

=

z

z

z

U

.

Uchyb ustalony:

)

(

)

(

1

1

)

1

(

lim

)

(

)

1

(

lim

)

(

lim

0

1

1

z

U

z

G

z

z

e

z

kT

e

e

z

z

k

u

+

=

=

=

=

1

)

(

)

(

)

(

)

1

(

lim

0

0

0

1

+

z

z

z

M

z

L

z

M

z

z

)

(

)

1

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

lim

01

0

0

0

0

1

z

M

z

z

M

z

M

z

L

z

zM

e

z

u

=

=

+

=

- astatyzm pierwszego rzędu względem

wymuszenia.
W takim układzie przy wymuszeniu narastającym liniowo:

(

)

01

01

2

1

0

01

0

1

1

1

1

1

1

u

z

( z

)M ( z )

zT

M ( )T

e

lim( z

)

const

L ( z ) ( z

)M ( z )

L ( )

z

=

=

=

+

, przy wymuszeniu

background image

26

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

narastającym kwadratowo

u

e

= ∞

.

Wymuszenie liniowe

2

)

1

(

)

(

=

z

Tz

z

U

kT

kT

u

=

)

(

(

)

)

(

)

1

(

)

(

0

)

(

)

(

)

1

(

)

(

lim

01

2

0

0

0

0

1

z

M

z

z

M

z

M

z

L

z

z

TzM

e

z

u

=

=

+

=

- astatyzm drugiego rzędu

względem wymuszenia.

...........

background image

27

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym


Układ astatyczny rzędu r odtwarza z zerowym dyskretnym uchybem ustalonym

wymuszenie postaci

( )

i

r

i

i

kT

A

kT

u

=

=

1

0

)

(

. Warunkiem astatyzmu rzędu r jest wystąpienie r-

krotnego zera =1 w transmitancji uchybowej, lub równoważnie r-krotnego bieguna =1 w
transmitancji układu otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego:

)

(

)

1

(

1

)

(

1

)

(

1

z

G

z

z

G

z

G

e

r

e

=

=

1

)

1

(

)

1

1

(

1

)

1

(

1

=

=

e

r

G

G

{

}

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

r

r

r

z

e

z

e

e

z

d

d

d

G( z )

( z

) G ( z )

r( z

) G ( z ) ( z

)

G ( z )

dz

dz

dz

=

=

=

= −

= −

+

=

............

0

)

(

1

1

1

=

=

z

r

r

z

G

dz

d

background image

28

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

background image

29

Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym

Układy typu dead-beat

Jeżeli transmitancja układu zamkniętego jest postaci

N

z

L

z

z

L

z

G

N

=

)

(

deg

,

)

(

)

(

, to

)

(

)

(

1

=

z

W

z

G

, jest wielomianem względem z

-1

. Układ realizuje więc opóźnienia

sygnału wejściowego (maksymalnie o N okresów impulsowania). Przebiegi przejściowe
zanikają więc po co najwyżej N okresach impulsowania.





Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 2
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)

więcej podobnych podstron