Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
2
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Uchyb - e(t)=r(t)-y(t)
P(s)
C(s)
u(s)
y(s)
r(s)
obiekt
regulator
P(s)
C(s)
u(s)
y(s)
H(s)
czujnik
r(s)
-
3
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
P(s)
C(s)
u(s)
y(s)
r(s)
-
H(s)
H
-1
(s)
4
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Wrażliwość transmitancji układu ze sprzężeniem zwrotnym
Niech transmitancja G(s) zależy od parametru p. Zdefiniujemy
0
0
G / p
p
p
G
G p
G p
G
W
lim
lim
p
p G
p G
p
Δ →
Δ →
Δ
Δ
∂
=
=
=
Δ
Δ
∂
0
G ( s ) C( s )P( s )
=
0
0
0
1
G / P
G P
P
W
C
P G
CP
∂
=
=
=
∂
1
C( s )P( s )
G( s )
C( s )P( s )H( s )
=
+
G / P
G P
W
P G
∂
=
∂
(
)
(
)
(
) (
)
2
1
1
1
1
1
CPH C CPCH
P
CP
CPH
CPH
CPH
+
−
=
=
+
+
+
G / H
G H
W
H G
∂
=
∂
(
)
(
) (
)
2
1
1
1
CPCP
H
CPH
CP
CPH
CPH
CPH
−
−
=
=
+
+
+
5
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
C(s)
P(s)
D(s)
R(s)
Y(s)
E(s)
U(s)
regulator
obiekt
N(s)
F(s)
v(s)
n(s)
F(s)=1 – sprz. od uchybu
6
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
6 transmitancji:
YN
T
,
YD
T
,
YR
T
;
N
PC
D
PC
P
R
PC
FPC
Y
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
,
N
PC
PC
D
PC
P
R
PC
FPC
n
+
−
+
+
+
+
=
1
1
1
,
N
PC
C
D
PC
R
PC
FC
v
+
−
+
+
+
+
=
1
1
1
1
,
UN
T
,
UD
T
,
UR
T
:
N
PC
C
D
PC
PC
R
PC
FC
U
+
−
+
+
−
+
+
=
1
1
1
,
N
PC
D
PC
P
R
PC
F
E
+
−
+
+
−
+
+
=
1
1
1
1
ten sam mianownik: 1+PC. Często F(s)=1 i wtedy
transmitancja uchybowa uz
1
1
ER
T
PC
=
+
jest tożsama z funkcją wrażliwości
YR
T / P
W
i często (zwłaszcza w
terminologii angielskiej) nazywana funkcją wrażliwości (sensitivity function). Dlatego też będziemy
7
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
oznaczać
1
1
S
PC
=
+
.
Transmitancja wypadkowa
1
YR
PC
T
PC
=
+
spełnia
1
1
1
1
YR
ER
PC
T
T
PC
PC
+
=
+
=
+
+
jest czasem nazywana
dopełniającą funkcją wrażliwości, transmitancja G
0
(s)=C(s)P(s) jest nazywana transmitancją układu
otwartego. Zwykle (jeżeli stopień mianownika G
0
(s) jest większy od stopnia licznika)
0
0
G ( )
∞ =
, czyli
1
ER
T ( )
∞ =
,
0
YR
T ( )
∞ =
.
Jeżeli w układzie otwartym występuje całkowanie, to
0
0
G ( )
= ∞
czyli
0
0
ER
T ( )
=
,
0
1
YR
T ( )
=
.
Wszystkie te transmitancje są potrzebne do oceny układu. Niech na przykład
1
a
P( s )
s
=
−
- obiekt niestabilny, niech
1
=
)
s
(
F
, wybieramy
C( s ) k
s a
s
=
−
i wtedy
s
k
)
s
(
C
)
s
(
P
=
,
1
1
ER
s
T
PC
s k
=
=
+
+
,
1
YR
PC
k
T
PC
s k
=
=
+
+
są stabilne ale
(
)
(
)
1
YD
P
s
T
PC
a
k
s
s
=
=
+
+
−
nie
(
)
1
UN
s a
C
T
k
PC
s k
−
−
=
=
+
+
8
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Rozważmy jak zachowa się układ bez sterowania:
0
Y ( s ) N( s ) P( s )D( s )
=
+
i układ zamknięty przy r(t)=0 :
0
1
1
1
1
1
1
1
c
P
Y ( s )
N( s )
D( s )
( N PD )
Y ( s )
PC
PC
PC
PC
=
+
=
+
=
+
+
+
+
C(s)
P(s)
D(s)
R(s)
Y(s)
E(s)
U(s)
regulator
obiekt
N(s)
F(s)
v(s)
n(s)
9
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
czyli zakłócenia o
częstotliwościach, dla których
1
1
1 P( j )C( j )
ω
ω
<
+
, czyli
1
1
P( j )C( j )
ω
ω
+
> będą
tłumione, a te o częstotliwościach, dla
których czyli
1
1
P( j )C( j )
ω
ω
+
<
wzmacniane:
ω
G
0
(jω)
1+G
0
(jω)
10
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione
1+G
0
(jω)
G
0
(jω
11
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Częstotliwości, dla których zakłócenia są tłumione?
12
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Maksimum modułu funkcji wrażliwości Ms=max|S(jω)|
1
1
max
P( j )C( j )
ω
ω
=
+
, przypadające dla pulsacji
ωsc jest miarą maksymalnego wzmocnienia zakłóceń w układzie. Przypada ono dokładnie dla tej
częstotliwości dla której moduł [1+transmitancja układu otwartego] osiąga minimum
s
m
=min|P(jω)C(jω)|, które za chwilę nazwiemy zapasem stabilności. Mamy Ms = 1/sm
13
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Całka Bodego s → ∞, oraz ma zera p
k
w prawej półpłaszczyźnie
to
( )
( ) ( )
0
0
1
1
log S j
d
log
d
P j
C j
ω ω
ω
ω
ω
∞
∞
=
=
+
∫
∫
0
k
k
k:Re( p )
p
π
>
∑
jeśli ma zer w prawej
półpłaszczyźnie to
( )
0
0
=
∫
∞
ω
ω
d
j
S
log
14
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Właściwości układów stabilnych w stanie ustalonym:
Weźmy stabilny układ o transmitancji G(s). Twierdzenie graniczne pozwala obliczyć wartość ustalona
wyjścia przy wymuszeniu jednostkowym:
1
0
1
0
0
⋅
=
=
=
=
→
→
∞
→
∞
)
(
G
s
)
s
(
sG
lim
)
s
(
sY
lim
)
t
(
y
lim
y
s
s
t
współczynnik wzmocnienia układu
∞
<
=
→
)
(
G
)
s
(
G
lim
s
0
0
0
0
,
s
A
)
s
(
X
=
0
0
0
0
0
1
1
0
e
t
s
s
s
A
A
A
e
lime( t ) lim sE( s ) lim sG ( s )
lim
s
G ( s )
G ( )
∞
→∞
→
→
→
=
=
=
=
=
+
+
,
)
(
G
A
e
0
1
1
0
+
=
∞
układ statyczny
( )
X s
( )
s
G
0
-
+
( )
E s
( )
s
Y
15
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
)
(
G
k
A
e
p
0
1
1
0
⋅
+
=
∞
zwiększanie kp spowoduje malenie uchybu ustalonego, ale granicą jest
możliwość utraty stabilności!!
( )
X s
p
k
-
+
( )
E s
( )
s
Y
( )
s
G
0
16
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
G0(s) = 1/(s+1)3,
kp = 1, 2, 5.
Uchyb ustalony 0.5, 0.33, 0.17 – maleje
ale układ zbliża się do utraty stabilności
17
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
żadnych zakłóceń !!
dokładna znajomość obiektu!!
Uchyb regulacji w stanie ustalonym
( )
X s
p
k
-
+
( )
E s
( )
s
Y
( )
s
G
0
)
(
G 0
1
0
18
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Układ astatyczny pierwszego rzędu względem wymuszenia – zerowy uchyb ustalony przy
wymuszeniu jednostkowym
0
=
∞
e
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
G
0
0
0
=
A
)
s
(
L
)
s
(
M
)
s
(
M
lim
)
s
(
G
A
lim
s
A
)
s
(
sG
lim
)
s
(
sE
lim
)
t
(
e
lim
e
s
s
e
s
s
t
0
0
0
0
0
0
0
0
1
+
=
+
=
=
=
=
=
→
→
→
→
∞
→
∞
[
]
0
0
0
0
0
0
0
s
s
lim M ( s )
, lim M ( s ) L ( s )
→
→
=
+
≠
)
s
(
M
s
)
s
(
M
01
0
⋅
=
czyli transmitancja uchybowa musi mieć zero =0, transmitancja układu
19
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
otwartego biegun=0
)
s
(
M
s
)
s
(
L
)
s
(
L
)
s
(
G
cl
01
0
0
⋅
+
=
w transmitancji uz wyrazy wolne licznika i mianownika musza być równe,
czyli
0
0
cl
G ( )
=
Jak zachowa się układ astatyczny pierwszego rzędu przy wymuszeniu narastającym liniowo:
01
01
2
0
0
0
01
0
01
0
01
0
0
0
t
s
s
s
sM ( s )
A
M ( s )
e
lime( t ) lim sE( s ) lim
s
lim
A
sM ( s ) L ( s ) s
sM ( s ) L ( s )
M ( )
A const
L ( )
∞
→∞
→
→
→
=
=
=
=
=
+
+
=
=
a przy wymuszeniu narastającym kwadratowo:
01
01
3
0
0
0
01
0
01
0
t
s
s
s
sM ( s )
A
M ( s )
A
e
lime( t ) lim sE( s ) lim
s
lim
sM ( s ) L ( s ) s
sM ( s ) L ( s ) s
∞
→∞
→
→
→
=
=
=
=
= ∞
+
+
20
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Układ astatyczny drugiego rzędu względem wymuszenia – zerowy uchyb ustalony przy
wymuszeniu narastającym liniowo
0
=
∞
e
2
2
1
s
A
s
A
)
s
(
X
+
=
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
G
0
0
0
=
0
1
2
2
0
0
0
0
0
e
t
s
s
s
M ( s )
A
A
e
lime( t ) lim sE( s ) lim sG ( s )X ( s ) lim
s
M ( s ) L ( s )
s
s
∞
→∞
→
→
→
⎡
⎤
=
=
=
=
+
⎢
⎥
+
⎣
⎦
[
]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
s
s
s
M ( s )
lim M ( s )
, lim
, lim M ( s ) L ( s )
s
→
→
→
=
=
+
≠
)
s
(
M
s
)
s
(
M
02
2
0
⋅
=
czyli transmitancja uchybowa musi mieć podwójne zero =0, transmitancja układu otwartego podwójny
biegun=0
0
2
0
01
cl
L ( s )
G ( s )
L ( s ) s M ( s )
=
+ ⋅
w transmitancji uz współczynniki przy s oraz wyrazy wolne licznika i
mianownika muszą być równe.
Przy wymuszeniu narastającym kwadratowo uchyb ustalony będzie stały, przy narastającym jak t
3
–
21
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
nieskończony.
Definicję astatyzmu można uogólnić na dalsze wymuszenia, czyli astatyzm rzędu p względem
wymuszenia oznacza zerowy uchyb ustalony przy wymuszeniu postaci
2
1
0
1
2
1
1
p
p
x( t ) a ( t ) a t a t
a t
−
−
=
+
+
+"
i można rozpoznać go po p-krotnym zerze =0 w transmitancji
uchybowej i po p-krotnym biegunie=0 w transmitancji układu otwartego . W transmitancji układu
zamkniętego obserwujemy:
1
1
1
r
cl
e
e
G ( s )
G ( s )
s G ( s )
= −
= −
1
0
1 0
0
1
r
cl
e
G ( )
G ( )
= −
=
{
}
1
0
1
0
1
1
0
0
r
r
r
cl
s
e
s
e
e
s
d
d
d
G ( s )
s G ( s )
rs G ( s ) s
G ( s )
dz
ds
ds
−
=
=
=
⎧
⎫
= −
= −
+
=
⎨
⎬
⎩
⎭
............
1
0
1
0
r
s
r
d
G( s )
ds
−
=
−
=
22
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Jak widać wprowadzenie elementu całkującego do układu otwartego pozwala uzyskać astatyzm lub
podnieść jego rząd. Ale:
1
+
=
sT
K
)
s
(
G
p
,
i
r
sT
)
s
(
G
1
=
,
(
)
1
0
+
=
=
sT
s
T
K
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
G
i
p
r
,
(
)
i
i
cl
T
K
s
T
s
T
K
sT
s
)
s
(
M
+
+
=
+
+
=
2
1
(
)
1
+
=
sT
s
K
)
s
(
G
p
,
i
r
sT
)
s
(
G
1
=
,
(
)
1
2
0
+
=
=
sT
s
T
K
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
G
i
p
r
,
(
)
i
i
cl
T
K
s
T
s
T
K
sT
s
)
s
(
M
+
+
=
+
+
=
2
3
2
1
23
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
(
)
1
+
=
sT
s
K
)
s
(
G
p
, ,
(
)
i
i
p
i
p
r
sT
sT
K
sT
K
)
s
(
G
1
1
1
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
,
(
)
(
)
1
1
2
0
+
+
=
=
sT
s
sT
T
KK
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
G
i
i
p
p
r
(
)
(
)
i
p
p
i
i
p
cl
T
KK
s
KK
s
T
s
sT
T
KK
sT
s
)
s
(
M
+
+
+
=
+
+
+
=
2
3
2
1
1
24
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Astatyzm względem zakłócenia
s
A
)
s
(
D
=
,
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
G
0
0
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
=
s
A
)
s
(
L
)
s
(
M
)
s
(
M
s
A
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
E
0
0
0
0
0
1
1
( )
s
G
0
-
+
( )
E s
( )
s
Y
+
+
( )
0
=
s
X
( )
s
D
25
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Regulacja astatyczna w układach dyskretnych:
Układ otwarty o transmitancji dyskretnej
,
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
M
z
L
z
G
=
sztywne ujemne SZ. Zakładamy, że
UZ jest stabilny.
Wymuszenie jednostkowe
1
)
(
−
=
z
z
z
U
.
Uchyb ustalony:
)
(
)
(
1
1
)
1
(
lim
)
(
)
1
(
lim
)
(
lim
0
1
1
z
U
z
G
z
z
e
z
kT
e
e
z
z
k
u
+
−
=
−
=
=
→
→
∞
→
=
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
lim
0
0
0
1
−
+
−
→
z
z
z
M
z
L
z
M
z
z
)
(
)
1
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
lim
01
0
0
0
0
1
z
M
z
z
M
z
M
z
L
z
zM
e
z
u
−
=
⇔
=
+
=
→
- astatyzm pierwszego rzędu względem
wymuszenia.
W takim układzie przy wymuszeniu narastającym liniowo:
(
)
01
01
2
1
0
01
0
1
1
1
1
1
1
u
z
( z
)M ( z )
zT
M ( )T
e
lim( z
)
const
L ( z ) ( z
)M ( z )
L ( )
z
→
−
=
−
=
=
+
−
−
, przy wymuszeniu
26
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
narastającym kwadratowo
u
e
= ∞
.
Wymuszenie liniowe
2
)
1
(
)
(
−
=
z
Tz
z
U
kT
kT
u
=
)
(
(
)
)
(
)
1
(
)
(
0
)
(
)
(
)
1
(
)
(
lim
01
2
0
0
0
0
1
z
M
z
z
M
z
M
z
L
z
z
TzM
e
z
u
−
=
⇔
=
+
−
=
→
- astatyzm drugiego rzędu
względem wymuszenia.
...........
27
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Układ astatyczny rzędu r odtwarza z zerowym dyskretnym uchybem ustalonym
wymuszenie postaci
( )
i
r
i
i
kT
A
kT
u
∑
−
=
=
1
0
)
(
. Warunkiem astatyzmu rzędu r jest wystąpienie r-
krotnego zera =1 w transmitancji uchybowej, lub równoważnie r-krotnego bieguna =1 w
transmitancji układu otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego:
)
(
)
1
(
1
)
(
1
)
(
1
z
G
z
z
G
z
G
e
r
e
−
−
=
−
=
1
)
1
(
)
1
1
(
1
)
1
(
1
=
−
−
=
e
r
G
G
{
}
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
r
r
r
z
e
z
e
e
z
d
d
d
G( z )
( z
) G ( z )
r( z
) G ( z ) ( z
)
G ( z )
dz
dz
dz
−
=
=
=
⎧
⎫
= −
−
= −
−
+
−
=
⎨
⎬
⎩
⎭
............
0
)
(
1
1
1
=
=
−
−
z
r
r
z
G
dz
d
28
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
29
Automatyka i sterowanie 4 Właściwości układów ze sprzężeniem zwrotnym
Układy typu dead-beat
Jeżeli transmitancja układu zamkniętego jest postaci
N
z
L
z
z
L
z
G
N
≤
=
)
(
deg
,
)
(
)
(
, to
)
(
)
(
1
−
=
z
W
z
G
, jest wielomianem względem z
-1
. Układ realizuje więc opóźnienia
sygnału wejściowego (maksymalnie o N okresów impulsowania). Przebiegi przejściowe
zanikają więc po co najwyżej N okresach impulsowania.