Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
Jacek Kabziński
Automatyka i sterowanie
————————————————————————————————————————
2
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Układy z czasem dyskretnym, jedno wejście – jedno wyjście (discrete-time single input- single
output –SISO)
Liniowe równania różnicowe
Różnica progresywna:
)
(
)
1
(
:
)
(
k
x
k
x
k
x
−
+
=
Δ
(
)
)
(
)
1
(
2
)
2
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
1
(
:
)
(
2
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
+
+
−
+
=
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
=
Δ
Δ
Δ
)
(
)
1
(
:
)
(
1
1
k
x
k
x
k
x
m
m
m
−
−
−
+
=
Δ
Δ
Δ
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
0
i
k
m
x
i
i
m
m
k
x
m
i
i
m
−
+
−
−
=
∑
=
Δ
3
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
{
} {
} { }
=
−
+
=
)
(
)
1
(
)
(
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
Δ
=
)
0
(
)
(
)
1
(
)
(
)
0
(
)
(
zx
z
X
z
z
X
zx
z
zX
−
−
=
−
−
{
}
{
}
{
} { }
)
(
)
1
(
2
)
2
(
)
(
2
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
+
+
−
+
=
Δ
=
=
+
+
−
−
−
=
)
(
)
0
(
2
)
(
2
)
1
(
)
0
(
)
(
2
2
z
X
zx
z
zX
zx
x
z
z
X
z
=
(
)
)
1
(
)
0
(
)
2
(
)
(
1
2
zx
x
z
z
z
X
z
−
−
−
−
=
(
)
)
0
(
)
0
(
)
1
(
)
(
1
2
x
z
x
z
z
z
X
z
Δ
−
−
−
−
{
}
∑
−
=
−
−
−
−
−
=
1
0
1
)
0
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
m
i
i
i
m
m
m
x
z
z
z
X
z
k
x
Z
Δ
Δ
{
}
∑ ∑
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
m
i
i
m
k
k
i
m
i
m
m
k
x
z
i
i
m
m
z
z
X
z
k
x
Z
0
1
0
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
Δ
4
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Liniowe równania różnicowe:
)
(
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
~
0
1
1
1
kT
f
kT
y
a
kT
y
a
kT
y
a
kT
y
a
n
n
n
n
=
+
+
+
+
−
−
Δ
Δ
Δ
"
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
0
1
1
1
kT
u
b
kT
u
b
kT
u
b
kT
u
b
kT
f
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
Δ
Δ
Δ
"
warunki początkowe:
)
0
(
),
0
(
,
),
0
(
1
y
y
y
n
Δ
Δ
"
−
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
0
i
k
m
x
i
i
m
m
k
x
m
i
i
m
−
+
−
−
=
∑
=
Δ
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
0
1
1
kT
f
kT
y
a
T
k
y
a
T
k
n
y
a
T
n
k
y
a
n
n
=
+
+
+
+
−
+
+
+
−
"
(
)
(
)
(
)
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
0
1
1
kT
u
b
T
k
u
b
T
k
n
u
b
T
n
k
u
b
kT
f
n
n
+
+
+
+
−
+
+
+
=
−
"
warunki początkowe:
)
0
(
),
1
(
,
),
1
(
x
y
n
y
"
−
{
}
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+
∑
−
=
−
1
0
)
(
)
(
)
(
m
i
i
m
z
i
x
z
X
z
m
k
x
Z
=
m
z X ( z )
1
0
m
m i
i
x( i )z
−
−
=
−
∑
5
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1
1
1
0
n
n
n
n
a z Y ( z ) a z Y ( z )
a zY ( z ) a Y ( z )
−
−
+
=
+ +
+
"
1
2
1
1
0
0
0
n
n
n i
n i
n
n
i
i
a
y( i )z
a
y( i )z
a zy( )
−
−
−
−
−
=
=
+
=
+
+
∑
∑
"
+F(z)
1
2
0
1
1
1
0
0
0
n
n
n
i
n i
n i
i
n
n
i
i
i
L ( z )
A z
a
y( i )z
a
y( i )z
a zy( )
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
+
+
+
∑
∑
∑
"
)
1
(
)
1
(
)
0
(
2
1
1
−
+
+
+
=
n
y
a
y
a
y
a
A
n
"
)
2
(
)
1
(
)
0
(
3
2
2
−
+
+
+
=
n
y
a
y
a
y
a
A
n
"
....................................
)
0
(
y
a
A
n
n
=
znika dla zerowych warunków początkowych
6
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1
1
1
0
n
n
n
n
M( z ) a z
a z
a z a
−
−
=
+
+ +
+
"
wielomian charakterystyczny
)
(
)
(
)
(
)
(
0
z
F
z
L
z
Y
z
M
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
z
M
z
F
z
M
z
L
z
Y
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
1
z
M
z
F
Z
z
M
z
L
Z
kT
y
zerowe sterowanie:
)
(
)
(
)
(
0
z
M
z
L
z
Y
=
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
)
(
)
(
)
(
0
1
z
M
z
L
Z
kT
y
zerowe warunki początkowe
)
(
)
(
)
(
z
M
z
F
z
Y
=
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
)
(
)
(
)
(
1
z
M
z
F
Z
kT
y
7
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
z
U
z
L
z
U
b
z
b
z
b
z
b
z
F
n
n
n
n
=
+
+
+
+
=
−
−
"
Transmitancja dyskretna:
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
M
z
L
z
G
z
U
z
G
z
U
z
M
z
L
z
Y
=
=
=
8
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Impulsowanie i ekstrapolacja
)
(t
f
)
(
*
t
f
)
(t
x
5
.
0
=
T
2T
10T
20T
9
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1
x(t)
f(u)
IMPULSATOR
T
Ekstrapolator
1
f(t)
T
kT
t
kT
kT
f
t
x
+
<
≤
=
)
(
)
(
[
]
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
0
T
kT
t
kT
t
kT
f
t
x
k
−
−
−
−
=
∑
∞
=
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)
(
)
(
*
0
)
1
(
0
s
f
s
E
e
kT
f
s
e
e
s
e
s
kT
f
s
x
kTs
k
Ts
Ts
k
kTs
k
=
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
−
∞
=
−
+
−
−
∞
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
*
kT
t
t
f
kT
t
kT
f
t
f
k
k
−
=
−
=
∑
∑
∞
−∞
=
∞
=
δ
δ
[ ]
{
}
Ts
e
z
k
Ts
k
kTs
k
kT
f
Z
e
kT
f
e
kT
f
s
f
=
−
−
∞
=
−
∞
=
=
=
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
*
10
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Jak obliczyć transmitancję dyskretną:
Jeżeli układ o wejściu u i wyjściu y składa się z impulsatora i części ciągłej o transmitancji G(s), to na
wejście G(s) do chwili t trafia ciąg impulsów Diraca
)
(
)
(
iT
t
iT
u
−
δ
. Żeby obliczyć y(t) trzeba zsumować
odpowiedzi impulsowe G(s) na wszystkie impulsy do chwili t. Tak więc:
g(t)=L
--1
{G(s)}
(
)
∑
=
−
=
k
i
iT
u
T
i
k
g
kT
y
0
)
(
)
(
)
(
jest splotem ciągów u(kT) i g(kT), transformata Z będzie więc iloczynem transformat
{
}
)
(
)
(
)
(
z
U
kT
g
Z
z
Y
=
czyli
{
}
)
(
)
(
kT
g
Z
z
G
=
11
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Odpowiedź impulsowa
g(kT)=L
--1
{G(s)}
kT
t
=
(zerowe war. pocz.) Z{g(kT)}=Z{L
--1
{G(s)}
kT
t
=
}=G(z)
odpowiedź na dowolne wymuszenie przy zerowych warunkach początkowych jest splotem odpowiedzi
impulsowej i tego wymuszenia
Odpowiedź skokowa
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
1
)
(
)
(
1
z
z
z
G
Z
kT
h
(zerowe war. pocz.)
Wpływ położenia biegunów transmitancji na odpowiedź układu
)
(
)
(
)
(
z
B
z
A
z
F
=
=
∑
∑
=
=
−
=
−
m
i
m
i
i
i
i
i
i
z
z
z
B
z
A
z
z
C
1
1
1
)
(
'
)
(
( )
)
1
(
1
)
(
'
)
(
)
(
1
1
−
=
∑
=
−
k
z
z
B
z
A
k
f
m
i
k
i
i
i
Odpowiedź jednostkowa układu o transmitancji
12
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
G
−
−
−
=
=
"
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
1
)
(
)
(
1
z
z
z
G
Z
kT
h
(zerowe war. pocz.)
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
z
M
z
z
zL
Z
kT
h
1
1
L( )
M( )
( )
1
1
1
n
k
i
i
i
i
i
L( z )
z
( kT )
( z
)M '( z )
=
−
+
∑
=
składowa ustalona
składowa przejściowa
h( kT )
=
)
1
(
)
1
(
M
L
( )
)
(
1
)
(
'
)
1
(
)
(
kT
z
z
M
z
z
L
R
z
k
i
i
i
i
i
∑
∈
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
∑
∈
)
(
'
)
1
(
)
(
arg
)
arg(
cos
)
(
'
)
1
(
)
(
2
,
i
i
i
i
C
z
z
k
i
i
i
i
z
M
z
z
L
z
k
z
z
M
z
z
L
i
i
Układ nazywamy stabilnym, jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi zanika. Koniecznym i
dostatecznym warunkiem stabilności będzie więc zanikanie składowych przejściowych odpowiedzi
wszystkich układów wynikających z rozkładu na ułamki proste, czyli wszystkie bieguny położone w
wewnątrz okręgu jednostkowego.
13
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Ekwiwalentne obszary płaszczyzn s i z
[ ]
{
}
Ts
e
z
k
Ts
k
kTs
k
kT
f
Z
e
kT
f
e
kT
f
s
f
=
−
∞
=
−
∞
=
=
=
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
*
ω
σ
j
s
+
=
T
j
T
e
e
z
ω
σ
=
T
z
e
z
T
ω
σ
=
=
)
arg(
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
c
T
j
s
π
ω
σ
2
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
=
c
T
jT
T
c
T
j
T
e
e
e
e
z
π
ω
σ
π
ω
σ
2
2
T
j
T
e
e
ω
σ
=
T
i
π
ω
2
=
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
i
/2
-3jω
i
/2
jω
i
/2
3jω
i
/2
ω
i
14
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1)
0
<
σ
1
<
⇒ z
2)
0
=
σ
T
j
e
z
ω
=
⇒
,
1
=
z
3) a)
2
i
j
s
ω
−
=
π
j
e
z
−
=
⇒
,
b)
0
=
s
1
=
⇒ z
,
c)
2
i
j
s
ω
=
π
j
e
z
=
⇒
,
d)
2
i
j
s
ω
σ
+
−
=
π
σ
j
T
e
e
z
−
=
⇒
,
e)
2
i
j
s
ω
σ
−
−
=
π
σ
j
T
e
e
z
−
−
=
⇒
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
i
/2
-3jω
i
/2
jω
i
/2
3jω
i
/2
a
b
c
d
a
b
c
d
e
e
15
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
4)
const
=
σ
const
z
=
⇒
5)
1
σ
σ
<
T
e
z
1
σ
<
⇒
6)
const
=
ω
const
T
z
=
=
⇒
ω
)
arg(
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
2
-jω
i
/2
jω
1
jω
i
/2
-σ
1
-σ
2
e
-σ
1
T
e
-σ
2
T
z=e
T(σ-jω
2
)
z=e
T(σ+jω
1
)
16
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Transmitancja widmowa
)
sin(
)
(
t
U
t
u
ω
=
T
Ue
Ue
kT
U
i
jk
kT
j
i
ω
ω
ω
ω
=
=
=
)
(
~
i
j
e
z
z
U
z
G
z
U
z
G
z
Y
ω
−
=
=
)
(
)
(
~
)
(
)
(
~
ustalona część odpowiedzi:
i
i
i
i
j
jk
j
k
j
e
z
ust
Ue
e
G
z
e
z
z
U
z
G
s
kT
y
ω
ω
ω
ω
)
(
)
(
Re
)
(
~
1
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
)
(
)
(
i
i
j
j
e
z
e
G
z
G
ω
ω
=
=
- transmitancja widmowa
)
(
i
j
G
ω
)
(
)
(
)
(
i
i
i
jQ
P
j
G
ω
ω
ω
+
=
)
(
)
(
i
i
P
P
ω
ω
=
−
)
(
)
(
i
i
Q
Q
ω
ω
−
=
−
charakterystyki częstotliwościowe:
amplitudowo-fazowa, amplitudowa, fazowa, logarytmiczne
17
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Wyznacz transmitancje i odpowiedzi układu:
1
1
−
=
z
KT
)
z
(
G
)
(
)
(
i
i
j
j
e
z
e
G
z
G
ω
ω
=
=
=
1
1
−
i
j
e
KT
ω
dla KT=1,
π
ω
π
<
<
−
i
:
s
K
s
e
sT
−
−
1
T
y(kT)
y(t)
18
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
19
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Jeśli układ ma wiele wejść i wyjść, to można opisać go macierzą transmitancji dyskretnych:
11
1
1
p
l
lp
G ( z )
G ( z )
( z )
G ( z )
G ( z )
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
G
"
#
#
#
"
( )
( )
( )
i
ij
j
Y z
G z
U z
=
1
11
1
1
1
p
l
l
lp
p
Y ( z )
G ( z )
G ( z ) U ( z )
Y ( z )
G ( z )
G ( z ) U ( z )
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ =
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
"
#
#
#
#
#
"
Y ( s ) G( s )U( s )
=
20
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Opis
układów dyskretnych w przestrzeni stanów
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
1
z
u(kT
x(kT)
y(kT)
x((k+1)T)
21
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Układ ciągły:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
u
D
t
x
C
t
y
t
u
B
t
x
A
t
x
dt
d
c
c
c
c
c
c
+
=
+
=
poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu (odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:
∫
−
−
+
=
t
t
c
c
t
A
t
t
A
d
u
B
e
t
x
e
t
x
c
c
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
τ
τ
τ
)
(
)
(
,
)
1
(
,
0
kT
u
t
u
T
k
t
kT
t
c
=
+
=
=
∫
−
+
+
=
+
t
t
c
T
k
A
T
A
d
kT
u
B
e
kT
x
e
T
k
x
c
c
0
)
(
)
(
)
)
1
((
)
)
1
((
τ
τ
∫
−
+
+
=
+
t
t
c
T
k
A
T
A
kT
u
B
d
e
kT
x
e
T
k
x
c
c
0
)
(
)
(
)
)
1
((
)
)
1
((
τ
τ
∫
∫
=
=
=
−
+
T
c
A
t
t
c
T
k
A
T
A
B
d
e
B
d
e
B
e
A
c
c
c
0
)
)
1
((
0
,
τ
τ
τ
τ
22
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
gdy
0
det
≠
c
A
[
]
c
T
A
c
T
c
A
B
I
e
A
B
d
e
B
c
c
−
=
=
−
∫
1
0
τ
τ
0
)
det(
)
det(
)
(
≠
=
=
⇒
=
T
A
tr
T
A
T
A
c
c
c
e
e
A
e
A
23
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Rozwiązanie:
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
)
0
(
)
0
(
)
(
Bu
Ax
T
x
+
=
)
(
)
(
)
2
(
T
Bu
T
Ax
T
x
+
=
=
)
(
)
0
(
)
0
(
2
T
Bu
ABu
x
A
+
+
)
3
(
)
2
(
)
3
(
T
Bu
T
Ax
T
x
+
=
=
)
2
(
)
(
)
0
(
)
0
(
2
3
T
Bu
T
ABu
Bu
A
x
A
+
+
+
.....................................................................
)
(
)
0
(
)
(
1
0
1
i
Bu
A
x
A
kT
x
k
i
i
k
k
∑
−
=
−
−
+
=
=
)
)
((
)
0
(
1
1
T
i
k
Bu
A
x
A
k
i
i
k
−
+
∑
=
−
Operatorowo
)
(
)
(
)
0
(
)
(
z
Bu
z
AX
zx
z
zX
+
=
−
(
) (
)
)
(
)
0
(
)
(
1
z
Bu
zx
A
zI
z
X
+
−
=
−
(
)
{
}
1
1
−
−
−
=
A
zI
z
Z
A
k
macierz tranzycyjna
(
)
{
}
1
1
1
−
−
−
−
=
A
zI
Z
A
k
24
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
(
) (
)
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
1
z
Du
z
Bu
zx
A
zI
C
z
Du
z
CX
z
Y
+
+
−
=
+
=
−
(
)
[
]
)
(
)
(
0
)
0
(
1
z
u
D
B
A
zI
C
z
Y
x
+
−
=
⇒
=
−
(
)
D
B
A
zI
C
z
G
+
−
=
−1
)
(
macierz transmitancji dyskretnych
25
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Postać modalna rozwiązania:
A ma n różnych wartości własnych z
i
Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są
wektory własne:
[
]
n
v
v
v
V
"
2
1
=
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
z
z
z
"
#
%
#
#
"
"
0
0
0
0
0
0
2
1
Λ
i
i
i
v
z
v
A
=
i=1,...., n
Λ
V
AV
=
1
−
=
V
V
A
Λ
Λ
=
−
AV
V
1
1
2
1
1
2
−
−
−
=
=
V
V
V
V
V
V
A
Λ
Λ
Λ
26
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1
3
1
1
2
3
−
−
−
=
=
V
V
V
V
V
V
A
Λ
Λ
Λ
.........................
1
−
=
V
V
A
k
k
Λ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
k
n
k
k
k
z
z
z
"
#
%
#
#
"
"
0
0
0
0
0
0
2
1
Λ
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
−
T
n
T
T
w
w
w
W
V
#
2
1
1
:
1
−
=
V
V
A
k
k
Λ
=
( )
T
j
j
n
j
k
j
w
v
z
∑
=1
)
(kT
x
=
)
)
((
)
0
(
0
1
T
i
k
Bu
A
x
A
k
i
i
k
−
+
∑
=
−
==
( )
)
0
(
1
x
w
v
z
T
j
j
n
j
k
j
∑
=
( )
)
)
((
1
0
1
T
i
k
Bu
w
v
z
k
i
T
j
j
n
j
i
j
−
+
∑∑
=
=
−
=
( )
)
0
(
1
x
w
v
z
T
i
i
n
i
k
i
∑
=
( )
)
)
((
1
0
1
T
i
k
Bu
z
w
v
i
j
k
i
n
j
T
j
j
−
+
−
=
=
∑
∑
część swobodna
część wymuszona
27
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Wyznaczanie opisu w przestrzeni stanów
(I wariant metody bezpośredniej)
n
n
n
n
n
n
a
z
a
z
b
z
b
z
b
z
U
z
Y
z
G
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
"
"
1
1
1
1
0
~
~
~
)
(
)
(
)
(
=
n
n
n
n
n
n
a
z
a
z
b
z
b
z
b
b
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
"
"
1
1
2
2
1
1
0
~
0
0
1
2
2
0
1
1
1
~
~
,
,
~
~
,
~
~
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
n
n
n
−
=
−
=
−
=
"
n
n
n
n
z
a
z
a
z
b
z
b
z
b
b
z
G
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
=
"
"
1
1
2
2
1
1
0
1
~
)
(
(
)
n
n
n
n
z
a
z
a
z
U
z
b
z
b
z
b
z
U
b
z
Y
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
=
"
"
1
1
2
2
1
1
0
1
)
(
)
(
~
)
(
n
n
z
a
z
a
z
U
z
E
−
−
+
+
+
=
"
1
1
1
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
z
E
z
a
z
a
z
a
z
U
z
E
n
n
−
−
−
+
+
+
−
=
"
28
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
)
(
)
(
1
z
E
z
z
X
n
−
=
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
)
(
1
1
1
1
2
z
E
z
z
zX
z
X
z
E
z
z
zX
z
X
n
n
n
−
−
+
−
=
=
=
=
"
wtedy:
)
(
1
0
0
)
(
)
(
)
(
1
0
0
0
1
0
)
)
1
((
)
)
1
((
)
)
1
((
1
1
1
1
1
1
kT
u
kT
x
kT
x
kT
x
a
a
a
T
k
x
T
k
x
T
k
x
n
n
n
n
n
n
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−
−
−
#
#
"
"
%
%
"
#
[
]
)
(
~
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
1
kT
u
b
kT
x
kT
x
kT
x
b
b
b
kT
y
n
n
n
n
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
#
"
29
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
30
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
((
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
x(kT) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(kT) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
0
Pq( kT ) x( kT ), det P
=
≠
1
równanie stan
Pq(( k
)T ) APq( kT ) Bu( kT )
nowe
y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )
u
równanie wyjści
n we
a
o
+
=
+
=
+
1
1
1
równanie st
q(( k
)T ) P APq( kT ) P Bu( kT )
nowe
y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )
nowe
anu
równanie wyjścia
−
−
+
=
+
=
+
31
Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych
1
1
1
q(( k
)T ) Aq( kT ) Bu( kT )
A P AP, B P B
y( kT ) Cq( kT ) Du( kT )
C CP
−
−
+
=
+
=
=
=
+
=
wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
Jaka będzie transmitancja:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
G( z ) C zI
A
B D CP zI P AP
P B D
CP P
zI
A P
P B D CPP
zI
A
PP B D
C zI
A
B D G( z )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+ =
−
+ =
⎡
⎤
=
−
+ =
−
+ =
⎣
⎦
=
−
+ =
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!! bo
(
)
1
1
1
MN
N M
−
−
−
=