automatyka i sterowanie wyklad 3

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Układy z czasem dyskretnym, jedno wejście – jedno wyjście (discrete-time single input- single
output –SISO)
Liniowe równania różnicowe
Różnica progresywna:

)

(

)

1

(

:

)

(

k

x

k

x

k

x

+

=

Δ

(

)

)

(

)

1

(

2

)

2

(

)

(

)

1

(

)

1

(

)

2

(

)

(

)

1

(

:

)

(

2

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

k

x

+

+

+

=

=

+

+

+

=

+

=

Δ

Δ

Δ

)

(

)

1

(

:

)

(

1

1

k

x

k

x

k

x

m

m

m

+

=

Δ

Δ

Δ

)

(

!

)!

(

!

)

1

(

)

(

0

i

k

m

x

i

i

m

m

k

x

m

i

i

m

+

=

=

Δ

background image

3

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

{

} {

} { }

=

+

=

)

(

)

1

(

)

(

k

x

Z

k

x

Z

k

x

Z

Δ

=

)

0

(

)

(

)

1

(

)

(

)

0

(

)

(

zx

z

X

z

z

X

zx

z

zX

=

{

}

{

}

{

} { }

)

(

)

1

(

2

)

2

(

)

(

2

k

x

Z

k

x

Z

k

x

Z

k

x

Z

+

+

+

=

Δ

=

=

+

+

=

)

(

)

0

(

2

)

(

2

)

1

(

)

0

(

)

(

2

2

z

X

zx

z

zX

zx

x

z

z

X

z

=

(

)

)

1

(

)

0

(

)

2

(

)

(

1

2

zx

x

z

z

z

X

z

=

(

)

)

0

(

)

0

(

)

1

(

)

(

1

2

x

z

x

z

z

z

X

z

Δ

{

}

=

=

1

0

1

)

0

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

m

i

i

i

m

m

m

x

z

z

z

X

z

k

x

Z

Δ

Δ

{

}

∑ ∑

=

=

=

m

i

i

m

k

k

i

m

i

m

m

k

x

z

i

i

m

m

z

z

X

z

k

x

Z

0

1

0

)

(

!

)!

(

!

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

Δ

background image

4

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Liniowe równania różnicowe:

)

(

)

(

~

)

(

~

)

(

~

)

(

~

0

1

1

1

kT

f

kT

y

a

kT

y

a

kT

y

a

kT

y

a

n

n

n

n

=

+

+

+

+

Δ

Δ

Δ

"

)

(

~

)

(

~

)

(

~

)

(

~

)

(

0

1

1

1

kT

u

b

kT

u

b

kT

u

b

kT

u

b

kT

f

n

n

n

n

+

+

+

+

=

Δ

Δ

Δ

"

warunki początkowe:

)

0

(

),

0

(

,

),

0

(

1

y

y

y

n

Δ

Δ

"

)

(

!

)!

(

!

)

1

(

)

(

0

i

k

m

x

i

i

m

m

k

x

m

i

i

m

+

=

=

Δ

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

0

1

1

kT

f

kT

y

a

T

k

y

a

T

k

n

y

a

T

n

k

y

a

n

n

=

+

+

+

+

+

+

+

"

(

)

(

)

(

)

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

0

1

1

kT

u

b

T

k

u

b

T

k

n

u

b

T

n

k

u

b

kT

f

n

n

+

+

+

+

+

+

+

=

"

warunki początkowe:

)

0

(

),

1

(

,

),

1

(

x

y

n

y

"

{

}

=

+

=

1

0

)

(

)

(

)

(

m

i

i

m

z

i

x

z

X

z

m

k

x

Z

=

m

z X ( z )

1

0

m

m i

i

x( i )z

=

background image

5

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

1

1

0

n

n

n

n

a z Y ( z ) a z Y ( z )

a zY ( z ) a Y ( z )

+

=

+ +

+

"

1

2

1

1

0

0

0

n

n

n i

n i

n

n

i

i

a

y( i )z

a

y( i )z

a zy( )

=

=

+

=

+

+

"

+F(z)

1

2

0

1

1

1

0

0

0

n

n

n

i

n i

n i

i

n

n

i

i

i

L ( z )

A z

a

y( i )z

a

y( i )z

a zy( )

=

=

=

=

=

+

+

+

"

)

1

(

)

1

(

)

0

(

2

1

1

+

+

+

=

n

y

a

y

a

y

a

A

n

"

)

2

(

)

1

(

)

0

(

3

2

2

+

+

+

=

n

y

a

y

a

y

a

A

n

"

....................................

)

0

(

y

a

A

n

n

=

znika dla zerowych warunków początkowych

background image

6

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

1

1

0

n

n

n

n

M( z ) a z

a z

a z a

=

+

+ +

+

"

wielomian charakterystyczny


)

(

)

(

)

(

)

(

0

z

F

z

L

z

Y

z

M

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

z

M

z

F

z

M

z

L

z

Y

+

=

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

1

z

M

z

F

Z

z

M

z

L

Z

kT

y

zerowe sterowanie:

)

(

)

(

)

(

0

z

M

z

L

z

Y

=

,

=

)

(

)

(

)

(

0

1

z

M

z

L

Z

kT

y

zerowe warunki początkowe

)

(

)

(

)

(

z

M

z

F

z

Y

=

,

=

)

(

)

(

)

(

1

z

M

z

F

Z

kT

y

background image

7

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

z

U

z

L

z

U

b

z

b

z

b

z

b

z

F

n

n

n

n

=

+

+

+

+

=

"

Transmitancja dyskretna:

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

z

M

z

L

z

G

z

U

z

G

z

U

z

M

z

L

z

Y

=

=

=

background image

8

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Impulsowanie i ekstrapolacja

)

(t

f

)

(

*

t

f

)

(t

x

5

.

0

=

T

2T

10T

20T

background image

9

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

x(t)

f(u)

IMPULSATOR

T

Ekstrapolator

1

f(t)

T

kT

t

kT

kT

f

t

x

+

<

=

)

(

)

(

[

]

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

0

T

kT

t

kT

t

kT

f

t

x

k

=

=

)

(

)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

*

0

)

1

(

0

s

f

s

E

e

kT

f

s

e

e

s

e

s

kT

f

s

x

kTs

k

Ts

Ts

k

kTs

k

=

=

⎥⎦

⎢⎣

=

=

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

*

kT

t

t

f

kT

t

kT

f

t

f

k

k

=

=

−∞

=

=

δ

δ

[ ]

{

}

Ts

e

z

k

Ts

k

kTs

k

kT

f

Z

e

kT

f

e

kT

f

s

f

=

=

=

=

=

=

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

*

background image

10

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Jak obliczyć transmitancję dyskretną:
Jeżeli układ o wejściu u i wyjściu y składa się z impulsatora i części ciągłej o transmitancji G(s), to na
wejście G(s) do chwili t trafia ciąg impulsów Diraca

)

(

)

(

iT

t

iT

u

δ

. Żeby obliczyć y(t) trzeba zsumować

odpowiedzi impulsowe G(s) na wszystkie impulsy do chwili t. Tak więc:
g(t)=L

--1

{G(s)}

(

)

=

=

k

i

iT

u

T

i

k

g

kT

y

0

)

(

)

(

)

(

jest splotem ciągów u(kT) i g(kT), transformata Z będzie więc iloczynem transformat

{

}

)

(

)

(

)

(

z

U

kT

g

Z

z

Y

=

czyli

{

}

)

(

)

(

kT

g

Z

z

G

=



background image

11

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Odpowiedź impulsowa
g(kT)=L

--1

{G(s)}

kT

t

=

(zerowe war. pocz.) Z{g(kT)}=Z{L

--1

{G(s)}

kT

t

=

}=G(z)

odpowiedź na dowolne wymuszenie przy zerowych warunkach początkowych jest splotem odpowiedzi
impulsowej i tego wymuszenia
Odpowiedź skokowa

=

1

)

(

)

(

1

z

z

z

G

Z

kT

h

(zerowe war. pocz.)

Wpływ położenia biegunów transmitancji na odpowiedź układu

)

(

)

(

)

(

z

B

z

A

z

F

=

=

=

=

=

m

i

m

i

i

i

i

i

i

z

z

z

B

z

A

z

z

C

1

1

1

)

(

'

)

(

( )

)

1

(

1

)

(

'

)

(

)

(

1

1

=

=

k

z

z

B

z

A

k

f

m

i

k

i

i

i

Odpowiedź jednostkowa układu o transmitancji

background image

12

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

)

(

)

)(

(

)

(

,

)

(

)

(

)

(

2

1

n

z

z

z

z

z

z

z

M

z

M

z

L

z

G

=

=

"

=

1

)

(

)

(

1

z

z

z

G

Z

kT

h

(zerowe war. pocz.)

=

=

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

z

M

z

z

zL

Z

kT

h

1

1

L( )

M( )

( )

1

1

1

n

k

i

i

i

i

i

L( z )

z

( kT )

( z

)M '( z )

=

+

=

składowa ustalona

składowa przejściowa

h( kT )

=

)

1

(

)

1

(

M

L

( )

)

(

1

)

(

'

)

1

(

)

(

kT

z

z

M

z

z

L

R

z

k

i

i

i

i

i

+



⎟⎟

⎜⎜

+

+

)

(

'

)

1

(

)

(

arg

)

arg(

cos

)

(

'

)

1

(

)

(

2

,

i

i

i

i

C

z

z

k

i

i

i

i

z

M

z

z

L

z

k

z

z

M

z

z

L

i

i

Układ nazywamy stabilnym, jeśli składowa przejściowa jego odpowiedzi zanika. Koniecznym i
dostatecznym warunkiem stabilności będzie więc zanikanie składowych przejściowych odpowiedzi
wszystkich układów wynikających z rozkładu na ułamki proste, czyli wszystkie bieguny położone w
wewnątrz okręgu jednostkowego.

background image

13

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Ekwiwalentne obszary płaszczyzn s i z

[ ]

{

}

Ts

e

z

k

Ts

k

kTs

k

kT

f

Z

e

kT

f

e

kT

f

s

f

=

=

=

=

=

=

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

*

ω

σ

j

s

+

=

T

j

T

e

e

z

ω

σ

=

T

z

e

z

T

ω

σ

=

=

)

arg(

,

⎛ +

+

=

c

T

j

s

π

ω

σ

2

(

)

⎛ +

+

=

=

c

T

jT

T

c

T

j

T

e

e

e

e

z

π

ω

σ

π

ω

σ

2

2

T

j

T

e

e

ω

σ

=

T

i

π

ω

2

=















Płaszczyzna z

Płaszczyzna s

-jω

i

/2

-3jω

i

/2

i

/2

3jω

i

/2

ω

i

background image

14

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych















1)

0

<

σ

1

<

z

2)

0

=

σ

T

j

e

z

ω

=

,

1

=

z

3) a)

2

i

j

s

ω

=

π

j

e

z

=

,

b)

0

=

s

1

=

z

,

c)

2

i

j

s

ω

=

π

j

e

z

=

,

d)

2

i

j

s

ω

σ

+

=

π

σ

j

T

e

e

z

=

,

e)

2

i

j

s

ω

σ

=

π

σ

j

T

e

e

z

=

Płaszczyzna z

Płaszczyzna s

-jω

i

/2

-3jω

i

/2

i

/2

3jω

i

/2

a

b

c

d

a

b

c

d

e

e

background image

15

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

4)

const

=

σ

const

z

=

5)

1

σ

σ

<

T

e

z

1

σ

<

6)

const

=

ω

const

T

z

=

=

ω

)

arg(


















Płaszczyzna z

Płaszczyzna s

-jω

2

-jω

i

/2

1

i

/2

1

2

e

1

T

e

2

T

z=e

T(σ-jω

2

)

z=e

T(σ+jω

1

)

background image

16

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Transmitancja widmowa

)

sin(

)

(

t

U

t

u

ω

=

T

Ue

Ue

kT

U

i

jk

kT

j

i

ω

ω

ω

ω

=

=

=

)

(

~

i

j

e

z

z

U

z

G

z

U

z

G

z

Y

ω

=

=

)

(

)

(

~

)

(

)

(

~

ustalona część odpowiedzi:

i

i

i

i

j

jk

j

k

j

e

z

ust

Ue

e

G

z

e

z

z

U

z

G

s

kT

y

ω

ω

ω

ω

)

(

)

(

Re

)

(

~

1

=

=

=

)

(

)

(

i

i

j

j

e

z

e

G

z

G

ω

ω

=

=

- transmitancja widmowa

)

(

i

j

G

ω

)

(

)

(

)

(

i

i

i

jQ

P

j

G

ω

ω

ω

+

=

)

(

)

(

i

i

P

P

ω

ω

=

)

(

)

(

i

i

Q

Q

ω

ω

=

charakterystyki częstotliwościowe:
amplitudowo-fazowa, amplitudowa, fazowa, logarytmiczne

background image

17

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych


Wyznacz transmitancje i odpowiedzi układu:






1

1

=

z

KT

)

z

(

G

)

(

)

(

i

i

j

j

e

z

e

G

z

G

ω

ω

=

=

=

1

1

i

j

e

KT

ω

dla KT=1,

π

ω

π

<

<

i

:

s

K

s

e

sT

1

T

y(kT)

y(t)

background image

18

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych






background image

19

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Jeśli układ ma wiele wejść i wyjść, to można opisać go macierzą transmitancji dyskretnych:

11

1

1

p

l

lp

G ( z )

G ( z )

( z )

G ( z )

G ( z )

= ⎢

G

"

#

#

#

"

( )

( )

( )

i

ij

j

Y z

G z

U z

=

1

11

1

1

1

p

l

l

lp

p

Y ( z )

G ( z )

G ( z ) U ( z )

Y ( z )

G ( z )

G ( z ) U ( z )

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ =

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦ ⎣

⎦ ⎣

"

#

#

#

#

#

"

Y ( s ) G( s )U( s )

=

background image

20

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Opis

układów dyskretnych w przestrzeni stanów

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

Du

kT

Cx

kT

y

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

=

+

1

z

u(kT

x(kT)

y(kT)

x((k+1)T)

background image

21

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Układ ciągły:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

u

D

t

x

C

t

y

t

u

B

t

x

A

t

x

dt

d

c

c

c

c

c

c

+

=

+

=

poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu (odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:

+

=

t

t

c

c

t

A

t

t

A

d

u

B

e

t

x

e

t

x

c

c

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

(

τ

τ

τ

)

(

)

(

,

)

1

(

,

0

kT

u

t

u

T

k

t

kT

t

c

=

+

=

=

+

+

=

+

t

t

c

T

k

A

T

A

d

kT

u

B

e

kT

x

e

T

k

x

c

c

0

)

(

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

τ

τ

+

+

=

+

t

t

c

T

k

A

T

A

kT

u

B

d

e

kT

x

e

T

k

x

c

c

0

)

(

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

τ

τ

=

=

=

+

T

c

A

t

t

c

T

k

A

T

A

B

d

e

B

d

e

B

e

A

c

c

c

0

)

)

1

((

0

,

τ

τ

τ

τ

background image

22

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

gdy

0

det

c

A

[

]

c

T

A

c

T

c

A

B

I

e

A

B

d

e

B

c

c

=

=

1

0

τ

τ

0

)

det(

)

det(

)

(

=

=

=

T

A

tr

T

A

T

A

c

c

c

e

e

A

e

A

background image

23

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Rozwiązanie:

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

)

0

(

)

0

(

)

(

Bu

Ax

T

x

+

=

)

(

)

(

)

2

(

T

Bu

T

Ax

T

x

+

=

=

)

(

)

0

(

)

0

(

2

T

Bu

ABu

x

A

+

+

)

3

(

)

2

(

)

3

(

T

Bu

T

Ax

T

x

+

=

=

)

2

(

)

(

)

0

(

)

0

(

2

3

T

Bu

T

ABu

Bu

A

x

A

+

+

+

.....................................................................

)

(

)

0

(

)

(

1

0

1

i

Bu

A

x

A

kT

x

k

i

i

k

k

=

+

=

=

)

)

((

)

0

(

1

1

T

i

k

Bu

A

x

A

k

i

i

k

+

=

Operatorowo

)

(

)

(

)

0

(

)

(

z

Bu

z

AX

zx

z

zX

+

=

(

) (

)

)

(

)

0

(

)

(

1

z

Bu

zx

A

zI

z

X

+

=

(

)

{

}

1

1

=

A

zI

z

Z

A

k

macierz tranzycyjna

(

)

{

}

1

1

1

=

A

zI

Z

A

k

background image

24

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

(

) (

)

)

(

)

(

)

0

(

)

(

)

(

)

(

1

z

Du

z

Bu

zx

A

zI

C

z

Du

z

CX

z

Y

+

+

=

+

=

(

)

[

]

)

(

)

(

0

)

0

(

1

z

u

D

B

A

zI

C

z

Y

x

+

=

=

(

)

D

B

A

zI

C

z

G

+

=

−1

)

(

macierz transmitancji dyskretnych

background image

25

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Postać modalna rozwiązania:

A ma n różnych wartości własnych z

i

Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są
wektory własne:

[

]

n

v

v

v

V

"

2

1

=

,

=

n

z

z

z

"

#

%

#

#

"

"

0

0

0

0

0

0

2

1

Λ

i

i

i

v

z

v

A

=

i=1,...., n

Λ

V

AV

=

1

=

V

V

A

Λ

Λ

=

AV

V

1

1

2

1

1

2

=

=

V

V

V

V

V

V

A

Λ

Λ

Λ

background image

26

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

3

1

1

2

3

=

=

V

V

V

V

V

V

A

Λ

Λ

Λ

.........................

1

=

V

V

A

k

k

Λ

=

k

n

k

k

k

z

z

z

"

#

%

#

#

"

"

0

0

0

0

0

0

2

1

Λ

,

=

=

T

n

T

T

w

w

w

W

V

#

2

1

1

:

1

=

V

V

A

k

k

Λ

=

( )

T

j

j

n

j

k

j

w

v

z

=1

)

(kT

x

=

)

)

((

)

0

(

0

1

T

i

k

Bu

A

x

A

k

i

i

k

+

=

==

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

j

j

n

j

k

j

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

Bu

w

v

z

k

i

T

j

j

n

j

i

j

+

∑∑

=

=

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

i

i

n

i

k

i

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

Bu

z

w

v

i

j

k

i

n

j

T

j

j

+

=

=

część swobodna

część wymuszona

background image

27

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Wyznaczanie opisu w przestrzeni stanów
(I wariant metody bezpośredniej)

n

n

n

n

n

n

a

z

a

z

b

z

b

z

b

z

U

z

Y

z

G

+

+

+

+

+

+

=

=

"

"

1

1

1

1

0

~

~

~

)

(

)

(

)

(

=

n

n

n

n

n

n

a

z

a

z

b

z

b

z

b

b

+

+

+

+

+

+

+

"

"

1

1

2

2

1

1

0

~

0

0

1

2

2

0

1

1

1

~

~

,

,

~

~

,

~

~

b

a

b

b

b

a

b

b

b

a

b

b

n

n

n

=

=

=

"

n

n

n

n

z

a

z

a

z

b

z

b

z

b

b

z

G

+

+

+

+

+

+

+

=

"

"

1

1

2

2

1

1

0

1

~

)

(

(

)

n

n

n

n

z

a

z

a

z

U

z

b

z

b

z

b

z

U

b

z

Y

+

+

+

+

+

+

+

=

"

"

1

1

2

2

1

1

0

1

)

(

)

(

~

)

(

n

n

z

a

z

a

z

U

z

E

+

+

+

=

"

1

1

1

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

z

E

z

a

z

a

z

a

z

U

z

E

n

n

+

+

+

=

"

background image

28

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

)

(

)

(

1

z

E

z

z

X

n

=

)

(

)

(

)

(

,

),

(

)

(

)

(

1

1

1

1

2

z

E

z

z

zX

z

X

z

E

z

z

zX

z

X

n

n

n

+

=

=

=

=

"

wtedy:

)

(

1

0

0

)

(

)

(

)

(

1

0

0

0

1

0

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

1

((

1

1

1

1

1

1

kT

u

kT

x

kT

x

kT

x

a

a

a

T

k

x

T

k

x

T

k

x

n

n

n

n

n

n

+

=

+

+

+

#

#

"

"

%

%

"

#

[

]

)

(

~

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

1

kT

u

b

kT

x

kT

x

kT

x

b

b

b

kT

y

n

n

n

n

+

=

#

"

background image

29

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych


background image

30

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

Du

kT

Cx

kT

y

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

=

+

x(kT) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(kT) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( kT ) x( kT ), det P

=

1

równanie stan

Pq(( k

)T ) APq( kT ) Bu( kT )

nowe

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

u

równanie wyjści

n we

a

o

+

=

+

=

+

1

1

1

równanie st

q(( k

)T ) P APq( kT ) P Bu( kT )

nowe

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

nowe

anu

równanie wyjścia

+

=

+

=

+

background image

31

Automatyka i sterowanie 3 Modele dyskretnych, liniowych, stacjonarnych układów dynamicznych

1

1

1

q(( k

)T ) Aq( kT ) Bu( kT )

A P AP, B P B

y( kT ) Cq( kT ) Du( kT )

C CP

+

=

+

=

=

=

+

=














wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!


Jaka będzie transmitancja:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

G( z ) C zI

A

B D CP zI P AP

P B D

CP P

zI

A P

P B D CPP

zI

A

PP B D

C zI

A

B D G( z )

=

+ =

+ =

=

+ =

+ =

=

+ =










liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!! bo

(

)

1

1

1

MN

N M

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 2
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)

więcej podobnych podstron