Arytmetyka Komputerowa

Arytmetyka Komputerowa

podstawy dzia ania

uk adów cyfrowych

Idea dzia ania

Idea funkcjonowania uk adów cyfrowych oparta jest na

za

eniu, e wszelka informacja i wszelkie wielko ci

przetwarzane przez te uk ady reprezentowane s

przez dwa stany.

Stany te mo emy umownie nazywa zerem (0) i jedynk

(1) lub stanem niskim (L) i wysokim (H). Tak

przedstawion informacj lub wielko ci nazywamy

dyskretnymi, w przeciwie stwie do informacji

lub wielko ci analogowych, które reprezentowane s

przez bardzo wiele po

onych blisko siebie stanów.

Okaza o si , ze informacja dyskretna, czyli informacja

w postaci cyfrowej (dwójkowej, binarnej),

ma w zastosowaniach elektronicznych bardzo istotne

zalety.

Poziomy logiczne

Poziomy logiczne dla wej cia i wyj cia

Ka da informacja przechowywana w komputerze lub

wyst puj ca w dzia aniach wykonywanych za pomoc komputera,

ona z cyfr, liter, rysunków, d wi ków itd., jest zapisywana

w postaci dwójkowej, zwanej te

binarn , czyli za pomoc

dwóch cyfr 0 i 1. Najmniejsza porcja informacji przechowywanej w
komputerze, przyjmuj ca jedn z tych dwóch warto ci, nazywa si
bitem (od angielskiego okre lenia binary digit - cyfra dwójkowa).
Wi ksz jednostk informacji jest bajt, z

ony z o miu bitów.

Jednostki pami ci:

bit (b): najmniejsza jednostka pami ci: 0 lub 1

bajt (B)

1B = 8 b

kilobajt (kB)

1kB = 1024B

megabajt (MB)

1MB = 1024 kB

gigabajt (GB)

1GB = 1024 MB

System dziesi tny

Jest to system, w którym ka da cyfra liczby oznacza ilo

jednostek okre lonych przez jej pozycj w liczbie. Pierwsza cyfra

z prawej strony liczby jest cyfr jedno ci, druga z prawej jest cyfr

dziesi tek, nast pna to cyfra setek itd. Dla przyk adu liczba 737

jest z

ona z cyfr 7, 3 i 7 oznacza warto

:

7·100+3·10+7 = 7 ·102+3·101+7·100

Mówimy w takim przypadku, e pierwsza cyfra 7 jest cyfr

setek (czyli liczb setek w danej liczbie), cyfra 3 jest cyfr

dziesi tek, a druga cyfra 7 - cyfr jedno ci. Opisany tutaj sposób

zapisu liczb nazywany jest systemem pozycyjnym dziesi tnym.

System ten nazywamy dziesi tnym, poniewa

ywa dziesi ciu

cyfr, a jego podstaw jest 10, za pozycyjnym, gdy pozycja

cyfry w liczbie rozstrzyga, czy jest to liczba jednostek, dziesi tek,

setek...

System ten do zapisu liczb stosujemy wszystkie dziesi

cyfr,

od 0 a po 9. Podstaw pot gi jak wida jest liczba 10.

DZIESI

DZIESI

TNY SYSTEM LICZBOWY

TNY SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

dziesi

dziesi

symboli (cyfr):

symboli (cyfr):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dowoln

Dowoln

liczb

liczb

w systemie dziesi

w systemie dziesi

tnym mo

tnym mo

emy

emy

przedstawi

przedstawi

jako nast

jako nast

puj

puj

ca sum

ca sum

:

:

(a

(a

n

n

-

-

1

1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

D

D

= a

= a

n

n

-

-

1

1

*10

*10

(n

(n

-

-

1)

1)

+...+ a

+...+ a

1

1

*10

*10

1

1

+ a

+ a

0

0

*10

*10

0

0

=

=

gdzie:

gdzie:

i

i

-

-

numer pozycji w liczbie,

numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

-

-

dowolna z cyfr od 0 do 9,

dowolna z cyfr od 0 do 9,

n

n

-

-

ilo

ilo

cyfr (pozycji) w liczbie

cyfr (pozycji) w liczbie

Przyk

Przyk

ad:

ad:

424

424

D

D

= 4*10

= 4*10

2

2

+ 2*10

+ 2*10

1

1

+ 5*10

+ 5*10

0

0

pozycja jedynek (0)

pozycja jedynek (0)

pozycja dziesi

pozycja dziesi

tek (1)

tek (1)

pozycja setek (2)

pozycja setek (2)

1

n

0

i

i

i

10

a

System dwójkowy

W systemie dziesi tnym dysponujemy dziesi cioma cyframi do zapisania dowolnej

liczby bez znaku, w systemie dwójkowym musimy do tego celu u ywa jedynie dwóch

cyfr: 0 i 1. Jak ju wspomniano, obydwa systemy s pozycyjne, co oznacza, e cyfr na

danej pozycji mno y si przez okre lon wag . Dla systemu dwójkowego podstaw jest

liczba 2 (p = 2) i wagami s odpowiednie pot gi tej liczby. Kolejne pozycje liczby zwane

wi c pozycjami jedynek, dwójek, czwórek, ósemek i tak dalej. Zapis w systemie

dwójkowym, zwanym inaczej systemem binarnym, liczby 10100

B

(litera B sygnalizuje liczb w systemie dwójkowym) oznacza:

10100

B

=1*2

4

+ 0*2

3

+ 1*2

2

+ 0*2

1

+ 0*2° = 1*16+ 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 16+ 4 = 20

D

PAMI TAJ, E 2

0

=1 a NIE 0

1011100001

B

= 1·2

9

+0·2

8

+1·2

7

+1·2

6

+1·2

5

+0·2

4

+0·2

3

+0·2

2

+0·2

1

+1·2

0

=

512+128+64+32+1 = 737

Zapisujemy w takim przypadku: (1011100001)

2

= 737

D

.

DW

DW

Ó

Ó

JKOWY SYSTEM LICZBOWY

JKOWY SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

dwa symbole (cyfry):

dwa symbole (cyfry):

0, 1

0, 1

Dowoln

Dowoln

liczb

liczb

w systemie dw

w systemie dw

ó

ó

jkowym mo

jkowym mo

emy

emy

przedstawi

przedstawi

jako nast

jako nast

puj

puj

ca sum

ca sum

:

:

(a

(a

n

n

-

-

1

1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

B

B

= a

= a

n

n

-

-

1

1

*2

*2

(n

(n

-

-

1)

1)

+...+ a

+...+ a

1

1

*2

*2

1

1

+ a

+ a

0

0

*2

*2

0

0

=

=

gdzie:

gdzie:

i

i

-

-

numer pozycji w liczbie,

numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

-

-

dowolna z cyfr (0 lub 1),

dowolna z cyfr (0 lub 1),

n

n

-

-

ilo

ilo

cyfr (pozycji) w liczbie

cyfr (pozycji) w liczbie

Przyk

Przyk

ad:

ad:

10100

10100

B

B

= 1*2

= 1*2

4

4

+ 0*2

+ 0*2

3

3

+ 1*2

+ 1*2

2

2

+ 0*2

+ 0*2

1

1

+ 0*2

+ 0*2

0

0

1

n

0

i

i

i

2

a

System szesnastkowy

Jest to system liczbowy, w którym za podstaw przyjmuje si liczb 16. „Cyframi” w

tym systemie s kolejne cyfry dziesi tne: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oraz A, B, C, D, E i F.

Dziesi tna liczba 20 ma w tym systemie przedstawienie 14, gdy 20 = 1·161 + 4·160,

a 30 ma posta 1E, gdy 30 = 1·161 + E·160 .

HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)

HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)

SYSTEM LICZBOWY

SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje

szesna

szesna

cie symboli (cyfr i liter):

cie symboli (cyfr i liter):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Dowoln

Dowoln

liczb

liczb

w systemie heksadecymalnym

w systemie heksadecymalnym

mo

mo

emy przedstawi

emy przedstawi

jako nast

jako nast

puj

puj

ca sum

ca sum

:

:

(a

(a

n

n

-

-

1

1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

H

H

= a

= a

n

n

-

-

1

1

*16

*16

(n

(n

-

-

1)

1)

+...+ a

+...+ a

1

1

*16

*16

1

1

+ a

+ a

0

0

*16

*16

0

0

=

=

gdzie:

gdzie:

i

i

-

-

numer pozycji w liczbie,

numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

-

-

dowolna cyfra heksadecymalna,

dowolna cyfra heksadecymalna,

n

n

-

-

ilo

ilo

cyfr (pozycji) w liczbie

cyfr (pozycji) w liczbie

Przyk

Przyk

ad:

ad:

1C2

1C2

H

H

= 1*16

= 1*16

2

2

+ C*16

+ C*16

1

1

+ 2*16

+ 2*16

0

0

1

n

0

i

i

i

16

a

• System bitowy – dwójkowy
Liczba zapisywana jest ci giem liczb: 1 lub 0

Komputer rozumie liczby

w systemie bitowym

0

1

0

1

Bit – najmniejsza

jednostka danych

Bajt – jednostka danych

sk adaj ca si z 8 bitów

= 1*2

3

+0*2

2

+ 1*2

1

+0*2

0

= 10

• System szesnastkowy

Podobnie jak wy ej, liczba zapisywana jest ci giem liczb: od 0 do 15 (0 do E)

E

1

00011110 = 0*2

7

+ 0*2

6

+ 0*2

5

+ 1*2

4

+ 1*2

3

+1*2

2

+ 1*2

1

+0*2

0

= 30

•System dziesi tny
zapisany liczbami arabskimi

Jedn

z metod konwersji liczby dziesi tnej na dwójkow

poka

na przyk adzie,

pomijaj c uzasadnienie jej poprawno ci. Metoda ta polega na wykonywaniu kolejnych
dziele

ca kowitoliczbowych (wynik jest liczb

ca kowit ) przez liczb

2, z zapisem

reszty. Rozpoczynamy od podzielenia liczby przeliczanej przez 2. Kolejne dzielenie
wykonujemy na liczbie b

cej ilorazem (wynikiem) poprzedniego dzielenia.

Post powanie kontynuujemy a do momentu otrzymania jako wyniku 0. Reszty dziele
ustawione w odpowiedniej kolejno ci daj poszukiwan liczb binarn .

Dokona konwersji liczby 23

D

na liczb binarn .

23:2=11

r=1

11:2=5

r=1

5:2=2

r=1

2:2=1

r=0

1:2=0

r=1

Kierunek

odczytu

wyniku

23

D

=10111

B

Konwersja liczby szesnastkowej na dziesi tn

[*]Mamy liczb szesnastkow np. 1A4B
[*]Bierzemy znak najbardziej wysuni

w prawo (B)

[*]Mno ymy j przez 16 do pot gi odpowiadaj cej miejscu jej po

enia w liczbie tj.

11*16^0=11 (Miejsca liczymy od prawej strony 1 miejsce odpowiada pot dze 0 drugie 1
trzecie 2 itd.)
[*]Post pujemy tak ze wszystkimi znakami w liczbie. 4*16^1=64, 10*16^2=2560,
1*16^3=4096
[*]Dodajemy otrzymane wyniki: 11+64+2560+4096=6731
[*]Liczba 1A4B w systemie szesnastkowym równa si 6731 w systemie dziesi tnym.
[/list:o]

Konwersja liczby dziesi tnej na szesnastkow

Teraz zajmiemy si odwróceniem liczby 6731 do systemu szesnastkowego.

[*]Wypisujemy wielokrotno ci liczby 16. S to 1, 16, 256, 4096, 65536, 1048576 itd.
[*]Szukamy przedzia u, w którym znajduje si nasza liczba. Jest ona wi ksza, od 4096
ale mniejsza od 65536
[*]Bierzemy pod uwag wielokrotno

mniejsz , ale najbli sz naszej liczbie, wi c 4096.

[*]Jest ona czwart wielokrotno ci , wi c liczymy 4 znak naszej liczby.
[*]Teraz sprawdzamy ile razy najbli sza, mniejsza wielokrotno ci mie ci si w naszej
liczbie. Na oko wida tylko raz, wi c pierwsz liczb

dzie 1.

[*]Szukamy odpowiednika liczby w systemie szesnastkowym. Odpowiednikiem 1 jest 1.
[*]Od naszej liczby odejmujemy warto

, któr sprawdzali my pomno on przez cyfr ,

któr otrzymali my w systemie szesnastkowym (lecz bierzemy jej odpowiedniki w
systemie dziesi tnym). Wi c 6731-4096*1=2635.
[*]Powtarzamy punkty 2-7 dla uzyskania ca ej liczby.
Wi c:
256 < 2635 < 4096 2635:256=10 10=A 2635-256*10=75
16 < 75 < 256 75:16=4 4=4 75-16*4=11
1<11<16 11:1=11 11=B 11-1*11=09.
[*]

czymy ostateczne wyniki w identycznej kolejno

, w jakiej je otrzymali my, dlatego

nasza liczba wynosi: 1A4B[/list:o]

przekszta czenie liczby 2-kowej na 16-kow :

Mamy liczb dwójkow 1000111010100010 dzielimy j co cztery liczby na:

1000 1110 1010 0010 i zamieniamy na odpowiedniki szesnastkowe:

8

E

A

2

- w systemie szesnastkowym to 8EA2.

1111

F

0111

7

1110

E

0110

6

1101

D

0101

5

1100

C

0100

4

1011

B

0011

3

1010

A

0010

2

1001

9

0001

1

1000

8

0000

0

Liczba

binarna

Cyfra hex

Liczba

binarna

Cyfra hex

Konwersja liczb dziesi tnych na szesnastkowe przy u yciu kalkulatora

[*] W cz kalkulator.
[*] Z menu widok wybierz pozycj "naukowy".

[*]Nast pnie wpisz liczb dziesi tn i wci nij okienko HEX.

[*] Otrzymujemy liczb w systemie szesnastkowym.

Je eli chcemy skonwertowa liczb z postaci szesnastkowej post pujemy na odwrót:

[*] Wpisujemy liczb szesnastkow .
[*] Naciskamy DEC.
[*] Otrzymujemy liczb w systemie dziesi tnym.

program

INFORMACJA CYFROWA

INFORMACJA CYFROWA

Def.1. Informacj cyfrow nazywamy informacj przedstawion w postaci s ów

cyfrowych

Def.1. Informacj cyfrow nazywamy informacj przedstawion w postaci s ów

cyfrowych

Def.2. S owem cyfrowym nazywamy dowolny ci g sk adaj cy si z symboli 0 i/lub 1

Def.2. S owem cyfrowym nazywamy dowolny ci g sk adaj cy si z symboli 0 i/lub 1

ugo

owa

Oznaczenie

symboliczne

Nazwa

1
4
8

16
32
64

a

0

a

3

...a

0

a

7

.....a

0

a

15

.......a

0

a

31

.........a

0

a

63

...........a

0

bit

tetrada, k s

bajt

owo 16-bitowe, s owo

podwójne s owo, dwus owo

owo 64-bitowe, czteros owo

1b

1b

-

- oznacza

1 bit

1 bit

1B=8b

1B=8b

1B

1B

-

-

oznacza 1 bajt

oznacza 1 bajt

1kB=1024B (2

1kB=1024B (2

10

10

)

)

1MB=1024kB

1MB=1024kB

1GB=1024MB

1GB=1024MB

Przyk

Przyk

ad: 20 MB jest ilo

ad: 20 MB jest ilo

ci

ci

informacji o

informacji o

miokrotnie wi

miokrotnie wi

ksz

ksz

ni

ni

20Mb

20Mb

Systemy liczbowe

Przedstawiaj c liczb

dziesi tn

w

systemie binarnym lub heksadecymalnym

nale y pami ta , e w dalszym ci gu jest

to ta sama liczba lecz przedstawiona za

pomoc innego zestawu znaków.

Mo na wi c mówi o kodzie binarnym czy

te kodzie heksadecymalnym.

KONWERSJA LICZB

KONWERSJA LICZB

1.

1.

2.

2.

10100

10100

B

B

= 1*2

= 1*2

4

4

+ 0*2

+ 0*2

3

3

+ 1*2

+ 1*2

2

2

+ 0*2

+ 0*2

1

1

+ 0*2

+ 0*2

0

0

=

=

= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20

= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20

D

D

20:2 = 10

20:2 = 10

10:2 = 5

10:2 = 5

5:2 = 2

5:2 = 2

2:2 = 1

2:2 = 1

1:2 = 0

1:2 = 0

reszta=0

reszta=0

reszta=0

reszta=0

reszta=1

reszta=1

reszta=0

reszta=0

reszta=1

reszta=1

kierunek odc

z

y

tu w

y

niku

kierunek odc

z

y

tu w

y

niku

czyli 20

czyli 20

D

D

= 10100

= 10100

B

B

KONWERSJA LICZB

KONWERSJA LICZB

1.

1.

2.

2.

1C2

1C2

H

H

= 1*16

= 1*16

2

2

+ C*16

+ C*16

1

1

+ 2*16

+ 2*16

0

0

=

=

= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450

= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450

D

D

450:16 = 28

450:16 = 28

28:16 = 1

28:16 = 1

1:16 = 0

1:16 = 0

reszta=2

reszta=2

reszta=C

reszta=C

reszta=1

reszta=1

kierunek

kierunek

odcz

y

tu

odcz

y

tu

w

y

niku

w

y

niku

czyli 450

czyli 450

D

D

= 1C2

= 1C2

H

H

reszty zapisujemy w postaci

reszty zapisujemy w postaci

cyfry heksadecymalnej

cyfry heksadecymalnej

KONWERSJA LICZB

KONWERSJA LICZB

Do konwersji zapisu binarnego na heksadecymalny i odwrotnie

Do konwersji zapisu binarnego na heksadecymalny i odwrotnie

wykorzystuje si

wykorzystuje si

tabel

tabel

:

:

cyfra heksadecymalna

liczba binarna

liczba dziesi tna

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

A

1010

10

B

1011

11

C

1100

12

D

1101

13

E

1110

14

F

1111

15

Konwersja

Konwersja

Konwersja dwójkowo-szesnastkowa i szesnastkowo-dwójkowa

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

110101111011010101011101

(2)

1101 0111 1011 0101 0101 1101

(2)

1101 0111 1011 0101 0101 1101

D 7 B 5 5 D

110101111011010101011101

(2)

= D7B55D

(16)

D 7 B 5 5 D

1101 0111 1011 0101 0101 1101
D7B55G

(16)

= 111101010100000001

(2)