1
Spis treści
1.
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2.
Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3.
Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4.
Widma sygnałów
5.
Własności transformacji Fouriera
6.
Przykład transformat Fouriera
7.
Uogólniona transformacja Fouriera
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW
2
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem
Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w
wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21
tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy
pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy
przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował
do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
3
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki:
)
,
(
C
s
s t
s t
T
( )
(
)
s t
c
c
nf t
n
n
T
n
( )
cos
0
1
2
gdzie
f
T
T
1 /
oraz
c
f
s t dt
T
T
0
0
( )
c
a
b
n
n
n
2
2
n
n
n
b a
arc tg(
)
a
f
s t
nf t dt
n
T
T
T
2
2
0
( ) cos(
)
b
f
s t
nf t dt
n
T
T
T
2
2
0
( ) sin(
)
można utworzyć szereg
widmo amplitudowe
widmo fazowe
4
Od szeregu do transformacji Fouriera
s t
s e
n
jnf t
n
T
( )
2
gdzie
s
f
s t e
dt
n
T
jnf t
f
T
T
( )
2
0
1
T
f
T
1 /
Niech
f
nf
T
czyli
,
n
f
T
0
Po zmianie granic całkowania
s
f
s t e
dt
n
T
j n f t
T
fT
fT
( )
2
1
2
1
2
s t
s e
n
n
jnt T
( )
/
2
+
s
T
s t e
dt
n
T
j n t T
1
0
2
( )
/
+
s
f s f
n
T
( )
Dodatkowo niech
5
Od szeregu do transformacji Fouriera
Podstawiając
s
f s f
n
T
( )
oraz
nf
f
T
otrzymujemy
( )
( )
s f
s t e
dt
jft
2
f
T
0
dla
Ze wzoru
s t
s n f
e
f
T
jn f t
T
n
T
( )
(
)
2
oznaczając
f
df
T
otrzymujemy
s t
s f e
df
jft
( )
( )
2
6
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
A
m
pl
it
ud
a
Sygnał
Czas
-T
0
T
0
1
s (t)
-2 /T
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
0
1
s (f)
^
Częstotliwość
Widmo jest funkcją
rzeczywistą
s t
T
t
T
t
T
t
T
( )
1
0
dla
dla
i
( )
sin(
)
s f
e
dt
j f
e
f T
f
jft
jft
T
T
T
T
2
2
1
2
2
Obliczyć widmo sygnału
Posługując się definicją transformacji Fouriera
7
Definicja transformacji Fouriera
Ogólnie
( )
( )
s f
s t e
dt
j f t
s t
s f e
df
j f t
( )
( )
2
Dla nas
1
i
2
Często
1
i
lub
1
1
2
/
i
1
)
(
ˆ
)
(
f
s
t
s
8
Warunki odwracalności transformacji
Fouriera
Twierdzenie 1.
Niech dany będzie sygnał
s
L
1
( )
taki, że jego transformata
Fouriera
( )
s
L
1
, wtedy
s t
e
s t e
dt df
jft
jft
( )
( )
2
2
w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.
Twierdzenie 2.
Jeżeli sygnał
s
L
L
1
2
( )
( )
to wtedy jego transformata
).
(
ˆ
2
L
s
9
Widma sygnałów
( )
( )
s f
s t e
dt
jft
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
s f
r f
j i f
s f e
A f e
j
f
j
f
( )
s f
,
A f
( )
- widma amplitudowe,
( )
f
,
( )
f
- widma fazowe,
( )
r f
- widmo rzeczywiste,
( )
i f
- widmo urojone.
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
10
Widma sygnałów
arc tg :
/ , /
2
2
/
( )
/
2
2
f
A f
r
f
i
f
i f
f
f
r f
f
( )
( ) ( )
( )
sin ( )
( )
( )
( )
2
2
0
0
dla
dla
0
)
(
dla
)
(
0
)
(
dla
)
(
)
(
ˆ
arg
)
(
<
f
A
f
f
A
f
f
s
f
( )
t
Wzajemna jednoznaczność między widmem
( )
s f
a widmami
amplitudowymi i fazowymi:
( )
s f
razem z
( )
f
lub
A f
( )
( )
f
)
(
ˆ
)
(
f
s
f
A
zatem
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
razem z
11
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowego
oraz nieparzystość widma urojonego i fazowego
( )
( )
( ) cos (
)
sin(
)
( )
( )
s f
s t e
dt
s t
ft
j
ft dt
r f
j i f
jft
2
2
2
gdzie
( )
( )cos(
)
r f
s t
ft dt
2
( )
( )sin(
)
i f
s t
ft dt
2
(
)
( )
(
)
( )
r
f
r f
i
f
i f
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
)
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
f
f
f
s
f
s
12
Własności widm
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
( )
(( ) ( ))
f
i f
r f
arc tg
Dla sygnału
s t
s
t
( )
( )
otrzymujemy
0
)
2
cos(
)
(
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
dt
ft
t
s
f
r
f
s
Dla sygnału
s t
s
t
( )
( )
otrzymujemy
0
)
2
sin(
)
(
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
dt
ft
t
s
j
f
i
j
f
s
( )
( )
( ) cos (
)
sin(
)
( )
( )
s f
s t e
dt
s t
ft
j
ft dt
r f
j i f
jft
2
2
2
13
Transformacja Fouriera jest
przekształceniem liniowym
Addytywność
s t
s t e
dt
s
f
s
f
j f t
1
2
2
1
2
( )
( )
( ) ( )
Jednorodność
a s t e
dt
as f
jft
( )
( )
2
Zatem
a s t
b s t e
dt
a s
f
b s
f
jft
1
2
2
1
2
( )
( )
( )
( )
14
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha
s t s t dt
s f
s
f df
1
2
1
2
( ) ( )
( ) ( )
Wynika stąd
0
ˆ
,
ˆ
0
,
2
1
2
1
s
s
s
s
15
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
s
s
L
L
2
2
2
2
zatem
s
t dt
s f
df
2
2
( )
( )
16
Zachowanie odległości
Skoro
)
(
)
(
)
(
2
1
t
s
t
s
t
s
dzięki liniowości transformacji Fouriera otrzymujemy
df
f
s
dt
t
s
2
2
)
(
ˆ
)
(
to przyjmując
df
f
s
f
s
dt
t
s
t
s
2
2
1
2
2
1
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
Ograniczone nośniki
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne są
również różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej
zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego
punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
T
jft
dt
e
t
s
f
s
0
2
)
(
)
(
ˆ
T
jft
dt
e
t
s
t
j
df
f
s
d
0
2
)
(
2
)
(
ˆ
T
jft
n
n
n
n
dt
e
t
s
t
j
df
f
s
d
0
2
)
(
2
)
(
ˆ
1
2
)
(
2
)
(
ˆ
0
L
n
n
n
T
n
n
n
n
n
s
T
dt
t
s
T
df
f
s
d
Oznacza to, że widmo
)
(
ˆ f
s
jest funkcją analityczną.
0
f
!
)
(
ˆ
)
(
ˆ
0
0
0
n
f
f
df
s
d
f
s
n
f
f
n
n
n
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu
dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego
,
0
f
-T
0
T
0
1
s (t)
-2 /T
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
0
1
s (f)
^
0
0
0
!
)
(
ˆ
)
(
ˆ
0
n
n
n
n
f
f
n
n
n
f
a
n
f
f
df
s
d
f
s
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest
ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
19
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału
dt
t
s
t
s
t
2
2
*
)
(
Środek rozłożenia energii widma sygnału
df
f
s
f
s
f
2
2
*
)
(
ˆ
Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów
energii
dt
t
s
t
t
s
t
)
(
)
(
2
2
*
2
2
df
f
s
f
f
s
f
2
2
*
2
2
)
(
ˆ
)
(
Zasada Heinsenberga
t
f
0 5
,
20
Dualność transformacji Fouriera
( )
( )
s f
s t e
dt
j f t
2
( )
( )
s
e
s t e
dt df
jf
j f t
2
2
Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
( )
(
)
s
s
( )
( )
(
)
( )
s f
s t e
dt
s
f
s t e
dt
jft
jft
2
2
21
)
(
)
(
1
t
t
s
)
(
)
(
3
2
2
t
t
s
2
2
π
2
π
3
sin
2
3
)
(
ˆ
f
f
f
s
2
1
π
π
sin
)
(
ˆ
f
f
f
s
Zmiana skali czasu sygnału
s at
a
s f
a
( )
( / )
1
)
(
ˆ
)
(
f
s
t
s
22
Przesunięcie w dziedzinie czasu
i częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
s t
t
s f e
jft
(
)
( )
0
2
0
bo
s t
t e
dt
jft
(
)
0
2
po podstawieniu
t
t
0
równa się
s
e
e
d
jft
jf
( )
2
2
0
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s t e
s f
f
jf t
( )
(
)
2
0
0
s t e
s f
f
jf t
( )
(
)
2
0
0
2
2
0
0
0
s t
f t
s f
f
s f
f
( )cos(
)
(
) (
)
Sumując obustronnie otrzymujemy
23
)
(
)
(
2
3
1
t
t
t
s
f
f
f
f
f
f
s
j2π
1
π
)
π
sin(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
1
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1
2
t
t
t
s
t
s
)
j2π
exp(
j2π
1
π
)
π
sin(
π
)
π
sin(
)
j2π
exp(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
1
2
f
f
f
f
f
f
f
f
s
f
s
Przesunięcie w dziedzinie czasu
24
)
1
2
(
)
1
2
(
)
(
1
t
t
t
s
)
π
cos(
π
2
π
sin
2
)
(
ˆ
1
f
f
f
f
s
)
j2π
exp(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
(
2
t
t
t
t
s
)
1
π(
cos
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
2
)
1
(
ˆ
)
(
ˆ
1
2
f
f
f
f
s
f
s
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
25
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadają
transformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla
t
d s t
dt
jf
s f
n
n
n
( )
( )
2
to
26
)
(
)
(
1
t
t
s
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
2
t
t
dt
t
ds
t
s
2
1
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
f
f
f
s
f
f
f
s
π
)
π
(
sin
j2
)
(
ˆ
2
2
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
27
Różniczkowanie
w dziedzinie częstotliwości
( ) ( )
( )
s f
r f
ji f
(
)
( )
(
)
( )
r
f
r f
i
f
i f
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d r
f
d
f
d r f
df
d i
f
d
f
d i f
df
n
n
n
df
f
s
d
t
s
jt
)
(
ˆ
)
(
)
2
(
Warunek wystarczający
t s t d t
n
( )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
Można udowodnić, że
28
Splot w dziedzinie czasu
s t
s
s t
d
( )
( ) (
)
1
2
gdy
s s
L
1
2
2
,
(
,
)
Splot oznaczamy
s t
s t
1
2
( )
( )
Przemienność splotu
s t
s t
s
s t
d
s
s t
d
s t
s t
1
2
1
2
2
1
2
1
( )
( )
( ) (
)
( ) (
)
( )
( )
Gdy
s t
1
0
( )
i
s t
2
0
( )
dla
t
0
to
t
d
t
s
s
t
s
t
s
0
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Musi być
t
0
aby
s t
2
(
)
nie było równe zeru
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
1
2
1
f
s
f
s
dt
t
s
s
29
Przykład splotu w dziedzinie czasu
30
f
f
f
f
f
s
t
t
t
s
j2π
)
π
cos(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
1
1
f
f
f
s
t
t
s
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
2
f
f
f
f
f
f
s
f
s
t
t
t
t
t
t
t
s
t
s
j2π
2π
)
π
2
sin(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
2
)
(
2
)
(
*
)
(
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
31
Splot w dziedzinie częstotliwości
i całkowanie w dziedzinie czasu
Całkowanie w dziedzinie czasu
s
d
jf
s f
t
( )
( )
1
2
Warunek
( )
s 0
0
s t dt
( )
0
Splot w dziedzinie częstotliwości
s t s t
s
f
s
f
s g s
f
g dg
1
2
1
2
1
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
32
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
s t
t
t
t
t
t
( )
6
6
1
1
1
0
1
1
2
dla
dla
i
znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
33
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumę
s
s
s
p
n
gdzie
sygnał parzysty
s t
s t
s
t
p
( )
( )
( )
1
2
sygnał nieparzysty
s t
s t
s
t
n
( )
( )
( )
1
2
tzn.
s t
s
t
s t
s
t
n
n
p
p
( )
( )
( )
( )
s
t
t
s t
t
p
n
( )
( )
6
1
6
2
Z teoretycznych rozważań wiemy, że
sygnał parzysty ma widmo czysto
rzeczywiste
a
nieparzysty widmo czysto urojone
.
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
34
Widmo części parzystej
( )
(
)
s
f
t
e
dt
p
jft
6
1
2
2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
a t
at
at
at
2
3
2 2
2
2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )
cos(
)
sin(
)
s
f
f
f
f
f
f
p
6
2
1
7
3
2
2
2
2
2
jf
a
2
gdzie
35
Prezentacja części parzystej
-1
0
1
0
5
s
p
(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s
p
(f)
^
Sygnał
Widmo
amplitudowe
Czas
Częstotliwość
36
Widmo części nieparzystej
( )
s
f
t e
dt
n
jft
6
2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
at
at
at
2
1
otrzymujemy widmo czysto urojone
f
f
f
f
j
f
s
n
2
)
2
sin(
)
2
cos(
)
(
ˆ
gdzie
jf
a
2
37
Prezentacja części nieparzystej
-1
0
1
-5
0
5
s
n
(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s
n
(f)
^
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
38
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1
0
1
0
1 0
s (t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s (f)
^
39
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s (f)
^
0
1
2
0
1
s (t)
40
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s t
t
t
t
t
( )
2
0
1
1
1
2
0
dla
dla
dla pozostałych
Ze wzoru definiującego transformatę Fouriera
( )
s f
t e
dt
e
dt
jft
jft
2
2
2
1
2
0
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
a t
at
at
at
2
3
2 2
2
2
otrzymujemy
f
f
f
f
f
j
f
f
f
f
f
f
s
)
2
cos(
)
2
sin(
)
4
cos(
2
1
)
4
sin(
)
2
sin(
)
2
cos(
2
1
)
(
ˆ
2
2
41
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
0
0 .5
1
2
0
1
s (t)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
s (f)
^
42
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s t
t
t
( )
,
1
0
0 5
0
dla
i 1 t 2
dla pozostałych
Posługując się definicją transformaty Fouriera
( )
,
s f
e
dt
e
dt
jft
jft
2
0
0 5
2
1
2
1
)
cos(
)
2
cos(
)
4
cos(
)
sin(
)
2
sin(
)
4
sin(
2
1
f
f
f
j
f
f
f
f
43
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-T
0
T
-1
0
1
s (t)
-5 /T
-4 /T
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
4 /T
5 /T
0
1
s (f)
^
44
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
s
t
T
t
t
T
t
T
( )
1
0
1
0
0
dla
dla
dla
Posługując się definicją transformaty Fouriera
( )
s
f
e
dt
e
dt
jft
T
jft
T
2
0
2
0
Po całkowaniu
( )
s
f
jf
e
jf
e
jft
T
jft
T
1
2
1
2
2
0
2
0
Po podstawieniu granic
( )
sin (
)
s
f
j
f
fT
2
2
45
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-T
0
T
0
1
s (t)
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
0
1
s (f)
^
46
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
s
t
t
T
T
t
t
T
t
T
t
T
( )
dla
dla
dla
0
0
0
Korzystając z zależności
s
t
s
t dt
T
t
( )
( )
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
( )
( )
s
f
s
f
j f
2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )
sin (
)
s
f
fT
f
2
2
2
47
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
0
T
2 T
3 T
0
1
s (t)
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
0
1
s (f)
^
48
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
s t
e
t
t
Tt
( )
dla
dla
0
0
0
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( )
(
)
(
)
s f
e
dt
T
jf
e
T
jf
T
jf t
T
jf t
2
0
2
0
1
2
1
2
49
Kolejny pouczający przykład
transformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
s t
t
( )
exp
(
)
2
2
2
widmo ma postać
( ) exp
s f
f
j f
2
2
2
2
50
Wykresy do kolejnego pouczającego
przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1
0
1
0
1
s (t)
= 2
= 0
-1
0
1
0
1
s (f)
^
= 2
= 0
51
Uogólnienie transformacji Fouriera
lim ( )
( )
0
s t
s t
gdzie
0
lim ( ) ( )
0
s
f
s f
( )
s f
uogólniona transformata Fouriera,
czyli transformata w sensie granicznym
52
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
s
t
s
t
T
T
( )
( )
2
s
t
t
T
T
t
t
T
t
T
t
T
( )
dla
dla
dla
0
0
0
lim
( )
( )
T
T
s
t
t
0
( )
sin (
)
s
f
fT
f T
T
2
2
2
2
lim ( )
T
T
s
f
0
1
s t
t
s f
( )
( )
( )
1
zatem
( )
t
1
Transformata Fouriera sygnału stałego
s t
s f
f
( )
( )
( )
1
53
Transformaty Fouriera sygnałów
okresowych
s t
a
a
nf t
b
nf t
n
n
n
( )
cos(
)
sin(
)
0
0
0
1
2
2
lub
s t
c e
n
j n f t
n
( )
2
0
Widmo
)
2
cos(
)
(
0
t
nf
t
s
c
s t
nf t
s f
nf
s f
nf
( )cos(
)
, (
)
, (
)
2
0 5
0 5
0
0
0
cos(
)
, (
)
, (
)
2
0 5
0 5
0
0
0
nf t
f
nf
f
nf
sin(
)
,
(
)
,
(
)
2
0 5
0 5
0
0
0
nf t
j
f
nf
j
f
nf
e
nf t
j
nf t
jnf t
2
0
0
0
2
2
cos(
)
sin(
)
e
f
nf
jnf t
2
0
0
(
)
( )
( )
,
(
)
(
)
s f
a
f
a
jb
f
nf
a
jb
f
nf
n
n
n
n
n
0
0
0
0 5
( )
(
)
s f
c
f
nf
n
n
0
54
t
t
t
s
π
)
π
sin(
)
(
1
)
π
(
j2sin
)
(
j2π
)
(
1
2
t
t
s
t
t
s
)
(
)
(
ˆ
1
f
f
s
)
(
)
(
)
(
ˆ
2
1
2
1
2
f
f
f
s
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
55
)
1
(
)
1
(
2
1
)
(
ˆ
)
π
2
cos(
)
(
2
2
f
f
f
s
t
t
s
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
)
(
ˆ
*
)
(
ˆ
)
(
)
π
2
cos(
)
(
)
(
2
1
2
1
f
f
f
f
t
s
t
s
t
t
t
s
t
s
Iloczyn w dziedzinie czasu
f
f
f
s
t
t
s
)
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
1
1
56
Iloczyn w dziedzinie czasu
57
Transformacja Fouriera sygnału
z niezerową wartością średnią
s t
s t
s
( )
( )
0
gdzie
)
(
0
t
s
ma zerową wartość średnią
s
T
s t dt
T
T
T
lim
( )
1
2
s t
s t
s
s f
s
f
s
f
( )
( )
( ) ( )
( )
0
0
58
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
dy
dx
e
y
x
s
f
f
s
y
f
x
f
j
y
x
y
x
)
(
2
)
,
(
)
,
(
ˆ
s x y
s f
f
e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
59
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli
x f
n
,
to
( )
( )
s f
s x e
dx
dx
j f x
n
x
x
T
n
2
1
1
s x
s f e
df
df
j f x
n
f
f
T
n
( )
( )
2
1
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
fourier id 180328 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
pedagogika ogolna id 353595 Nieznany
Misc3 id 302777 Nieznany
cw med 5 id 122239 Nieznany
D20031152Lj id 130579 Nieznany
więcej podobnych podstron