02.05.2013  

1  

Pracownia Chemometrii Środowiska

dr hab. Tomasz Puzyn, prof. UG

Pracownia Chemometrii Środowiska

e-mail:

[e-mail]

tel. [phone]

1  

Pracownia Chemometrii Środowiska

1.  Analiza korelacji

- wariancja i współczynnik korelacji
- interpretacja współczynnika korelacji
- wykresy korelacyjne

2.  Regresja liniowa typu: y = ax + b

- metoda najmniejszych kwadratów
- szacowanie współczynników regresji
- ocena istotności statystycznej modelu
- ocena istotności statystycznej współczynników regresji
- ocena jakości dopasowania modelu regresyjnego

2  

Pracownia Chemometrii Środowiska

1.

 

Analiza korelacji
- wariancja i współczynnik korelacji
- interpretacja współczynnika korelacji
- wykresy korelacyjne

2.  Regresja liniowa typu: y = ax + b

- metoda najmniejszych kwadratów
- szacowanie współczynników regresji
- ocena istotności statystycznej modelu
- ocena istotności statystycznej współczynników regresji
- ocena jakości dopasowania modelu regresyjnego

3  

02.05.2013  

2  

Pracownia Chemometrii Środowiska

r(x

k

, x

l

)

=

cov(x

k

, x

l

)

var(x

k

) var(x

l

)

cov(x

k

, x

l

)

=

(x

ik

− x

k

)(x

il

− x

l

)

i

=1

n

∑

n

− 1

var(x

k

)

=

(x

ik

− x

k

)

2

i

=1

n

∑

n

− 1

Wariancja

Zmienność w wektorze x

k

Kowariancja

Współzmienność w wektorów x

k

i x

l

Współczynnik korelacji

Współczynnik korelacji jest równy kowariancji dla danych standaryzowanych

var(x

l

)

= 1

var(x

k

)

= 1

r(x

k

, x

l

)

= cov(x

k

, x

l

)

4  

Pracownia Chemometrii Środowiska

•  Współczynnik korelacji r jest miarą

współzmienności

liniowej

dwóch zmiennych

x i y.

• 

-1 ≤ r ≤ 1

•  Jeżeli

r > 0

to ze wzrostem wartości

zmiennej x

rosną

wartości zmiennej y.

•  Jeżeli

r < 0

to ze wzrostem wartości

zmiennej x

maleją

wartości zmiennej y.

•  Współczynnik determinacji

d = r

2

wyraża

ułamek ogólnej zmienności (wariancji) jednej

zmiennej wyjaśnianej przez drugą.

•  Współczynnik d wyraża się najczęściej w

procentach.

5  

r(x

k

, x

l

)

=

cov(x

k

, x

l

)

var(x

k

) var(x

l

)

Pracownia Chemometrii Środowiska

6  

Żródło:  A  .  Mazerski,  Podstawy  chemometrii  

02.05.2013  

3  

Pracownia Chemometrii Środowiska

7  

Żródło:  A  .  Mazerski,  Podstawy  chemometrii  

Pracownia Chemometrii Środowiska

1.  Analiza korelacji

- wariancja i współczynnik korelacji
- interpretacja współczynnika korelacji
- wykresy korelacyjne

2.

 

Regresja liniowa typu: y = ax + b
- metoda najmniejszych kwadratów
- szacowanie współczynników regresji
- ocena istotności statystycznej modelu
- ocena istotności statystycznej współczynników regresji
- ocena jakości dopasowania modelu regresyjnego

8  

Pracownia Chemometrii Środowiska

y

= ax + b

∂Φ a,b

( )

∂a

= 0

∂Φ a,b

( )

∂b

= 0

Φ a,b

( )

=

y

i

− ax

i

+ b

(

)

[

]

2

i

=1

n

∑

Φ =

(y

i

obs

− y

i

pred

)

2

i

=1

n

∑

9  

x

y

y

obs

y

pred

02.05.2013  

4  

Pracownia Chemometrii Środowiska

y

= ax + b

a

=

n

x

i

y

i

i

=1

n

∑

−

x

i

i

=1

n

∑

y

i

i

=1

n

∑

n

x

i

2

i

=1

n

∑

−

x

i

i

=1

n

∑

⎛
⎝ ⎜

⎞
⎠ ⎟

2

=

xy

− x ⋅ y

x

2

− x

( )

2

=

cov x, y

( )

var x

( )

b

=

x

i

2

i

=1

n

∑

y

i

i

=1

n

∑

−

x

i

i

=1

n

∑

x

i

y

i

i

=1

n

∑

n

x

i

2

i

=1

n

∑

−

x

i

i

=1

n

∑

⎛
⎝ ⎜

⎞
⎠ ⎟

2

= y − ax

var(x)

=

(x

i

− x )

2

i

=1

n

∑

n

−1

cov(x, y)

=

(x

i

− x )⋅(y

i

− y )

i

=1

n

∑

n

−1

r(x, y)

=

cov(x, y)

var(x)

⋅ var(y)

10  

Pracownia Chemometrii Środowiska

Wariancja resztowa

Wariancja modelu

•  Im większa wartość statystyki F-Snedecora, tym model jest bardziej istotny statystycznie.

•  Wartości krytyczne F znajdujemy w tablicach dla n-1 i n-p-1 stopni swobody odpowiednio dla

licznika i mianownika (p - liczba parametrów modelu).

Model istotny

Model nieistotny

11  

F = 0

F > 0

n – 1

Pracownia Chemometrii Środowiska

s

b

= s

E

2

⋅

x

i

2

i

=1

n

∑

n

⋅

x

i

2

−

x

i

i

=1

n

∑

⎛
⎝ ⎜

⎞
⎠ ⎟

i

=1

n

∑

2

s

a

=

s

E

2

x

i

2

− n ⋅

x

i

i

=1

n

∑

⎛
⎝ ⎜

⎞
⎠ ⎟

i

=1

n

∑

2

t

a

=

a

s

a

t

b

=

b

s

b

df

= n − 2

•  Jeżeli t ≤ t

kr

=> nie ma podstaw do odrzucenia H

0

na założonym poziomie

istotności.

•  Jeżeli t > t

kr

=> H

0

należy odrzucić na założonym poziomie istotności i przyjąć H

A.

H

0

: a = 0

H

A

: a

≠

0

H

0

: b = 0

H

A

: b

≠

0

12  

02.05.2013  

5  

Pracownia Chemometrii Środowiska

Miarą jakości dopasowania modelu jest

współczynnik determinacji

R

2

. Wyrażony w

procentach określa, jaka część ogólnej zmienności
odpowiedzi jest wyjaśniana przez model:

Analiza rozkładu różnic:

y

pred

y

obs

Inną stosowaną miarą dopasowania jest

średniokwadratowy błąd kalibracji RMSEC

(ang.

root mean square error of calibration):

R

2

= 1−

y

i

obs

− y

i

pred

(

)

2

i

=1

n

∑

y

i

obs

− y

obs

(

)

2

i

=1

n

∑

RMSE

C

=

y

i

obs

− y

i

pred

(

)

2

n

=1

n

∑

n

13