Łukasz Nykiel st_MP_d08

ROZKŁAD GAUSSA (NORMALNY)

Opracowanie danych statystycznych metodą graficzną

1. Wprowadzenie i obróbka danych:

dane

READPRN "dane08.txt"

(

)



data

dane

T



data

data

1

 



n

length data

(

)



n

30



i

0 n

1







data

sort data

(

)



2.Określenie prawdopodobieństwa z próby

p

i

i

1



(

)

n

1



(

)



3. Oszacowanie punktowe:
- średnia i mediana
- odchylenie standardowe skorygowane i nieskorygowane

μ

mean data

(

)



μ

471.95



σ

Stdev data

(

)



σ

198.864



Σ

stdev data

(

)



Σ

195.522



M

median data

(

)



M

434.3



WNIOSEK 1: Ponieważ średnia nie jest równa medianie więc hipoteza o rozkładzie normalnym
może być fałszywa..

4. Obliczenie standaryzowanych wartości zmiennej zależnej (określenie miana osi rzędnych):

y

i

qnorm p

i

0

 1









5. Obliczenie współczynników prostej regresji y = a + b * x :

a

intercept data y



(

)



a

2.138





b

slope data y



(

)



b

4.531

10

3







6. Obliczenie parametrów rozkładu:

μ

1

a
b













σ

1

1
b



μ

1

471.95



σ

1

220.696



7. Porównanie z oszacowaniem punktowym:

0

200

400

600

800

1 10

3



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p

data

0

200

400

600

800

1 10

3



2



1



0

1

2

y

data

WNIOSEK 2: Oszacowanie graficzne i punktowe dają nieznacznie różniące się wyniki.

8. Wykres:

u

i

data

i



pr x

( )

a

b x







120

198

276

354

432

510

588

666

744

822

900

2



1



0

1

2

y

i

pr x

( )

u

i

x



x

0 1100





9. Sprawdzenie obliczeń według wzorów z wykładu:

m

0

n 1



i

u

i

 

2







k

0

n 1



i

y

i







l

0

n 1



i

u

i







o

0

n 1



i

u

i

y

i



 







t

n m



l

2





as

m k



l o





t



as

2.138





as

2.138





bs

n o



k l




t



bs

4.531

10

3







bs

4.531

10

3







μ

s

as
bs













μ

s

471.95



σ

s

1

bs



σ

s

220.696



μ

471.95



σ

198.864



WNIOSEK 3: Wynik zgodny z obliczeniami wykorzystującymi funkcje MathCad'a.

10. Testy zgodności

10.1. Test w

2

pt

i

pnorm u

i

μ

 σ









wt

n



1
n

i

2

i

1



(

)



1



[

] ln pt

i

 



2

n

i

1



(

)



[

]



1



[

] ln 1

pt

i























wt

0.507



Wartość krytyczna statystyki w

2

na poziomie istotności

 = 0.05 wynosi wk=2.4933

WNIOSEK 4: Wartość testowa Wt =

0.507

< od wartości krytycznej 2.4933

Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie

 = 0.05 odrzucić nie można.

dn

READPRN "DN.txt"

(

)



10.2. Test Kołmogorowa-Smirnowa

delta

i

p

i

pt

i





dt

max delta

(

)



dt

0.111



dk

dn

n 1



(

)



dk

0.242



Wartość krytyczna statystyki Dn na poziomie istotności

 = 0.05 wynosi dk= 0.242

WNIOSEK 5: Wartość testowa

0.111

< od wartości krytycznej 0.242

Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie

 = 0.05 odrzucić nie można.

10.3. Test



2

ω

t

1

12 n



i

delta

i

 

2







ω

t

0.09236



Wartość krytyczna statystyki



2

na poziomie istotności

 = 0.05 wynosi k=0.9814

WNIOSEK 6: Wartość testowa

0.09236

< od wartości krytycznej 0.4614

Hipotezy o rozkładzie normalnym na poziomie

 = 0.05 odrzucić nie można.

11. Oszacowania przedziałowe
- obliczenie przedziałów ufności dla wartości oczekiwanej rozkładu na poziomie ufności 0.95

β

0.95



α

1

β





n

30



μ

d

μ

qt 1

α
2



n

1













n

σ







μ

d

397.693



μ

g

μ

qt 1

α
2



n

1













n

σ







μ

g

546.207



-

obliczenie przedziału ufnosci dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 0.95

σ

d

σ

2

n

1



(

)

qchisq 1

α
2



n

1















σ

d

158.377



σ

g

σ

2

n

1



(

)

qchisq

α
2

n

1















σ

g

267.337



12. Wynik końcowy:

μ

d

397.693



<

μ

471.95



<

μ

g

546.207



σ

d

158.377



<

σ

198.864



<

σ

g

267.337



13. Obliczenie dwustronnych obszarów ufności dla dystrybuanty i wykres końcowy:

β

1

0.95



2



m1

i

2

n

i



(

)





m2

i

2

i

1



(

)





Fd

i

qF β m1

i



m2

i









Fg

i

qF β m2

i



m1

i









Fdd

i

1

1

n

i



i

1



(

)

Fd

i















Fdg

i

Fg

i

n

i



i

1











Fg

i





yd

i

qnorm Fdd

i

0

 1









yg

i

qnorm Fdg

i

0

 1









pr x

( )

a

b x







x

min u

( ) max u

( )





120

198

276

354

432

510

588

666

744

822

900

2.4



1.6



0.8



0

0.8

1.6

2.4

pr x

( )

y

i

yd

i

yg

i

x u

i

 u

i

 u

i



13. Obliczenie granic obszaru ufności dla prostej regresji i wynik końcowy.

Wprowadzamy nową zmienną

v

y

a


b



co w praktyce jest równoznaczne z określeniem odciętych punktów powstałych z przecięcia
prostych równoległych do osi odciętych przechodzących przez punkty pomiarowe z prostą re-
gresji. Używając tych samych wzorów (na yd

i

i yg

i

)

jak powyżej otrzymamy granice obszaru

ufności prostej regresji. Wzorów na yd

i

oraz yg

i

nie trzeba przytaczać raz jeszcze - gdy spo-

rządzając wykres zmieni się u

i

na u1

i ,

obliczenia zostaną powtórzone dla nowej zmiennej nie-

zależnej automatycznie.

x

0 46.5



900





0

90

180

270

360

450

540

630

720

810

900

2.4



1.8



1.2



0.6



0

0.6

1.2

1.8

2.4

y

i

pr x

( )

yd

i

yg

i

u

i

x

 v

i

 v

i



14. Wykres funkcji Gaussa o obliczonych parametrach

Należy wykreślić:
- teoretyczną dystrybuantę rozkładu F(x)
- teoretyczną krzywą gęstości prawdopodobieństwa f(x)
- empiryczną dystrybuantę rozkładu
- na dystrybuantę teoretczną nanieść punkty o rzędnej yy

i

F x

( )

pnorm x μ

 σ



(

)



f x

( )

dnorm x μ

 σ



(

)



x

100



1100





min u

( )

159.8



max u

( )

847.4



100



10

120

230

340

450

560

670

780

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F x

( )

f x

( ) 10



p

i

x x

 u

i



15. Wnioski końcowe

Wyniki przeprowadzonych testów na poziomie ufności

=0.95 wskazują, że nie można

odrzucić hipotezy o rozkładzie Gaussa.

Punkty odpowiadające wartościom zmiennej losowej znajdują się wewnątrz obrzaru ufności
dla

=0.95

Kształty dystrybuanty teoretycznej i empirycznej są podobne.

Szacowania graficzne dały podobne wyniki do szacowań punktowych.

Wyniki przeprowadzonych testów na poziomie ufności b=0.95 wskazują, że nie można
odrzucić hipotezy o rozkładzie Gumbela.

Punkty odpowiadające wartościom zmiennej losowej znajdują się wewnątrz obrzaru ufności
dla b=0.95

Kształty dystrybuanty teoretycznej i empirycznej są podobne.

Szacowania graficzne dały podobne wyniki do szacowań punktowych.

890

1 10

3

