Łukasz Nykiel st_MP_d08 ROZKŁAD GUMBELA Opracowanie danych statystycznych metodą punktową i gr 1. Wprowadzenie i opracowanie danych N  READPRN("GUM_N.txt" ) dane1  READPRN("dane08.txt" ) pliki pomocnicze

yn  READPRN("GUM_Y.txt" ) data

dane1T



sn  READPRN("GUM_SIG.txt" )

 

data  data 1

n  length(data)

n  30

min  min(

min data)

min 

maks  max(data)

0

maks  847.4

0

0

1

μ  mean(data)

μ  471.95

0

378.7

1

0

σ  Stdev(data)

1

734.7

σ  198.864

2

1

i  0  n  1

2

442.8

3

0

dane  if data 

1

 0







3

562.3

4

1

i

i

μ

4

380.7

u  dane

5

1

5

284.3

6

1

(i  1)

6

274.5

u  7

1

p 

i

(n  1)

data  7

367

8

1

8

458.6

9

0

u  sort(data)

i 

9

847.4

10

1

0

10

423.5

11

0

1

11

472.7

12

0

2

2. Oszacowanie punktowe:

12

658.7

13

1

3

13

342

14

1

4

Yn  linterp(N y

 n n

 )

σn  linterp(N s

 n n

 )

14

425.8

15

...

5

15

...

σn

 3

6

αp 

αp  5.592  10

Stdev(u)

7

8

Yn

Ump  mean(u) 

Ump  567.841

9

αp

10

3. Zdefiniowanie współrzędnych liniowych: 11

0

12

  1 

0

-3.418

13

gum(p)  lnln



  1  p 

1

-2.708

14

2

-2.285

...

y  gum p

 

i

i

3

-1.979

4

-1.738

4. Obliczenie współczynników prostej y=a + b*x 0

5

-1.537

0

0.032

6

-1.363

1

0.065

a 

y  7

-1.209

   line(u y

 )

2

0.097

b 

8

-1.07

3

0.129

9

-0.943

 3

4

0.161

a  3.065



b  5.358  10

10

-0.825

5

0.194

11

-0.714

6

0.226

5. Obliczenie parametrów rozkładu 12

-0.61 p  7

0.258

13

-0.51

8

0.29

 3

a

14

-0.413

9

0.323

α  b

α  5.358  10

Um  

Um  572.027

b

15

...

10

0.355

11

0.387

6. Porównanie z oszacowaniem punktowym: 12

0.419

13

0.452

 3

αp  5.592  10

Ump  567.841

14

0.484

15

...

7. Wykres:

Prosta regresji:

pr(x)  a  b  x

yy  a  b  u

x  1



0.5





 1500

i

i

3

2.2727

1.5455

0.8182

0.0909

yi

 0.6364

pr(x) 1.3636

 2.0909

 2.8182

 3.5455

 4.2727

 5130 194.167258.333 322.5 386.667450.833 515 579.167643.333 707.5 771.667835.833 900

ui x



corr(u y

 )  0.942

0

0

159.8

8. Testy zgodności

1

184.6

8.1. Test w 2

2

217.9

3

244.7

4

274.5

pt  1  exp exp





 

 Um



 



i

α

ui



5

284.3

6

295.9

1

wt  n

 



[

  2  (i  1)  1]  ln pt



   [2  [n  (i  1)]  1]  ln 1  pt



 u  7 327.9

n

i

i 

i

8

342

9

367

wt  1.142

10

378.7

11

380.7

Wartość krytyczna statystyki w2 na poziomie istotności a = 0.05 wynosi wk =2.4933

12

407.6

13

423.5

WNIOSEK 1: Wartość testowa wt = 1.142 < wk = 2.4933

14

425.8

Hipoteze o rozkładzie Gumbela na poziomie a = 0.05 nie można odrzucić.

15

...

8.2. Test Kołmogorowa-Smirnowa Dn  READPRN("dn.txt" ) delta  p  pt

max(delta)  0.169

dk  Dn

dk  0.242

i

i

i

(n1)

Wartość krytyczna statystyki Dn na poziomie istotności a = 0.05 wynosi dk=0.242

WNIOSEK 2: Wartość testowa 0.169 < dk = 0.242

Hipoteze o rozkładzie Gumbela na poziomie a = 0.05 nie można odrzucić.

8.3. Test w 2

1

ωt 



delta

 2



ωt  0.191

12  n

i

i

Wartość krytyczna statystyki w2 na poziomie istotności a = 0.05 wk=0.4614

WNIOSEK 3: Wartość testowa 0.191 < wk = 0.4614

Hipoteze o rozkładzie Gumbela na poziomie a = 0.05 można odrzucić.

9. Obliczenie dwustronnych obszarów ufności dla punktów pomiarowych.

1  0.95

m1  2  (n  i)



m2  2  (i  1)

i

β

2

i

Fg  qF 

m1



Fd  qF β m1



m2







i

β m2i

i





i

i

i

Fgi

1

Fdg 

Fdd 

i

 n  i

i



n  i



 



Fg

1

 

 Fd

 i  1 

i



(i  1)

i

yg  gum Fdg

 

yd  gum Fdd

 

i

i

i

i

3

1.857

0.714

yi

pr(x) 0.429

ydi  1.571

ygi

 2.714

 3.857

 5150 212.5 275 337.5 400 462.5 525 587.5 650 712.5 775 837.5

ui x

 u

 i u

 i

10. Obliczenie dwustronnych obszarów ufności dla prostej regresji i ich wykres.

yβ  qnorm(β 0

 1

 )

yβ  1.96

k  0  5

ya 



k

δyk

ya  a

k

δyk

ub 

prz  yβ 

2



2.8129

k

b

k

n  α

1.5



2.2408

ub 

prz 

1



1.8126

k

k

0.5



1.5057

198.76

187.858

0

1.3108

292.077

149.651

0.5

1.2431

385.393

121.054

478.71

100.558

572.027

87.541

665.343

83.02

Fdd  ub  prz

Fdg  ub  prz

k

k

k

k

k

k

Fdd 

Fdg 

k

k

10.902

386.619

142.426

441.728

264.34

506.447

378.152

579.268

484.485

659.568

582.323

748.363

2

1.5

1

0.5

yi

0

pr(x 

) 0.5

ya

 1

k

 1.5

yak  2

 2.5

 3

 3.5

 4140 203.333266.667 330 393.333456.667 520 583.333646.667 710 773.333836.667 900

ui x

 Fdd



k Fdg



k

11. Obliczenie dwustronnych granic obszaru ufności dla prostej regresji zwykłą metodą.

y  a

v 

b

x  2



0.5





 3

2.5

1.667

0.833

yi

0

pr(x) 0.833

ydi  1.667

ygi

 2.5

 3.333

 4.167

 5140 203.333266.667 330 393.333456.667 520 583.333646.667 710 773.333836.667 900

ui x

 v

 i v

 i

12. Wykres końcowy

Wykres końcowypowinien zawierać:

- dystrybuantę teoretyczną F(x);

- funkcję gęstości f(x);

- dystrybuantę empiryczną;.

F(x)  1  exp[ exp



[α  (x  Um)]]

f (x)  α  exp[α  x  α  Um  exp[α  (x  Um)]]

x  500



499





 1500

1.1

0.99

0.88

0.77

F(x)

0.66

f(x)1000.55

pi

0.44

0.33

0.22

0.11

0

 500  400  300  200  100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1 103



1.1

x x

 u

 i

13. Wnioski końcowe

Wyniki wszystkich testów przeprowadzonych na poziomie ufności b=0.95 wskazują, że hipoteze o rozkładzie Gumbela można odrzucić.

Ksztalt dystrybuanty teoretycznej i empirycznej sa zblizone.

Punkty odpowiadające wartościom zmiennej losowej znajdują się wewnątrz obszaru ufności wyznaczonego dla b=0.95

Oszacowania graficzne da³y rezultaty podobne do oszacowañ punktowych.

raficzną

e

900

1 103

