- 1 -

V. DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE TWIERDZEŃ O

WZAJEMNOŚCI PRAC I PRZEMIESZCZEŃ

1. CELE ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest:

1) doświadczalne wyznaczenie macierzy podatności,

2) doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Bettiego o wzajemności prac,

3) doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Maxwella o wzajemności pomieszczeń.

Weryfikację przeprowadzić dla ramy płaskiej.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Układy liniwo - sprężyste stanowią idealizację sił rzeczywistych, jednak w wielu prak-

tycznych przypadkach takie przybliżenie daje wystarczająco dokładne rezultaty. Większość

materiałów konstrukcyjnych (stal i większość metali, niektóre tworzywa) w zakresie obciążeń

eksploatacyjnych zachowuje się jak ciało liniowo - sprężyste i może być modelowane ukła-

dem Clapeyrona. Liniowa zależność przemieszczeń od obciążeń {u} = {D}{P} pozwala

sformułować i udowodnić wiele twierdzeń i zasad, które wykorzystuje się do rozwiązywania

licznych zagadnień teorii sprężystości. Zasada wzajemności prac Bettiego i zasada wzajemno-

ści przemieszczeń Maxwella należą do podstawowych twierdzeń teorii sprężystości. Z zasady

wzajemności prac korzysta się przy wyprowadzeniach wielu skomplikowanych twierdzeń nie

tylko w teorii sprężystości. Doświadczalne sprawdzenie tej zasady można zrealizować w pro-

sty sposób przy jednoczesnej obserwacji podstawowych zależności występujących w układach

liniowo - sprężystych.

- 2 -

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1. Układy liniowo - sprężyste

Układ nazywamy układem liniowo - sprężystym (układem Clapeyrona) jeżeli

przemieszczenie D dowolnego punktu układu wywołane zrównoważonym działaniem sił

zewnętrznych P

1

, P

2

, ...., P

n

można wyrazić jako liniową funkcję tych sił

D = d

1

P

1

+ d

2

P

2

+ ... + d

n

P

n

, (4.1)

gdzie: d

1

, d

2

, ..., d

n

- liczby wpływowe przemieszczeń sprężystych.

Liczby

wpływowe określają wpływ jaki wywiera odpowiednia siła na przemieszczenie

sprężyste D. Wartości ich są zależne od kształtu i rozmiarów układu, od miejsca działania sił, od

własności sprężystych materiału, a nie zależą od wartości sił.

Mówiąc o sile, wprowadzimy tutaj termin „siła uogólniona” - siła rozłożona

powierzchniowo, lub liniowo w sposób ciągły, lub para sił określana jako moment.

Jeżeli punkt A (rys. 3.1) przyłożenia siły P przesunął się w nowe położenie A’, to do obli-

czenia pracy tej siły należy jej wartość pomnożyć przez u, rzut całkowitego przemieszczenia na

kierunek działania siły. Rzut ten nazywa się przemieszczeniem odpowiadającym sile skupionej

P.

Jeżeli siłą uogólnioną jest para sił o momencie M, to uogólnionym odpowiadającym

przemieszczeniem jest obrót o kąt

ϕ względem osi o kierunku wektora momentu (rys. 3.2).

Rys. 3.1

Rys. 3.2

- 3 -

Układ rzeczywisty można

uważać za liniowo - sprężysty, je-

żeli spełnione są następujące wa-

runki:

a - materiał jest liniowo - spręży-

sty,

b - układ jest w równowadze,

c - brak tarcia na powierzchniach

styku wzajemnie ruchomych czę-

ści układu,

d - przemieszczenia są na tyle

małe, że nie wpływają w sposób

istotny na skutki działania sił.

Najczęściej interesują nas

przemieszczenia odpowiadające

określonym siłom (rys. 3.3).

Przemieszczenie

u

i

dowolnego punktu możemy wyrazić w następujący sposób

u

P

P

P

P

k

k

n n

1

11 1

12 2

1

1

=

+

+ +

+ +

δ

δ

δ

δ

…

…

u

P

P

P

P

k

k

n n

2

21 1

22 2

2

2

=

+

+ +

+ +

δ

δ

δ

δ

…

…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4.2)

u

P

P

P

P

i

i

i

ik

k

in n

=

+

+ +

+ +

δ

δ

δ

δ

1 1

2 2

…

…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

u

P

P

P

P

n

n

n

nk

k

nn n

=

+

+ +

+ +

δ

δ

δ

δ

1 1

2 2

…

…

ogólnie

i

k=1

n

ik

k

u =

P

¦

δ

1(4.3)

lub stosując zapis skrócony

u

P

i

ik

k

=

δ

.

W tym przypadku pierwszy indeks przy liczbie wpływowej odnosi się do

przemieszczenia, drugi zaś do siły powodującej to przemieszczenie.

Liczby

wpływowe można uważać za przemieszczenie wywołane odpowiednimi siłami o

wartości jeden, czyli za przemieszczenie jednostkowe:

Rys. 3.3

- 4 -

δ =

uogólnione przemieszczenie

uogólniona siła

Pisząc zależności (4.2) dla wszystkich wybranych przemieszczeń otrzymamy układ rów-

nań, który może być przedstawiony w postaci macierzowej

U = DP,

(4.4)

gdzie: U = {u

i

} - macierz jednokolumnowa przemieszczeń,

P = {P

k

} - macierz jednokolumnowa sił,

D = {

δ

ik

} - macierz podatności układu.

Liniową zależność między obciążeniem, a przemieszczeniem można ująć inaczej, jeżeli

za zmienne niezależne przyjmiemy przemieszczenia

i

k=1

n

P =

¦

2(4.5)

Zależność między siłami i przemieszczeniami zapisana w postaci macierzowej ma formę

P = AU,

(4.6)

gdzie: A = {a

ik

} = D

-1

- macierz sztywności układu.

Przemieszczenia i odkształcenia układu liniowo - sprężystego podlegają prawu

superpozycji. Skutki działania kilku sił równe są sumie każdej z sił osobno działających.

Końcowy efekt jest niezależny od kolejności obciążania.

3.2. Energia sprężysta układu Clapeyrona

Dla

ciała sprężystego, pozostającego pod działaniem sił zewnętrznych energia sprężysta

jest równa pracy tych sił. W celu obliczenia pracy należy założyć, że praca obciążenia odbywa

się quasi - statycznie.

Praca wszystkich sił obciążających wynosi

L =

1
2

P u .

i=1

n

i

i

¦

3(4.7)

Energia

sprężysta układu liniowo - sprężystego będącego w równowadze jest równa

połowie sumy iloczynów sił zewnętrznych i odpowiadających im przemieszczeń.

W celu wyrażenia energii sprężystej przez siły korzystamy z zależności (4.3). Wówczas

V = L =

1
2

P P .

i=1

n

k=1

n

ik

k

i

¦¦

δ

4 (4.8)

- 5 -

Energia

sprężysta może być wyrażona jako jednorodna kwadratowa funkcja obciążeń.

Dla wyrażenia energii sprężystej przez przemieszczenia korzystamy z zależności (4.5).

Wówczas

V = L =

1
2

a u u .

i=1

n

k=1

n

ik

k

i

¦¦

5 (4.9)

Energia

sprężysta jest jednorodną kwadratową funkcją przemieszczeń. Ponieważ energia

sprężysta jest kwadratową funkcją obciążeń to w zasadzie można stosować zasady superpozycji

przy obliczaniu energii.

3.3. Twierdzenia o wzajemności prac i przemieszczeń

Stosując konwersję sumacyjną Eisteina przy zapisie wskaźnikowym pomija się znak

sumy. Obowiązuje sumowanie poty samych wskaźnikach.

Zakładamy, że na układ liniowo - sprężysty działają siły P

j

(rys. 3.4).

Układ obciążamy dodatkowo siłami

P

i

. Siły te wykonują pracę

1
2

P u

i

ii

6

na odpowiadających im przemiesz-

czeniach u

ii

wywołanych układem

P

i

. Równocześnie siły P

j

wykonują

pracę

j

ji

P u 7 na odpowiadających

im przemieszczeniach u

ji

wywoła-

nych układem P

i

.

Następnie obciążamy układ siłami

P

k

Wykonują one pracę

1
2

P u

k

kk

8 na

odpowiadających im przemieszcze-

niach u

kk

.

Równocześnie siły P

j

i P

i

wykonują

pracę

( P u

P u )

j

jk

i ik

oraz

9 na odpowiadających im przemieszczeniach u

jk

i u

ik

, lecz wywoła-

nych siłami P

k

.Suma prac sił zewnętrznych wyrażająca przyrost energii sprężystej wynosi:

Rys. 3.4

- 6 -

1

i ii

j

ji

k

kk

j

jk

i ik

V =

1
2

P u + P u +

1
2

P u + P u + P u .

∆

10(4.10)

Następnie zmieniamy kolejność obciążania (najpierw P

k

, a następnie P

i

) i obliczamy

przyrost energii

2

k

kk

j

jk

i ii

j

ji

k

ki

V =

1
2

P u + P u +

1
2

P u + P u + P u

∆

11. (4.11)

Ponieważ przyrost energii nie zależy od kolejności obciążania to

D

1

V = D

2

V, (4.12)

stąd

i ik

k

ki

P u = P u 12. (4.13)

Związek wyraża twierdzenie o wzajemności prac (tw. Bettiego)

Suma prac sił układu pierwszego (P

i

) na odpowiadających im przemieszczeniach wywoła-

nych siłami układu drugiego (P

k

) jest równa sumie prac sił układu drugiego (P

k

) na odpo-

wiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego (P

i

).

Gdy dodatkowe obciążenie stanowią tylko pojedyncze siły P

i

i P

k

wówczas

P

i

u

ik

= P

k

u

ki

, (4.14)

Jeżeli ponadto P

i

= P

k

wówczas

u

ik

= u

ki

, (4.15)

Równanie wyraża twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (tw. Maxwella):

Jeżeli na układ liniowo - sprężysty działają dwie równe co do modułu uogólnione siły, to

przemieszczenie odpowiadające pierwszej lecz wywołane przez drugą równe jest prze-

mieszczeniu odpowiadającemu drugiej lecz spowodowanemu pierwszą siłą.

Jeżeli w równaniu (4.14) wyrazimy przemieszczenia przez siły to otrzymamy

P

i

P

k

d

ik

= P

k

P

i

d

ki

, (4.16)

a stąd

d

ik

= d

ki

, (4.17)

Podobnie wyrażając siły przez przemieszczenia otrzymujemy

a

ik

= a

ki

, (4.18)

Z powyższych równań wynika, że macierze podatności i sztywności są symetryczne.

- 7 -

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA

Na rys. 4.5 i 4.6 przedstawiono badaną ramę. Ćwiczenie zostanie wykonane na stanowisku

umożliwiającym obciążanie punktów A, B i C w dowolnym kierunku i pomiar przemieszczeń

punktów w kierunku osi x i y.

a)

Określenie liczb wpływowych przemieszczeń sprężystych i macierzy podatności układu

a

-

Obciążyć węzeł A siłą P

1

.

b

-

Określić przemieszczenia węzłów A, B i C.

c

-

Zakładając, że układ jest liniowo - sprężysty obliczyć przemieszczenia odpowiadające

sile P

Ax

= 1 [N].

Otrzymamy w ten sposób liczby wpływowe d

AxAx

, d

BxAx

, ..., które są elementami

pierwszej kolumny macierzy podatności układu.

Powtórzyć pomiary i obliczenia obciążając węzeł B i C siłami P

2

, P

3

, P

4

i P

5

(rys. 3.3).

d - sprawdzić symetrię macierzy podatności układu.

b)

Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia o wzajemności prac.

a

-

Przyjąć dwa układy sił obciążających.

b

-

Obciążyć ramę pierwszym układem sił i wyznaczyć przemieszczenia odpowiadające

drugiemu układowi sił.

Rys. 4.5

Rys. 4.6

- 8 -

c

-

Obciążyć ramę drugim układem sił i wyznaczyć przemieszczenia odpowiadające

pierwszemu układowi sił.

d

-

Obliczyć pracę sił pierwszego układu na odpowiadających im przemieszczeniach

wywołanych drugim układem sił i porównać z pracą drugiego układu sił.

c)

Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia o wzajemności przemieszczeń.

a

-

Przyjąć dwa dowolne sposoby obciążenia ramy siłami równymi co do modułu.

b

-

Obciążyć ramę pierwszą siłą i wyznaczyć przemieszczenie odpowiadające drugiej

sile.

c

-

Powtórzyć pomiar obciążając ramę drugą siłą.

d

-

Porównać otrzymane wartości przemieszczeń.

4.2. Rysunki pomocnicze

- 9 -

4.1. Tabele pomiarowe

4.2.1. Wyniki pomiarów przemieszczeń ramy (P [N], u [mm])

P

1

=

P

2

=

P

3

=

P

4

=

P

5

= 1

u

Ax

u

Bx

u

By

u

Cx

u

Cy

4.2.2. Macierz podatności układu.

P

Ax

= 1

P

Bx

= 1

P

By

= 1

P

Cx

= 1

P

Cy

= 1

u

Ax

u

Bx

u

By

u

Cx

u

Cy

- 10 -

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW

5.1. Wytyczne do wykonania sprawozdania

a) podać definicję układów liniowo sprężystych;

b) podać wzory na przemieszczenia i energię w układach liniowo - sprężystych;

c) podać treść twierdzeń Bettiego i Maxwella;

d) narysować schemat ramy badanej w ćwiczeniu;

e) przedstawić w punktach przebieg ćwiczenia;

f) wyznaczyć macierz podatności i sztywności;

g) przedstawić doświadczalne sprawdzenie twierdzenia o wzajemności prac Bettiego (obli-

czenia);

h) przedstawić doświadczalne sprawdzenie twierdzenia o wzajemności przemieszczeń

Maxwella (obliczenia);

i) przedstawić uwagi i wnioski.

6. PYTANIA KONTROLNE

1) jakie układy nazywamy liniowo - sprężystymi (układami Clapeyrona)?

2) energia sprężysta układów liniowo - sprężystych;

3) omówić twierdzenie Bettiego i Maxwella;

4) jakie znasz inne twierdzenia dotyczące układów liniowo - sprężystych?

5) omówić przebieg ćwiczenia.

7. LITERATURA

1. Brzoska Z. - Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa 1983.

2. Jakubowicz A. - Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1984.

3. Nowacki A. - Mechanika budowli, PWN, Warszawa 1976.

- 11 -

Politechnika Śląska

w Gliwicach

Wydział Mechaniczny Technologiczny

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych

Mechaniki

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

Protokół z ćwiczenia Nr 5

Temat: DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE TWIERDZEŃ

0 WZAJEMNOŚCI PRAC I PRZEMIESZCZEŃ

Rok akademicki: . . . . . . . . . . ., Data wyk. ćwicz.: . . . . . . . . . ., Grupa: . . . . . . .

Prowadzący: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , podpis . . . . . . . . . . . . . . . .

Studenci:

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Ocena: . . . . . . . . . . . . ,

- 12 -

1. Cel ćwiczenia i opis przebiegu ćwiczenia

:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Schemat ramy badanej w ćwiczeniu

3. Opracowanie wyników

3.1 Wyniki pomiarów przemieszczeń ramy (P [N], u [mm])

- 13 -

P

1

=

P

2

=

P

3

=

P

4

=

P

5

= 1

u

Ax

u

Bx

u

By

u

Cx

u

Cy

3.2 Wyznaczyć macierz podatności układu

P

Ax

= 1

P

Bx

= 1

P

By

= 1

P

Cx

= 1

P

Cy

= 1

u

Ax

u

Bx

u

By

u

Cx

u

Cy

4. Uwagi i wnioski:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Załączniki

1. Podać definicję układów liniowo sprężystych.

2. Podać wzory na przemieszczenia i energię w układach liniowo - sprężystych.

3. Podać treść twierdzeń Bettiego i Maxwella.

4. Przedstawić doświadczalne sprawdzenie tw. o wzajemności prac Bettiego (obliczenia).

5. Przedstawić dośw. sprawdzenie tw. o wzajemności przemieszczeń Maxwella (obliczenia).